Undflyende delgrafer Några elementära bevis

Transkript

1 1 Natur, Matte- spets Gymnasiearbetet Läsåret Undflyende delgrafer Några elementära bevis Författare: Sarah Tovatt Handledare: Ulf Backlund

2 ABSTRACT Title: Undflyende delgrafer Date: Author: Sarah Tovatt Tutor: Ulf Backlund Keywords: Karp conjecture, evasiveness, subgraphs, adversary arguments To determine whether an unknown graph, with a given number of vertices, has a given property or not we ask questions of the type Is there an edge between vertex a and vertex b?. The complexity of the property is the minimal worst-case number of questions needed. If the complexity is equal to the number of possible edges the property is called evasive. A conjecture by Karp states that all monotone nontrival graph properties are evasive. In this paper we investigate and prove the evasiveness of containment of some small subgraphs. The subgraphs investigated are the two- and three-paths, two nonadjacent edges and the maximal star. The method we use, adversary arguments, is relatively simple and should make it possible for someone with only elementary knowledge of math to understand the problem.

3 INNEHÅLLSFÖRTECKNING 1. INLEDNING BAKGRUND TEORI OCH TERMINOLOGI Grafer Komplexiteten av en grafegenskap Egenskaper hos grafegenskaper Karps förmodan SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNINGAR AVGRÄNSNINGAR METOD MOTSTÅNDARARGUMENT OLIKA TYPER AV KANTER KRITISKA GRAFER BEVIS TVÅ SEPARATA KANTER O O O O STIGAR Tvåstig o o o Trestig o o o o MAXIMAL STJÄRNA DISKUSSION METODANALYS REFLEKTION ÖVER ARBETET FRAMTID REFERENSLISTA... 14

4 1. INLEDNING Karps förmodan som formulerades i början av 70-talet handlar om komplexiteten för en viss typ av grafegenskaper. Att innehålla en viss delgraf är en egenskap av den typen. I den här rapporten visar vi Karps förmodan för några specifika delgrafer, men förhoppningen är att metoden ska kunna generaliseras till att fungera för en större grupp delgrafer. Metoden som används är relativt enkel och därmed inte särskilt effektiv, men att använda en enkel metod kan bidra till att öka förståelsen för problemet. 1.1 Bakgrund Grafer kan förenklat beskrivas som nätverk av kanter och noder och kan användas för att beskriva och förenkla många problem. Ända sedan grafteorins början har de varit ett viktigt verktyg inom den diskreta matematiken. Särskilt inom datalogin har de haft stor betydelse. Det är av intresse att förbättra de algoritmer man använder så att de blir snabbare och kräver färre beräkningar, för då kan man hantera större mängder data och lösa svårare problem med hjälp av datorerna. Men, det kan också hända att de algoritmer man använder redan är så effektiva de kan bli. Komplexitet är lite förenklat ett mått på hur många operationer, i förhållande till storlek på indata, som en algoritm behöver göra för att lösa ett problem. Om algoritmen har den lägsta komplexitet som går att uppnå för att lösa det givna problemet går den inte att förbättra, men då vill man i alla fall visa att det är så. Därför är det även viktigt att bestämma komplexiteten för ett problem. När vi pratar om grafer kan ett problem till exempel vara att avgöra om en graf, som förvaras i datorn, har en viss egenskap. År 1973 formulerade Arnold L. Rosenberg, Stål Aanderaa och Dick Karp [1] en förmodan om komplexiteten för att avgöra, för en viss typ av grafegenskaper, om en graf har en given egenskap eller inte. Vanligtvis bryr man sig inte om den exakta komplexiteten utan bara som vilken typ av funktion den växer i förhållande till indata, man struntar alltså i konstanter. Men Karps förmodan, som den kallas, säger att komplexiteten kommer att vara exakt den maximala komplexiteten 1. Karps förmodan har fortfarande inte bevisats, men det har gjorts en del framsteg. År 1984 bevisade Kahn, Saks och Sturtevant [2], med avancerade metoder, att den gäller om antalet hörn i grafen är ett primtal. Andra har visat den för specifika eller grupper av egenskaper. Till exempel, för när egenskapen är att innehålla en viss delgraf, har den visats för kompletta delgrafer och för bipartita delgrafer om antalet hörn i grafen är tillräckligt stort [4]. 1.2 Teori och terminologi Grafer Matematiskt beskrivs en graf som en mängd G = {V, E}, där V är mängden av noder och E är mängden av kanter och E består av 2-delmängder av V. Ofta representeras den som punkter sammanbundna av streck där punkterna är noder och strecken är kanter, som i Fig. 1a. Notera att alla delar av grafen inte måste sitta ihop och att det kan finnas ensamma noder utan 1 Aanderaa och Rosenberg hade innan det formulerat en svagare förmodan, om den mindre exakta komplexiteten som man brukar bry sig om, den visades 1976 av Rivest och Vullemin [3]. 1

