MA2047 Algebra och diskret matematik

Transkript

1 MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer Mikael Hindgren 26 september 2018

2 roarna i Königsberg De sju broarna i Königsberg (nuvarande Kaliningrad) på 1700-talet: (a) Königsberg 1652 (b) Graf Finns det en sluten väg genom staden sådan att samtliga broar passeras endast en gång? Leonard Euler ( ) publicerade en lösning på problemet Detta betraktas som grafteorins födelse. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 2 / 22

3 Terminologi och definitioner Definition 1 En graf G är ett ordnat par av mängder G = (, E). bågar (kanter, edges) b c E a e Graf a b noder (hörn, vertices) e = {a,b} = ab a och b är grannar ågen e = {a, b} = ab är incident med a och b som kallas ändpunkter. ågen cc kallas en ögla. Anm: Om man tillåter att ett nodpar förbinds med flera bågar används termen multigraf. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 3 / 22

4 Terminologi och definitioner Exempel 1 a e5 f e1 e6 b e2 e3 c e4 d (a) Graf e 1, e 2,..., e 7 bågar a, b, c, d, f, g noder e 7 ögla e7 Ögla g Isolerad (b) iktad graf Anm: I en riktad graf är varje båge försedd med en orientering. eteckningen graf används här för oriktade grafer. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 4 / 22

5 Terminologi och definitioner Definition 2 För en graf G gäller följande: Om a och b är noder så är: a = a 0, e 1, a 1, e 2, a 2,..., a n 1, e n, a n = b, e i = a i 1 a i, en väg från a till b. n = vägens längd (= antal bågar). Om a = b är vägen sluten och kallas en cykel. Om a b är vägen öppen. En väg som passerar varje nod högst en gång kallas enkel. Längden av den kortaste vägen mellan a och b kallas avståndet. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 5 / 22

6 Terminologi och definitioner Definition 3 En graf G är: Sammanhängande om två godtyckliga noder kan förbindas med en väg. Planär om den kan ritas i ett plan utan att några bågar skär varandra. Komplett (fullständig) om den är öglefri och det finns en båge mellan varje par av noder. En komplett graf med n noder betecknas K n. Ett träd om den är sammanhängande och saknar cykler. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 6 / 22

7 Terminologi och definitioner Exempel 2 a e1 b e2 e6 e3 c e4 f e5 d Sammanhängande planär graf e 1, e 2 öppen enkel väg från a till c, längd n = 2. e 1, e 3, e 5, e 6 cykel eller sluten väg e 1, e 2, e 4, e 3, e 2 är ej enkel G är sammanhängande och planär men ej komplett. Exempel 3 g h f b e K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 a c d (a) De kompletta graferna K 1,..., K 5 (b) Träd Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 7 / 22

8 Terminologi och definitioner Definition 4 Om v är en nod i grafen G så är graden (valensen) av v deg(v) = Antal bågar som har ändpunkt i v Exempel 4 G = (, E). estäm v deg(v). arje båge e = ab i E ger bidraget 1 till deg(a) och bidraget 1 till deg(b) dvs bidraget 2 till v deg(v). Sats 1 Om G = (, E) så är v deg(v) = 2 E. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 8 / 22

9 Terminologi och definitioner Exempel 5 På en fest där folk hälsar på varandra är antalet personer som hälsat ett udda antal gånger jämnt. arför? v deg(v) = 2 E Antalet noder med udda grad är jämnt. (The handshaking lemma.) Exempel 6 estäm om G = (, E) är öglefri, har 18 bågar och alla noder har grad 3. Lösning: Sätt n = antal noder deg(v) = 3n = 2 E = 2 18 = 36 v n = 36 3 = 12 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 9 / 22

10 Terminologi och definitioner Exempel 7 (T160816, uppg 6a, 2p) Grafen G = (, E) är sammanhängande och varje nod har grad 5. Dessutom gäller det att E = estäm och E. Lösning: deg(v) = 5 = 2 E = 2(4 18) 3 = 36 v = 12 och E = 30. Exempel 8 (T150109, uppg 3a, 2p) Grafen G har 9 bågar. 3 av noderna har grad 3 och 2 av noderna har grad 4. Hur många noder har grad 1? Lösning: Sätt n = antal noder med grad 1: v deg(v) = n 1 = 2 E = 2 9 n = 1. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 10 / 22

11 Terminologi och definitioner Exempel 9 (Instant insanity) Stapla de fyra kuberna på varandra så att varje sida i stapeln innehåller alla fyra färgerna. Är det möjligt med nedanstående kuber? 1 G G 2 G G 3 G 4 G Två motstående sidor G G Två motstående sidor i pelaren motsvarar 4 bågar med olika nummer. Alla 4 färgerna finns på båda sidorna arje nod är ändpunkt 2 ggr. Anm: Det finns olika konfigurationer och endast två ger en lösning. Att testa sig fram är alltså ingen jättebra idé... Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 11 / 22

