4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. 4.1 Dynamisk programmering.
|
|
- Viktor Lindberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 . Optimal styrning. Optimal styrning. Optimal styrning Vad är optimal styrning? I allmänna termer kan reglertekniska problem formleras på följande sätt: Välj styrsignaler så att systemet beter sig så bra som möjligt Svårigheten ligger vanligtvis i att formlera vad som är så bra som möjligt. Om man kan formlera detta matematiskt samt har en representativ processmodell kan man lösa reglerproblemet systematiskt: man löser helt enkelt det matematiska optimeringsproblemet. Eempel på praktiska problemställningar är att bestämma optimal väg genom ett nätverk från en pnkt A till en pnkt B beräkna optimal styrstrategi för en satsvis celllosa- eller sockerkokare minimera tiden det tar att byta papperskvalitet på en pappersmaskin designa en process bestående av flera delprocesser så att anläggnings- och driftskostnaderna minimeras Reglerteknik II illståndsmetoder 9 Öppen styrning Öppen styrning är en speciell typ av styrproblem där man inte tnyttjar återkoppling; den optimala strategin beräknas helt tgående från processmodellen och ett matematiskt godhetskriterim även kostnadsfnktion, förlstfnktion. ypiska problem av denna typ är att bestämma billigaste vägen minimera tiden för en verksamhet allokera resrser Ofta kombineras öppen styrning med återkopplad reglering på en lägre nivå..e. problemet att bestämma optimal temperatrprofil som fnktion av tiden för en satsreaktor är ett öppet styrproblem, men temperatren realiseras genom återkopplad reglering. I detta fall är problemet att generera optimala börvärden Reglerteknik II illståndsmetoder 9. Optimal styrning. Optimal styrning Övning.. Ett eempel på billigaste färdväg Vi skall resa från pnkt A till pnkt B i nedanstående schema, där vi skall välja en av flera möjliga resrtter så att resans totalkostnad minimeras. Kostnaderna för de möjliga delrtterna finns tmärkta i figren. Vilken väg skall vi välja från pnkt A till pnkt B? A Reglerteknik II illståndsmetoder 9 B. Dynamisk programmering Dynamisk programmering, tvecklad av Richard Bellman i sltet av 95-talet, är en optimeringsmetod som är speciellt lämplig för problem som kan ppdelas i en serie delproblem, som kan behandlas sekventiellt så att varje delproblem medför ett beslt dvs en styråtgärd. ypiska problemställningar är att bestämma billigaste vägen allokera resrser Dynamisk programmering bygger på optimalitetsprincipen: De optimala beslten styråtgärderna från och med ett godtyckligt steg i besltsprocessen dvs de efterföljande beslten får inte bero på hr tillståndet i detta steg ppnåtts. Vad betyder detta? Vi kan också formlera optimalitetsprincipen på följande sätt: Oberoende av vad vi gjort fram till steg n i besltsprocessen, skall vi i fortsättningen göra det som är optimalt för de efterföljande stegen i besltsprocessen. Denna princip har som följd att det ofta är fördelaktigt att beräkna den optimala strategin startande från sltändan av den sekventiella besltsprocessen. Reglerteknik II illståndsmetoder 9
2 . Dynamisk Programmering.. Öppen styrning tan.. Eempel på öppen styrning tan Ett dynamiskt system beskrivs av den tidsdiskreta ekvationen k k, Beräkna styråtgärderna, och som minimerar förlstfnktionen t dt då tillståndet t antas förändras linjärt med tiden mellan samplingspnkterna. Samplingsintervallet är h tidsenhet och inga eisterar för k Eftersom t förändras linjärt mellan samplingspnkterna gäller t k t k k, k t < k, k,, vilket gör att förlstfnktionen kan skrivas k d k k k k k k k k k [ t k ] t. Optimal styrning 5 k. Lösning genom ordinär optimering Eftersom styrsignalernas storlek i detta fall inte bidrar till förlstfnktionen kan man lika väl optimera direkt med avseende på, och och därefter beräkna de optimala styrsignalerna när de optimala tillstånden, och är kända. min där Vi skall alltså bestämma,, k k k k k Eftersom variablerna saknar gäller vid minimm,,. Dynamisk programmering 6.. Öppen styrning tan.. Öppen styrning tan Vi får,, dvs räknat från sltet samt Dynamisk programmering 5 6 min 8, Lösning genom dynamisk programmering Vi skriver förlstfnktionen som k, k k k k k k och börjar med att minimera det sista steget k samma som tidigare Därefter minimerar vi stegen k. Vi har med samma Alla steg med och ger 6 6 samma. Dynamisk programmering 8
