Mekanik FK2002m. Kinematik i flera dimensioner

Relevanta dokument
Mekanik FK2002m. Vektorer

Mekanik FK2002m. Repetition

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse II

Mekanik FK2002m. Kraft och rörelse I

Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = v

Mekanik FK2002m. Rotation

Kursens olika delar. Föreläsning 0 (Självstudium): INTRODUKTION

Mekanik FK2002m. Kinetisk energi och arbete

Mekanik FK2002m. Potentiell energi och energins bevarande

Uppgift 3.5. Vi har att: a = dv dt enligt definitionen. Med vårt uttryck blir detta: Vi separerar variablerna: Vi kan nu integrera båda leden: Z dv

Komihåg 5: ( ) + " # " # r BA Accelerationsanalys i planet: a A. = a B. + " # r BA

ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem. De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan,

.4-6, 8, , 12.10, 13} Kinematik Kinetik Kraftmoment Vektorbeskrivning Planetrörelse

II. Partikelkinetik {RK 5,6,7}

Inre krafters resultanter

Relativistisk kinematik Ulf Torkelsson. 1 Relativistisk rörelsemängd, kraft och energi

SF1626 Flervariabelanalys

Speciell relativitetsteori inlämningsuppgift 2

Tid läge och accelera.on

KOMIHÅG 10: Effekt och arbete Effekt- och arbetslag Föreläsning 11: Arbete och lagrad (potentiell) energi

Lösningar Heureka 2 Kapitel 3 Rörelse i två dimensioner

Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma typ, men verkar på olika föremål.

3. Om ett objekt accelereras mot en punkt kommer det alltid närmare den punkten.

SG1108 Tillämpad fysik, mekanik för ME1 (7,5 hp)

K. Nilsson och P. Lidström. Ballistiska banor AVDELNINGEN FÖR MEKANIK INSTITUTIONEN FÖR MASKINTEKNOLOGI LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

STORSEMINARIET 3. Amplitud. frekvens. frekvens uppgift 9.4 (cylindriskt rör)

Module 6: Integrals and applications

1 VEKTORER OCH KINE- MATIK

Övningstenta Svar och anvisningar. Uppgift 1. a) Hastigheten v(t) får vi genom att integrera: v(t) = a(t)dt

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Mekanik Föreläsning 8

Basala kunskapsmål i Mekanik

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Tillämpad biomekanik, 5 poäng Övningsuppgifter

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

K. Nilsson och P. Lidström. Ballistiska banor AVDELNINGEN FÖR MEKANIK INSTITUTIONEN FÖR MASKINTEKNOLOGI LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA

=v sp. - accelerationssamband, Coriolis teorem. Kraftekvationen För en partikel i A som har accelerationen a abs

HYDRAULIK Grundläggande begrepp I

Problemtentamen. = (3,4,5)P, r 1. = (0,2,1)a F 2. = (0,0,0)a F 3. = (2,"3,4)P, r 2

SF1625 Envariabelanalys

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.

Repetition Mekanik, grundkurs

Stelkroppsmekanik partiklar med fixa positioner relativt varandra

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Miniräknare, formelsamling

. Bestäm för denna studs stöttalet e! Lösning: Energiprincipen för bollens fall ner mot underlaget ger omedelbart före stöt:

Tentamen: Baskurs B i Fysik, del1, 4p kl

HYDRAULIK Rörströmning I

KUNGL TEKNISKA HÖGSKOLAN INSTITUTIONEN FÖR MEKANIK Richard Hsieh, Karl-Erik Thylwe

Mekanik Laboration 2 (MB2)

Datum: Författare: Olof Karis Hjälpmedel: Physics handbook. Beta Mathematics handbook. Pennor, linjal, miniräknare. Skrivtid: 5 timmar.

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Mekanik HI Andreas Lindblad

FÖRBEREDELSER INFÖR DELTENTAMEN OCH TENTAMEN

6.2 Partikelns kinetik - Tillämpningar Ledningar

BFL122/BFL111 Fysik för Tekniskt/ Naturvetenskapligt Basår/ Bastermin Föreläsning 10 Relativitetsteori den 26 april 2012.

