Mekanik FK2002m Föreläsning 3 Kinematik i flera dimensioner 2013-09-04 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 2
Introduktion Nu har vi gått igenom: - Kinematik i en dimension - Vektorer i två och tre dimensioner. Vi är redo för kinematik i flera dimensioner. SARA STRANDBERG P. 2 FÖRELÄSNING 2
Position och förflyttning Positionsvektorn r i tre dimensioner ges av: r = xî+yĵ +zˆk Om ett föremåls positionsvektor ändras från r 1 till r 2 under tiden t så är dess förflyttning: r = r 2 r 1 som med enhetsnotation kan skrivas: r = (x 2 î+y 2 ĵ +z 2ˆk) (x1 î+y 1 ĵ +z 1ˆk) = (x 2 x 1 )î+(y 2 y 1 )ĵ +(z 2 z 1 )ˆk = xî+ yĵ + zˆk SARA STRANDBERG P. 3 FÖRELÄSNING 2
Problem 3 A positron undergoes displacement r = 2.0î 3.0ĵ +6.0ˆk, ending with the position vector r = 3.0ĵ 4.0ˆk, in meters. What was the positron s initial position vector? SARA STRANDBERG P. 4 FÖRELÄSNING 2
Medelhastighet och momentanhastighet En partikel med förflyttning r under ett tidsintervall t har en medelhastighet som är: v avg = xî+ yĵ+ zˆk t = x y tî+ tĵ + z tˆk Momentanhastigheten ges istället av: v = d r dt = dx dy dtî+ dtĵ + dz dtˆk = v x î+v y ĵ +v zˆk Momentanhastigheten är vid varje given tidpunkt riktad längs tangenten till partikelns väg i den aktuella punkten. SARA STRANDBERG P. 5 FÖRELÄSNING 2
Problem 6 An electron s position is given by r = 3.00tî 4.00t 2 ĵ +2.00ˆk, with t in seconds and r in meters. (a) In unit-vector notation, what is the electron s velocity v(t)? At t = 3.00 s, what is v (b) in unit-vector notation and as (c) a magnitude and (d) an angle relative to the positive direction of the x-axis? SARA STRANDBERG P. 6 FÖRELÄSNING 2
Medelacceleration och momentanacceleration En partikel vars hastighet ändras från v 1 till v 2 under ett tidsintervall t, har en medelacceleration som är: a avg = v 2 v 1 t = v t Momentanaccelerationen ges istället av: a = d v dt = dv x dt î+ dv y dt ĵ + dv z ˆk dt = a x î+a y ĵ +a zˆk En partikel accelererar om antingen hastighetens storlek eller riktning (eller båda) ändras. SARA STRANDBERG P. 7 FÖRELÄSNING 2
Problem 11 The position r of a particle moving in the xy plane is given by r = (2.00t 3 5.00t)î+(6.00 7.00t 4 )ĵ, with r in meters and t is seconds. In unit-vector notation, calculate (a) r, (b) v and (c) a for t = 2.00 s. (d) What is the angle between the positive direction of the x axis and the line tangent to the particle s path at t = 2.00 s? SARA STRANDBERG P. 8 FÖRELÄSNING 2
Specialfall: Projektilrörelse Partikel med initialhastighet v 0 som endast påverkas av tyngdaccelerationen g. Initialhastighet: v 0 = v 0x î+v 0y ĵ = v 0 cosθ 0 î+v 0 sinθ 0 ĵ Positionsvektorn r och hastighetsvektorn v ändras kontinuerligt, medan accelerationsvektorn a är konstant (alltid riktad neråt). För projektilrörelse gäller att den horisontella och vertikala rörelsen är oberoende av varandra. SARA STRANDBERG P. 9 FÖRELÄSNING 2
Specialfall: Projektilrörelse Stroboskopbild som visar två bollar som faller: - Gul boll skjuts åt sidan samtidigt som lila boll släpps. - Deras vertikala rörelse är identisk. SARA STRANDBERG P. 10 FÖRELÄSNING 2
