Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler GENERALISERADE INTEGRALER När vi definierr Riemnnintegrl f ( ) d ntr vi tt följnde två krv är uppfylld: V. Intervllet [,] är ändligt, dvs gränsern, är reell tl och INTE ±. V. Funktionen f () är egränsd i intervllet [,]. Definition. Om minst en v ovnstående villkor V, V inte är uppfylld säger vi tt integrlen f ( ) d är en generliserd integrl. Viktig generliserde integrler. d konvergerr om och endst om p > p. d konvergerr om och endst om p < p. Generliserde integrler med oändligt integrtionsintervll: f ( ) d, f ( ) d och f ( ) d. * Vi definierr När vi eräknr f ( ) d med hjälp v gränsvärdet lim f ( ) d. lim f ( ) d kn tre fll förekomm: i) lim f ( ) d A, där A är ett reellt tl. I dett fll säger vi tt integrlen konvergerr, hr värdet A, och skriver f ( ) d A ii) iii) lim f ( ) d (eller ). Vi säger tt integrlen divergerr. lim f ( ) d eisterr inte. Vi säger tt integrlen divergerr. v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ** På liknnde sätt definiers f ( ) d smt konvergensen / divergensen v denn integrl. *** Vi säger tt f ( ) d konvergerr om och endst om åde f ( ) d konvergerr. Stser om konvergent integrler: Jämförelsestsen för icke-negtiv integrnder. Om f ( ) g( ) för ll då gäller och f ( ) d ( ) d g( d och därför f ) f ( ) d g ( ) d. Följnde sts nvänder vi oft för tt evis tt en generliserde integrl konvergerr/ divergerr utn tt eräkn integrlens värde: Sts. Jämförelsestsen för positiv integrnden. i) Låt f ( ) g( ) för ll. Om den generliserde integrlen g ( ) d är konvergent så är f ( ) d också konvergent. ii) Låt g( ) f ( ) för ll. Om den generliserde integrlen g ( ) d är divergent så är f ( ) d också divergent. Sts. ( Andr jämförelsestsen) Låt f () och g() två egränsde, icke-negtiv funktioner för. f ( ) Om lim A > g( ) ( A är ett reellt tl > ). Då är integrler f ( ) d och g ( ) d ntingen åd konvergent eller åd divergent. v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Liknnde stser gäller för generliserde integrlen intervllet [,]. f ( ) d om funktionen är oegränsd i Sts. Jämförelsestsen för positiv integrnden. Låt f ( ) g( ) för ll i intervllet (, ) i) Om den generliserde integrlen g ( ) d är konvergent så är konvergent. f ( ) d också ii) Om den generliserde integrlen f ( ) d är divergent så är g ( ) d också divergent. Sts. ( Andr jämförelsestsen) Ant tt f () och g() är egränsde i intervllet [c,] där < c medn f () och g () då. f ( ) Om lim A > g( ) ( A är ett reellt tl > ). Då är integrler f ( ) d och g ( ) d ntingen åd konvergent eller åd divergent. ÖVNINGAR: Uppgift. Undersök om följnde integrler är konvergent och nge i så fll ders värden. ) e d ) d c) d d) cos( ) d ) e e e d. v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler e lim Integrlen konvergerr och hr värdet e d. ) d då Integrlen konvergerr och hr värdet d. c) d 8 8 d lim Integrlen divergerr. d) sin() sin( ) cos() d sin( ) lim eisterr inte. Därmed integrlen cos( ) d divergerr. Uppgift. Undersök om följnde integrler är konvergent och nge i så fll ders värden. ). d Lösning. ) d, c).8 d ).. d.... då Integrlen är konvergent och hr värdet d.. v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler d ln ln( ) ln ) [ ] då Integrlen d är divergent c).8 d.... [ ] då integrlen divergerr. Anmärkning. Mn kn generliser ovnstående uppgift till följnde viktig resultt (som vi oft nvänder i smnd med nednstående jämförelsests) konvergerr om p > d p divergerr om p --------------------------------------------------------------------------------------- Om funktionen