3 .. Öppen styrning tan.. Öppen styrning tan Sboptimala lösningar På grnd av förlstfnktionens form k, k k k k k k ligger det nära till hand att minimera varje steg var för sig, dvs att minimera lokalt: k k k k k k k k k k som är fel lösning tom för sista steget k. Denna sboptimala lösning optimal i varje steg ger sb ,8 5 En dead-beat strategi, ger och dead,.. Dynamisk programmering 9 Kommentarer I detta mycket enkla fall var metoden med dynamisk programmering knappast enklare än ordinär optimering. Vi kan dock konstatera följande: Om antalet steg varit större hade det dock varit besvärligt att optimera globalt med avseende på alla optimeringsvariabler samtidigt. Vid användning av dynamisk programmering blir de enskilda stegen inte besvärligare. Om förlstfnktionen är mer komplicerad, inklderande t.e. styrsignaler, blir det också besvärligare att optimera globalt i ett steg. Vid användning av dynamisk programmering blir varje enskilt steg normalt inte nämnvärt svårare. Ifall man har på tillståndvariablerna tsignalerna och/eller styrsignalerna, blir traditionell optimering mycket besvärlig, kanske omöjlig. Begränsningar kan relativ enkelt beaktas vid dynamisk programmering då problemet löses stegvis. En nackdel med dynamisk programmering är det stora antal olika alternativ som måste sparas ifall man inte kan ttrycka sambanden analytiskt the crse of dimensionality.. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering.. Öppen styrning med.. Eempel på öppen styrning med Antag att styrsignalerna, och i det ovan behandlade eemplet endast kan anta jämna heltalsvärden. Då kan problemet i princip inte lösas analytiskt genom nollställning av partialderivator, varken genom ordinär optimering eller dynamisk programmering. En möjlighet är att avrnda den analytiska lösningens styrsignaler till närmaste jämna heltal, men det finns inget som garanterar att detta ger den optimala heltalslösningen. Det finns avancerade matematiska metoder för lösning av heltalsproblem som vi dock inte skall behandla här. En fördel med heltalsproblem är dock att det vanligtvis endast finns ett ändligt antal möjliga lösningar, vilket betyder att man i princip kan analysera alla tänkbara lösningar. Genom användning av dynamisk programmering, ev. kombinerad med någon fndamental analys av problemets natr och nödvändiga egenskaper för den optimala lösningen, kan man ofta lösa denna typ av problem förhållandevis enkelt. Eempel med Uppgiften är att minimera k, k k k k k k nder bivillkoren modellen k k, samt k {, ±, ±, }. Det är enkelt att övertyga sig om att för den optimala lösningen måste gälla, ifall k, att k < k samt att k och k inte har samma tecken eftersom k k < minimerar varje k jämfört med k k >. Man inser då, med hjälp av modellen, att de optimala styrsignalerna k och tillstånden k måste satisfiera {,, 6, 8, }, {,,, 6, 8}, {,,, 6} {,,, 6, 8}, {,,, 6}, {,, } Det vore möjligt att begränsa styrsignalerna ytterligare med en mer ingående inledande analys, vilket vi dock inte gör.. Optimal styrning. Dynamisk programmering
4 .. Öppen styrning med.. Öppen styrning med I stället tnyttjar vi dynamisk programmering för att hitta den sltliga lösningen. Med hjälp av modellen k k kan ttrycket för k skrivas k k k Steget k Eftersom gäller för lösningen av det obegränsade fallet, är det också en möjlig lösning i detta fall, ifall det finns en tillåten lösning som satisfierar sambandet. a Om {, }, fås, som är ett jämnt heltal. Bidraget till förlstfnktionen blir. är inte ett jämnt heltal. Närmast till hands ligger lösningarna ±, som är jämna heltal. Kontroll visar att både och ger samma bidrag. Inget annat tillåtet ger här ett mindre. b Om { }, 6. Dynamisk programmering Stegen k a Vi har {, }. Modellsambandet ger {, } och 5 6 Möjligheterna är i och ii som ger i och ii 8. Här är i bättre mindre om {,,, 6}, ii bättre om 8. b Vi har {, 6} och således {, 6} samt 5 6 Möjligheterna är i och ii 6 som ger i 8 och ii 6 6. Här är i bättre om <, dvs alltid. 6 är således inte en möjlig optimal lösning.. Dynamisk programmering.. Öppen styrning med.. Öppen styrning med Alla steg a i Vi har {,,, 6}. Sambandet då, {, 6, 8, } samt ger {,,, 6} och Minimm 88 fås för 8. a ii Här är 8. Sambandet samt ger och Detta fall är alltså sämre än a i Sambandet samt ger och b i Här är {,,, 6, 8} {,, 6, 8, } 9 Minimm fås för 6 och 8. Även detta är sämre än a i. Den optimala lösningen Den optimala lösningen är fall a i som för ger 88 9, med 8,,,, Obs att denna lösning med denna förlstfnktion är bättre än dead-beat strategin, som även satisfierar na k {, ±, ±, }.. Dynamisk programmering 5. Dynamisk programmering 6