WALLENBERGS FYSIKPRIS

" e n Föreläsning 3: Typiska partikelrörelser och accelerationsriktningar

Tentamen i Mekanik SG1107, baskurs S2. Problemtentamen

Rörelsemängd och energi

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

Tentamen i SG1140 Mekanik II. Problemtentamen

17 januari 2014 sida 1 # 1 ERRATA ELEKTRODYNAMIK I NYTT LJUS UPPLAGA 1

Lösningsskiss för tentamen Mekanik F del 2 (FFM521/520)

6.3 Partikelns kinetik - Härledda lagar Ledningar

Differentialekvationer av första ordningen

Tentamen i Matematik 2: M0030M.

Förslag: En laddad partikel i ett magnetfält påverkas av kraften F = qvb, dvs B = F qv = 0.31 T.

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM521 och 520)

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN m fl. Problemtentamen OBS: Inga hjälpmedel förutom rit- och skrivdon får användas!

v = dz Vid stationär (tidsoberoende) strömning sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och stråklinjer. CH Strömningslära C.

SF1626 Flervariabelanalys

Relativitetsteori, introduktion

# o,too 26L 36o vq. Fy 1-mekaniken i sammandrag. 1 Rörelsebeskrivning (linjebunden rörelse) )-'f* 1.1 Hastighet och acceleration, allmänt

GPS GPS. Classical navigation. A. Einstein. Global Positioning System Started in 1978 Operational in ETI Föreläsning 1

Introduktion till Biomekanik, Dynamik - kinematik VT 2006

1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)

Simulering av solsystemet Datorlab med MATLAB. Daniel Vågberg Institutionen för fysik Umeå Universitet

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

HYDRAULIK Rörströmning I

12.6 Heat equation, Wave equation

undanträngda luften vilket motsvarar Flyft kraft skall först användas för att lyfta samma volym helium samt ballongens tyngd.

Appendix i instruktionen

Rep MEK föreläsning 2

TFYA16: Tenta Svar och anvisningar

1. Antag att g är en inverterbar funktion definierad på intervallet [0, 4] och att f(x) = g(2x).

Tentamen Mekanik F del 2 (FFM520)

9.2 Kinetik Allmän plan rörelse Ledningar

10. Relativitetsteori Tid och Längd

R LÖSNINGG. Låt. (ekv1) av ordning. x),... satisfierar (ekv1) C2,..., Det kan. Ekvationen y (x) har vi. för C =4 I grafen. 3x.

Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.

MEKANIK KOMPENDIUM I FYSIK. Thomas Lundström. Avd för FYSIK Linnéuniversitetet TL jan 2007 Rev: CS mars 2010

HYDRAULIK Rörströmning IV

1 Den Speciella Relativitetsteorin

Tentamen i Mekanik SG1102, m. k OPEN. Problemtentamen

Inlämningsuppgift: Introduktionskurs

Bernoullis ekvation Rörelsemängdsekvationen Energiekvation applikationer Rörströmning Friktionskoefficient, Moody s diagram Pumpsystem.

Övningar i MATLAB. 1. Antag x = 2 och y = 5. Beräkna följande i MATLAB a) yx 3 /(x-y) b) 3x/2y c) 3xy/2 d) x 5 /(x 5-1)

Transkript:

Mekanik FK2002m Föreläsning 3 Kinematik i flera dimensioner 2013-09-04 Sara Strandberg SARA STRANDBERG P. 1 FÖRELÄSNING 2

Introduktion Nu har vi gått igenom: - Kinematik i en dimension - Vektorer i två och tre dimensioner. Vi är redo för kinematik i flera dimensioner. SARA STRANDBERG P. 2 FÖRELÄSNING 2