f ( ) för då är ren v det oändlig området R {(, y) :, y < f ( )} lik med f ( ) d. Uppgift. eräkn ren v området R {(, y) : <, y < f ( )} då Svr: ) R {(, y) : <, y < } ) R {(, y) : < <, y < } rctn c) R {(, y) : <, y < } d) R {(, y) : <, y < } ) Aren d [ rctn ] lim[ rctn rctn ] ) π π v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Aren π d π d d c) Ledning : Med hjälp v sustitutionen rctn t d dt rctn får vi d (rctn ). rctn Aren d [(rctn ) ] d ln d) Aren [ ]. π Trots tt vi inte kn eräkn ekt värde v en generliserd integrl är det oft intressnt tt undersök om en integrlen konvergerr eller divergerr. Uppgift. Vis med hjälp v jämförelsestsen tt följnde integrler konvergerr. ) d ) e d c) d ln Lösning ) Eftersom i) e e för > 6 v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ii)integrlen, med den större integrnden, d konvergerr (, eräkn integrlen e själv), iii) åd integrnder är positiv för >, hr vi enligt jämförelsestsen tt ( den mindre integrlen) d också e konvergerr. ) Eftersom i) < för, ii) ( den större integrlen) d konvergerr ( eräknintegrlen själv) iii) åd integrnder är positiv för, hr vi enligt jämförelsestsen tt ( den mindre integrlen) d också konvergerr. c) d ln Integrnden är positiv eftersom > ln ( och ln < ) för > och därmed ln > > om > ( vi hr ). Uppskttningen lir svårre på grund v differensen i nämnren. I nämnren dominerr som tyder på tt integrlen konvergerr. Men en direkt jämförelse med den konvergent integrlen d går ej eftersom > för >. ln [ För tt vis konvergensen v funktion () g, dvs f ( ) g( ) f ( ) d med jämförelsestsen måste vi finn en större, sådn tt g ( ) d konvergerr.] k k Därför sk vi välj ett liknnde funktion, men sådn tt ln för stor k. Vi skriver om Integrnden ( ryter ut dominernde term) 7 v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ln ln för stor, dvs för ll större än något. [ Förklring: ln då och därför är uttrycket mindre än för stor.] Nu hr vi ln för >, Integrlen >). d konvergerr så är d också konvergent ( för någon ln Därmed är d d d konvergent. ln ln ln ( Lägg märke till tt den först integrlen d ln Riemnnintegrl.). är en vnlig Uppgift. Vis med hjälp v jämförelsestsen tt följnde integrl divergerr. d ln ) d ln Lösning. ) d ln Eftersom i) ln för > ii) integrlen ( med mindre integrnden) d ln( ) divergerr, iii) åd integrnder är positiv för >, 8 v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler hr vi enligt jämförelsestsen tt integrlen (med större integrnden) d ln också divergerr ( d v s d ) ln ) ln d Vi etecknr f ( ) ln och gör en kvlificerd gissning om konvergensen. Eftersom där går mot då ser vi tt, för ln ln ln stor, ( dvs då ) är integrnden ekvivlent med. ln Därför påstår vi tt integrlen divergerr och nvänder jämförelsestsen tt evis dett. Direkt jämförelse med går ej eftersom f(). Vi måste finn en icke-negtivfunktion g() f() men sådn tt g ( ) d. Eftersom går mot då hr vi tt det finns ett stort tl så tt ln > om. ln Därför ln ln om. Vi hr > ln för och d dvs divergerr. Enligt jämförelsestsen är d ln ( divergent). 