S T E FA N B. L I N D S T R Ö M F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K

S T E FA N B. L I N D S T R Ö M F Ö R E L Ä S N I N G A R I S TAT I K

Föreläsningar i statik Lindström, Stefan B. Copyright c 2013 Stefan B. Lindström Publicerad av Stefan Lindström, Linköping. https://sites.google.com/site/lindstroemepublicering Detta verk är licensierat enligt Creative Commons Erkännande-IngaBearbetningar 2.5 Sverige licens. För att visa licensen, besök http://creativecommons.org/licenses/by-nd/2.5/se/ eller skicka ett brev till Creative Commons, 444 Castro Street, Suite 900, Mountain View, California, 94041, USA. En lättläst, men ofullständig, sammanfattning av licenstexten lyder: Du har tillstånd: Att dela att kopiera, distribuera och sända verket samt använda verket för kommersiella ändamål. På följande villkor: Erkännande Du måste ange upphovsmannen och/eller licensgivaren på det sätt de anger. Inga bearbetningar Du får inte förändra, bearbeta eller bygga vidare på verket. Övriga förutsättningar: Undantag Undantag från villkoren ovan kan ges av upphovsrättsinnehavaren. Public Domain Om verket eller någon av dess beståndsdelar är public domain enligt tillämplig lag påverkas denna status inte på något sätt av licensen. Notera Vid all återanvändning och distribution måste du informera om licensvillkoren som gäller för verket.

Innehåll 1 Inledning 5 1.1 Newtons rörelselagar 1.2 Krafter i klassisk mekanik 2 Kraftsystem 9 2.1 Kraft 2.2 Moment 2.3 Kraftsystem 2.4 Plana kraftsystem 3 Statisk jämvikt 15 3.1 Jämviktsekvationer 3.2 Friläggning 3.3 Flerkroppsproblem 4 Masscentrum och tyngdpunkt 23 4.1 Densitet 4.2 Masscentrum 4.3 Masscentrum för tunna kroppar 4.4 Tyngdpunkt 5 Friktion 27 5.1 Ett friktionsexperiment 5.2 Coulombfriktion 5.3 Friktion i ett system av kroppar

4 A Bilaga Vektorer 31 A.1 Geometriska vektorer A.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem A.3 Skalärprodukt A.4 Kryssprodukt B Bilaga Geometri 35 B.1 Plan geometri B.2 Trigonometri Litteraturförteckning 37 Sakregister 39

1 Inledning Detta kapitel syftar till att ge fysikalisk förståelse för grundläggande begrepp i mekanik, bl.a. begreppet kraft, samt att avgränsa ämnesområdet statik. Förtrogenhet med geometriska vektorer (bilaga A) och räkneregler för dessa är nödvändigt för att kunna tillgodogöra sig framställningen. Kropp och stelkropp En kropp har massa och uppfyller ett begränsat område i rummet och har alltså en volym. Inom klassisk mekanik antas massan vara kontinuerligt utbredd inom kroppens område. Alla kroppar kan deformeras ändra sin form genom att lägena för punkter i kroppen förskjuts i förhållande till varandra. I många problem är kroppens deformation försumbar. Analysen förenklas då av att man antar att kroppens form är oföränderlig, och en sådan kropp kallas stelkropp. Definition 1.1 (Stelkropp). En stelkropp är en kropp, sådana att avståndet mellan varje par av punkter i kroppen är konstant. Partikel En partikel är ett hypotetiskt föremål med massa men utan volym. All dess massa är således koncentrerad till en punkt. Vid problemlösning kan man ibland använda en partikel som modell för en kropp vars form, rotation och deformation inte påverkar analysen i någon större utsträckning. Speciellt formulerar vi följande postulat. 1 Postulat 1.2 (Små kroppar är partiklar). En kropp eller en del av en kropp, vars storlek är tillräckligt liten för att försummas i en given situation, kan betraktas som en partikel. 1 J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-23760-2 Om man t.ex. analyserar jordens rörelse kring solen kan jorden betraktas som en partikel eftersom jordbanans medelradie är 23 000 gånger större än jordens egen radie.

6 föreläsningar i statik Läge, hastighet och acceleration En punkts eller partikels läge i rummet anges av dess lägesvektor. Vi definierar en godtycklig punkt P:s lägesvektor som r = OP, där O betecknar origo för ett givet koordinatsystem. Om punkten P:s läge ändras med tiden t kommer lägesvektorn att bli en funktion r(t) = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z, (1.1) vilket kan tolkas som en riktad bana i rummet (fig. 1.1a). Hastigheten hos punkten definieras som v(t) d r dt = ẋ e x + ẏ e y + ż e z, (1.2) och är riktad i rörelsebanans tangentriktning. En prick över en skalär funktion betecknar tidsderivatan av funktionen. Punktens acceleration ges av a(t) d v dt = d2 r dt 2 = ẍ e x + ÿ e y + z e z, (1.3) och beskriver alltså hastighetsändringen per tidsenhet. Två prickar över en skalär funktion betecknar andra tidsderivatan av funktionen. Statik innefattar endast fallet a = 0. Detta är liktydigt med att hastigheten är konstant, så att r(t) beskriver en rätlinjig bana om v 0 (fig. 1.1b), eller en fix punkt om v = 0. Kraft När två föremål placeras tillräckligt nära varandra, eller i direkt kontakt, kan de påverka varandras rörelse. Om man till exempel för en magnet mot en knappnål, kommer knappnålen att accelerera mot magneten. Magnetens närvaro har skapat rörelse hos knappnålen. Kroppars förmåga att att påverka varandras rörelse kallas växelverkan. För att beskriva hur starkt och i vilken riktning ett föremål växelverkar med omgivningen införs begreppet kraft. En kraft skapas alltså av växelverkan och förorsakar acceleration hos en kropp vars rörelse annars är obehindrad. Denna vaga beskrivning ev kraftbegreppet ges en precis innebörd i Newtons rörelselagar. (a) (b) Figur 1.1: En punkt P:s förflyttas längs en bana r(t) med (a) varierande hastighet v(t), eller med (b) konstant hastighet v och accelerationen a = 0. 1.1 Newtons rörelselagar Isaac Newton postulerade 2 följande tre rörelselagar för partiklar (ej ordagrant återgivna) 2 postulera formulera obevisat påstående med experimentellt stöd. 1. Tröghetslagen En partikel förblir i vila eller i likformig, rätlinjig rörelse så länge inga yttre krafter verkar på partikeln. 2. Kraftlagen För en partikel med konstant massa m gäller Σ F = m a, (1.4) där Σ F är kraftsumman på partikeln och a är partikelns acceleration.