Position och förflyttning Positionsvektorn r i tre dimensioner ges av: r = xî+yĵ +zˆk Om ett föremåls positionsvektor ändras från r 1 till r 2 under tiden t så är dess förflyttning: r = r 2 r 1 som med enhetsnotation kan skrivas: r = (x 2 î+y 2 ĵ +z 2ˆk) (x1 î+y 1 ĵ +z 1ˆk) = (x 2 x 1 )î+(y 2 y 1 )ĵ +(z 2 z 1 )ˆk = xî+ yĵ + zˆk SARA STRANDBERG P. 3 FÖRELÄSNING 2

Problem 3 A positron undergoes displacement r = 2.0î 3.0ĵ +6.0ˆk, ending with the position vector r = 3.0ĵ 4.0ˆk, in meters. What was the positron s initial position vector? SARA STRANDBERG P. 4 FÖRELÄSNING 2

Medelhastighet och momentanhastighet En partikel med förflyttning r under ett tidsintervall t har en medelhastighet som är: v avg = xî+ yĵ+ zˆk t = x y tî+ tĵ + z tˆk Momentanhastigheten ges istället av: v = d r dt = dx dy dtî+ dtĵ + dz dtˆk = v x î+v y ĵ +v zˆk Momentanhastigheten är vid varje given tidpunkt riktad längs tangenten till partikelns väg i den aktuella punkten. SARA STRANDBERG P. 5 FÖRELÄSNING 2

Problem 6 An electron s position is given by r = 3.00tî 4.00t 2 ĵ +2.00ˆk, with t in seconds and r in meters. (a) In unit-vector notation, what is the electron s velocity v(t)? At t = 3.00 s, what is v (b) in unit-vector notation and as (c) a magnitude and (d) an angle relative to the positive direction of the x-axis? SARA STRANDBERG P. 6 FÖRELÄSNING 2

Medelacceleration och momentanacceleration En partikel vars hastighet ändras från v 1 till v 2 under ett tidsintervall t, har en medelacceleration som är: a avg = v 2 v 1 t = v t Momentanaccelerationen ges istället av: a = d v dt = dv x dt î+ dv y dt ĵ + dv z ˆk dt = a x î+a y ĵ +a zˆk En partikel accelererar om antingen hastighetens storlek eller riktning (eller båda) ändras. SARA STRANDBERG P. 7 FÖRELÄSNING 2

Problem 11 The position r of a particle moving in the xy plane is given by r = (2.00t 3 5.00t)î+(6.00 7.00t 4 )ĵ, with r in meters and t is seconds. In unit-vector notation, calculate (a) r, (b) v and (c) a for t = 2.00 s. (d) What is the angle between the positive direction of the x axis and the line tangent to the particle s path at t = 2.00 s? SARA STRANDBERG P. 8 FÖRELÄSNING 2

Specialfall: Projektilrörelse Partikel med initialhastighet v 0 som endast påverkas av tyngdaccelerationen g. Initialhastighet: v 0 = v 0x î+v 0y ĵ = v 0 cosθ 0 î+v 0 sinθ 0 ĵ Positionsvektorn r och hastighetsvektorn v ändras kontinuerligt, medan accelerationsvektorn a är konstant (alltid riktad neråt). För projektilrörelse gäller att den horisontella och vertikala rörelsen är oberoende av varandra. SARA STRANDBERG P. 9 FÖRELÄSNING 2

Specialfall: Projektilrörelse Stroboskopbild som visar två bollar som faller: - Gul boll skjuts åt sidan samtidigt som lila boll släpps. - Deras vertikala rörelse är identisk. SARA STRANDBERG P. 10 FÖRELÄSNING 2

Specialfall: Projektilrörelse Horisontell rörelse: - Projektilen påverkas inte av någon horisontell acceleration så den horisontella hastigheten v x är konstant (= v 0x ). - Den horisontella förflyttningen ges av: Vertikal rörelse: x x 0 = v 0x t = (v 0 cosθ 0 )t (1) - Accelerationen i vertikal riktning är konstant, med a = g. - Den vertikala förflyttningen ges av: - Vi har även: v y = v 0 sinθ 0 gt v 2 y = (v 0 sinθ 0 ) 2 2g(y y 0 ) y y 0 = v 0y t 1 2 gt2 = (v 0 sinθ 0 )t 1 2 gt2 (2) SARA STRANDBERG P. 11 FÖRELÄSNING 2