9 v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Härv d d d dvs divergerr. ln ln ln (Noter tt den först integrlen d ln är en vnlig Riemnnintegrl.) Uppgift. estäm om följnde integrl konvergerr eller divergerr. ) Lösning. d ) d Först måste vi gör en kvlificerd gissning om integrler konvergerr eller divergerr. Därefter kn vi nvänd jämförelse kriterium och evis vårt påstående. För stor etrktr vi dominerde termer i täljre och nämnre. Integrnden är, för stor, ekvivlent med. Eftersom d är konvergent påstår vi tt evisr med hjälp v jämförelse stsen. d också konvergerr, som vi Vi hr tt ) i) åd integrnder är positiv i intervllet [, ) ii) i intervllet [, ) iii) och integrlen ( med större integrnden d konvergerr. Därför, enligt jämförelsestsen, är integrlen d också konvergent. För stor etrktr vi dominerde termer i täljre och nämnre. Integrnden är, för stor, ekvivlent med. v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Eftersom d med hjälp v jämförelse stsen. är divergent påstår vi tt d också divergerr, som vi evisr Först finner vi en funktion g() som är, för stor, mindre än f ( ). Eftersom f ( ), och uttrycket då hr vi tt och därmed f ( ) för stor, säg >. Eftersom divergent. d divergerr hr vi, enligt jämförelsestsen tt d är också Därmed divergerr integrl över hel intervllet [, ), d d d. Vi smmnftt ovnstående metoder i följnde sts som är (i mång fll) ett enkelt sätt tt estämm om en integrl konvergerr eller divergerr : Uppgift. ) evis nednstående sts. Sts. ( finns ej i kursoken) Låt f () och g() två egränsde, icke-negtiv funktioner för. f ( ) Om lim A > g( ) ( A är ett reellt tl > ). v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Då är integrler f ( ) d och g ( ) d ntingen åd konvergent eller åd divergent. ) Använd sts för tt estämm om följnde integrl konvergerr eller divergerr.. d. d. e e d evis. Eftersom lim f ( ) g( ) A kn vi för ett godtyckligt positivt tl ε > välj så tt för > f ( ) A ε < < A ε, som medför g( ) ( A ε ) g( ) < f ( ) < ( A ε ) g( ). Om vi nu väljer ε A, då hr vi A A g( ) < f ( ) < g( ), för >. i) Om g ( ) d konvergerr ( därmed konvergerr g ( ) d ) hr vi från olikheten A f ( ) < g( ) och jämförelsestsen tt f ( ) d och därmed f ( ) d också konvergerr. ii) Om A g ( ) d divergerr hr vi från olikheten g( ) < f ( ) tt f ( ) d också divergerr. f ( ) d och därmed Alltså vi hr evist tt, under förutsättningr i sts, integrlern är ntingen åd konvergent eller åd divergent.. Låt f ( ), vi väljer g ( ). v f ( ) d och g ( ) d
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler f ( ) Då hr vi lim > g( ) Dessutom g ( ) d Enligt sts konvergerr också. d, där åde () d konvergerr. f och g () är positiv i [,] f ( ) d d. Låt f ( ), vi väljer g( ). f ( ) Då hr vi lim > g( ) dessutom g ( ) d, där åde () d divergerr. Enligt sts divergerr också f och g () är positiv i [,) och f ( ) d d. f ( ). Integrlen konvergerr. (Tipps om g( ) så är e lim > g( ) ) v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler. Generliserde integrler med en oegränsd integrnd: * Vi etrktr f ( ) d där f () är oegränsd i ändpunkten ( mer precis, f () oegränsd vrje omgivning ( ε, ) ). är Vidre ntr vi tt integrlen Vi definierr f ( ) d eisterr för ll där < < f ( ) d med hjälp v gränsvärdet lim f ( ) d. När vi eräknr lim f ( ) d kn tre fll förekomm: i) lim f ( ) d A, där A är ett reellt tl. I dett fll säger vi tt integrlen konvergerr, hr värdet A, och skriver f ( ) d A ii) iii) lim f ( ) d (eller ). Vi säger tt integrlen divergerr. lim f ( ) d eisterr inte. Vi säger tt integrlen divergerr. ** På liknnde sätt, med hjälp v lim f ( ) d, definiers konvergensen / divergensen v denn integrl om integrnden f () ändpunkten. *** Om f () f ( ) d smt är oegränsd i är oegränsd i en punkt c som ligger melln och då är c konvergent om och endst om åde f ( ) d och c f ( ) d f ( ) d konvergerr; i dett fll v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler c f ( ) d f ( ) d c f ( ) d. Uppgift. i) Förklr vrför följnde integrler är generliserde och ii) estäm om integrlern är konvergent. ) / d ) d c) ( ) / d d) / d Lösning: ) i) / d är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd inom intervllet [,]. { Integrnden om / } ii) / / / / d [ ] [ ] / / om. Därmed konvergerr integrlen och hr värde / d /. ) i) d är en generliserd integrl eftersom integrnden [,]. { Integrnden om } är oegränsd i intervllet v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ii) d [ ] [ ] 8 om. Integrlen divergerr. c) i) ( ) / d intervllet [,]. { Integrnden är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd i ( ) / om } ii) Svr: Integrlen konvergerr, d. / ( ) d) / d intervllet [,]. { Integrnden är en generliserd integrl eftersom integrnden är oegränsd i / om } ii) Från f ( ) / ( ) ( ) / / < < hr vi 6 v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler / [ ( ) ] d / d / ( ) / [ ( ) ] d / d / ( ). Alltså, åd integrler hr värdet f ( ) d, f ( ) d konvergerr, därmed konvergerr f ( ) d och f ( ) d f ( ) d f ( ) d Uppgift 6. Vis tt d konvergerr om och endst om p <. p Lösning: ) Om p< hr vi p p d p ( där eponenten -p >) p p p går mot p då. Därmed konvergerr integrlen om p <. ) ) Om p hr vi d [ ln ] ln ln går mot då. Därmed divergerr integrlen om p. c) Om p > hr vi p p d p ( där eponenten -p <) ( p) p ( p) p p går mot då. Därmed divergerr integrlen om p>. 7 v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler Vi hr därmed vist tt d konvergerr om och endst om p <. p Anmärkning. Ovnstående integrl nvänds oftst vid tillämpning v jämförelsestsen. Uppgift 7. estäm om nednstående generliserde integrler konvergerr eller divergerr. ) / d ) / d / c) / d Lösning: ). Eftersom < i intervllet (,) och / /. integrlen / d konvergerr. Därför, enligt jämförelsestsen, konvergerr också / d. / / ) Svr. Integrlen divergerr (Ledning: ) / c) För tt gör en kvlificerd gissning ryter vi ut potenser med minst eponenter i täljren och nämnren ( dominernde termer då går mot ) och förkortr råket: / / / / / / / / / / Eftersom / går mot då går mot hr vi tt / integrnden / är ekvivlent med / om är när. / Därför påstår vi tt / d konvergerr ( ty / d konvergerr) Vi kn nu nvänd jämförelse stsen ( i ett intervll när ) och evis påstående: 8 v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler / Eftersom / går mot då går mot hr vi tt utrycket är mindre än / i ett Intervll (, c] och därmed / / / / / / c Eftersom konvergerr. / d / / konvergerr hr vi, enligt jämförelse stsen, tt / c d också Därför är / / d c d / / / c / d konvergent. ( Lägg märke till tt ndr integrlen är INTE generliserd utn en vnlig Riemnnintegrl). lndde eempel. Uppgift 8. Nednstående integrler är generliserde på två sätt. Integrtionens intervll är oändligt och. Integrnden är oegränsd ( går mot då går mot ). estäm om integrlern konvergerr. ) / d ) d c) / d d) e d Lösning. )För tt estämm om I / d konvergerr etrktr vi integrlern I / d och I / d. ( Noter tt integrlen I konvergerr endst om åde I och I konvergerr. ) Integrl I / d divergerr ( integrl d p divergerr om p ). Därmed I / d också divergerr. 9 v
Armin Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Generliserde integrler ) d divergerr eftersom d divergerr c) Svr: konvergerr. / d konvergerr eftersom åde / d och / d Tipps. Använd jämförelsestsen för tt evis tt de två sist integrler konvergerr. / d konvergerr eftersom < / / om > och därmed även i intervllet <. / d konvergerr eftersom < / om > och därmed i intervllet <. d) e d e konvergerr eftersom åde d och e d konvergerr. Tips. Använd jämförelsestsen för tt evis tt de två sist integrler konvergerr. e d konvergerr eftersom e i intervllet <. e d konvergerr eftersom e e i intervllet <. v