Specialfall: Projektilrörelse Horisontell rörelse: - Projektilen påverkas inte av någon horisontell acceleration så den horisontella hastigheten v x är konstant (= v 0x ). - Den horisontella förflyttningen ges av: Vertikal rörelse: x x 0 = v 0x t = (v 0 cosθ 0 )t (1) - Accelerationen i vertikal riktning är konstant, med a = g. - Den vertikala förflyttningen ges av: - Vi har även: v y = v 0 sinθ 0 gt v 2 y = (v 0 sinθ 0 ) 2 2g(y y 0 ) y y 0 = v 0y t 1 2 gt2 = (v 0 sinθ 0 )t 1 2 gt2 (2) SARA STRANDBERG P. 11 FÖRELÄSNING 2
Specialfall: Projektilrörelse Erhåller projektilens bana genom att eliminera t ur Eq. (1) och (2): y = tan(θ 0 )x gx 2 2(v 0 cosθ 0 ) 2 [har använt x 0 = 0, y 0 = 0] Horisontella räckvidden R fås genom att sätta x x 0 = R i Eq. (1): R = (v 0 cosθ 0 )t och y y 0 = 0 i Eq. (2): Eliminerar vi t får vi: 0 = (v 0 sinθ 0 )t 1 2 gt2 R = 2v2 0 g sinθ 0cosθ 0 Mha sin2θ 0 = 2sinθ 0 cosθ 0 får vi slutligen: R = v2 0 g sin2θ 0 SARA STRANDBERG P. 12 FÖRELÄSNING 2
Problem 21 A dart is thrown horizontally with an initial speed of 10 m/s toward point P, the bull s-eye on a dart board. It hits at point Q on the rim, vertically below P, 0.19 s later. (a) What is the distance PQ? (b) How far away from the dart board is the dart released? SARA STRANDBERG P. 13 FÖRELÄSNING 2
Likformig cirkulär rörelse En partikel är i likformig cirkulär rörelse om den rör sig i en cirkelbana med konstant fart. Även om farten är konstant så påverkas partikeln av en acceleration eftersom hastighetens riktning ändras. Hastigheten pekar alltid i tangentiell riktning. Accelerationen pekar alltid in mot centrum centripetalacceleration: a = v2 r där r är cirkelns radie och v är partikelns fart. Perioden för rörelsen (sträcka/fart): T = 2πr v SARA STRANDBERG P. 14 FÖRELÄSNING 2
Likformig cirkulär rörelse Bevis SARA STRANDBERG P. 15 FÖRELÄSNING 2
Problem 61 When a large star becomes a supernova its core may be compressed so tightly that it becomes a neutron star, with a radius of about 20 km. If a neutron star rotates once every second, (a) what is the speed of a particle on the star s equator and (b) what is the magnitude of the particle s centripetal acceleration? (c) If the neutron star rotates faster, do the answers to (a) and (b) increase, decrease, or remain the same? SARA STRANDBERG P. 16 FÖRELÄSNING 2
Relativ rörelse i en dimension En partikels hastighet beror på valet av referenssystem. Referenssystemet är det fysikaliska objekt som håller vårt koordinatsystem. Oftast jorden, men kan vara ett föremål som rör sig. y Frame A y Frame B System A stillatående. System B har konstant hastighet relativt A. x BA x x x PA = x PB + x BA P P:s position i A och B: x PA = x PB +x BA SARA STRANDBERG P. 17 FÖRELÄSNING 2
Relativ rörelse i en dimension Derivera för att få relationen mellan hastigheterna: d dt (x PA) = d dt (x PB)+ d dt (x BA) v PA = v PB +v BA Derivera igen för att få relationen mellan accelerationerna: Eftersom v BA är konstant får vi: d dt (v PA) = d dt (v PB)+ d dt (v BA) a PA = a PB Observatörer i olika referenssystem som rör sig med konstant hastighet relativt varandra mäter samma acceleration för en partikel i rörelse. SARA STRANDBERG P. 18 FÖRELÄSNING 2
Relativ rörelse i två dimensioner y P Analogt med en dimension. Relationen mellan y - positionsvektorerna: PB r PA = r PB + r B A r PA v BA - hastighetsvektorerna: Frame B x v PA = v PB + v BA r BA Frame A x BA x - accelerationsvektorerna: a PA = a PB SARA STRANDBERG P. 19 FÖRELÄSNING 2