5 tillhörande kant, varje kant har dock exakt två noder, Fig. 1a föreställer alltså en graf trots att den består av tre icke sammanhängande delar. Det spelar inte heller någon roll hur grafen ritas, det viktiga är att samma kant går mellan samma noder för att det ska vara samma graf. Det finns olika typer av grafer. Grafer kan vara riktade eller oriktade. I en riktad graf har kanterna en riktning, en kant kan gå från en nod till en annan utan att det finns en kant från den andra noden tillbaka (tänk enkelriktade vägar). I en oriktad graf går kanterna mellan noderna utan speciell riktning. Det finns också multigrafer och enkla grafer. I en multigraf kan det finnas flera kanter mellan varje par av noder medan i en enkel graf kan det bara finnas en eller ingen kant, det kan heller inte finnas några kanter som går mellan en nod och samma nod i en enkel graf. I denna rapport behandlas enbart enkla, oriktade grafer, så med ordet graf avses en sådan, dock kommer våra grafer ha flera olika typer av kanter, vilket vi kommer till senare. En bipartit graf är en graf där noderna kan färgas så att ingen kant går mellan två noder av samma färg, ett specialfall av en bipartit graf är när det bara finns en nod av ena färgen och alla andra noder har en kant till den noden, en sådan graf kallas en stjärna. Den nod alla andra noder har en kant till kallas mittennod. En komplett graf är en graf där det finns en kant mellan varje par av noder. En delgraf är en del av en graf, grafen i Fig 1a. innehåller till exempel delgrafen bestående av en kant med tillhörande noder, men också delgrafen bestående av två kanter som sitter ihop. Dessa två delgrafer kallas också ettstig respektive tvåstig eftersom de har en respektive två kanter Fig. 1a. En graf innehållande en tvåstig (röd) och en trestig (blå). Fig. 1b. Grafen i Fig. 1a. Representerad som en grannmatris. I datorer kan grafer bland annat lagras i form av grannmatriser, som är ett annat sätt att representera grafer, ett exempel på en sådan kan ses i Fig. 1b. Varje nod har en rad och en kolumn och om det finns en kant mellan två noder representeras det av en etta i den ena nodens rad och den andras kolumn, annars är det en nolla där. För att ta reda på om grafen innehåller en viss kant behöver datorn då göra en operation, kolla i motsvarande rad och kolumn för att se om det finns en etta eller nolla där. Om grafen har n noder finns n 2 ettor och nollor att kolla, men om grafen är oriktad kommer grannmatrisen vara symmetrisk runt diagonalen, så i praktiken blir det bara n(n 1)! operationer för att veta exakt hur grafen! ser ut. Detta måste då vara den maximala komplexiteten, för om vi vet exakt hur grafen ser ut vet vi definitivt om den har en viss egenskap. 2