inledning 7 3. Reaktionslagen När en kropp Ω 1 utövar en kraft F på en annan kropp Ω 2, utövar kroppen Ω 2 samtidigt en kraft F på kroppen Ω 1. Kraften och reaktionskraften mellan två kroppar är alltså lika stora och motriktade. Inom statik intresserar man sig för specialfallet då kraftsumman på varje partikel är noll, och således accelerationen för varje partikel är noll. Inertialsystem Att tala om rörelse är bara meningsfullt med avseende på ett givet koordinatsystem, och man måste specificera ett koordinatsystem för att kunna beskriva rörelse (se fig. 1.1ab). Newtons rörelselagar gäller bara i en viss typ av koordinatsystem, som kallas inertialsystem. Newtons första lag gör det möjligt att bestämma om ett givet koordinatsystem är ett inertialsystem. Man väljer då ut ett antal föremål som växelverkar mycket svagt med sin omgivning, till exempel stjärnor långt från andra astronomiska objekt. Om varje sådant föremål har konstant hastighet i det givna koordinatsystemet, vet man att koordinatsystemet med stor noggrannhet är ett inertialsystem. 1.2 Krafter i klassisk mekanik Krafter kan verka på en kropp om den står i fysisk kontakt med en annan kropp. Dessutom kan krafter uppstå över avstånd genom så kallade kraftfält. Kraft mäts i SI-enheten newton (N), och det gäller att 1 N = 1 kg m/s 2. Gravitationskraft Varje par av partiklar påverkar varandra med gravitationskrafter. Gravitationskraften är en attraktiv centralkraft. Det vill säga, partiklarna dras mot varandra och dragningskraften verkar längs den linje som förbinder partiklarna (fig. 1.2). Figur 1.2: Newtons gravitationslag för partiklar tillämpad på Jordens växelverkan med Månen. Postulat 1.3 (Newtons gravitationslag). Mellan två partiklar med massorna m 1 respektive m 2 verkar en attraktiv kraft med beloppet F g = G g m 1 m 2 r 2, (1.5) där G g = 6,674 10 11 Nm 2 /kg 2 är gravitationskonstanten 3, och r 3 P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. betecknar avståndet mellan partiklarna. Newell. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010. J. Phys. Chem. Ref. Data, 41: 043109, 2012

8 föreläsningar i statik En följd av gravitationslagen är att en kropp med massan m vid jordytan påverkas av en tyngdkraft, riktad ungefär mot jordens mittpunkt. Tyngdkraften är fördelad över det område som kroppen upptar, men i många tillämpningar kan dess verkan modelleras med en kraft som verkar i en enda punkt och har beloppet mg, där g är tyngdkraftskonstanten. 4 I Sverige är g 9,82 N/kg, men värdet varierar mellan olika platser på jorden. 4 Benämns även oegentligt tyngdaccelerationen. Observera att g inte är en acceleration. Kontaktkrafter Två kroppar, som är i fysisk kontakt med varandra, växelverkar med kontaktkrafter. Dessa kontaktkrafter är fördelade över kontaktytan på respektive kropp. Ett exempel är de krafter som uppstår då Du trycker Din hand mot en vägg (fig. 1.3ab). Din hand utövar då ett tryck mot väggen, vilket kan representeras av en kraft F på väggen. Omvänt kommer väggen, enligt reaktionslagen, att utöva en kraft F mot Din hand, vilket Du känner som ett tryck mot handflatan. Figur 1.3: (a) En hand trycker mot en vägg. (b) Handen och väggen utsätts för lika stora, motriktade kontaktkrafter. (a) (b) Elastisk kraft Elastiska krafter uppstår då kroppar deformeras, till exempel då en spiralfjäder förlängs eller förkortas. När en spiralfjäder inte påverkas av någon kraft antar den sin naturliga längd l 0 (fig. 1.4a). Om motriktade krafter, vardera med beloppet F e, angriper vid fjäderns ändpunkter kommer fjädern att ändra sin längd till l (fig. 1.4b). För en så kallad linjär fjäder gäller då sambandet F e = k(l l 0 ), (1.6) (a) där k benämns fjäderkonstanten. (b) Figur 1.4: (a) Obelastad fjäder med naturlig längd. (b) Förlängd fjäder.

2 Kraftsystem 2.1 Kraft En kropp växelverkar med sin omgivning genom yttre krafter. Dessa kan var volymskrafter som verkar över kroppens område i rummet. Gravitation och elektromagnetiska krafter är exempel på volymskrafter. Dessutom kan kroppen påverkas av kontaktkrafter, som är fördelade över kroppens yta (fig. 2.1). För stelkroppar kan volyms- och kontaktkrafters verkan beskrivas av koncentrerade krafter, som verkar i punkter på stelkroppen. Postulat 2.1. En kraft, som verkar på en stelkropp, är en vektorstorhet F, som tillordnats en angreppspunkt P. Figur 2.1: En kontaktkraft, som här består av ett tryck fördelat över en liten yta på en stelkropp, modelleras med en kraftvektor, som verkar i en angreppspunkt på stelkroppen. En krafts verkan på en kropp bestäms av kraftens storlek, riktning och angreppspunkt. Kraftens riktningsvektor och angreppspunkt definierar en linje, som kallas kraftens verkningslinje (fig. 2.1). Som alla vektorer kan kraftvektorn skrivas som en summa av sina komposanter (fig. 2.2) F = F x e x + F y e y + F z e z, (2.1) eller som en skalär F gånger en riktningsvektor F = F e F. (2.2) Figur 2.2: En kraft F angripande i punkten P. Pilar med öppet pilhuvud visar kraftens komposanter. I ekv. (2.2) tillåter man att F kan vara negativ, så att F = F eller F = F. En kraftvektors projektion på en riktning med riktningsvektorn e λ kallas kraftens komponent i λ-riktningen och ges av F λ = F e λ = F cos ϕ, (2.3) där ϕ är vinkeln mellan F och e λ (fig. 2.3). Figur 2.3: Kraftkomponenten för F m.a.p. en rät linje λ.

10 föreläsningar i statik 2.2 Moment Kraftmoment Om man vill åstadkomma en vridande verkan kring en axel, som när man drar åt en bult, låter man en kraft angripa i en punkt på ett avstånd från axeln (fig. 2.4). Denna vridande verkan kallas moment. Definition 2.2 (Kraftmoment). Låt F vara en kraft som angriper i punkten P. Då är kraftmomentet av kraften F m.a.p. punkten O vektorn M O = r F, (2.4) där r = OP. Figur 2.4: En kraft med angreppspunkt på ett avstånd från en axel λ kommer att ha en vridande verkan kring axeln. Enligt def. A.11 av kryssprodukt ges momentvektorn M O :s riktning av högerhandsregeln (fig. 2.5). Kraftmomentet kommer därför att vinkel- rätt mot det plan som r och F spänner upp. Beloppet av vektorn M O är M O = r F = r F sin ϕ = F d, (2.5) där d = r sin ϕ kallas för hävarm och ϕ är vinkeln mellan r och F (fig. 2.6). Momentvektorer betecknas här med en pil vars huvud är en halvcirkel. Kraftmomentet m.a.p. en axel λ med riktningsvektorn e λ, definieras som M λ = M O e λ, (2.6) där O är en godtycklig punkt på axeln. Figur 2.5: Högerhandsregeln för kraftmoment. Linjera höger hands handflata med hävarmen och vinkla fingrarna i kraftriktningen; kraftmomentvektorn M O ges då tummens riktning. Figur 2.6: En kraft med kraftvektor F och angreppspunkt P ger ett kraftmoment MO m.a.p. O, som är vinkelrätt mot det plan som r och F spänner upp. Sats 2.3 (Varignons sats). Låt n krafter F 1,..., F n, verka i samma punkt P. Summan av krafternas moment, m.a.p. en godtycklig punkt O, är då lika med momentet från kraftvektorernas summa m.a.p. O: n r F n i = r F i, (2.7) där r = OP. Bevis. Moment av kraftvektorernas summa m.a.p. O ges av n r F i = r ( F 1 + F 2 + + F n ) = { ekv. (A.14b) } = r F 1 + r ( F 2 + + F n ) = { upprepa (A.14b) } = r F 1 + r F 2 + + r F n = n r F i