5 . Dynamisk programmering.. Allmän formlering av lösning.. Allmän formlering av lösning med dynamisk programmering Sambandet mellan tillstånden k och k samt en styråtgärd k kan allmänt skrivas k fk, k,, där f k är en godtycklig fnktion, som inte behöver vara linjär och inte behöver vara densamma för alla k. Antag att man önskar styra systemet från tillståndet till N så att förlstfnktionen N g, k k k k minimeras. Här är g k en godtycklig fnktion som anger kostnaden att gå från tillståndet k till k med styrsignalen k. Om man inledningsvis har en kostnad g k som är beroende av tillståndet k, kan detta elimineras med hjälp av modellsambandet. Därmed kan slttillståndet N alltid elimineras från förlstfnktionen. Optimal styrning Låt k k beteckna kostnaden för den optimala vägen dvs den minimala kostnaden från tillståndet k till slttillståndet N. Då gäller ppenbarligen N N samt för sccessivt minskande k, k N,, : k min gk k k min gk k fk Minimering i varje steg enligt valfri metod, med beaktande av ev. ger en optimal styrsignal k som fnktion av k, betecknad * k k, matematiskt ttryckt: arg min gk k fk ill slt erhålles för k min och, som kan bestämmas då begynnelsetillståndet är känt. illståndet kan därefter beräknas enligt modellsam- bandet med, varefter kan bestämmas, osv * k och för alla k. Märk att beteckningarna här avviker från beteckningarna i de tidigare eemplen.. Dynamisk programmering 8. Optimal styrning. Maimmprincipen. Maimmprincipen Optimalitetsprincipen ger en strategi för att finna den optimala lösningen när ett problem kan delas pp i ett antal delsteg, som kan lösas sekventiellt. Detta förtsätter att också förlstfnktion kan ppdelas så, att en viss förlst är förknippad varje enskilt delsteg. Maimmprincipen ger villkor som den optimala lösningen bör ppfylla för mera allmänna optimeringsproblem, som inte nödvändigtvis kan ppdelas i ett antal delproblem som löses sekventiellt. Dessa villkor ger inte direkt den optimala lösningen, men de gör det vanligtvis möjligt att finna den. Benämningen maimmprincipen följer av att problemen tidigare formlerades som maimeringsproblem; nförtiden minimerar vi hellre. Principen benämnes ofta Pontryagins maimmprincip eller minimmprincip efter en av pphovsmännen. Maimmprincipen ger optimalitetsvillkor för generella styrproblem; ett antal viktiga specialfall inklderar var för sig stora klasser optimala styrproblem. Reglerteknik II illståndsmetoder Det optimala styrproblemet Det optimala styrproblemet kan i kontinerlig tid formleras på följande sätt: Minimera förlstfnktionen tf φ f, d..a t L t t t nder bivillkoren t f, t t..b t U, t tf..c, ψ tf..d Här är..b modellen för det dynamiska systemet,..c definierar ev. på de tillgängliga styrsignalerna,..d ger begynnelsetillstånd och ett ev. bivillkor relaterat till slttillståndet. Viktiga specialfall som förenklar lösningen fås när slttiden t f är given inga bivillkor ψ t f begränsar slttillståndet tf förlstfnktionen har speciellt enkel form. Optimal styrning
6 . Maimmprincipen.. Given slttid, obegränsat slttillstånd.. Given slttid, obegränsat slttillstånd I det fall, att slttiden t f är given och slttillståndet tf är obegränsat, bör den optimala lösningen t, t ppfylla följande villkor: där p p f..a min H, t, t H, t, t, t t t U H p,, L, p f,..b är den s.k. Hamiltonfnktionen och där p ppfyller den adjngerade ekvationen H, t, p t p t, t φ p tf tf..c Eempel.. Styrning i strömmande vatten. En båt med lägeskoordinaten, rör sig i ett område med varierande ström. Styrvariabeln är lika med båtens hastighet relativt vattnet i -riktning, styrvariabeln dess hastighet i -riktningen. Vattnets hastighet är v i -riktningen och i - riktningen. Båten startar i origo och man vill förflytta sig så långt som möjligt i -led på tidsenheter. Vilka är de optimala styråtgärderna då de är begränsade så att båtens fart relativt vattnet är konstant? Detta ger optimeringsproblemet min, nder bivillkoren v,,. Optimal styrning. Maimmprincipen.. Given slttid, obegränsat slttillstånd.. Given slttid, obegränsat slttillstånd Här är förlstfnktionens L, vilket ger v,,, H p p f p p v p De adjngerade ekvationerna blir H, t, p t p v p p t t t p t p v H, t, p t p v p t t φ p φ p Enligt..a skall styrsignalerna väljas som lösningen till p pv p U min H, t, t min p v p min p Man kan enkelt visa att p, p p satisfierar den optimala lösningen. Av ttrycken för de adjngerade ekvationerna följer p p t t t p t och p t p τ d τ p τ v τd τ v τdτ Om vattnets hastighet v t.e. varierar linjärt med, så att v k, fås med beaktande av p, att p t k t p. Maimmprincipen. Maimmprincipen