Specialfall: Projektilrörelse Erhåller projektilens bana genom att eliminera t ur Eq. (1) och (2): y = tan(θ 0 )x gx 2 2(v 0 cosθ 0 ) 2 [har använt x 0 = 0, y 0 = 0] Horisontella räckvidden R fås genom att sätta x x 0 = R i Eq. (1): R = (v 0 cosθ 0 )t och y y 0 = 0 i Eq. (2): Eliminerar vi t får vi: 0 = (v 0 sinθ 0 )t 1 2 gt2 R = 2v2 0 g sinθ 0cosθ 0 Mha sin2θ 0 = 2sinθ 0 cosθ 0 får vi slutligen: R = v2 0 g sin2θ 0 SARA STRANDBERG P. 12 FÖRELÄSNING 2

Problem 21 A dart is thrown horizontally with an initial speed of 10 m/s toward point P, the bull s-eye on a dart board. It hits at point Q on the rim, vertically below P, 0.19 s later. (a) What is the distance PQ? (b) How far away from the dart board is the dart released? SARA STRANDBERG P. 13 FÖRELÄSNING 2

Likformig cirkulär rörelse En partikel är i likformig cirkulär rörelse om den rör sig i en cirkelbana med konstant fart. Även om farten är konstant så påverkas partikeln av en acceleration eftersom hastighetens riktning ändras. Hastigheten pekar alltid i tangentiell riktning. Accelerationen pekar alltid in mot centrum centripetalacceleration: a = v2 r där r är cirkelns radie och v är partikelns fart. Perioden för rörelsen (sträcka/fart): T = 2πr v SARA STRANDBERG P. 14 FÖRELÄSNING 2

Likformig cirkulär rörelse Bevis SARA STRANDBERG P. 15 FÖRELÄSNING 2

Problem 61 When a large star becomes a supernova its core may be compressed so tightly that it becomes a neutron star, with a radius of about 20 km. If a neutron star rotates once every second, (a) what is the speed of a particle on the star s equator and (b) what is the magnitude of the particle s centripetal acceleration? (c) If the neutron star rotates faster, do the answers to (a) and (b) increase, decrease, or remain the same? SARA STRANDBERG P. 16 FÖRELÄSNING 2

Relativ rörelse i en dimension En partikels hastighet beror på valet av referenssystem. Referenssystemet är det fysikaliska objekt som håller vårt koordinatsystem. Oftast jorden, men kan vara ett föremål som rör sig. y Frame A y Frame B System A stillatående. System B har konstant hastighet relativt A. x BA x x x PA = x PB + x BA P P:s position i A och B: x PA = x PB +x BA SARA STRANDBERG P. 17 FÖRELÄSNING 2

Relativ rörelse i en dimension Derivera för att få relationen mellan hastigheterna: d dt (x PA) = d dt (x PB)+ d dt (x BA) v PA = v PB +v BA Derivera igen för att få relationen mellan accelerationerna: Eftersom v BA är konstant får vi: d dt (v PA) = d dt (v PB)+ d dt (v BA) a PA = a PB Observatörer i olika referenssystem som rör sig med konstant hastighet relativt varandra mäter samma acceleration för en partikel i rörelse. SARA STRANDBERG P. 18 FÖRELÄSNING 2

Relativ rörelse i två dimensioner y P Analogt med en dimension. Relationen mellan y - positionsvektorerna: PB r PA = r PB + r B A r PA v BA - hastighetsvektorerna: Frame B x v PA = v PB + v BA r BA Frame A x BA x - accelerationsvektorerna: a PA = a PB SARA STRANDBERG P. 19 FÖRELÄSNING 2