kraftsystem 11 Vid analys av statikproblem händer det ofta att problemet blir enklare att lösa om man först delar upp kraften i sina komposanter. Kraftens moment får man som summan av komposanternas respektive moment. Kraftparsmoment Definition 2.4 (Kraftpar). Ett kraftpar består av två krafter, FA med angreppspunkt A och F B med angreppspunkt B, sådana att F B = F A (fig. 2.7). En trivial men viktig egenskap hos kraftparet är att dess kraftsumma är F A + F B = 0, så att ett kraftpars verkan på en kropp är ett rent moment. Figur 2.7: Kraftpar. Definition 2.5 (Kraftparsmoment). Ett kraftparsmoment C är summan av kraftmomenten från ett kraftpar m.a.p. en godtycklig punkt O. Sats 2.6. För ett godtyckligt kraftpar, F med angreppspunkt A och F med angreppspunkt B (fig. 2.8), är kraftparsmomentet där r = BA. C = r F, (2.8) Bevis. Från def. 2.5 följer att kraftparets kraftparsmomentet m.a.p. en godtycklig punkt O är C = OA F + OB ( F ) = OA F OB F = { ekv. (A.14b) } = ( OA OB) F = BA F = r F Figur 2.8: Kraftpar som bildar kraftparsmomentet C = r F. Ett typexempel på ett kraftpar är en skruvmejsels verkan på en spårskruv (fig. 2.7): det finns två kontaktpunkter, A och B, mellan skruvhuvudet och mejseln, där två lika stora motriktade krafter verkar på skruven. Kraftparsmomentet är oberoende av valet av momentpunkt och är därmed en fri vektor som, med bibehållen storlek och riktning, kan förflyttas i rummet till en godtycklig punkt (fig. 2.9). Figur 2.9: En skruvmejsel ger en vridande verkan, vilken skapas av två lika stora motriktade krafter i skruvspåret. Kraftparsmomentet är en fri vektor, som inte verkar i någon specifik punkt på stelkroppen.

12 föreläsningar i statik 2.3 Kraftsystem Flera krafter och kraftparsmoment, som verkar på en stelkropp, bildar tillsammans ett kraftsystem. Definition 2.7 (Kraftsystem). Ett kraftsystem Γ är ett antal n 0 krafter F 1, F 2,..., F n med givna angreppspunkter P 1, P 2,..., P n, samt att antal m 0 kraftparsmoment C 1, C 2,..., C m (fig. 2.10). Figur 2.10: Ett kraftsystem Γ, med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, verkande på en stel kropp. Kraft- och momentsumma Definition 2.8 (Kraftsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är kraftsumman vektorn Σ F = n F i. (2.9) Notera att kraftsumman, trots att den är en vektor med enheten newton, inte är någon kraft, eftersom den inte tillordnats någon angreppspunkt. Definition 2.9 (Momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, är momentsumman m.a.p. en punkt O vektorn ΣM n O = OP i F m i + C i. (2.10) Momentsumman för ett kraftsystem m.a.p. en punkt O erhåller man alltså genom att summera alla systemets kraftmoment m.a.p. O och alla systemets kraftparsmoment. Sats 2.10 (Förflyttningssatsen för momentsumma). För ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, och två godtyckliga punkter A och B gäller Σ M B = Σ M A + BA Σ F, (2.11) där Σ M A och Σ M B är momentsummor m.a.p. A respektive B, och Σ F är systemets kraftsumma. Bevis. Enligt parallelogramlagen har vi BP i = BA + APi. Insättning

kraftsystem 13 i ekv. (2.10) ger Σ M B = = n ( BA + APi ) F i + n BA F i + = BA Σ F + Σ M A. m C i = { ekv. (A.14b) } n AP i F m i + C i = { ekv. (A.14b) } }{{} =Σ M A Förflyttningssatsen för momentsumma tjänstgör som hjälpsats i senare härledningar. Reduktion av kraftsystem Kraftsystem kan vara mycket komplicerade. För att kunna analysera dem är det därför nödvändigt att stegvis förenkla kraftsystemen. Definition 2.11 (Ekvimomenta kraftsystem). Två olika kraftsystem, Γ 1 och Γ 2, är ekvimomenta, Γ 1 Γ 2, om deras kraftsummor är lika, och om kraftsystemens momentsummor är lika för någon momentpunkt O. Sats 2.12. Att två kraftsystem, Γ 1 och Γ 2, är ekvimomenta medför att de har lika momentsumma m.a.p. varje godtycklig punkt Q. Bevis. Låt Σ F 1 och Σ F 2 beteckna kraftsummorna för Γ 1 respektive Γ 2, och låt Σ M Q1 och Σ M Q2 beteckna systemens respektive momentsummor m.a.p Q. Enligt def. 2.11 gäller Σ F 1 = Σ F 2, samt att det existerar en punkt O sådan att systemens momentsummor m.a.p. O är lika: Σ M O1 = Σ M O2. Alltså, ΣM Q1 = { sats 2.10 } = ΣM O1 + QO ΣF 1 = ΣM O2 + QO ΣF 2 = { sats 2.10 } = ΣM Q2. Postulat 2.13. Om två kraftsystem är ekvimomenta har de samma verkan på rörelsen hos en stelkropp. Postulat 2.13 innebär att om vi vill analysera en stelkropps rörelse, inklusive vila, då den utsätts för ett visst komplicerat kraftsystem, kan vi för att förenkla analysen konstruera ett enklare ekvimoment kraftsystem. Detta åstadkoms genom så kallad reduktion av kraftsystem. Definition 2.14 (Reducerat kraftsystem). Det reducerade kraftsystemet Γ Q till ett kraftsystem Γ m.a.p. en reduceringspunkt Q, består av Γ:s kraftsumma Σ F verkande i Q samt Γ:s kraftparsmoment Σ M Q m.a.p. Q.

14 föreläsningar i statik Figur 2.11: Ett kraftsystem Γ, med godtyckligt antal krafter och kraftparsmoment, är ekvimoment med sitt reducerade kraftsystem Γ Q m.a.p. en godtycklig punkt Q. Eftersom Γ och Γ Q har samma kraftsumma och samma momentsumma m.a.p. Q säger def. 2.11 att Γ Q Γ (fig. 2.11). Enligt postulat 2.13 ger det reducerade kraftsystemet upphov till samma rörelse hos en stel kropp som det ursprungliga kraftsystemet. Definition 2.15 (Nollsystem). Om ett kraftsystem har kraftsumman Σ F = 0 och momentsumman Σ M O = 0 m.a.p. någon punkt O, sägs kraftsystemet vara ett nollsystem. Enligt sats 2.12 måste ett nollsystem ha momentsumman 0 m.a.p. varje godtycklig punkt. Alla nollsystem är därför ekvimomenta. 2.4 Plana kraftsystem Definition 2.16 (Plant kraftsystem). Ett kraftsystem Γ, med beteckningar enligt def. 2.7, sägs vara plant om det existerar ett plan, benämnt referensplanet, sådant att alla krafternas angreppspunkter P i, i = 1,..., n ligger i planet, och sådant att F i e n, i = 1,..., n, Ci e n, i = 1,..., m, där e n är planets enhetsnormal (fig. 2.12). Figur 2.12: Plant kraftsystem vars referensplan har enhetsnormalen e n. För ett plant kraftsystem, med beteckningar enligt def. 2.16, och en momentpunkt Q i referensplanet, är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i ± e n -riktningen. Därmed kan alla kraftmoment och kraftparsmoment för ett plant kraftsystem beskrivas entydigt med ett skalärt värde: momentets komponent i referensplanets normalriktning. I fig. 2.13 illustreras ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Vektorrepresentationen av moment har ersatts med en skalär representation, vilket indikeras med krökta pilar för kraftparsmomenten C 1,..., C m i referensplanet. Figur 2.13: Ett plant kraftsystem med xy-planet som referensplan. Systemets kraftparsmoment kan därmed skrivas som skalärer.