7 . Maimmprincipen.. Minimaltidsproblem.. Minimaltidsproblem I ett minimaltidsproblem vill man genom styråtgärder minimera den tid det tar att från ett givet tgångstillstånd ppnå ett visst slttillstånd. I detta fall blir förlstfnktionen så enkel som tf d t t f vilket i de tidigare ttrycken motsvaras av φ tf och L t, t. I detta fall eisterar alltid ett villkor ψ t f, som slttillståndet bör satisfiera. För ett linjärt system begränsat av t A t B t ma i i t, i,,dim, ψ t f kan man visa att den optimala styrstrategin i allmänhet har formen ma i, t i ma i t p b < sign ma i p t bi i, p t bi > där b i är i :te kolonnen av B och p t är en lösning till den adjngerade ekvationen. Fnktionen sign p t b i ± byter tecken vi något visst värde på t, som beror av systemet och de gällande na. Denna typ av styrning kallas bang-bang-styrning. Allmänt kan man säga att en styrsignal, som alltid antar sitt största eller minsta värde med ändligt många välingar däremellan, är av bang-bang typ. Dead-beat-reglering, som egentligen är lösningen till ett minimaltidsproblem, leder vanligtvis till bang-bang-reglering.. Optimal styrning 5. Maimmprincipen 6
4. Optimal styrning. 4. Optimal styrning. Vad är optimal styrning?
reglerteni Reglerteni II / KEH. Optimal styrning. Optimal styrning Vad är optimal styrning? I allmänna termer an reglertenisa problem formleras på följande sätt: Välj styrsignaler så att systemet beter
Läs merDynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering. Dynamisk programmering
Betrakta ett lagerhållningsproblem i flera tidsperioder. Vi har tillverkning och försäljning av produkter i varje tidsperiod. Dessutom kan vi lagra produkter mellan tidsperioder, för att utnyttja stordriftsfördelar
Läs merLinjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin
Linjärprogramming EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin 1 Kursmål Formulera korttidsplaneringsproblem för vatten- och värmekraftsystem. 2 Tillämpad matematisk programming Korttidsplanering
Läs merOptimeringslara = matematik som syftar till att analysera och. Optimeringslara ar en gren av den tillampade matematiken.
Optimal = basta mojliga. Optimeringslara = matematik som syftar till att analysera och nna det basta mojliga. Anvands oftast till att nna ett basta handlingsalternativ i tekniska och ekonomiska beslutsproblem.
Läs mer3. Matematisk modellering
3. Matematisk modellering 3. Modelleringsprinciper 3.. Modelltyper För att knna göra design och analys av reglersystem behöver man en matematisk modell, som beskriver systemets dynamiska beteende. Vi kan
Läs merVEKTORRUMMET R n. 1. Introduktion
VEKTORRUMMET R n RYSZARD RUBINSZTEIN 28--8. Introdktion Låt n vara ett heltal. Med R n kommer vi att beteckna mängden vars element är alla n-tipplar av reella tal (a, a 2,..., a n ), R n = { (a, a 2,...,
Läs mer1 Duala problem vid linjär optimering
Krister Svanberg, april 2012 1 Duala problem vid linjär optimering Detta kapitel handlar om två centrala teoretiska resultat för LP, nämligen dualitetssatsen och komplementaritetssatsen. Först måste vi
Läs merTNK049 Optimeringslära
TNK049 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 9 Icke-linjär optimering Konveitet Metoder ör problem utan bivillkor Optimalitetsvillkor ör icke-linjära problem Icke-linjär programmering Non-linear
Läs merOptimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition
Optimum? När man har formulerat sin optimeringsmodell vill man lösa den Dvs finna en optimal lösning, x, till modellen Nästan alltid: Sökmetoder: Stå i en punkt, gå till en annan (bättre Upprepa, tills
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merTAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.
