1 Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION Kursens olika delar Teorin Tentamen efter kursen och/eller KS1+KS2 Inlämningsuppgifter Lära känna kraven på redovisningar! Problemlösning Tentamen efter kursen
2 Newtons 3 lagar för partikelrörelse: 1 En 'fri' partikel förblir i vila eller i konstant rätlinjig rörelse 2 ma = F (vektorekvation) m = massa, a = acceleration, F =totala kraften 3 Krafter uppstår i par (aktion-reaktion) så att summan är noll MEKANIKENS STORHETER och dimensionsanalys STORHET DIMENSION (SI-)enhet Grundläggande storheter: massa M kg längd, läge L m tid T s Härledda storheter, tex kraft MLT!2 N (= kg m/s/s) hastighet LT -1 m/s acceleration LT!2 m / s 2 Härledda storheter beror av grundläggande storheter genom definitioner och/eller lagar
3 EXEMPEL: Avgör om hastighetsformeln v = 2gh är dimensionsriktig Lösning: dim{ v} = LT!1, dim{ g} = LT!2, dim{ h} = L Dimensionsanalys av VL och HL ger samma resultat ---------- EXEMPEL: Bestäm så långt möjligt ett samband vid fritt fall mellan hastighet, massa, tyngdacceleration och fallhöjd! Lösning: Ansätt v = konst!m " g # h $ (finns det andra ansatser?) Jämför dimensioner i VL och HL: dim v { } = LT!1, dim{ m } = M, dim g { } = LT!2, dim h dvs L:s exponent i VL=HL ger: 1 =! + " M:s exponent i VL=HL ger: 0 =! T:s exponent i VL=HL ger:!1 =!2" Detta ger:! = 0, " = 1 / 2, # =1 / 2 dvs v = konst gh Jämför med det riktiga uttrycket!! { } = L
4 Krafter -Newtons 3:e lag: Krafter uppkommer i par så att den uppkomna totalkraften är noll Exempel: Kontaktkrafter De båda motriktade krafterna verkar på olika föremål Exempel: Trådkrafter Betrakta en trådbit som spänns av två yttre krafter Vid varje tänkt tvärsnittsyta genom en lätt tråd finns ett motriktat kraftpar bestående av två krafter som är lika stora som de båda yttre krafterna i ändarna
5 T T Exempel: Hur stor kraft påverkas skivan med? Krafter är vektorer: Tre komponenter: F = ( F x,f y,f z ) En vektor har längd och riktning: Längd: F = F = F 2 x + F 2 2 y + F z Riktning: e F = F F (Sortlös vektor med längden 1) Exempel: Bestäm kraftens komponenter! Svar: F x = F sin", F y = F cos", F z = 0, dvs F = ( Fsin", Fcos",0)
6 Exempel: Bestäm kraftens riktning! Svar: e F = ( sin", cos",0) Koordinataxlar representeras ibland av riktningarna e x,e y,e z, som är enhetsvektorer En kraft kan därför beskrivas som: F = F x e x + F y e y + F z e z, F x e x är en komposant F x är en komponent Komponent i annan axelriktning: Sök komponenten i längs en axel (riktad linje) L F L = F e L Här används skalärprodukten och en riktningsvektor för axeln Man får en projektion på axeln L
Skalärprodukt Två definitioner: Med vektorkomponenter: A B = A x B x + A y B y + A z B z Med längder och riktningar: A B = ABcos" Projektion (speciell skalärprodukt) Kraftens projektion på x-axel: ( ) = F x "1+ F y " 0 + F z " 0 F e x = ( F x,f y,f z ) 1,0,0 = F x Kraftens projektion på a-axel (i figuren): ( ) = F x #cos" + F y #sin" + F z #0 F e a = ( F x,f y,f z ) cos",sin",0 = F x " cos# + F y " sin# 7
8 KOMIHÅG 0: --------------------------------- 3 oberoende storheter-3 oberoende dimensioner Kraft är en vektor Skalärprodukt som projektion Föreläsning 1: PARTIKELKINEMATIK (beskrivning av rörelsen) Kinematiska storheter: läge-hastighet-acceleration y r! r m a v x Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v acceleration: a = d2 r dt = r = v 2 Dessutom införs Rörelsemängd: p = mv, dp Newtons 2:a lag: dt = F