3 Statisk jämvikt 3.1 Jämviktsekvationer Definition 3.1 (Statisk jämvikt för en stelkropp). En stelkropp är i statisk jämvikt om varje punkt på kroppen har accelerationen noll relativt ett givet inertialsystem. Eftersom en stelkropp inte kan deformeras, följer det att alla punkter på en stelkropp i statisk jämvikt rör sig med samma konstanta hastighet v. Punkterna på kroppen färdas därför längs räta parallella banor, så kallad translation (fig. 3.1). Notera att en stelkropp i statisk jämvikt inte tillåts rotera, eftersom rotation skulle innebära att punkter på kroppen färdas i krökta banor, vilka alltid är förknippade med hastighetsändring. Att en stelkropp befinner sig i vila innebär att kroppen är i statisk jämvikt, samt att ett inertialsystem valts så att v = 0. Statisk jämvikt definieras utifrån stelkroppens rörelse, inte utifrån vilka krafter som verkar på kroppen. För att kunna avgöra vilka kraftsystem som ger statiskt jämvikt krävs ett postulat. Figur 3.1: Vid statisk jämvikt beskriver en stelkropp translation, d.v.s. varje punkt rör sig med samma konstanta hastighet. Postulat 3.2 (Jämviktsvillkor). En stelkropp i statisk jämvikt förblir i statisk jämvikt om kraftsystemet som verkar på stelkroppen är ett nollsystem Σ F = 0 (3.1a) Σ M O = 0, (3.1b) där Σ F är kraftsystemets kraftsumma, och Σ M O är kraftsystemets momentsumma m.a.p. någon punkt O Ekvation (3.1a) benämns kraftjämvikt och ekv. (3.1b) momentjämvikt. Eftersom alla nollsystem är ekvimomenta kan momentpunkten i momentjämvikten väljas fritt. Kraft- och momentjämvikterna är vektorekvationer, som enligt ekv. (A.4) kan skrivas på komponentform. De bildar sex oberoende skalära ekvationer ΣF x = 0 ΣM Ox = 0 ΣF y = 0 ΣM Oy = 0 ΣF z = 0 ΣM Oz = 0, vilka tillsammans utgör ett ekvationssystem. (3.2)

16 föreläsningar i statik Jämvikt i två dimensioner För ett plant kraftsystem förenklas jämviktsekvationerna genom att man väljer ett koordinatsystem så att två av koordinataxlarna ligger i referensplanet. Om vi placerar xy-planet i referensplanet (fig. 2.13), så att e n = e z i def. 2.16, erhåller vi F i e z F iz = 0 ΣF z = 0. Vidare är alla kraftmoment och kraftparsmoment riktade i z-riktningen så att ΣM Ox = 0, ΣM Oy = 0, där O betecknar en momentpunkt i referensplanet. Endast tre icketriviala jämviktsekvationer återstår därmed för det plana kraftsystemet: Tvåkraftsystem ΣF x = 0 ΣF y = 0 ΣM Oz = 0. (3.3) Ett viktigt specialfall för jämvikt, som gäller både för plana och tredimensionella problem, är när exakt två krafter, ett tvåkraftsystem, verkar på en stelkropp. Sats 3.3 (Tvåkraftsystem). Om exakt två krafter verkar på en stel kropp i statisk jämvikt, är dessa krafter lika stora, motriktade och har sammanfallande verkningslinjer (fig. 3.2). Bevis. Låt två godtyckliga krafter, F A med angreppspunkt A och F B med angreppspunkt B, verka på en kropp i statisk jämvikt. Kraftjämvikt ger F A + F B = 0, så att krafterna F A = F B är lika stora och motriktade. Därmed är också deras verkningslinjer parallella. Momentjämvikt m.a.p. A ger (fig. 3.3) AA F A + AB F B = 0 AB F B = 0. (3.4) Låt ϕ beteckna vinkeln mellan AB och F B. Då är det vinkelräta avståndet mellan verkningslinjerna d = AB sin ϕ = 1 F B AB F B sin ϕ = { ekv. (A.12) } 1 = F B AB F B = { ekv. (3.4) } = 1 F B 0 = 0, så att verkningslinjerna alltså måste sammanfalla. Figur 3.2: Ett tvåkraftsystem i statisk jämvikt. Krafternas verkningslinjer sammanfaller. Figur 3.3: Geometri för beviset till sats 3.3. Masslösa stänger fästa i gångjärnsleder är typiska tvåkraftsystem (fig. 3.4). Analysen av flerkroppsproblem förenklas avsevärt om man utnyttjar denna egenskap.

statisk jämvikt 17 Figur 3.4: Masslösa stänger som är momentfria i sina fästpunkter utgör tvåkraftsystem under drag och tryck. Även masslösa snören är tvåkraftsystem. 3.2 Friläggning Ett friläggningsdiagram är ett hjälpmedel för att identifierar alla yttre krafter och kraftparsmoment som verkar på ett mekaniskt system. Vid friläggning särskiljs kroppen från sin omgivning och omgivningens verkan på kroppen ersätts med krafter och kraftparsmoment. Arbetsgången vid friläggning är: 1. Bestäm vilken kropp som ska friläggas, här inom streckad linje. 2. Rita ett diagram, som endast innehåller den frilagda kroppen. 3. Ersätt omgivningens verkan på kroppen med krafter och kraftparsmoment. Omgivningens verkan på kroppen inkluderar krafter från kraftfält, t.ex. tyngdkraft, och kontaktkrafter, som uppstår vid varje fysisk kontakt mellan den frilagda kroppens rand och omgivande föremål. Tyngdkraft Tyngdkraftens verkan på en stelkropp nära jordens yta modelleras med en kraft, tyngdkraften, verkande i kroppens tyngdpunkt G (fig. 3.5). Tyngdkraften är ungefärligen riktad mot jordens centrum och har beloppet mg, där m är kroppens massa och g 9,82 N/kg är tyngdkraftskonstanten. Gravitationens verkan på stelkroppar kommer att studeras noggrannare i kap. 4. Figur 3.5: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G.