Läs merStyrsignalsfördelning hos system med redundanta aktuatorer
Styrsignalsfördelning hos system med redndanta aktatorer Linköpings Tekniska Högskola Tillämpningar Styrsignalsfördelning (eng. control allocation) Hr Hr ska ska den den önskade totala styrerkan fördelas
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 11
Föreläsningar / 5 TSRT9 Reglerteknik: Föreläsning Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet.
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs merTAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP61/TEN 1 OPTIMERING AV REALISTISKA SAMMANSATTA SYSTEM Datum: 19 april 2017 Tid: 14.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteraturen: Kaj Holmberg:
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merOptimering, exempel. Funktionens enda stationära punkt är alltså origo. Den ligger också i det inre av mängden.
Optimering, exempel Exempel 1 (optimering över kompakt mängd) Bestäm största och minsta värdet till funktionen f(x,y) = x 4 + y 4 + 4x 2 + 16 i cirkelskivan {x 2 + y 2 4}. Lösning: Cirkelskivan är kompakt
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs merFöreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor
Föreläsning 7: Kvadratisk optimering 1. Kvadratisk optimering utan bivillkor 2. Positivt definita och semidefinita matriser 3. LDL T faktorisering 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor 5. Minsta
Läs merKortsiktig produktionsplanering med hjälp av olinjär programmering
Kortsiktig produktionsplanering med hjälp av olinjär programmering S. Velut, P-O. Larsson, J. Windahl Modelon AB K. Boman, L. Saarinen Vattenfall AB 1 Kortsiktig produktionsplanering Introduktion Optimeringsmetod
Läs merLösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT19)
Lösningsförslag till tentamen i Reglerteknik (TSRT9) 26-3-6. (a) Systemet är stabilt och linjärt. Därmed kan principen sinus in, sinus ut tillämpas. Givet insignalen u(t) sin (t) sin ( t) har vi G(i )
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 6
TNSL05 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 6 Agenda Kursens status Tolkning av utdata Intro lösningsmetoder Linjära optimeringsproblem (LP) på standardform Algebraisk formulering av LP Konveitet
Läs merFöreläsning 6: Nätverksoptimering
Föreläsning 6: Nätverksoptimering. Minkostnadsflödesproblem i nätverk.. Modellering och grafteori.. Simplexmetoden. Föreläsning 6 - Ulf Jönsson & Per Enqvist Nätverksoptimering Minkostnadsflödesproblem
Läs merReglerteori. Föreläsning 11. Torkel Glad
Reglerteori. Föreläsning 11 Torkel Glad Föreläsning 11 Torkel Glad Februari 2018 2 Sammanfattning av föreläsning 10. Fasplan Linjärisering av ẋ = f(x) kring jämviktspunkt x o, (f(x o ) = 0) f 1 x 1...
Läs merDatorsimuleringsuppgift i Mekanik I del 2, Ht Stela Kroppens Dynamik (TMME18) Rulle på Cylinder. Deadline för inlämning: , kl 15.
(6) Bakgrnd Datorsimleringsppgift i Mekanik I del, Ht 0 Stela Kroppens Dynamik (TMME8) Rlle på Cylinder Deadline för inlämning: 0--09, kl 5.00 I ppgiften skall d ställa pp rörelseekvationerna för ett mekaniskt
Läs merOptimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden?
Optimering och simulering: Hur fungerar det och vad är skillnaden? Anders Peterson, Linköpings universitet Andreas Tapani, VTI med inspel från Sara Gestrelius, RIS-SIS n titt i KAJTs verktygslåda Agenda
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller
Läs merREPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN
REPETITION (OCH LITE NYTT) AV REGLERTEKNIKEN Automatisk styra processer. Generell metodik Bengt Carlsson Huvudantagande: Processen kan påverkas med en styrsignal (insignal). Normalt behöver man kunna mäta
Läs merArmin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ABSOLUTBELOPP Några eempel som du har gjort i gymnasieskolan: a) b) c) 5 5 Alltså et av ett tal är lika med själva talet om talet är positivt eller lika med et av är lika med det motsatta talet om är negativt
Läs mer1 Ickelinjär optimering under bivillkor
Krister Svanberg, maj 2012 1 Ickelinjär optimering under bivillkor Hittills har vi behandlat optimeringsproblem där alla variabler x j kunnat röra sig fritt, oberoende av varann, och anta hur stora eller
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken
Läs merLinjära ekvationer med tillämpningar
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel
Läs mer1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden
Krister Svanberg, mars 202 LP-problem på standardform och Simplexmetoden I detta avsnitt utgår vi från LP-formuleringen (2.2) från föreläsning. Denna form är den bäst lämpade för en strömlinjeformad implementering
Läs merTentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl
1 Matematiska Institutionen KTH Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl 14.00-19.00. Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna
Läs mer1. Vad är optimering?
