Grfer Jokim Nivre Uppsl universitet Institutionen för lingvistik oh filologi Översikt Grunegrepp: Noer (hörn) oh ågr (knter) Grfteoretisk egrepp: Stigr oh ykler Delgrfer oh smmnhängne grfer Rikte oh orikte grfer Multigrfer Representtion v grfer: Grnnmtriser Iniensmtriser 2 1
Noer, ågr oh grfer Definition: En grf G = (V, E) estår v: En mäng V v noer (hörn) En mäng E v ågr (knter) En åge {, } föriner två noer oh, som sägs vr grnnr. Exempel: G 1 = (V 1, E 1 ) V 1 = {,,, } E 1 = {{, }, {, }, {,}} 3 Gr, stig, ykel G 1 Gr: En nos gr är ntlet ågr en ingår i. Exempel: I G 1 hr noern, oh gren 2, men noen hr gren 0. Stig: En stig är en väg som följer ågr oh inte psserr smm no eller åge två gånger. Exempel: I G 1 är -- en stig (men inte -- eller ---). Cykel: En ykel är en stig me smm strt- oh slutpunkt. Exempel: I G 1 är --- en ykel (men inte -- eller --). 4 2
Delgrfer Delgrf: En grf G = (V, E) är en elgrf till grfen G = (V, E ) omm V V oh E E. Exempel: En elgrf till G 1 är G 2 = (V 2, E 2 ) är: V 2 = {,, } E 2 = {{, }, {, }} Vilk fler elgrfer hr G 1? Hur mång elgrfer hr G 1? G 1 G 2 Smmnhängne grf: En grf G är smmnhängne omm et finns en stig melln vrje pr v noer i G. Exempel: G 2 är smmnhängne men inte G 1. Men G 1 hr två smmnhängne komponenter (elgrfer). 5 Rikte grfer Rikt grf: En rikt grf är en grf me enkelrikte ågr: (, ) (, ). Exempel: G 3 = (V 1, E 3 ) V 1 = {,,, } E 3 = {(, ), (, ), (,)} Att funer på: Hur påverks noers gr? Hur påverks stigr oh ykler? Hur påverks egreppet elgrf? Hur påverks egreppet smmnhängne? 6 3
Gr, stig, ykel G 3 Gr: Ingr = Antlet inkommne ågr Exempel: I G 3 hr noern oh ingr 0, ingr 1 oh ingr 2. Utgr = Antlet utgåene ågr Exempel: I G 3 hr noern oh utgr 0, utgr 1 oh utgr 2. Stig oh ykel: En stig är en väg som följer ågr (i rätt riktning) oh inte psserr smm no eller åge två gånger. Exempel: I G 3 är -- en stig (men inte t.ex. --). En ykel är en stig me smm strt- oh slutpunkt. Exempel: Det finns ing ykler i G 3 (jämför G 1 ). 7 Delgrfer G 3 Delgrf: En rikt grf G = (V, E) är en elgrf till en rikte grfen G = (V, E ) omm V V oh E E. Exempel: En elgrf till G 3 är G 4 = (V 2, E 4 ) är: V 2 = {,, } E 4 = {(, ), (, )} Smmnhängne grf: En rikt grf G är strkt smmnhängne omm et finns en stig melln vrje pr v noer i G. En rikt grf G är svgt smmnhängne omm motsvrne orikte grf är smmnhängne. Exempel: G 3 är vrken strkt eller svgt smmnhängne. Hr en någr smmnhängne elgrfer? 8 4
Multigrfer Multigrf: En multigrf är en grf är et kn finns mer än en åge melln två noer oh. Iln tillåts även öglor, vs. ågr som föriner en no me en själv. Att funer på: Hur efiniers ågmängen för en multigrf? Hur efiniers öglor? När ehövs multigrfer? 9 Rikte multigrfer Rikt multigrf: En rikt multigrf är en rikt grf är et kn finns mer än en åge melln två noer oh (eventuellt okså öglor). Rikte multigrfer efiniers oft genom tt ågrn numrers: Exempel: G 5 = (V 1, E 5 ) V 1 = {,,, } E 3 = {(,, 1), (,, 2), (,, 1), (,, 1), (,, 2)} Hur ser ut G 5? Rit! 10 5
Märkt grfer Märkt noer oh ågr: I mång tillämpningr är et prktiskt tt sätt etiketter på noer oh/eller ågr. Exempel: Bågr märkt me funktioner OBJ DET SBJ DET en ktt såg en mus Noer märkt me or 11 Representtion v grfer Grnnmtris: 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 G 1 Cell (x, y) representerr en möjlig åge melln noern x oh y: 1 = snt = ågen existerr 0 = flskt = ågen existerr inte 12 6
Representtion v grfer Grnnmtris för rikt grf: 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 G 3 Grnnmtrisen för en rikt grf är inte (növänigtvis) symmetrisk 13 Representtion v grfer Iniensmtris: {,} {,} {,} 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 G 1 Cell (x, {y,z}) representerr huruvi noen x erörs v ågen {y,z}. Br existerne ågr representers (mer ekonomiskt för gles grfer). 14 7
Övningr (Eriksson & Gvel) Sektion 6.1: Övning 6.1, 6.5, 6.11, 6.12, 6.16 ( oh ) Sektion 6.4 (ej isomorfi): Övning 6.43, 6.44, 6.47, 6.50 15 8