18 föreläsningar i statik Tvångskrafter och -moment Om en stelkropp står i fysisk kontakt med omgivande föremål, så att den därför hindras från att fritt förflyttas eller rotera, kan tvångskrafter eller tvångsmoment uppstå vid kontakten. Vi studerar först en punktkontakt mellan två kroppar, Ω 1 och Ω 2. Kropparna är i kontakt med varandra i den gemensamma punkten P. Denna kontakt ger i allmänhet upphov till en kraft F 1 verkande i P på kroppen Ω 1, samt ett kraftparsmoment C 1 på Ω 1. Kontakten ger också upphov till en kraft F 2 verkande i P på kroppen Ω 2, samt ett kraftparsmoment C 2 på Ω 2 (fig. 3.6). Enligt reaktionslagen gäller F 2 = F 1, C2 = C 1. Figur 3.6: Två kroppar, Ω 1 och Ω 2, med en punktkontakt vid P. Friläggningen illustrerar kontaktkrafterna mellan kropparna: F 2 = F 1 ; C 2 = C 1. Punktkontakt används som modell för olika typer av mekaniska infästningar och anordningar mellan kroppar, såsom svetsar, gångjärn, lager o.s.v. Infästningens typ avgör i viss utsträckning riktningarna hos tvångskrafter och -moment, enligt följande två principer. 1. Om en infästning medger att Ω 1 kan förskjutas fritt relativt Ω 2 i en riktning e λ, gäller F 1 e λ = F 2 e λ = 0. 2. Om en infästning medger att Ω 1 kan vridas fritt relativt Ω 2 kring en axel genom P med riktningsvektorn e λ, gäller C 1 e λ = C 2 e λ = 0. Tvångskrafter kan alltså bara uppstå i de riktningar i vilka relativa rörelse är förhindrad. På samma sätt kan tvångsmoment bara uppstå i de riktningar kring vilka relativ vridning är förhindrad. Observera att friktion inte räknas som tvångskraft, eftersom rörelse i kraftriktningen kan uppstå. Det finns ändlöst många typer av infästningar och i varje fall måste en lämplig punktkontaktmodell införas. Några exempel ges i fig. 3.7. När en ny typ av infästning påträffas, är det lämpligt att utgå från att alla kraft- och kraftparsmomentkomposanter är nollskilda, och därefter metodiskt eliminera de komposanter som saknar tvång.

statisk jämvikt 19 (a) (b) Snören och trissor (c) Ett snöre är en idealiserad lina, wire eller liknande, vilken betraktas som masslös och otänjbar. Ett sträckt snöre belastas endast av en dragkraft S > 0 i snörets längsriktning. Ett frilagt sträckt snöre belastas av två krafter S och S, som verkar i vardera änden och är parallella med snöret (fig. 3.8a). När ett snöre löper kring en friktionsfritt lagrad masslös trissa, kommer dragkraften att vara densamma i var och en av de två utgående tamparna. Detta framgår om man tecknar momentjämvikt kring trissans lagringsaxel (fig. 3.8b). (d) Figur 3.7: Friläggning för olika typer av kontakter. (a) Fast inspänning, t.ex. svetsar, skruvförband och limförband, där krafter och kraftparsmoment kan uppstå i varje riktning. (b) För en gångjärnsled, nitar och spikar, tillåter en sprint vridning kring x-axeln, varför C x = 0. (c) Friktionskontakt med rundad kropp; vridningar är tillåtna genom rullning mot underlaget, så att C x = C y = 0. Utan friktionsmoment kring normalaxeln har vi C z = 0. (d) Ett hjul eliminerar en av friktionskomposanterna, F y = 0, och vridning medges kring varje axel, C x = C y = C z = 0. Figur 3.8: (a) Ett sträckt snöre belastas av två motriktade krafter, parallela med snöret. (b) Snöre som löper över en friktionsfritt lagrad trissa, samt friläggning av trissan. Momentjämvikt kring A visar att S 1 = S 2. (a) (b) 3.3 Flerkroppsproblem Definition 3.4 (Materiellt system). Ett flertal stelkroppar, Ω 1,..., Ω n, n 1 bildar tillsammans ett materiellt system (fig. 3.9) Ω = Ω 1 Ω 2 Ω n. (3.5) Det materiella systemet Ω i def. 3.4 är generellt inte någon stelkropp, eftersom dess delar är fria att röra sig relativt varandra. Definition 3.5 (Statisk jämvikt för materiella system). Ett materiellt system Ω = Ω 1 Ω n är i statisk jämvikt om varje punkt i

20 föreläsningar i statik Figur 3.9: Ett materiells system av flera stelkroppar Ω i, i = 1,..., n. systemet har samma hastighet och accelerationen 0 relativt ett inertialsystem. För att ett materiellt system ska vara i statisk jämvikt krävs alltså att var och en av de ingående stelkropparna Ω i, i = 1,..., n är i statisk jämvikt. Sats 3.6 (Jämviktsekvationer för materiella system). För att ett materiellt system ska kunna vara i statisk jämvikt måste systemet av yttre krafter och kraftparsmoment Γ yttre, som verkar på det materiella systemet, vara ett nollsystem. Bevis. Antag att ett det materiella systemet är i statisk jämvikt och att därmed alla delkroppar Ω i, i = 1,..., n är i statisk jämvikt. Låt O vara en gemensam momentpunkt för samtliga delkroppar. Enligt postulat 3.2 gäller Σ F i = Σ F inre i Σ M Oi = Σ M inre Oi + Σ F yttre i = 0 (3.6a) + Σ M yttre Oi = 0, (3.6b) där ΣF i inre och ΣM Oi inre representerar krafter respektive kraftmoment och kraftparsmoment som uppstår genom växelverkan inom det materiella systemet, medan Σ F yttre i och Σ M yttre Oi utgör krafter respektive kraftmoment och kraftparsmoment från växelverkan med dess omgivning (fig. 3.10). Genom att summera ekv. (3.6a) respektive (3.6b) över i erhålles n ΣF n i inre + ΣF yttre i = 0 n Σ M inre Oi + n Σ M yttre Oi = 0. Reaktionslagen garanterar att alla inre krafter och kraftparsmoment tar ut varandra 5, så att n ΣF n i inre = 0, ΣM Oi inre = 0, vilket ger n n Σ F yttre i = 0 Σ M yttre Oi = 0. Figur 3.10: Kraftsystem som verkar på Ω i reducerat m.a.p. punkten O. 5 För varje inre kraft finns en lika stor inre motkraft på någon annan av systemets kroppar; dessa krafters summa blir 0. På samma sätt tar inre kraftmoment och kraftparsmoment ut varandra.

statisk jämvikt 21 För att det materiella systemet ska vara i statisk jämvikt är det alltså ett nödvändigt villkor att Γ yttre är ett nollsystem. Sats 3.6 innebär att friläggning (stycke 3.2) kan tillämpas på varje materiellt system. Man kan alltså välja ett frilägga, och teckna jämviktsekvationerna för, flera stelkroppar samtidigt.

4 Masscentrum och tyngdpunkt 4.1 Densitet Densiteten ϱ hos ett material är ett mått på materialets täthet, och definieras som massa per volymsenhet, med enheten kg/m 3. Vilket material en kropp består av kan variera över det område kroppen upptar i rummet, och således varierar även densiteten. Inom klassisk mekanik anses en kropps massa var kontinuerligt utbredd i dess volym, vilket möjliggör följande definition av densitet. Definition 4.1 (Densitet). En kropps densitet i en punkt P med lägesvektorn r definieras m ϱ( r) = lim s 0 s 3, (4.1) där m betecknar massan hos ett kubiskt område i kroppen, sådant att kuben innehåller P, och har sidan s (fig. 4.1). Det följer att en kropp Ω med densiteten ϱ( r) har massan m = ϱ( r)dv, (4.2) Ω där dv är ett infinitesimalt volymselement och r är integrationsvariabeln (fig. 4.2). Figur 4.1: Geometri för definition av densitet. 4.2 Masscentrum En kropps masscentrum betecknas G och är en punkt i rummet, som inte nödvändigtvis måste ligga i det område kroppen upptar. Definition 4.2 (Masscentrum). För en kropp Ω med densiteten ϱ( r) definieras kroppens masscentrum G av lägesvektorn r G = 1 rϱ( r)dv, (4.3) m där m betecknar kroppens massa. Ω Detta betyder att, om r G = x G e x + y G e y + z G e z så ges masscentrums x-koordinat av x G = 1 xϱ(x, y, z)dxdydz, (4.4) m Ω Figur 4.2: Geometri för definition av massa.