6 Komplexiteten av en grafegenskap För att undersöka hur grafen ser ut tittar datorn efter ettor och nollor i grannmatrisen som representerar grafen. Vi definierar komplexiteten för en viss egenskap som det minsta antal gånger datorn behöver titta i grannmatrisen i värsta fall för att avgöra om grafen har egenskapen 2. Tänk att vi har den bästa algoritmen som finns, men att den har maximal otur med vilken graf den får att undersöka. Vi har redan kommit fram till att den högsta komplexitet en grafegenskap kan ha är n(n 1)!, om en grafegenskap har! den komplexiteten kallas den undflyende. Om egenskapen att innehålla en viss delgraf är undflyende säger vi att delgrafen är det Egenskaper hos grafegenskaper Det här arbetet kretsar till stor del kring att avgöra om en graf har en viss egenskap, detta görs utifrån förutsättningen att antalet noder är givet men ingenting är känt om kanterna. Ibland behövs ingen ytterligare information för att avgöra om grafen har egenskapen utan det är uppenbart från början. Säg till exempel att vi har en graf med tre hörn och vill veta om den innehåller två separata kanter, dvs två kanter som inte har någon gemensam nod. Det går inte, för en kant kommer ta upp två av tre noder, nästa kant behöver också två noder, men det finns bara en kvar som inte redan är upptagen av den tidigare kanten, alltså kommer de två kanterna oavsett placering dela en nod. Det finns ingen graf med tre noder och två separata kanter, vi säger att egenskapen att innehålla två separata kanter är trivial för en graf med tre noder. En egenskap är alltså icke- trivial om det existerar minst en graf (med givet antal hörn) som har egenskapen och minst en som saknar den. En grafegenskap kan också vara monoton, det innebär att den är bevarad under tilläggande av kanter. Att innehålla en viss delgraf är ett exempel på en monoton egenskap, för om en graf innehåller en viss delgraf kommer den fortsätta göra det även om kanter läggs till Karps förmodan Vi kan nu äntligen formulera Karps förmodan. Karps förmodan säger att: varje icke- trivial, monoton grafegenskap, hos en graf med n noder, är undflyende. 1.3 Syfte och frågeställningar Målet med det här arbetet är att bevisa Karps förmodan för alla n för egenskaperna att innehålla två separata kanter, att innehålla en trestig, att innehålla en tvåstig och att innehålla en maximal stjärna, med elementära metoder. En del av det som visas i denna rapport har redan visats, och andra saker skulle inte vara särskilt svårt att visa med mer avancerade metoder, men genom att göra det med elementära metoder blir problemet tillgängligt för en större publik, och det kan även öka förståelsen för problemet. 1.4 Avgränsningar 2 Anm: Detta är det som kallas värstafallskomplexitet, det finns också bästafallskomplexitet och komplexitet som tittar på antalet operationer/tidsåtgången i genomsnitt. 3

7 En mycket tydlig avgränsning för arbetet är att undersöka Karps förmodan för ett fåtal tidigare uppräknade delgrafer. 2. METOD 2.1. Motståndarargument Vi har tidigare beskrivit hur en dator tittar efter ettor och nollor i en grannmatris för att avgöra hu en graf ser ut. Vi tänker oss nu ett spel utifrån detta. Givet är en graf med känt antal noder, n, och en grafegenskap, kanterna är däremot hemliga. Spelat spelas av två spelare, Algy och Motståndaren. Spelet går ut på att Algy försöker ta reda på om grafen har den givna egenskapen genom att fråga om kanterna, ungefär som datorn kollade i sin grannmatris. Algy väljer en möjlig kant och frågar om den finns eller inte och får svaret JA eller NEJ av Motståndaren (som vet hur grafen ser ut). Algy vinner genom att få reda på svaret utan att fråga om alla möjliga kanter, Motståndaren vinner om Algy frågar om alla kanter. För att det inte ska bli tråkigt för Motståndaren tänker vi oss att kanterna från början inte är givna utan att hen kan hitta på under spelets gång. Med dessa regler är grafen undflyende om det finns en vinnande strategi, dvs en strategi som garanterar vinst oavsett den andra personens drag, för Motståndaren. Metoden som används kallas motståndarargument och går ut på att visa att det finns en vinnande strategi för Motståndaren Olika typer av kanter För att underlätta diskussion om spelet definierar vi ytterligare några termer. För en graf med n noder finns n(n 1)! möjliga kanter, dvs kanter som skulle kunna finnas men inte! nödvändigtvis gör det. I Fig. 2 syns exempel på grafer med alla dessa kanter utritade för 3, 4 och 6 hörn. Vi kommer kalla en kant som Algy inte frågat om än för en möjlig kant och rita den streckad som kanterna i Fig 2. för att markera att vi inte vet om den finns. Fig. 2 De kompletta graferna med 3, 4 och 6 noder. När Algy har frågat om en kant och fått veta att den finns fyller vi i den och kallar den en bekräftad kant eller bara kant, om Algy däremot har fått veta att kanten inte finns gör vi den prickad och kallar den en icke-kant. Om Algy precis har frågat om en kant men inte fått svar kallar vi den en frågad kant och markerar den med ett frågetecken. Bilder på de olika typerna av kanter finns i Fig. 3. 4

8 2.3. Kritiska grafer Ett viktigt begrepp i sammanhanget är kritiska grafer, en graf (bestående av kanter, ickekanter och möjliga kanter) kallas kritisk för en viss egenskap om: 1. Den har inte egenskapen 2. Om vilken möjlig kant som helst omvandlas till en kant får grafen egenskapen (det krävs därför att det finns minst en möjlig kant att omvandla) I vårt spel innebär det att när en kritisk graf har uppnåtts kommer Algy veta att grafen har egenskapen så fort Motståndaren svarar JA på en fråga, oavsett vilken. Detta innebär också att oavsett vilken kant Algy frågar om så kan motståndaren svara NEJ och det finns fortfarande en möjlighet att grafen har egenskapen, ifall det inte var den sista möjliga kanten, men i så fall har motståndaren redan vunnit. Så om motståndaren bara kan garantera att uppnå en kritisk graf innan spelet är slut har hen vunnit, eftersom hen bara kan svara NEJ på resten av frågorna och Algy kommer varken kunna veta att grafen har egenskapen eller att den inte har det förrän hen har frågat om alla möjliga kanter. 3. BEVIS A B C D? Fig. 3 En kant (A), en icke- kant (B), en möjlig kant (C), och en frågad kant (D) Två separata kanter o o o o I det här avsnittet visar vi att egenskapen att innehålla två separata kanter, dvs två kanter som inte har en gemensam nod, är undflyende för alla n. Först visar vi att triangeln och trestjärnan är kritiska grafer för egenskapen för att sedan presentera en strategi som vi visar garanterat leder till en av de kritiska graferna. Vi börjar med att definiera triangel och trestjärna. En graf med exakt tre (bekräftade) kanter kallas en triangel om: 1. De tre kanterna tillsammans med tre noder bildar en komplett graf med tre noder. 2. Grafen innehåller minst en möjlig kant. Om dessa två villkor är uppfyllda kan grafen alltså innehålla godtyckligt många icke- kanter och ändå vara en triangel. Grafen kallas en trestjärna om: 1. Alla tre kanter har en gemensam nod. 2. Det finns inga möjliga kanter från den gemensamma noden. 3. Grafen innehåller minst en möjlig kant. Grafen kan förutom detta innehålla godtyckligt många icke- kanter. En trestjärna och en triangel med 6 noder var kan ses i Fig. 4. 5

9 Fig. 4 En trestjärna och en triangel med 6 noder var. De prick- streckade kanterna kan vara antingen möjliga kanter eller icke- kanter, men minst en av dem måste vara en möjlig kant. Lemma 1. Triangeln är en kritisk graf för egenskapen att innehålla två separata kanter. Bevis. Varje kant i triangeln delar en nod med var och en av de två andra kanterna, alltså finns ännu inte två separata kanter. Vidare sammanbinds triangelns tre kanter av tre noder på ett sådant sätt att mellan varje par av dessa tre noder går en kant. Det är därför omöjligt att lägga till en ny kant som går mellan två av dessa noder (alla par är redan upptagna). En ny kant kan alltså ha högst en nod gemensam med någon av triangelns tre kanter, mellan de övriga två noderna som sammanbinder de tre kanterna går en kant som därför måste vara separat från den nya kanten. Alltså kan ingen kant läggas till utan att grafen får egenskapen. v.s.b Lemma 2. Trestjärnan är en kritisk graf för egenskapen att innehålla två separata kanter. Bevis. Trestjärnan innehåller inga separata kanter eftersom de tre kanterna delar en nod. Det enda sättet att lägga till en kant till trestjärnan utan att skapa två separata kanter skulle vara att den nya kanten också utgick från denna nod (annars skulle den behöva gå mellan de tre kanternas andra noder och de är tre stycken, en kant kan bara gå mellan två noder), men det finns inga möjliga kanter från den noden att omvandla till kanter. Alltså kan ingen kant läggas till utan att grafen får egenskapen. v.s.b. Sats 1. Delgrafen bestående av två separata kanter är undflyende för alla n>3. Bevis. I beviset presenteras först en vinnande strategi för Motståndaren, sedan förklaras varför denna strategi är vinnande. Vinnande strategi: Svara JA på första frågan. Svara NEJ tills Algy frågar om en möjlig kant som delar en nod med den första kanten. När hen gör det svara JA. Kalla den gemensamma noden för a. 6

10 Efter det: i. Om det inte finns en trestjärna och Algy frågar om en möjlig kant som skulle skapa en triangel, svara JA. ii. Om det inte finns en triangel och Algy frågar om den sista möjliga kanten från a, svara JA (skapar trestjärna). Svara NEJ på resten av frågorna. Med denna strategi kommer Motståndaren ha uppnått en kritisk graf efter att ha svarat JA tre gånger, genom att efter det svara NEJ på resten av frågorna är hen säker på att vinna. För att se att hen uppnår en kritisk graf ser vi hur det ser ut efter att hen svarat JA andra gången. Vi kommer då ha två kanter med en gemensam nod, där den ena av dem i övrigt bara delar en nod med möjliga kanter, det finns fortfarande möjlighet att uppnå både en triangel och en trestjärna. Efter det svarar hen NEJ om det inte leder till en triangel eller trestjärna, då finns ingen risk att grafen får egenskapen. Det finns två situationer, som uppfylls av olika möjliga kanter, där Motståndaren svarar JA, alltså vet vi att när Algy frågar om en möjlig kant som uppfyller villkoren för att svara JA en tredje gång finns minst en möjlig kant till, därför skapas en kritisk graf när Motståndaren svarar JA den tredje gången. v.s.b. Exempel. I Fig. 5 illustreras strategin för n=4. * * * * Fig. 5 Motståndarens vinnande strategi, illustrerad för n=4. I de situationer utmärkta med * finns bara en fråga kvar och det är tydligt att den är nödvändig för att avgöra om grafen har egenskapen eller inte. 7

11 3.2. Stigar Tvåstig o o o Sats 2. Tvåstigen är undflyende för alla n>2. Bevis. Detta visas enklast med hjälp av induktion. De två basfallen är n=3 och n=4. För n=3 spelar ordningen på frågorna ingen roll, eftersom det bara finns tre möjliga kanter, så länge svaret på de två första frågorna är olika kommer den sista behövas, en vinnande strategi är NEJ, JA, NEJ (läsaren kan själv övertyga sig om detta). För n=4 kan följande strategi användas: Svara NEJ på första frågan. Svara JA om: i. Den frågade kanten är den (det finns bara en) som inte delar någon nod med den första icke- kanten. ii. Den frågade kanten är den sista möjliga kanten som delar en nod med den första icke- kanten. Annars NEJ. Strategin för n=4 illustreras i Fig. 6, vi ser att när endast en fråga återstår finns bara två möjliga fall och i båda avgör svaret på den frågan om tvåstigen är en delgraf till grafen eller inte. Fig. 6 För n=5, genom att svara JA på första frågan och sedan NEJ för alla frågade kanter som delar en nod med den första kanten reduceras problemet till n=3. På samma sätt kan n=6 reduceras till n=4. Detta illustreras i Fig. 7. Strategin för n=5 blir att svara JA på första frågan, NEJ på alla frågade kanter som har en gemensam nod med den första kanten och följa strategin för n=3 för övriga kanter. På detta sätt uppnås en av situationerna som visas i Fig. 8. Om den sista möjliga kanten delar en nod med den första kanten har alla frågor i strategin för n=3 ställts. Det finns därför ännu ingen känd tvåstig (eftersom sista frågan i strategin för n=3 är NEJ), men eftersom den sista möjliga kanten delar en nod med den första kanten kommer det skapas en tvåstig om svaret på sista frågan är JA och annars inte. Om den sista möjliga kanten inte delar en nod med den första kanten har problemet reducerats till det för n=3 som vi konstaterat är undflyende. 8

12 Fig. 7 Hur n=5 kan reduceras till n=3 och n=6 till n=4. För n=6 används samma strategi men den överblivna biten har fyra noder. Undflyendehet kan visas för alla n genom induktion. Genom att svara JA på första frågan och sedan NEJ på alla frågade kanter som har en gemensam nod med den första kan problemet antingen reduceras till det för n- 2, och då är delgrafen undflyende om den är det för n- 2 noder, eller så löses det som beskrivet i fallet med n=5 (där den sista möjliga kanten delar en nod med den första kanten) Trestig o o o o Fig. 8 De två möjliga sista fråge- situationerna för n=5. Sats 3. Trestigen är undflyende för alla n>3. Exempel. För n=4 kan samma strategi som för n=4 för tvåstigen användas med den enda skillnaden att svaret på första frågan är JA. Detta illustreras i Fig. 9. Fig. 9 Strategin för n=4 är nästan likadan som den för n=4 för tvåstigen. 9

13 Bevis. Den generella strategin är mycket lik den för n=4. Den kritiska grafen är en graf, med minst en möjlig kant, där varje nod har minst en kant och max en nod har två kanter. Att varje nod har minst en kant innebär att omvandlingen av vilken möjlig kant som helts till en kant kommer sammanbinda två kanter och därmed skapa en trestig. Att max en nod har två kanter garanterar att det inte finns en trestig, eftersom trestigen innehåller två noder med två kanter. Exempel på kritiska grafer kan ses i Fig. 10. Fig. 10 Exempel på kritiska grafer för udda och jämna n, den kritiska grafen uppnås genom att para ihop alla noder med kanter, för udda n krävs två kanter med en gemensam nod. För jämna n kan strategin uttryckas på följande sätt: Svara JA om och endast om: i. Den frågade kanten är separat från alla (bekräftade) kanter. ii. Svaret NEJ skulle isolera 3 en möjlig kant. Annars svara NEJ. Vi ser att svaret på första frågan blir JA eftersom det ännu inte finns några kanter och den frågade kanten är därför separat till alla kanter. Motståndaren svarar sedan JA i två fall. I fall i. paras alla noder ihop genom att hen bara svarar JA om den frågade kanten går mellan två noder utan andra kanter (dvs är separat från alla andra kanter). Det är dock lätt att inse att om en möjlig kant isoleras behöver Algy inte fråga om den eftersom den inte kommer ha betydelse för om grafen innehåller en trestig. Men om en möjlig kant riskerar att bli isolerad måste alla noder utom dess egna vara ihopparade 4. Att svara JA i den situationen kommer ändå leda till en kritisk graf. Exempel på detta kan ses i Fig En möjlig kant kallas isolerad om inga kanter eller möjliga kanter utgår från någon av dess noder. 4 För att bli isolerad kan den möjliga kanten bara dela nod med icke- kanter, därför måste den ha två oparade noder. En icke- kant å andra sidan måste dela en nod med en kant (annars hade Motståndaren ju svarat JA när Algy frågade om den). För att den möjliga kanten ska bli isolerad måste det från dess båda noder gå icke- kanter till alla andra noder, men dessa icke- kanter skulle inte kunna finnas där om inte alla andra noder hade en kant. 10

14 ? För udda n kommer en ensam nod bli över vid ihopparningen. För att lösa detta behövs en liten modifikation av strategin. Vi svarar JA vid samma tillfällen som för jämna n, men även om den frågade kanten delar en nod med en kant och följande tre villkor är uppfyllda: 1. Det finns ännu inga två kanter med en gemensam nod. 2. Den frågade kanten går mellan en kant och en icke- kant som har en gemensam nod (dvs svaret JA skapar en triangel av två kanter och en icke- kant). 3. Svaret JA skapar inte en trestig. Anm: Att svara JA när den frågade kanten delar en nod med en kant och det fortfarande går en möjlig kant mellan deras två andra noder skapar en situation där Algy inte behöver fråga om den möjliga kanten Maximal stjärna En maximal stjärna är en stjärna med maximalt antal kanter, dvs i en graf med n noder har den maximala stjärnan n- 1 kanter. Sats 4. Den maximala stjärnan är undflyende för alla n>1.? Fig. 11 Exempel på hur en möjlig kant kan bli isolerad. Bevis. En viktig observation är att om en nod har minst en icke- kant kan den inte vara mittennoden i en maximal stjärna. Därför kallar vi en nod med en eller fler icke- kanter för död. Om en kant har minst en levande (dvs inte död) nod kan den vara del av en maximal stjärna, eftersom den noden skulle kunna vara mittennoden i stjärnan. Därför kallar vi en kant död om båda dess noder är döda (och annars är den levande). Huvudtanken i beviset är att om Motståndaren dödar en möjlig kant kommer Algy inte att behöva fråga om den kanten, eftersom den ändå inte kan vara en del av en maximal stjärna. Motståndaren vill därför döda alla stjärnor, genom att döda deras mittennoder, innan de blir maximala stjärnor, men utan att döda några möjliga kanter. En vinnande strategi är följande: Svara NEJ på första frågan (därigenom dödas två noder och en kant) Efter det, svara: i. NEJ om den frågade kanten går mellan en levande och en död nod och den kanten är den sista kanten från den levande noden som går till en död nod. ii. JA annars. 11

15 Genom att använda denna strategi kan Motståndaren garantera att döda alla noder innan de blir mittennoden i en maximal stjärna, men ändå se till att inga möjliga kanter dödas. Eftersom varje gång hen dödar en nod vet vi att alla möjliga kanter från den noden går till levande noder. Fig. 12 visar några exempel.??? Fig. 12 Exempel på frågor och svar, döda noder är ofyllda. I grafen längst till vänster är svaret JA, i de andra två är svaret NEJ. 4. DISKUSSION 4.1. Metodanalys Metoden som använts är ganska enkel och därmed inte särskilt effektiv. Det är inte troligt att Karps förmodan i sin helhet kommer kunna bevisas med den typen av metod, för det skulle man i så fall behöva visa den för varje enskild egenskap och det är inte en framkomlig väg. Metoden skulle möjligen kunna generaliseras för att gälla grupper av egenskaper, t.ex. skulle resultaten för två och trestigar kanske kunna generaliseras till att gälla alla stigar, det återstår ännu att undersöka. Trots det är det otroligt att problemet kan lösas med denna typ av metod. Problemet skulle antagligen vara lättare att angripa med mer avancerad matematik, t.ex gruppteori. Ett av de viktigaste resultaten [2] använder sig av gruppteori och topologi. Resultaten i detta arbete kan dock ändå ha ett värde genom att de ökar förståelsen för problemet. Om vi t.ex vill konstruera en algoritm som undersöker en graf kan vår metod ge en bättre insikt i den faktiska processen att undersöka grafen, och därmed om hur vi konstruerar en optimal strategi för algoritmen Reflektion över arbetet Undflyendehet har redan visats för två separata kanter i [5], dock med en helt annan metod än den som används i detta arbete. Som nämndes i inledningen har också Karps förmodan visats för bipartita delgrafer om n är tillräckligt stort, eftersom alla delgrafer som behandlas i detta papper är bipartita behöver undflyendehet bara visas för små n. Även om det fortfarande är av intresse att visa det för små n, ligger värdet i detta arbete inte främst i att ha visat undflyendeheten för dessa delgrafer utan i att det möjligen kan öka förståelsen för problemet. Som nämndes i föregående stycke kan de strategier som utvecklas bidra till att ge en ökad förståelse för själva fråge-svar-processen, men särskilt är ambitionen att genom detta arbete göra ett ganska avancerat problem tillgängligt för en större publik. Det 12

16 finns idag inte mycket skrivet om detta problem som är begripligt för någon med endast elementära kunskaper i matematik, och heller inte något på svenska. 4.5 Framtid Den omedelbara fortsättningen på detta arbete skulle vara att generalisera resultaten och utveckla strategierna för att gälla för alla stigar, stjärnor och antal separata kanter. Något annat intressant skulle vara att undersöka om resultaten faktiskt kan vara till nytta för att utveckla grafundersökningsalgoritmer. Man kan t.ex fråga sig, även om det visar sig att värstafallskomplexiteten inte kan bli bättre än maximal, hur man skapar en algoritm som är så effektiv som möjligt i genomsnitt eller i de situationer som är mest troliga att inträffa. 13

17 REFERENSLISTA [1] Rosenberg, A.L., On the time required to recognize properties of graphs: A problem, SIGACT News, 5(4), 1973, P [2] Kahn, J., Saks, M., Sturtevant D., A topological approach to evasiveness, Combinatorica, 4(4), 1984, P [3] Rivest, R., Vullemin, J., On recognizing graph properties from adjacency matrices, Theoretical Computer Science, 3, 1976, P [4] Chakrabati, A., Subhash, K., Shi, Y., Evasiveness of subgraph containment and related properties, SIAM Journal on Computing, 31(3), 2002, P [5] Lenstra, H.W., Best, M.R., van Emde Boas, P. A sharpened version of the Aanderaa- Rosenberg conjecture, Report 30/74, Matematisch Centrum Amsterdam,