9 Kinematik med vanliga (kartesiska) x, y, z- koordinater: Problem: Rörelsen i planet beskrivs av tidsfunktionerna x(t)= bt, y( t) = c " gt 2 / 2, där b, c och g är konstanter Bestäm hastigheten och accelerationen, samt vinkeln mellan dem Lösning: Först använder vi definitioner med hjälp av de kartesiska koordinaterna x och y ( ) = bt,c " gt 2 / 2 ( x ( t), y ( t) ) = ( b,"gt) v = ( 0,"g) r = x( t),y( t) v = ( ) a = Det är här fråga om en kaströrelse, ty accelerationen är konstant riktad neråt i (vertikal-) planet Vinkeln mellan acceleration och hastighet får man sedan ur skalärprodukten: v a = vacos" b 2 + ( gt) 2 # g#cos" g 2 t = dvs # & gt " = arccos% ( % $ b 2 + ( gt) 2 ( ' När är mellanliggande vinkel 90 grader?
10 Annat val av koordinater: Problem: Låt nu rörelsen i planet beskrivas av de polära koordinaterna r (konstant) och " För likformig cirkelrörelse är "( t) = #t, där " är konstant Bestäm för denna rörelse läge, hastighet och acceleration och vinklarna mellan dessa Lösning: Vi kan nu beskriva läge-hastighet-acceleration som vektorer med karakteristiska riktningar: Radiell riktning e r och transversell riktning e " : r = r cos"t,sin"t,0 ( ) = re r ( ) = "re $ v = "r #sin"t,cos"t,0 a = #" 2 r( cos"t,sin"t,0) = #" 2 re r = #" 2 r v r a Läge och hastighet är vinkelräta: r v = "r 2 (#cos"tsin"t + sin"tcos"t) = 0 Läge och acceleration är anti-parallella Denna rörelse kallas likformig cirkelrörelse
11 Kinematiska samband: Om bara accelerationen är känd, behöver man integrera för att få hela kinematiken, dvs även läge och hastighet Vi tittar på några olika fall: Konstant acceleration a Problem: Hur rör sig en partikel som har accelerationen a? Lösning: Vi väljer lämpliga x, y, z axlar så att a = ( 0,"a,0) Definitionen av accelerationen a : a = dv dt säger att hastigheten v är primitiv funktion till a Dvs v = a t + konst Konstantens värde måste vara hastighetens värde då t = 0 Vi skriver v = a t + v 0 Detta är en vektorekvation Hur ser den ut i komponentform? Slutsats: Om vi vet a måste vi också veta v 0 för att fullständigt veta hastigheten vid en godtycklig tidpunkt!! Om v är känd kan vi använda definitionen v = dr dt för att bestämma läget r Hastigheten är en primitiv funktion av hastigheten: r = 1 2 a t 2 + v 0 t + konstant
Konstantens värde är läget vid tidpunkten t = 0 Vi skriver: r = 1 2 a t 2 + v 0 t + r 0 Tidsberoende acceleration Problem: En partikel rör sig med accelerationsvektorn a ( t) och vet hastighet och läge vid tiden t=0, v 0 respektive r 0 Bestäm den fullständiga rörelsen r ( t) Lösning: Rörelsen i alla rummets riktningar kan bestämmas samtidigt med vektorbeteckningar Definition av acceleration utgående från hastigheten ger: { a = v } " v ( t) = a t' t # ( )dt' + v 0 0 Då är hastigheten känd, i princip, vid alla tidpunkter v t alltså betraktas som en känd funktion Vidare ger definitionen av hastighet utgående från läget: t t $ t' ' { v = r } " r ( t) = # v ( t' )dt' + r 0 = # & # a ( t'' )dt'' ) dt'+v 0 t + r 0 0 0 % 0 ( För en fullständigt känd rörelse behövs antingen: att r ( t) är känd, eller att v ( t) och r 0 är kända, eller att a ( t), v 0 och r 0 är kända 12 ( ) kan