24 föreläsningar i statik med analoga uttryck för y G och z G. Sats 4.3 (Masscentrum för sammansatt kropp). Om en kropp Ω, med massan m, är sammansatt av n delkroppar Ω 1,..., Ω n, ges den sammansatta kroppens masscentrum av r G = 1 m n m i r Gi, (4.5) där m i är massan och r Gi är masscentrums lägesvektor för den i:te delkroppen (fig. 4.3). Bevis. Enligt def. 4.2 för masscentrum har vi r G = 1 rϱ( r)dv = { En integral för varje delområde } m Ω = 1 [ ] rϱ( r)dv + + rϱ( r)dv m Ω 1 Ω n = 1 [ ] 1 1 m 1 rϱ( r)dv + + m n rϱ( r)dv m m 1 Ω } 1 m n Ω {{}} n {{} =r G1 =r Gn = 1 n m i r Gi. m Figur 4.3: En kropp sammansatt av delkroppar Ω i, i = 1,..., n, vardera med massan m i och masscentrum G i. Definition 4.4 (Geometriskt centrum). För en kropp Ω definieras kroppens geometriska centrum C av lägesvektorn r C = 1 rdv, (4.6) V där V betecknar kroppens volym. Det är vanligt att en kropp Ω består av ett och samma material, så att densiteten är oberoende av läget i kroppen, d.v.s. ϱ är konstant. I sådana fall är kroppens massa m = ϱdv = ϱ dv = ϱv. Kroppens masscentrum blir då, enligt ekv. (4.3), r G = 1 rϱdv = 1 m Ω ϱv ϱ rdv = 1 Ω V Ω Ω Ω Ω rdv = r C. Vid konstant densitet sammanfaller alltså masscentrum med geometriskt centrum. 4.3 Masscentrum för tunna kroppar För ett tunt skal definieras ytdensiteten ϱ A som skalets massa per areaenhet. Ytdensiteten kan variera över skalet, varför vi skriver ϱ A = ϱ A ( r), där r är lägesvektorn för en punkt på skalet. Vi låter Ω beteckna

masscentrum och tyngdpunkt 25 den yta i rymden, som skalet upptar. Definitionen för masscentrum generaliseras så att skalets masscentrum G är r G 1 rϱ A da, (4.7) m där da betecknar ett infinitesimalt areaelement på Ω (fig. 4.4). På motsvarande sätt generaliseras ekv. (4.6) för geometriskt centrum till r C 1 rda, (4.8) A där A = da är skalets area. Ω För en krökt tunn stång, som följer kurvan K från P 1 till P 2, definieras linjedensiteten ϱ l som stångens massa per längdenhet. Linjedensiteten kan variera längs stången, så att ϱ l = ϱ l ( r), där r är lägesvektorn för en punkt på stången. Definitionen för masscentrum generaliseras så att stångens masscentrum G är r G 1 rϱ l ds, (4.9) m där ds betecknar ett infinitesimalt längelement på kurvan K (fig. 4.5). Ekvation (4.6) generaliseras här till r C 1 rds, (4.10) l där l = ds betecknar kurvan K:s längd. K Ω Ω K K Figur 4.4: Geometri för definition av masscentrum för ett tunt skal Ω. Figur 4.5: Geometri för definition av masscentrum för en tunn stång längs kurvan K. 4.4 Tyngdpunkt Gravitationen är en volymskraft, som verkar över en kropps hela område i rummet. Betrakta en kropp Ω med densiteten ϱ( r). Kroppen påverkas då av en volymskraft, f g ( r) = ϱ( r) g( r), där g betecknar det tyngdkraftsfält som skapas av gravitationen. Man kan ofta med tillräckligt god noggrannhet anta att tyngdkraftsfältet g( r) = g är en konstant vektor inom ett begränsat område. Sats 4.5 (Tyngdkraft). För en stelkropp Ω med densiteten ϱ( r) i ett konstant tyngdkraftsfält g kan volymskraften ϱ( r) g, som verkar på kroppen, reduceras till ett kraftsystem som endast består av tyngdkraften F g = m g, (4.11) verkande i kroppens masscentrum. Här betecknar m kroppens massa. Bevis. Betrakta ett godtyckligt volymselement dv med lägesvektorn r inom stelkroppen. Kraften på volymselementet är (fig. 4.6) d F = ϱ( r) gdv.

26 föreläsningar i statik Kraftsumman över alla volymselement ges av [ F g = df = ϱ( r) gdv = Ω Ω ϱ( r)dv Ω } {{ } =m ] g = m g. Figur 4.6: Geometri för tyngkraftens verkan på en stelkropp, med en friläggning av ett volymselement. Eftersom elementet är mycket mindre än stepkroppen kan elementet, enligt postulat 1.2, betraktas som en partikel, varför kraftparsmomentet på dv antas vara 0. Momentsumman m.a.p. masscentrum G ges av M G = ( r r G ) df = ( r r G ) [ϱ( r) g] dv = = Ω [ ( r r G )ϱ( r)dv g = Ω Ω [ m 1 rϱ( r)dv r G ϱ( r)dv m Ω Ω }{{}}{{} = r G =m Ω rϱ( r)dv Ω ] r G ϱ( r)dv g ] g = 0 g = 0. Enligt def. 2.14 är tyngdkraften ekvimoment med en kraft m g verkande i masscentrum. Ett typiskt exempel, där tyngdkraftsfältet är g = g e z, finns avbildat i fig. 4.7. I ett konstant tyngdkraftsfält kallas masscentrum även tyngdpunkt, som alltså avser den punkt G där tyngdkraften m g anses verka. Figur 4.7: En stelkropp på vilket tyngdkraftsfältet vid jordens yta verkar. Tyngdkraften, som har beloppet mg, har sin angreppspunkt i tyngdpunkten G.

5 Friktion Vid kontakt mellan två kroppar uppstår friktionskrafter på respektive kropp, som motverkar glidning. 6 Betrakta två kroppar Ω 1 och Ω 2, som står i fysisk kontakt vid den för kropparna gemensamma punkten P enligt fig. 5.1. Vid kontaktpunkten P definieras ett tangentplan till kropparna, med normalvektorn e n. På kropp Ω 1 verkar en normalkraft N = N e n och en friktionskraft F f e n. På kropp Ω 2 verkar N och F f enligt reaktionslagen. 6 Även friktionsmoment uppstår för att motverka vridning kring en normal genom kontaktytan. Figur 5.1: Två stelkroppar i kontakt vid punkten P. Tangentplanet för kontakten har indikerats. Kroppen Ω 1 har frilagts, med friktionskraften F i tangentplanet, och normalkraften N i planets normalriktning. Alla material uppvisar friktion mot varandra, men när friktionen mellan två kroppar bedöms vara försumbar, t.ex. p.g.a. smörjning, sägs kontaktstället vara friktionsfritt. För en friktionsfri kontakt är friktionskraften F f = 0. Med en friktionsfri yta, 7 menas att alla ytans 7 Benämningen glatt yta förekommer kontaktställen är friktionsfria. också. 5.1 Ett friktionsexperiment Betrakta experimentuppställningen i fig. 5.2a. En låda vilar mot en plan vagn som i sin tur vilar mot ett plant underlag. Vagnen hålls på plats av en anordning som mäter beloppet F f av den horisontella kraften på vagnen. Lådan påverkas av en variabel horisontell kraft P vars belopp mäts med en givare. En friläggning av lådan återfinns också i fig. 5.2a. Kraftjämvikt i horisontell riktning visar att det kraftbelopp F f som uppmäts på vagnen är identiskt med friktionskraftens belopp. I ett experiment låter man först kraften P = 0 verka på lådan, därefter ökas P långsamt. I ett första skede glider lådan inte mot vagnen; den hålls på plats av statisk friktion. Så länge ingen glidning uppstår råder kraftjämvikt, vilket ger F f = P. När man ökat P tillräckligt

28 föreläsningar i statik Figur 5.2: (a) Experimentuppställning för friktionsmätning, och friläggning av rörlig del. Kraftgivare har indikerats med dubbelcirkelsymbol. (b) Friktionskraft plottad som funktion av pålagd kraft P. (a) (b) börjar dock lådan glida mot vagnen. I samma ögonblick sjunker friktionskraften plötsligt och behåller ett konstant värde även om vi ökar P ytterligare (fig. 5.2b). Friktionskraften vid glidning benämns kinetisk friktion. Beteendet som skildras i tankeexperimentet ovan är typiskt för så kallad torr friktion, där kontaktstället utgörs av rena torra ytor. Fukt, partiklar och oxidlager med mera på kropparnas ytor påverkar annars friktionskraftens belopp. Även temperaturen och kropparnas mekaniska egenskaper påverkar friktionen. 5.2 Coulombfriktion Om vi begränsar oss till torr friktion mellan rena ytor under konstant temperatur, gäller följande konstitutiva samband 8 approximativt. Konstitutivt samband 5.1 (Coulombs friktionslag). Om glidning föreligger vid ett kontaktställe med gäller 8 konstitutivt samband ekvation eller lag som är specifik för ett material, och alltså ej är allmängiltig. F f = µ k N. (5.1) Om glidning ej föreligger, består denna statiska friktion så länge F f < µ s N. (5.2) Här är F f friktionskraften, N normalkraftens belopp, µ k den kinetiska friktionskoefficienten och µ s den statisk friktionskoefficienten, där 0 µ k µ s. Vid glidning verkar F f rakt motsatt kontaktställets glidhastighet. Tankeexperimentet från stycke 5.1 (fig. 5.2ab) exemplifierar Coulombfriktion. Om glidning ej föreligger i utgångsläget kan man undersöka gränsfallet för begynnande glidning. För detta sätter man friktionskraften till det instabila gränsfall där glidning är förestående: F f = µ s N. (5.3)

friktion 29 Detta motsvarar friktionskraftens maximum i fig. 5.2b. Vid problemlösning är det ibland inte känt huruvida glidning föreligger vid kontaktstället. I sådana fall antar man först att friktionen är statisk och använder jämviktsekvationerna, ekv. (3.1a) och (3.1b), för att bestämma friktionskraftens belopp F f och normalkraftens belopp N. Om detta leder till att ekv. (5.2) ej är uppfylld måste glidning föreligga, och friktionskraften ges i stället av ekv. (5.1). 5.3 Friktion i ett system av kroppar Om det finns flera kontaktställen med Coulumbfriktion i ett flerkroppsproblem gäller det konstitutiva sambandet 5.1 vid varje kontaktställe. Om vi t.ex. har två kontaktställen, vid punkterna A och B, är följande fall tänkbara: Ingen glidning vid något av kontaktställena A eller B. Glidning vid A men ej vid B. Glidning vid B men ej vid A. Glidning vid både A och B. Dessa fall är avbildade i fig. 5.3. Om ett flerkroppsproblem innehåller n kontaktställen finns det 2 n tänkbara kombinationer av glidning och statisk friktion. Figur 5.3: Exempel på friktion vid flera kontaktställen. Tänkbara utfall är (a) ingen glidning, (b) endast glidning vid A, (c) endast glidning vid B, och (d) glidning vid både A och B. (a) (b) (c) (d) Ibland medför problemets geometri att vissa kombinationer av glidning och statisk friktion kan uteslutas. En kil har t.ex. två kontaktställen, A och B. Glidning måste uppstå vid båda kontaktställena för att kilen ska kunna förflyttas (fig. 5.4). Således existerar bara två tänkbara fall: antingen glidning vid båda kontaktställena, eller ingen glidning vid något kontaktställe. Figur 5.4: För att en kil ska drivas in krävs glidning vid båda dess kontaktställen.

A Vektorer Detta kapitel ger en kortfattad repetition av vektorbegreppet. En mer detaljerad framställning återfinns annorstädes. 9 9 H. Anton and C. Rorres. Elementary linear algebra. John Wiley & Sons, Inc., 8th edition, 2000 A.1 Geometriska vektorer Vektorer kan representeras geometriskt som ett riktat linjesegment i planet eller i rummet, och ritas som en pil. Speciellt ritas vektorer som är riktade ut ur papperets plan som (pilspets) och de som är riktade in i papperets plan som (pilfjädrar). I detta kompendium betecknas vektorer med en pil ovanför variabelnamnet, t.ex. u. En vektors belopp betecknas u och är längden av det linjesegment som representerar vektorn (fig. A.1a). Två vektorer u och w är lika, u = w, om deras belopp (längd) och rikting är lika, oberoende av deras lägen i rummet (fig. A.1b). En vektor kan bildas av ett linjesegment, som förbinder två punkter A och B. En sådan vektor betecknas AB (fig. A.1c). Vi inför den särskilda nollvektorn 0 = AA, som har beloppet 0 och en odefinierad riktning. En negerad vektor u har samma belopp som u, men omvänd riktning (fig. A.1d). Vidare definieras summan av två vektorer i parallellogramlagen: Placera w:s startpunkt vid u:s slutpunkt. Då är u + w vektorn från u:s startpunkt till w:s slutpunkt (fig. A.1e). Vektorsubtraktion definieras u w u + ( w). Om ett reellt tal c multipliceras med en vektor u blir resultaten en ny vektor c u. Om c > 0 har u och c u samma riktning, men om c < 0 har u och c u motsatta riktningar. Det gäller att c u är c gånger längre än u. Följande räkneregler gäller för vektorer i både två och tre dimensioner: (a) (c) (e) (b) (d) (f) Figur A.1: (a) Vektor u med beloppet u. (b) Ekvivalenta vektorer. (c) Vektor som förbinder två punkter. (d) Negering omkastar en vektors riktning. (e) Vektoraddition med parallellogramlagen. (f) Riktningsvektorn e u till u har samma riktning som u och beloppet 1. u + w = w + u (A.1a) c(d u) = (cd) u (A.1b) c( u + w) = c u + c w (A.1c) (c + d) u = c u + d u. (A.1d) Här betecknar c och d godtyckliga reella tal.