12 Terminologi och definitioner Exempel 9 (Instant insanity forts) De 4 bågarna bildar en delgraf som: En cykel genom alla fyra noderna En cykel genom 3 av noderna, en ögla i den 4:e En cykel genom 2 av noderna, öglor i de 2 andra En cykel genom 2 av noderna, en cykel genom de 2 andra En ögla i varje nod Finns en sådan för just dessa kuber? Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 12 / 22

13 Terminologi och definitioner Exempel 9 (Instant insanity forts) G G G Kan vi hitta ytterligare en likadan delgraf som motsvarar de andra paret sidor i pelaren är problemet löst. Lösning: G G G G Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 13 / 22

14 Grannmatris Hur kan man representera en graf i en dator? Definition 5 Om G är en öglefri graf med n noder och e bågar så är Grannmatrisen till G n n matrisen X = (x ij ) där { 1 om det finns en båge mellan nod i och nod j x ij = 0 annars Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 14 / 22

15 Grannmatris Exempel 10 estäm Grannmatrisen X till grafen v3 e2 e3 x 11 x 12 x 13 x 14 x x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 X = x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 x 41 x 42 x 43 x 44 x 45 = x 51 x 52 x 53 x 54 x v2 e1 e7 v1 e6 e5 v4 e4 v5 Allmänt Grannmatrisen X: Är symmetrisk. x ii = 1 ögla vid nod i Öglefri graf Antal 1:or i en rad eller kolonn = graden av motsv nod. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 15 / 22

16 Eulergrafer och Eulercykler Definition 6 En cykel som passerar varje båge precis en gång kallas en Eulercykel. En graf som innehåller en Eulercykel kallas en Eulergraf. Exempel 11 Är G en Eulergraf? a b c abcdfbda är en Eulercykel G är en Eulergraf f d Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 16 / 22

17 Eulergrafer och Eulercykler Sats 2 (Euler-Hierholzer s sats) En sammanhängande graf G innehåller en Eulercykel omm varje nod har jämnt gradtal. De sju broarna i Königsberg: Finns Eulercykel? Fyra noder av udda grad Enligt Euler-Hierholzer s sats finns ingen Eulercykel. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 17 / 22

18 Eulergrafer och Eulercykler Exempel 12 (T160104, uppg 5a, 2p) Grafen G har 6 noder vilka alla har grad 4. a) Finns det en Eulercykel i G? b) Är det möjligt att rita en graf med 7 noder där alla noder har grad 3? Lösning: a) Alla noder har jämnt gradtal: Euler-Hierholzer s sats G innehåller Eulercykel b) v deg(v) = 7 3 = 21 2 E Nej, det går inte. Anm: I en graf är alltid antalet noder med udda grad jämnt (Handskakningslemmat). Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 18 / 22

19 Kromatiska tal och kromatiska polynom Definition 7 Färgning av en graf G betyder att noderna färgas så att angränsande noder har olika färg. χ(g) = Det minsta antalet färger som krävs för att färga G kallas det kromatiska talet för G. P G (λ) = Antalet sätt att färga G med högst λ färger kallas det kromatiska polynomet för G. Anm: χ(g) = det minsta λ för vilket P G (λ) 0. Exempel 13 Det kromatiska talet för grafen är χ(g) = 2. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 19 / 22

20 Kromatiska tal och kromatiska polynom Exempel 14 Den triangulära (och kompletta) grafen K 3 : P K3 (0) = P K3 (1) = P K3 (2) = 0 P K3 (3) = = 6 P K3 (4) = = 24. P K3 (λ) = λ(λ 1)(λ 2) = λ 3 3λ 2 + 2λ χ(g) = 3 Allmänt Det kromatiska polynomet för den kompletta grafen K n är P Kn (λ) = λ(λ 1)(λ 2) (λ (n 1)) Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 20 / 22

21 Kromatiska tal och kromatiska polynom Exempel 15 (T141030, uppg 6a, 2p) estäm det kromatiska polynomet P G (λ) och det kromatiska talet χ(g) till grafen G. Innehåller G någon Eulercykel? Lösning: P G (λ) = antalet sätt att färga G med λ färger. För att optimera detta antal börjar vi färga en av de två noderna i mitten: Har vi λ färger kan den färgas på λ olika sätt. Den andra mitt-noden kan då färgas på λ 1 olika sätt. De resterande tre noderna kan nu färgas på vardera λ 2 olika sätt. Multiplikationsprincipen P G (λ) = λ(λ 1)(λ 2) 3 P G (0) = P G (1) = P G (2) = 0 och P G (3) = = 6 0 χ(g) = 3. Grafen G är sammanhängande och alla noder har jämn grad: Euler-Hierholzers sats G har en Eulercykel. (i svarade på detta i Ex 11!) Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 21 / 22

22 Fyrfärgsproblemet Är det möjligt att med endast 4 färger måla en plan karta så att alla länder med gemensam gräns får olika färg? Problemet kan överföras på planära grafer: Kan varje planär graf färgas med 4 färger? Sats 3 (The four color theorem, Kenneth Appel & Wolfgang Haken 1976) Om G är en planär graf är χ(g) 4. Anm: Satsen formulerades av Francis Guthrie redan Appel & Haken reducerade problemet till 1936 olika fall som sedan kontrollerades mha dator. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 22 / 22