. Vad är optimering? Man vill hitta ett optimum, när något är bäst, men att definiera vad som är bäst är inte alltid så självklart. För att kunna jämföra olika fall samt avgöra vad som är bäst måste man
Läs merSpeciell användning av heltalsvariabler. Heltalsprogrammering. Antingen-eller-villkor: Exempel. Speciell användning av heltalsvariabler
Heltalsprogrammering Speciell användning av heltalsvariabler max z = då c j x j j= a ij x j b i j= x j 0 x j heltal i =,..., m j =,..., n j =,..., n ofta x j u j j =,..., n Oftast c, A, b heltal. Ibland
Läs merFöreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer
Föreläsning 11, Dimensionering av tidsdiskreta regulatorer KTH 8 februari 2011 1 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4 5 6 2 / 28 Innehåll 1 Kapitel 19.2. Polplaceringsmetoden 2 3 4
Läs merDe optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera
Krister Svanberg, mars 2012 1 Introduktion De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas på följande allmänna form: f(x) (1.1) x F, där x = (x 1,..., x n ) T
Läs merPrestanda och skalbarhet
Prestanda och skalbarhet Grama et al. Introduction to Parallel Computing Kapitel 5 Erik Elmroth Översikt 2 Exekveringstid Uppsnabbning Effektivitet Kostnad Kostnadsoptimal algoritm Ahmdals lag Gustafson-Barsis
Läs mer1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper
Krister Svanberg, april 2012 1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper Ett optimeringsproblem är i viss mening godartat om det tillåtna området är en konvex mängd och den målfunktion som ska
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS Datum: augusti 0 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED MILJÖTILLÄMPNINGAR för IT Datum: 16 mars 010 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kaj Holmberg: Kombinatorisk
Läs merIntroduktion till statistik för statsvetare
och enkäter "Det finns inget så praktiskt som en bra teori" September 2011 och enkäter Inledning Inledning Om vi vill mäta en egenskap hos en population individer (individer kan vara personer, företag
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mer1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor
Krister Svanberg, april 0 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor I detta kapitel behandlas följande kvadratiska optimeringsproblem under linjära likhetsbivillkor: xt Hx + c T x + c 0 då Ax
Läs merGemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism. Inledning. Fysikalisk bakgrund
Gemensamt projekt: Matematik, Beräkningsvetenskap, Elektromagnetism En civilingenjör ska kunna idealisera ett givet verkligt problem, göra en adekvat fysikalisk modell och behandla modellen med matematiska
Läs merR LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Begynnelsevärdesproblem Enkla DE ALLMÄN LÖSNING PARTIKULÄR LÖSNING SINGULÄR R LÖSNINGG BEGYNNELSEVÄRDESPROBLEM (BVP) Låt ( n) F(,,,, y ( )) vara en ordinär DE av
Läs merHögre ordnings ekvationer och system av 1:a ordningen
Institutionen för matematik, KTH 05020 Tillägg för 5B209/HT05/E.P. Högre ordnings ekvationer och system av :a ordningen Vi har hittills lärt oss lösa linjära ekvationer med konstanta koefficienter och
Läs merOptimeringslära 2013-11-01 Kaj Holmberg
Tekniska Högskolan i Linköping Optimering för ingenjörer Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 23-- Kaj Holmberg Uppgift a: Problemet skrivet i standardform är: Lösningar min
Läs merTSIU61: Reglerteknik. Matematiska modeller Laplacetransformen. Gustaf Hendeby.
TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 2 Matematiska modeller Laplacetransformen Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se TSIU61 Föreläsning 2 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 21 Innehåll föreläsning 2 ˆ Sammanfattning
Läs merVälkomna till Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs mer= 0 vara en given ekvation där F ( x,
DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering
Läs mer8.3 Variabeltransformationer Frånkoppling. Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen (8.3.1)
8.3 Variabeltransformationer Betrakta ett 2x2-system, som beskrivs med modellen y () s G () s G () s u () s 1 11 12 1 y2() s = G21() s G22() s u2() s (8.3.1) Figuren till höger visar ett blockschema över
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för EMM Datum: 2 augusti 2011 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merVälkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2
Välkomna till TSRT15 Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av föreläsning 1 Lösningar till differentialekvationer Karakteristiska ekvationen Laplacetransformer Överföringsfunktioner Poler Stegsvarsspecifikationer
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren
Läs merN = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.
Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar
Läs merReglerteknik Z / Bt/I/Kf/F
Reglerteknik Z / Bt/I/Kf/F Kurskod: SSY 050, ERE 080, ERE 091 Tentamen 2007-05-29 Tid: 8:30-12:30, Lokal: M-huset Lärare: Knut Åkesson tel 3717, 0701-74 95 25 Tentamen omfattar 25 poäng, där betyg tre
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merTAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C. Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C Datum: 1 januari 01 Tid: 8.00-1.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering
Läs merReglerteknik I: F1. Introduktion. Dave Zachariah. Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik
Reglerteknik I: F1 Introduktion Dave Zachariah Inst. Informationsteknologi, Avd. Systemteknik 1 / 14 Vad är reglerteknik? Läran om dynamiska system och deras styrning. System = Process = Ett objekt vars
Läs mer= = i K = 0, K =
ösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633, Differentialekvationer I Tisdagen den 14 augusti 212, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs mer7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden
Nr 7, 1 mars -5, Amelia 7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden Största och minsta värden handlar om en funktions värdemängd. Värdemängden ligger givetvis mellan det största och minsta värdet,
Läs merz = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet
Bendersdekomposition Blandade heltalsproblem med ett stort antal kontinuerliga variabler och få heltalsvariabler. Mycket lättare att lösa om heltalsvariablerna fixeras. Bendersdekomposition (primal dekomposition)
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg
Läs merExempel: reglering av en plattreaktor. Varför systemteknik/processreglering? Blockdiagram. Blockdiagram för en (del)process. Exempel: tankprocess
Systemteknik/reglering Föreläsning Vad är systemteknik oc reglerteknik? Blockdiagram Styrstrategier Öppen styrning, framkoppling Sluten styrning, återkoppling PID-reglering Läsanvisning: Control:..3 Vad
Läs merlim 1 x 2 lim lim x x2 = lim
Moment 8.-8. Viktiga eempel 8.,8.4-6,8.8,8.-,8.5,8.0 Övningsuppgifter Ö8.a, Ö8.cdef,Ö8.a,e,f, Ö8.4cde, Ö8.5d, Ö8.0- Gränsvärden Definition. Funktionen f har gränsvärdet G då går mot om vi kan få f) att
Läs mer1 x dx Eftersom integrationskonstanten i (3) är irrelevant, kan vi använda oss av 1/x som integrerande faktor. Låt oss beräkna
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 30 maj 20, kl 8:00 3:00 Svar, uppgift : i sant, ii sant, iii falskt, iv sant, v falskt, vi sant,
Läs merd dx xy ( ) = y 2 x, som uppfyller villkoret y(1) = 1. x, 0 x<1, y(0) = 0. Bestäm även y( 2)., y(0) = 0 har entydig lösning.
Bestäm den lösning till differentialekvationen Ange även lösningens eistensintervall SF6 Differentialekvationer I MODULUPPGIFTER Första ordningens differentialekvationer med modeller d d y ( ) = y 2, som
Läs merP Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R
1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 28 augusti 2015 Tid: 1.00-19.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merTATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar
TATA42: Föreläsning 2 Tillämpningar av Maclaurinutvecklingar Johan Thim 24 mars 29 Entydighet Om vi har ett polynom som approimerar en snäll funktion bra, kan vi då vara säkra på att koefficienterna i
Läs merKurser inom profilen Teknisk matematik (Y)
Kurser inom profilen Teknisk matematik (Y) Kurser i Optimeringslära Obligatorisk TAOP24 Optimeringslära fortsättningskurs Y Valbara TAOP04 Matematisk optimering TAOP34 Optimering av stora system TAOP87
Läs merREGLERTEKNIK Laboration 5
6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum,
Läs merHemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10
Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-1 Kursansvarig: Per Enqvist, tel: 79 6298, penqvist@math.kth.se. Assistenter: Mikael Fallgren, werty@kth.se, Amol Sasane, sasane@math.kth.se. I denna uppgift
Läs merLösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF1610 och 5B1118, torsdagen den 21 oktober 2010, kl
Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF6 och 5B8, torsdagen den 2 oktober 2, kl 4-9 Examinator: Olof Heden Hjälpmedel: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen
Läs merLite Kommentarer om Gränsvärden
Lite Kommentarer om Gränsvärden På föreläsningen (Föreläsning 2 för att vara eakt) så introducerade vi denitionen Denition. Vi säger att f() går mot a då går mot oändligheten, uttryckt i symboler som f()
Läs merFöreläsning 13: Multipel Regression
Föreläsning 13: Multipel Regression Matematisk statistik Chalmers University of Technology Oktober 9, 2017 Enkel linjär regression Vi har gjort mätningar av en responsvariabel Y för fixerade värden på
Läs merTNSL05 Optimering, Modellering och Planering. Föreläsning 5
TNSL5 Optimering, Modellering och Planering Föreläsning 5 Dagordning Kort repetition Graf/nätverk: Begrepp Representation Exempel: Minkostnadsflödeproblem Billigastevägproblem 28--5 4 Hittills Föreläsning
Läs merAtt använda el. Ellära och Elektronik Moment DC-nät Föreläsning 3. Effekt och Anpassning Superposition Nodanalys och Slinganalys.
llära och lektronik Moment DC-nät Föreläsning ffekt och Anpassning Superposition Nodanalys och Slinganalys Copyright 8 Börje Norlin Att använda el Sverige Fas: svart Nolla: blå Jord: gröngul Copyright
Läs merDigital- och datorteknik
Digital- och datorteknik Föreläsning #3 Biträdande professor Jan Jonsson Instittionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Från data till digitala byggblock: Krsens inledande föreläsningarna
Läs merEllära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 4
Ellära och Elektronik Moment AC-nät Föreläsning 4 Kapacitans och Indktans Uppladdning av en kondensator Medelvärde och Effektivvärde Sinsvåg över kondensator och spole Copyright 8 Börje Norlin Kondensatorer
Läs mer2. Reglertekniska grunder
2.1 Signaler och system 2.1 Signaler och system Ett system växelverkar med sin omgivning via insignaler, som påverkar systemets beteende utsignaler, som beskriver dess beteende Beroende på sammanhanget
Läs merLaplacetransform, poler och nollställen
Innehåll föreläsning 2 2 Reglerteknik, föreläsning 2 Laplacetransform, poler och nollställen Fredrik Lindsten fredrik.lindsten@liu.se Kontor 2A:521, Hus B, Reglerteknik Institutionen för systemteknik (ISY)
Läs merx f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a
Elementa Årgång 50, 967 Årgång 50, 967 Första häftet 2603. Låt ξ, ξ 2,..., ξ n vara stokastiska variabler med väntevärden E[ξ i ], i =, 2,..., n. Visa att E[max(ξ, ξ 2,..., ξ n )] max(e[ξ ], E[ξ 2 ],...,
Läs merNågra satser ur talteorin
Några satser ur talteorin LCB 997/2000 Fermats, Eulers och Wilsons satser Vi skall studera några klassiska satser i talteori, vilka är av betydelse bland annat i kodningsteknik och kryptoteknik. De kan
Läs merTentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER för M/EMM Datum: oktober 0 Tid:.00-9.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar
Läs merKort introduktion till Reglerteknik I
Kort introduktion till Reglerteknik I Vad är reglerteknik? Läran om dynamiska system och deras styrning. System = Process = Ett objekt vars egenskaper vi vill studera/styra. Vi betraktar system som har
Läs merTAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER
Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP/TEN OPTIMERING FÖR INGENJÖRER Datum: 2 maj 20 Tid:.00-.00 Hjälpmedel: Miniräknare Kurslitteratur: Kaj Holmberg: Optimering Anteckningar i boken får
Läs mertentaplugg.nu av studenter för studenter
tentaplugg.nu av studenter för studenter Kurskod T0002N Kursnamn Logistik 1 Datum 2012-10-26 Material Fördjupningsuppgift Kursexaminator Betygsgränser Tentamenspoäng Övrig kommentar Försättsblad inlämningsuppgift
Läs merAndra föreläsningen kapitel 7. Patrik Lundström
Andra föreläsningen kapitel 7 Patrik Lundström Kvantisering i klassisk fysik: Uppkomst av heltalskvanttal För att en stående våg i en ring inte ska släcka ut sig själv krävs att den är tillbaka som den
Läs mer8 Minsta kvadratmetoden
Nr, april -, Amelia Minsta kvadratmetoden. Ekvationssystem med en lösning, -fallet Ett linjärt ekvationssystem, som ½ +7y = y = har en entydig lösning om koefficientdeterminanten, här 7, är skild från
Läs merSvar till S-uppgifter Endimensionell Analys för I och L
Svar till S-uppgifter Endimensionell Anals för I och L S a) ja, ja, ja, nej, ja S4 N = A(I σ MZ), Z = I (σ A N), A = I MA S5 Du har väl inte verkligen multiplicerat ut alla termer? a) resp. b) 4 resp.
Läs mer