32 föreläsningar i statik En vektor med längden 1 kallas enhetsvektor. En godtycklig vektor u 0 har en så kallad riktningsvektor e u, som är en enhetsvektor med samma riktning som u (fig. A.1f). Man kan således skriva u = u e u e u = u u, (A.2) där u 0 är ett reellt tal, en så kallad skalär. Denna skalär tillåts vara såväl positiv som negativ. Denna teknik att skriva vektorer som produkten av dess storlek och riktning används flitigt vid problemlösning. A.2 Vektorer i ortogonala koordinatsystem Vi inför ett ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med origo O och koordinaterna x, y och z i rummet. Att ett koordinatsystem är ortogonalt betyder att dess axlar är vinkelräta mot varandra. Huruvida det är högerorienterat bestäms av högerhandsregeln (fig. A.2). I detta kompendium används endast ortogonala högerorienterade koordinatsystem. Varje koordinataxel x, y och z definierar en riktningsvektor e x, e y respektive e z i koordinatens positiva riktning (fig. A.3a). Vektorerna e x, e y och e z bildar en ortogonal bas, vilket innebär att en godtycklig vektor u kan representeras entydigt som u = u x e x + u y e y + u z e z, (A.3) där u x, u y och u z är skalärer (reella tal) och kallas vektorn u:s komponenter. Termerna u x e x, u y e y och u z e z är u:s komposanter (fig. A.3b). Av bekvämlighetsskäl används ibland ett ekvivalent beteckningssätt, där vektorn skrivs som en kolumnmatris: u x e x + u y e y + u z e z Att en vektors representation i en ortogonal bas är unik är särskilt viktigt. Tack vare denna egenskap gäller det att u x = w x u = w u y = w y (A.4) u z = w z. En ekvation på vektorform kan alltså skrivas om till ett ekvationssystem med reella koefficienter och variabler. u x u y u z. Figur A.2: Högerhandregeln: Då högerhandens tre första fingrar hålls i vinkelrätt läge mot varandra pekar de ut x-, y- och z-axelns riktningar. (a) (b) Figur A.3: (a) Ortogonalt högerorienterat koordinatsystem med ortogonala basvektorer e x, e y och e z. (b) En vektor u med sina tre komposanter u x e x, u y e y och u z e z ritade met öppna pilhuvuden. A.3 Skalärprodukt Skalärprodukten mellan två godtyckliga vektorer u = u x e x +u y e y +u z e z och w = w x e x + w y e y + w z e z definieras som u w u w cos ϕ, (A.5)

vektorer 33 där ϕ är vinkeln mellan u och w, så att 0 ϕ 180. Man kan visa att u w = u x w x + u y w y + u z w z. (A.6) Resultatet av en skalärprodukt är, som synes, en skalär. En följd av ekv. (A.5) är att skalärprodukten för vinkelräta vektorer (ϕ = 90 ) är 0: u w u w = 0. (A.7) Enligt ekv. (A.5) gäller också att u u = u 2, eftersom cos 0 = 1. Ur detta samband får vi en formel för en godtycklig vektors belopp u = u u = u 2 x + u 2 y + u 2 z. (A.8) Följande räkneregler gäller för skalärprodukt i både två och tre dimensioner: u w = w u (A.9a) u ( v + w) = u v + u w (A.9b) där c är en skalär. Räknereglerna för skalärprodukt ger att c( u w) = (c u) w, (A.9c) u e x = u x ( e x e x ) + u y ( e y e x ) + u z ( e z e x ) = u x 1 + u y 0 + u z 0 = u x. Detta kan generaliseras till en godtycklig axel λ med riktningen e λ ; vi har att u e λ är vektorn u:s komponent i λ-riktningen. Skalärprodukten med en enhetsvektor e λ kan tolkas som en ortogonal projektion på λ- axeln: u λ = u e λ = u cos ϕ, (A.10) där ϕ är vinkeln mellan u och e λ (fig. A.4). A.4 Kryssprodukt Kryssprodukten u w mellan två vektorer definieras med determinantnotation som e x e y e z u w u x u y u z = w x w y w z Figur A.4: Projektion av en vektor på en godtycklig axel λ genom skalärmultiplikation med riktningsvektorn. = (u y w z u z w y ) e x + (u z w x u x w z ) e y + (u x w y u y w x ) e z. (A.11) Resultatet från en kryssprodukt är alltså en vektor. En konsekvens av definitionen är att resultatvektorns belopp ges av u w = u w sin ϕ, (A.12) där ϕ är vinkeln mellan u och w. Dessutom är u w vinkelrät mot både u och w, och dess orientering följer högerhandsregeln (fig. A.5). Figur A.5: För kryssprodukt ges resultatvektorns riktning av högerhandsregeln.

34 föreläsningar i statik Vidare gäller enligt ekv. (A.12) att om ϕ = 0 eller ϕ = 180 blir kryssprodukten 0: u w u w = 0. (A.13) Följande räkneregler gäller för kryssprodukt: u w = ( w u) (A.14a) u ( v + w) = u v + u w (A.14b) c( u w) = (c u) w = u (c w), (A.14c) u u = 0, (A.14d) där c är en skalär. Notera särskilt ekv. (A.14a); kryssprodukten byter tecken när multiplikanderna kastas om. Det finns också räkneregler som inbegriper både skalär- och kryssprodukt. u ( v w) = ( u w) v ( u v) w (A.15a) u ( v w) = w ( u v) = v ( w u). (A.15b)

B Geometri B.1 Plan geometri Vertikalvinklar α = β Tabell B.1: Terminologi för vinklar vid skärande linjer. Linjer som ej skär varandra i tabellens bilder är parallella. Likbelägna vinklar α = β Alternatvinklar α = β Komplementvinklar α + β = 90 Supplementvinklar α + β = 180 Topptriangelsatsen Likformiga trianglar uppstår när man, genom en triangel, ritar en linje parallell med triangelns bas (fig. B.1). För likformiga trianglar gäller a a = b b = c c. (B.1) Figur B.1: Geometri för topptriangelsatsen. B.2 Trigonometri Definitioner För en rätvinklig triangel med hypotenusan c och en vinkel θ, med närliggande katet b och motstående katet a, gäller (fig. B.2) Figur B.2: Geometri för definitioner av trigonometriska funktioner.

36 föreläsningar i statik sin θ = a c cos θ = b c tan θ = sin θ cos θ = a b (B.2a) (B.2b) (B.2c) θ sin θ cos θ tan θ Tabell B.2: Trigonometrisk värdetabell. 0 0 1 0 ±30 ±1/2 ± 3/2 ±1/ 3 ±45 ±1/ 2 ±1/ 2 ±1 ±60 ± 3/2 ±1/2 ± 3 ±90 ±1 0 ±120 ± 3/2 1/2 3 ±135 ±1/ 2 1/ 2 1 ±150 ±1/2 3/2 1/ 3 ±180 0 1 0 Trigonometriska identiteter sin 2 θ + cos 2 θ = 1 (B.3a) 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ (B.3b) sin(θ ± ϕ) = sin θ cos ϕ ± cos θ sin ϕ (B.3c) cos(θ ± ϕ) = cos θ cos ϕ sin θ sin ϕ (B.3d) Sinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, vars motstående vinklar är α, β respektive γ (fig. B.3), gäller sin α a = sin β b = sin γ. (B.4) c Cosinussatsen För en triangel med sidorna a, b och c, där γ är motstående vinkel till c (fig. B.3), gäller Figur B.3: Geometri för sinus- och cosinussatsen. c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. (B.5)

Litteraturförteckning H. Anton and C. Rorres. Elementary linear algebra. John Wiley & Sons, Inc., 8th edition, 2000. J. B. Griffiths. The theory of classical mechanics. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-23760-2. P. J. Mohr, B. N. Taylor, and D. B. Newell. CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2010. J. Phys. Chem. Ref. Data, 41:043109, 2012.