13 KOMIHÅG 1: --------------------------------- Rörelsemängd: p = mv, Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska samband med begynnelsevillkor Föreläsning 2: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan, och z beskriver rörelsen i normalriktningen till planet radiell riktning ut från en z-axel till planet representeras av enhetsvektorn e r : e r = ( cos",sin",0) transversell riktning är den riktning partikeln rör sig om bara dess vinkelkoordinat " i planet ändras Lämplig enhetsvektor fås genom att studera förändringsvektorn de r / d" ( ) e " = de r d" = #sin",cos",0 som är en enhetsvektor Kinematiken i ett fullständigt cylindriskt system: -Läget: r = re r + ze z -Hastighet: v = r = r e r + re r + z e z = r e r + r" de r d" + z e z v = r e r + r" e " + z e z -Acceleration: a = v = r e r + r " e " + r " e " + r " e " + r" e " + z e z Men den näst sista termen kan inte stå som den är Varför? En extra räkning ger: e " = " de " d" = # " e r, så att slutligen: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z
14 Problem: Beskriv hastighet, fart och acceleration i en likformig cirkelrörelse med radie R Lösning: Cirkelbanan ligger i ett plan z = 0 Avståndet till centrum och farten är konstanta, dvs v = r e r + r" e " = R" e " Farten kan beskrivas med v = R" Enhetsvektorn e " pekar i tangentens riktning Accelerationen för all plan rörelse kan också skrivas med z = 0: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # Eftersom banan är cirkulär med en konstant fart försvinner en del termer Alltså a = " v 2 R e, där v = R" r Hela accelerationen är riktad in mot banans centrum Vi beräknar storleken av accelerationen: a = v 2 R
15 Exempel: Allmän cirkelrörelse I detta fall är inte farten längre konstant Uttrycket för hastighetsvektorn blir: v = r" e " eftersom r är noll All hastighet är transversell och i den riktningen är komponenten v = r" Accelerationen förenklas till: a = ("r# 2 )e r + ( r # )e # I detta uttryck kan vi byta ut " mot v med hjälp av likheten v = r" # Då får vi a = " v 2 & % $ r ( e r + v e ) Byter vi ' sedan ut riktningarna (radiell, transversell) till de naturliga (tangentiell, normal) riktningarna med e r "#e n och e " #e t, så får vi: a = v 2 r e n + v e t Detta uttryck för accelerationen är mycket användbart
16 -Naturliga komponenter tangent- och normalriktning Betrakta rörelse längs ett givet spår, typ järnväg En koordinat (sträckan s) Två naturliga riktningar i planet: tangentriktning och normalriktning - Hastigheten v är intimt förknippad med den momentana tangentriktningen och sträckan längs spåret Hastighetens riktningsvektor: e t = v v, där v = v = s Streckan längs spåret kan definieras ur fartens tidsberoende: Som en följd av dessa två saker kan hastigheten beskrivas fullständigt i det naturliga systemet: v = s e t = ve t
17 Accelerationen i det naturliga systemet: Under ett kort tidsintervall kan vi betrakta rörelsen från centrum av en tangerande cirkel till banan Inför en tangerande cirkel med radie ", så att z = 0 definierar cirkelns plan Hastigheten är då tangent till cirkelbågen Vi har i detta system v = " # e #, så att v = " # I samma system beskrivs accelerationen som a = ( " # " $ 2 )e r + (" $ + 2 " $ )e $, med " = " = 0, dvs a = "# $ 2 e r + # $ e $ Byter vi ut cylinderriktningarna med de naturliga riktningarna dvs e " = e t och e r = "e n, samt använder v = "#, och v = " #, får vi Uttrycket för accelerationen för godtycklig rörelse blir: a = v e t + v 2 " e n Ex Pendelrörelse: