Graphs (chapter 14) 1
|
|
|
- Sara Falk
- för 6 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Graphs (chapter )
2 Terminologi En graf är en datastruktur som består av en mängd noder (vertices) och en mängd bågar (edges) en båge är ett par (a, b) av två noder en båge kan vara cyklisk peka på sig själv en graf kan vara riktad eller oriktad om den är oriktad så är (a, b) och (b, a) samma sak en graf kan vara viktad eller oviktad om den är viktad så är bågarna tripler (a, b, w), där w är vikten (oftast ett tal > )
3 Nodes are stations Edges are bits of line
4 Nodes are components Edges are connections
5 Seven bridges of Königsberg
6 Grafer Träd är begränsade de kan ha endast en förälder grafer kan ha hur många som helst Grafer och grafalgoritmer används för: stora kommunikationsnätverk algoritmer som får Internet att funka att beräkna den optimala placeringen av komponenter på integrerade kretsar att beskriva vägnät, kartor, flygrutter, förkunskaper till högskolekurser m.m.
7 Visuell representation Noder representeras som punkter eller cirklar Bågar representeras som linjer mellan noderna V = {A, B, C, D, E} E = {(A, B), (A, D), (C, E), (D, E)} V = {A, B, C, D, E} E = {(A, B), (B, A), (B, E), (D, A), (E, A), (E, C), (E, D)}
8 Layouten är oviktig Exakt hur vi placerar ut noderna och bågarna är oviktigt V = {,,,,,, } E = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )}
9 Viktade grafer En båge kan ha en vikt kopplad till sig motsvarande graf blir då en viktad graf En graf kan vara riktad, eller viktad, eller både och Ann Arbor Chicago Detroit Cleveland Toledo Indianapolis Pittsburgh Fort Wayne 8 Columbus Philadelphia
10 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Pittsburgh Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus A vertex is adjacent to another vertex if there is an edge to it from that other vertex
11 Stigar och cykler Philadelphia is adjacent to Pittsburgh Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus A vertex is adjacent to another vertex if there is an edge to it from that other vertex
12 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus Indianapolis is adjacent to Columbus A vertex is adjacent to another vertex if there is an edge to it from that other vertex
13 Stigar och cykler A is adjacent to D, but D is NOT adjacent to A D A B E C A vertex is adjacent to another vertex if there is an edge to it from that other vertex
14 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus A path is a sequence of vertices in which each successive vertex is adjacent to its predecessor
15 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus A path is a sequence of vertices in which each successive vertex is adjacent to its predecessor
16 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus In a simple path, the vertices and edges are distinct except that the first and last vertex may be the same
17 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis This path is a simple path Columbus In a simple path, the vertices and edges are distinct except that the first and last vertex may be the same
18 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis This path is NOT a simple path Columbus In a simple path, the vertices and edges are distinct except that the first and last vertex may be the same
19 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus A graph that has a cycle is called cyclic Otherwise it is acyclic A cycle is a simple path in which only the first and final vertices are the same
20 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus In an undirected graph a cycle must contain at least three distinct vertices Pittsburgh Columbus Pittsburgh is not a cycle A cycle is a simple path in which only the first and final vertices are the same
21 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis Columbus An undirected graph is called a connected graph if there is a path from every vertex to every other vertex
22 Stigar och cykler Ann Arbor Detroit Cleveland Toledo Chicago 8 Fort Wayne 8 Pittsburgh 8 Philadelphia 8 Indianapolis This graph is a connected graph Columbus An undirected graph is called a connected graph if there is a path from every vertex to every other vertex
23 Stigar och cykler An undirected graph is called a connected graph if there is a path from every vertex to every other vertex
24 Stigar och cykler This graph is a connected graph An undirected graph is called a connected graph if there is a path from every vertex to every other vertex
25 Stigar och cykler An undirected graph is called a connected graph if there is a path from every vertex to every other vertex
26 Stigar och cykler This graph is NOT a connected graph An undirected graph is called a connected graph if there is a path from every vertex to every other vertex
27 Stigar och cykler If a graph is not connected, it is considered unconnected, but still consists of connected components
28 Stigar och cykler {, } are connected components If a graph is not connected, it is considered unconnected, but will still consist of connected components
29 Stigar och cykler {, 7, 8, 9} are connected components If a graph is not connected, it is considered unconnected, but will still consist of connected components
30 Stigar och cykler A single vertex with no edge is also considered a connected component If a graph is not connected, it is considered unconnected, but will still consist of connected components
31 Träd är grafer
32 Att implementera grafer Alternativ : Bågarna representeras av en array med V listor (kallad adjacency lists ), en lista för varje nod varje lista innehåller de noder som gränsar till den givna noden listan är oordnad Alternativ : Bågarna representeras av en dimensionell array (kallad adjacency matrix ), med V rader och V kolumner cellerna kan då innehålla bågens vikt
33 Adjacency list riktad graf
34 Adjacency list oriktad graf
35 Adjacency matrix Vi använder en -dimensionell array. För en oviktad graf, kan cellerna innehålla boolean eller heltal: heltalsvärden har ibland en fördel om vi utnyttjar matrismultiplikation, vilket vissa grafalgoritmer gör För en viktad graf, kommer cellerna att innhålla vikterna: vi använder värdet Double.POSITIVE_INFINITY för att representera frånvaron av en båge detta för att kunna representera en båge med vikten I en oriktad graf är matrisen symmetrisk över huvuddiagonalen: vi behöver alltså bara använda den nedre vänstra triangeln
36 Adjacency matrix, oviktad
37 Adjacency matrix, viktad
38 Vilken är bäst lista eller matris Effektiviteten beror på algoritmen och grafens densitet. Densiteten är kvoten E / V i en tät (dense) graf är E nära V i en gles (sparse) graf är E mycket mindre än V Vi kan anta att O( E ) = O( V ) för en tät graf O( E ) = O( V ) för en gles graf 8
39 Vilken är bäst? Många grafalgoritmer är på formen for each vertex u in the graph: for each vertex v adjacent to u: do something with edge (u, v) I en adjacency list, så kommer vi att gå igenom varje båge exakt en gång, vilket ger en komplexitet på O( E ). I en adjacency matrix, så måste vi även pröva alla par (u, v) som inte har någon båge. Steg och är O( V ) vardera, vilket ger en komplexitet på O( V ). om grafen är tät så är O( E ) = O( V ), och båda representationerna är lika effektiva men om grafen är gles så är O( E ) = O( V ), och list-representationen är effektivare
40 Vilken är bäst? En del grafalgoritmer är på formen for each vertex u in some subset of the vertices: for each vertex v in some subset of the vertices: if (u, v) is an edge: do something with edge (u, v) I en adjacency matrix, så är steg och O( V ) var, och steg är O(). Hela algoritmen blir alltså O( V ). I en adjacency list, så är steg O( V ), medan kombinationen av steg och är O( E ). Hela algoritmen blir alltså O( V E ). om grafen är gles så är O( E ) = O( V ), och båda representationerna är lika effektiva men i en tät graf är O( E ) = O( V ), vilket gör att listrepresentationen blir O( V ), och matris-representationen är effektivare
41 Vilken är bäst? Alltså, för tidskomplexiteten gäller: om grafen är tät så är adjacency matrix bättre om grafen är gles så är adjacency list bättre Hur är det med minnet? en adjacency matrix behöver allokera plats för V celler en adjacency list behöver bara plats för E Edge-objekt men varje Edge innehåller pekare till source, destination, weight och nästa båge i listan alltså behöver en adjacency list plats för E värden dvs, om grafen är ca % full så tar representationerna ungefär lika mycket minne
42 Grafer, traversering
43 Traversering av grafer De flesta grafalgoritmer innebär att besöka varje nod i någon systematisk ordning precis som med träd så finns det olika sätt att göra detta på De två vanligaste metoderna är: bredden-först-sökning djupet-först-sökning
44 BFS: Bredden-förstsökning Vid bredden-först så besöker vi noderna i följande ordning: besök startnoden först sedan alla angränsande noder sedan alla noder som kan nås via två bågar sedan alla noder som kan nås via tre bågar och så vidare Vi besöker alltså alla noder som kan nås i k steg, innan vi besöker de noder som kan nås i k+ steg. Eftersom ingen nod är speciell så antar vi för enkelhets skull att nod nr är startnoden.
45 Example of a BreadthFirst Search un identified
46 Example of a Breadth-First Identify the start node un identified
47 Example of a Breadth-First While visiting it, we can identify its adjacent nodes un identified
48 Example of a Breadth-First We identify its adjacent nodes and add them to a queue of identified nodes 7 Visit sequence: 9 8 un identified
49 Example of a Breadth-First We identify its adjacent nodes and add them to a queue of identified nodes Queue:, 7 Visit sequence: 9 8 un identified
50 Example of a Breadth-First We color the node as Queue:, 7 Visit sequence: 9 8 un identified
51 Example of a Breadth-First The queue determines which nodes to visit next Queue:, 7 Visit sequence: 9 8 un identified
52 Example of a Breadth-First Visit the first node in the queue, Queue:, 7 Visit sequence: 9 8 un identified
53 Example of a Breadth-First Visit the first node in the queue, Queue: 7 Visit sequence:, 9 8 un identified
54 Example of a Breadth-First Select all its adjacent nodes that have not been or identified Queue: 7 Visit sequence:, 9 8 un identified
55 Example of a Breadth-First Select all its adjacent nodes that have not been or identified Queue:,,,, 7 7 Visit sequence:, 9 8 un identified
56 Example of a Breadth-First Now that we are done with, we color it as Queue:,,,, 7 7 Visit sequence:, 9 8 un identified
57 Example of a Breadth-First and then visit the next node in the queue, (which was identified in the first selection) Queue:,,,, 7 7 Visit sequence:, 9 8 un identified
58 Example of a Breadth-First and then visit the next node in the queue, (which was identified in the first selection) Queue:,,, 7 7 Visit sequence:,, 9 8 un identified
59 Example of a Breadth-First has two adjacent vertices. has already been and has already been identified. We are done with Queue:,,, 7 7 Visit sequence:,, 9 8 un identified
60 Example of a Breadth-First The next node in the queue is Queue:,,, 7 7 Visit sequence:,, 9 8 un identified
61 Example of a Breadth-First The next node in the queue is Queue:,, 7 7 Visit sequence:,,, 9 8 un identified
62 Example of a Breadth-First 8 and 9 are the only adjacent vertices not already or identified Queue:,, 7, 8, 9 7 Visit sequence:,,, 9 8 un identified
63 Example of a Breadth-First is next Queue:, 7, 8, 9 7 Visit sequence:,,,, 9 8 un identified
64 Example of a Breadth-First is the only vertex not already or identified Queue:, 7, 8, 9, 7 Visit sequence:,,,, 9 8 un identified
65 Example of a Breadth-First has no vertices not already or identified Queue: 7, 8, 9, 7 Visit sequence:,,,,, 9 8 un identified
66 Example of a Breadth-First has no vertices not already or identified Queue: 7, 8, 9, 7 Visit sequence:,,,,, 9 8 un identified
67 Example of a Breadth-First 7 has no vertices not already or identified Queue: 8, 9, 7 Visit sequence:,,,,,, un identified
68 Example of a Breadth-First 7 has no vertices not already or identified Queue: 8, 9, 7 Visit sequence:,,,,,, un identified
69 Example of a Breadth-First We go back to the vertices of and visit them Queue: 8, 9, 7 Visit sequence:,,,,,, un identified
70 Example of a Breadth-First 8 has no vertices not already or identified Queue: 9, 7 Visit sequence:,,,,,, 7, un identified
71 Example of a Breadth-First 9 has no vertices not already or identified Queue: 7 Visit sequence:,,,,,, 7, 8, un identified
72 Example of a Breadth-First Finally we visit Queue: 7 Visit sequence:,,,,,, 7, 8, un identified
73 Example of a Breadth-First which has no vertices not already or identified Queue: empty 7 Visit sequence:,,,,,, 7, 8, 9, 9 8 un identified
74 Example of a Breadth-First The queue is empty; all vertices have been Queue: empty 7 Visit sequence:,,,,,, 7, 8, 9, 9 8 un identified
75 Algoritm för breddenförst
76 Exempel: Kortaste vägen För att hitta kortaste vägen genom en labyrint, kan vi representera labyrinten som en graf: 7
77 Exempel: Kortaste vägen Bredden-först-sökning ger den kortaste vägen: dvs, minsta antalet korsningar, inte celler! 7 7
78 Bredden-först-sökträdet Vi kan bygga ett träd som består av de bågar som vi faktiskt utnyttjade vid sökningen. Detta träd har alla noder och en del av bågarna från originalgrafen. Informationen som behövs för att representera sökträdet, kan lagras i ett fält: Där lagrar vi föräldern till varje båge när den identifieras. Vi kan förfina steg 7 i algoritmen såhär: 7.. Stoppa in nod v i kön 7.. Sätt v:s förälder till u 7 8
79 DFS: Djupet-förstsökning Vid djupet-först-sökning så besöker vi noderna i följande ordning: besök startnoden först välj en angränsande nod att besöka sedan en angränsande nod till denna och så vidare tills det inte finns några fler noder sedan backar vi och kollar ifall vi kan hitta en annan angränsande båge och så vidare 7 9
80 Example of a Depth-First Search un being
81 Example of a Depth-First Mark as being Discovery (Visit) order: Finish order: un being
82 Example of a Depth-First Choose an adjacent vertex that is not being Discovery (Visit) order: Finish order: un being
83 Example of a Depth-First Choose an adjacent vertex that is not being Discovery (Visit) order:, Finish order: un being
84 Example of a Depth-First (Recursively) choose an adjacent vertex that is not being Discovery (Visit) order:,, Finish order: un being
85 Example of a Depth-First (Recursively) choose an adjacent vertex that is not being Discovery (Visit) order:,, Finish order: un being
86 Example of a Depth-First (Recursively) choose an adjacent vertex that is not being Discovery (Visit) order:,,, Finish order: un being
87 Example of a Depth-First There are no vertices adjacent to that are not being Discovery (Visit) order:,,, Finish order: un being
88 Example of a Depth-First Mark as Discovery (Visit) order:,,, Finish order: un being
89 Example of a Depth-First Return from the recursion to ; all adjacent nodes to are being Finish order: un being
90 Example of a Depth-First Mark as Finish order:, un being
91 Example of a Depth-First Return from the recursion to Finish order:, un being
92 Example of a Depth-First All vertices adjacent to are being Finish order:, un being
93 Example of a Depth-First Mark as Finish order:,, un being
94 Example of a Depth-First Return from the recursion to Finish order:,, un being
95 Example of a Depth-First is adjacent to and is not being Finish order:,, un being
96 Example of a Depth-First is adjacent to and is not being Discovery (Visit) order:,,,, Finish order:,, un being
97 Example of a Depth-First is adjacent to and is not being Discovery (Visit) order:,,,, Finish order:,, un being
98 Example of a Depth-First is adjacent to and is not being Discovery (Visit) order:,,,,, Finish order:,, un being
99 Example of a Depth-First is adjacent to and is not being Discovery (Visit) order:,,,,, Finish order:,, un being
100 Example of a Depth-First is adjacent to and is not being Discovery (Visit) order:,,,,,, Finish order:,, un being
101 Example of a Depth-First There are no vertices adjacent to not being ; mark as Discovery (Visit) order:,,,,,, Finish order:,, un being
102 Example of a Depth-First There are no vertices adjacent to not being ; mark as Discovery (Visit) order:,,,,,, Finish order:,,, un being
103 Example of a Depth-First Return from the recursion to Finish order:,,, un being
104 Example of a Depth-First Mark as Finish order:,,, un being
105 Example of a Depth-First Mark as Finish order:,,,, un being
106 Example of a Depth-First Return from the recursion to Finish order:,,,, un being
107 Example of a Depth-First Mark as Finish order:,,,, un being
108 Example of a Depth-First Mark as Finish order:,,,,, un being
109 Example of a Depth-First Return from the recursion to Finish order:,,,,, un being
110 Example of a Depth-First There are no nodes adjacent to not being Finish order:,,,,, un being
111 Example of a Depth-First Mark as Discovery (Visit) order:,,,,,,, Finish order:,,,,,, un being
112 Upptäcktsordning Upptäcktsordningen (discovery order) är den ordning vilken noderna upptäcks:,,,,,, i detta exempel Avslutningsordningen (finish order) är ordningen i vilken noderna avslutas,,,,,, i detta exempel vi kan lagra bakåtpekare, precis som vi gjorde för bredden-först
113 Algoritm för breddendjupet först Depth stack stack stack stack Djupet-först kan implementeras på exakt samma sätt som bredden-först, fast med en stack istället för en kö
114 Djupet-först, rekursivt Men det går lika bra med en rekursiv implementation, eftersom det är ett sätt att dölja att man använder en stack Dessutom kan vi spara avslutningsordningen enkelt (finish order)
115 Komplexitet för BFS/DFS Varje båge testas maximalt en gång (två gånger för oriktade grafer) I värsta fallet blir det alltså E tester ( E för oriktade grafer) Dvs, komplexiteten är O( E ) (även för oriktade grafer) Detta gäller både bredden-först och djupet-först
116 DAG: Riktade acykliska grafer Detta är en DAG (directed acyclic graph) en riktad graf utan cykler i en DAG kan man bara gå framåt, det finns ingen väg tillbaks
117 Exempel: Topologisk sortering En topologisk sortering av noderna i en DAG, är att lista noderna i en sådan ordning att om (u, v) är en båge, så kommer u före v i listan varje DAG har minst en topologisk sortering, ofta fler än en 78 är en giltig topologisk sortering av denna DAG, men 78 är det inte
118 Exempel: Topologisk sortering Antag att vi gör en djupet-först-sökning av en DAG: om det finns en båge (u, v) i grafen, så måste u bli klar efter att v är klar dvs, u måste komma efter v i avslutningsordningen En enkel algoritm för topologisk sortering blir alltså: gör en djupet-först-sökning av grafen lista noderna i omvänd avslutningsordning
119 Summary Graphs: typically implemented using adjacency lists or adjacency matrix can be directed, undirected, weighted, unweighted cyclic, acylic (directed acyclic graph (DAG) very common type) paths, cycles, strongly connected components Traversals: breadth-first search depth-first search + topological sorting 9
Grafer, traversering. Koffman & Wolfgang kapitel 10, avsnitt 4
Grafer, traversering Koffman & Wolfgang kapitel 1, avsnitt 4 1 Traversering av grafer De flesta grafalgoritmer innebär att besöka varje nod i någon systematisk ordning precis som med träd så finns det
Grafer, allmänt. Med datastrukturen graf menas vanligen: en mängd av noder (vertices) och en mängd av bågar (edges).
Grafer, allmänt Allmänt Med datastrukturen graf menas vanligen: en mängd av noder (vertices) och en mängd av bågar (edges). En graf kan vara riktad (directed) eller oriktad (undirected). En graf kan vara
Föreläsning Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning Datastrukturer (DAT037) Nils Anders Danielsson 2015-11-23 Idag Mer om grafer: Minsta uppspännande träd (för oriktade grafer). Djupet först-sökning. Minsta uppspännande träd Träd (utan rot)
Föreläsning 8 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 8 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 22 november 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Föreläsning 8 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 8 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-23 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Föreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2013-11-18 Idag Mer om grafer: Minsta uppspännande träd (för oriktade grafer). Prims algoritm. Kruskals algoritm. Djupet först-sökning. Cykel
Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 15 november 2017 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037
Datastrukturer. föreläsning 9. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 9 Maps 1 Grafer och grafalgoritmer Hur implementerar man grafer? Hur genomsöker (traverserar) man grafer? Hur genomsöker man viktade grafer (och hittar kortaste vägen)? Hur beräknar
Föreläsning Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning Datastrukturer (DAT037) Nils Anders Danielsson 2015-11-20 Idag Grafer: Terminologi. Datastrukturer. Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. (Vi får
Föreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2013-11-13 Idag Grafer: Terminologi. Datastrukturer. Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. (Vi får
Föreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2012-11-13 Idag Mer om grafer: Topologisk sortering. Kortaste vägen. Bredden först-sökning. Dijkstras algoritm. Floyd-Warshall. Topologisk sortering
Datastrukturer. föreläsning 8. Lecture 6 1
atastrukturer föreläsning 8 Lecture 6 1 jupet-först sökning (S) och bredden-först sökning (S) Två metoder att genomsöka en graf; två grafiteratorer! Kan även användas för att avgöra om två noder är sammanbundna.
Föreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Broarna i Königsberg, Euler, 17 Grafer
Föreläsning 7 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 7 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-21 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Föreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Läsanvisning och uppgifter Broarna
Föreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim
Föreläsning 10 Grafer, Dijkstra och Prim Föreläsning 10 Grafer Representation av grafer Dijkstras algoritm Implementation av Dijkstras algoritm Minimium spanning tree Läsanvisning och uppgifter Broarna
Datastrukturer. föreläsning 8. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 8 Maps 1 Att hitta den kortaste vägen 0 8 A 4 2 8 B 7 2 C 1 D 2 5 3 9 8 E F 5 3 Lecture 6 2 Viktade grafer I en viktad graf tillordnar vi ett tal till varje båge. Detta tal kallas
Övning 3 - Tillämpad datalogi 2012
/home/lindahlm/activity-phd/teaching/12dd1320/exercise3/exercise3.py September 14, 20121 0 # coding : latin Övning 3 - Tillämpad datalogi 2012 Summering Vi gick igenom problemträd, sökning i problem träd
Näst nästa gång: Nästa gång: mer grafer (kap 10) Grafer 1 1. ! uppspännande träd. ! minimala uppspännande träd. ! Prims algoritm. !
F9 Läsanvisning: kap 10 + dessa OH (Obs att OH bilderna tar upp mer än boken) intro till grafer (bara handskrivet och tavla) definitioner och terminologi representationer djupet först bredden först Nästa
Föreläsning 5: Grafer Del 1
2D1458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 5: Grafer Del 1 Datum: 2006-10-02 Skribent(er): Henrik Sjögren, Patrik Glas Föreläsare: Gunnar Kreitz Den här föreläsningen var den första
FÖRELÄSNING 11 DATALOGI I
Föreläsning I07 FÖRELÄSNING DATALOGI I Grafer Beatrice Åkerblom beatrice@dsv.su.se Institutionen för Data- och Systemvetenskap SU/KTH Föreläsning I07 Läsanvisningar Michael Main Data Structures & Other
Quicksort. Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9
Quicksort Koffman & Wolfgang kapitel 8, avsnitt 9 1 Quicksort Quicksort väljer ett spcifikt värde (kallat pivot), och delar upp resten av fältet i två delar: alla element som är pivot läggs i vänstra delen
Trädstrukturer och grafer
Översikt Trädstrukturer och grafer Trädstrukturer Grundbegrepp Binära träd Sökning i träd Grafer Sökning i grafer Programmering tillämpningar och datastrukturer Varför olika datastrukturer? Olika datastrukturer
Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-17 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt. Se http://www.cse.chalmers.se/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 6. NP-problem
Algoritmer och Komplexitet ht 08. Övning 6 NP-problem Frekvensallokering Inom mobiltelefonin behöver man lösa frekvensallokeringsproblemet som lyder på följande sätt. Det finns ett antal sändare utplacerade.
träd dag graf båge och vikt Grafer definitioner och terminologi
F9 Läsanvisning: kap 0 + dessa OH (Obs att OH bilderna tar upp mer än boken) intro till grafer (bara handskrivet och tavla) definitioner och terminologi representationer djupet först bredden först Nästa
TNK049 Optimeringslära
TNK49 Optimeringslära Clas Rydergren, ITN Föreläsning 7 Nätverksoptimering Billigaste uppspännande träd (MST) Billigaste väg (SP) Projektnätverk Minkostnadsflödesproblem Agenda Terminologi för grafer/nätverk
Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1
Styrteknik: Binära tal, talsystem och koder D3:1 Digitala kursmoment D1 Boolesk algebra D2 Grundläggande logiska funktioner D3 Binära tal, talsystem och koder Styrteknik :Binära tal, talsystem och koder
Isometries of the plane
Isometries of the plane Mikael Forsberg August 23, 2011 Abstract Här följer del av ett dokument om Tesselering som jag skrivit för en annan kurs. Denna del handlar om isometrier och innehåller bevis för
NP-fullständighetsbevis
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet, hösten 2016 Uppgifter till övning 9 NP-fullständighetsbevis På denna övning är det också inlämning av skriftliga lösningar av teoriuppgifterna till labb 4 och
Datastrukturer. föreläsning 9. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 9 Maps 1 Minsta uppspännande träd Maps 2 Minsta uppspännande träd Uppspännande träd till graf fritt delträd innehåller alla noderna Minsta uppspännande träd (MST) är det uppspännande
TENTAMEN: Algoritmer och datastrukturer. Läs detta! Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter svårighetsgrad.
1 (8) TENTAMEN: Algoritmer och datastrukturer Läs detta! Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter svårighetsgrad. Börja varje uppgift på ett nytt blad. Skriv ditt namn och personnummer på varje blad
Datastrukturer och Algoritmer D0041D
Luleå Tekniska Universitet 19 mars 2014 Laborationsrapport Laboration 3 Datastrukturer och Algoritmer D0041D Primms Algoritm Namn E-mail Magnus Björk magbjr-3@ltu.student.se Handledare Felix Hansson Primms
Föreläsning Datastrukturer (DAT036)
Föreläsning Datastrukturer (DAT036) Nils Anders Danielsson 2013-11-25 Idag Starkt sammanhängande komponenter Duggaresultat Sökträd Starkt sammanhängande komponenter Uppspännande skog Graf, och en möjlig
Lösningar Datastrukturer TDA
Lösningar Datastrukturer TDA416 2016 12 21 roblem 1. roblem 2. a) Falskt. Urvalssortering gör alltid samma mängd av jobb. b) Sant. Genom att ha en referens till sista och första elementet, kan man nå både
OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15 13:15
OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 140818 kl. 08:15 13:15 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna. Betygsgräns: *** OBS *** Kurs:
Föreläsning 1. Introduktion och sökning i graf. Vad är en algoritm?
Föreläsning 1. Introduktion och sökning i graf Vad är en algoritm? Först: Vad är ett problem? Består av indata och ett mål. Indata: [En beskrivning av en struktur.] Mål: [Kan vara Ja/Nej, ett tal eller
Föreläsning 6. Slumptal Testa slumptal Slumptal för olika fördelningar Grafer Datastrukturen graf
Föreläsning 6 Slumptal Testa slumptal Slumptal för olika fördelningar Grafer Datastrukturen graf Repetition En dator kan inte generera slumptal då den är helt deterministisk, däremot kan den generera pseudo-slumptal
Grafer MST Top. sortering Starkt samm. komponenter Kortaste avstånd. Grafalgoritmer 1. Douglas Wikström KTH Stockholm
Grafalgoritmer 1 Douglas Wikström KTH Stockholm popup-help@csc.kth.se Oriktade och riktade grafer Definition. En oriktad graf består av en mängd noder V och en mängd kanter E, där en kant är ett oordnat
Lösningsförslag till tentamen Datastrukturer, DAT037 (DAT036), Tiden det tar att utföra en iteration av loopen är oberoende av värdet på
Lösningsförslag till tentamen Datastrukturer, DAT037 (DAT036), 2017-01-11 1. Loopen upprepas n gånger. getat på en dynamisk array tar tiden O(1). member på ett AVL-träd av storlek n tar tiden O(log n).
TDDC30. Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 8 Erik Nilsson, Institutionen för Datavetenskap, LiU
TDDC30 Objektorienterad programmering i Java, datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 8 Erik Nilsson, Institutionen för Datavetenskap, LiU På denna föreläsning: Träd Traversering Insättning, borttagning
Datastrukturer. föreläsning 7. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 7 Maps 1 Grafer Maps 2 Grafer ett exempel En oriktad graf: Noderna är flygplatser (trebokstavskombinationer) Det finns en båge mellan två noder omm det finns en flyglinje mellan
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 9 oktober 2015 Anton Grensjö ADK Övning 6 9 oktober 2015 1 / 23 Översikt Kursplanering Ö5: Grafalgoritmer och undre
Föreläsning 4: Kombinatorisk sökning
DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 4: Kombinatorisk sökning Datum: 2009-09-25 Skribent(er): Kristina Nylander, Dennis Ekblom, Marcus Öman Föreläsare: Fredrik Niemelä 1 Introduktion
Tentamen MMG610 Diskret Matematik, GU
Tentamen MMG610 Diskret Matematik, GU 2017-01-04 kl. 08.30 12.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU Telefonvakt: Peter Hegarty, telefon: 0766 377 873 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel,
Trafiksimulering: Grafalgoritmer
1 (38) Trafiksimulering: Grafalgoritmer Michael Hanke Skolan för teknikvetenskap SF1538 Projekt i simuleringsteknik 2 (38) Introduktion Varför grafalgoritmer? Grafer möjliggör en enkel och systematisk
Föreläsningsanteckningar F6
Föreläsningsanteckningar F6 Martin Andersson & Patrik Falkman Kortaste vägen mellan en nod och alla andra noder Detta problem innebär att givet en graf G = (E,V) hitta den kortaste vägen över E från en
Beijer Electronics AB 2000, MA00336A, 2000-12
Demonstration driver English Svenska Beijer Electronics AB 2000, MA00336A, 2000-12 Beijer Electronics AB reserves the right to change information in this manual without prior notice. All examples in this
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algoritmer, datastrukturer och komplexitet Övning 6 Anton Grensjö grensjo@csc.kth.se 4 oktober 2017 1 Idag Algoritmkonstruktion (lite blandat) Redovisning och inlämning av labbteori 3 2 Uppgifter Uppgift
Preschool Kindergarten
Preschool Kindergarten Objectives CCSS Reading: Foundational Skills RF.K.1.D: Recognize and name all upper- and lowercase letters of the alphabet. RF.K.3.A: Demonstrate basic knowledge of one-toone letter-sound
Datastrukturer. föreläsning 7. Maps 1
Datastrukturer föreläsning 7 Maps 1 Hashtabeller 0 1 2 3 025-612-0001 4 451-229-0004 981-101-0004 Maps 2 Kollisioner vad gör man? Använder hinkar ( hashing in buckets, chaining ) Cellen med index i innehåller
Tentamen Datastrukturer (DAT037)
Tentamen Datastrukturer (DAT07) Datum och tid för tentamen: 2016-01-09, 14:00 18:00. Ansvarig: Nils Anders Danielsson. Nås på 0700 620 602 eller anknytning 1680. Besöker tentamenssalarna ca 15:00 och ca
Tentamen Datastrukturer (DAT036)
Tentamen Datastrukturer (DAT036) Det här är inte originaltesen. Uppgift 6 var felaktigt formulerad, och har rättats till. Datum och tid för tentamen: 2011-12-16, 8:30 12:30. Ansvarig: Nils Anders Danielsson.
Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann 1 En graf är en struktur av prickar förbundna med streck. Ett tidsenligt exempel på en sådan struktur är ett social nätverk, där prickarna motsvarar personer och en streck mellan två prickar
F11. Läsanvisning: kap 10 + dessa OH. Kruskals algoritm kortaste vägar en till alla
F11 Läsanvisning: kap 10 + dessa OH Kruskals algoritm kortaste vägar en till alla Dijkstras algoritm (Den här föreläsningen är också delvis samma som en från algoritmkursen därav språkvalet.) För lab 3:
Prov i DAT 312: Algoritmer och datastrukturer för systemvetare
Prov i DAT 312: Algoritmer och datastrukturer för systemvetare Jacek Malec Datavetenskap, LU 11 april 2003 Datum 11 april 2003 Tid 14 19 Ansvarig lärare Jacek Malec (tel. 03 9890431) Hjälpmedel inga Antal
Upplägg. Binära träd. Träd. Binära träd. Binära träd. Antal löv på ett träd. Binära träd (9) Binära sökträd (10.1)
Binära träd Algoritmer och Datastrukturer Markus Saers markus.saers@lingfil.uu.se Upplägg Binära träd (9) Binära sökträd (0.) Träd Många botaniska termer Träd, rot, löv, gren, Trädets rot kan ha ett antal
Tentamen Datastrukturer (DAT036/DAT037/DIT960)
Tentamen Datastrukturer (DAT036/DAT037/DIT960) Datum och tid för tentamen: 2016-04-07, 14:00 18:00. Författare: Nils Anders Danielsson. (Tack till Per Hallgren och Nick Smallbone för feedback.) Ansvarig:
denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) och v = (a) Beräkna u (2u 2u v) om u = . (1p) och som är parallell
Kursen bedöms med betyg, 4, 5 eller underänd, där 5 är högsta betyg. För godänt betyg rävs minst 4 poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter an ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna
Tentamen i Matematik 2: M0030M.
Tentamen i Matematik 2: M0030M. Datum: 203-0-5 Skrivtid: 09:00 4:00 Antal uppgifter: 2 ( 30 poäng ). Examinator: Norbert Euler Tel: 0920-492878 Tillåtna hjälpmedel: Inga Betygsgränser: 4p 9p = 3; 20p 24p
ORDINARIE TENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15 13:15
ORDINARIE TENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 150112 kl. 08:15 13:15 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna eller i bilogarna. ***
Datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 15 Inför tentamen
Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 15 Inför tentamen 1 Innehåll Kursvärdering Vi behöver granskare! Repetition Genomgång av gammal tenta 2 Första föreläsningen: målsättningar Alla ska höja sig ett
729G04 - Diskret matematik. Lektion 4
729G04 - Diskret matematik. Lektion 4 1 Lösningsförslag 1.1 Vägar, stigar och annat 1. Vi ges den oriktade grafen G=(V,E), V = {a, b, c, d, f, g, h, i, j}, E = {{a, b}, {b, c}, {a, c}, {f, g}, {c, d},
Lösningsförslag för tentamen i Datastrukturer (DAT037) från
Lösningsförslag för tentamen i Datastrukturer (DAT7) från --9 Nils Anders Danielsson. Träd- och köoperationerna har alla tidskomplexiteten O(log s), där s är antalet element i trädet/kön (notera att jämförelser
Föreläsning 2: Grafer. Exempel på graf
Föreläsning 2: Grafer Vad är en graf? Terminologi Representationer Genomgång av hörnen i en graf Kortaste väg-problemet Exempel på graf Falun Uppsala Karlstad Västerås Stockholm Eskilstuna Örebro En graf
TENTAMEN: Algoritmer och datastrukturer. Läs detta! Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter svårighetsgrad.
1 (7) TENTAMEN: Algoritmer och datastrukturer Läs detta! Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter svårighetsgrad. Börja varje uppgift på ett nytt blad. Skriv ditt idnummer på varje blad (så att vi
ORDINARIE TENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15 13:15
ORDINARIE TENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 160119 kl. 08:15 13:15 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna eller i bilogarna. ***
Support Manual HoistLocatel Electronic Locks
Support Manual HoistLocatel Electronic Locks 1. S70, Create a Terminating Card for Cards Terminating Card 2. Select the card you want to block, look among Card No. Then click on the single arrow pointing
Tentamen Datastrukturer D DAT 036/INN960
Tentamen Datastrukturer D DAT 036/INN960 18 december 2009 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. Betygsgränser, CTH: 3 = 24 p, 4 = 36 p, 5 = 48 p, GU:
Tentamen Datastrukturer för D2 DAT 035
Tentamen Datastrukturer för D2 DAT 035 17 december 2005 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng från övningarna tillkommer.) Betygsgränser:
Avancerad Problemlösning och Programmering i Praktiken
Avancerad Problemlösning och Programmering i Praktiken Grafalgoritmer II High Performance Computing Center North (HPC2N) Grafrepresentation Igår: Grafrepresentation DFS BFS Kortaste vägen MST Kortaste
Tentamen Datastrukturer D DAT 036/DIT960
Tentamen Datastrukturer D DAT 036/DIT960 17 december 2010 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 0736-341480 eller ankn 1035 Max poäng på tentamen: 60. Betygsgränser, CTH: 3 = 24 p, 4 = 36 p, 5 =
Kapitel 9: Grafalgoritmer
Kapitel 9: Grafalgoritmer En graf G = (V, E) karakteriseras av två mängder en ändlig icke-tom mängd V av noder (vertex) en mängd E av bågar (edges eller arcs) varje båge är ett par (v, w), där v, w är
Tentamen Datastrukturer (DAT036)
Tentamen Datastrukturer (DAT036) Datum och tid för tentamen: 2014-04-25, 14:00 18:00. Författare: Nils Anders Danielsson. Ansvarig: Nils Anders Danielsson. Nås på 0700 620 602 eller anknytning 1680. Besöker
Datastrukturer och algoritmer. Föreläsning 4 Test, Stack och Kö
Datastrukturer och algoritmer Föreläsning 4 Test, Stack och Kö 1 Innehåll Test Datatyperna Stack och kö Specifikation och Gränssnitt Konstruktion Tillämpning 2 Testa VIKTIGT! Test går att göra under många
Lösningsförslag till tentamen Datastrukturer, DAT037,
Lösningsförslag till tentamen Datastrukturer, DAT037, 2018-04-05 1. q.dequeue() tar O(1) (eventuellt amorterat) s.contains(x) tar O(1) pq.add(x) tar O(log i) I värsta fall exekveras innehållet i if-satsen.
Tentamen Datastrukturer (DAT036)
Tentamen Datastrukturer (DAT036) Datum och tid för tentamen: 2013-12-16, 14:00 18:00. Ansvarig: Nils Anders Danielsson. Nås på 0700 620 602 eller anknytning 1680. Besöker tentamenssalarna ca 15:00 och
Algoritmer och datastrukturer, föreläsning 11
lgoritmer och datastrukturer, föreläsning 11 enna föreläsning behandlar grafer. En graf har en mängd noder (vertex) och en mängd bågar (edge). Ett exempel är: E F G H Z enna graf har följande mängd av
English. Things to remember
English Things to remember Essay Kolla instruktionerna noggrant! Gå tillbaka och läs igenom igen och kolla att allt är med. + Håll dig till ämnet! Vem riktar ni er till? Var ska den publiceras? Vad är
Datastrukturer. föreläsning 3. Stacks 1
Datastrukturer föreläsning 3 Stacks 1 Abstrakta datatyper Stackar - stacks Köer - queues Dubbeländade köer - deques Vektorer vectors (array lists) All är listor men ger tillgång till olika operationer
Webbregistrering pa kurs och termin
Webbregistrering pa kurs och termin 1. Du loggar in på www.kth.se via den personliga menyn Under fliken Kurser och under fliken Program finns på höger sida en länk till Studieöversiktssidan. På den sidan
Tentamen Datastrukturer D DAT 036/INN960
Tentamen Datastrukturer D DAT 036/INN960 18 december 2009 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. Betygsgränser, CTH: 3 = 24 p, 4 = 36 p, 5 = 48 p, GU:
Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag)
Tentamen Datastrukturer D DAT 035/INN960 (med mycket kortfattade lösningsförslag) 21 december 2007 Tid: 8.30-12.30 Ansvarig: Peter Dybjer, tel 7721035 eller 405836 Max poäng på tentamen: 60. (Bonuspoäng
Tentamen Datastrukturer, DAT037 (DAT036)
Tentamen Datastrukturer, DAT037 (DAT036) Datum och tid för tentamen: 2017-01-11, 14:00 18:00. Ansvarig: Fredrik Lindblad. Nås på tel nr. 031-772 2038. Besöker tentamenssalarna ca 15:00 och ca 17:00. Godkända
OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B kl. 08:15-13:15
OMTENTAMEN I DATASTRUKTURER OCH ALGORITMER DVG B03 170331 kl. 08:15-13:15 Ansvarig Lärare: Donald F. Ross Hjälpmedel: Inga. Algoritmerna finns i de respektive uppgifterna eller i bilagarna. *** OBS ***
Självkörande bilar. Alvin Karlsson TE14A 9/3-2015
Självkörande bilar Alvin Karlsson TE14A 9/3-2015 Abstract This report is about driverless cars and if they would make the traffic safer in the future. Google is currently working on their driverless car
8 < x 1 + x 2 x 3 = 1, x 1 +2x 2 + x 4 = 0, x 1 +2x 3 + x 4 = 2. x 1 2x 12 1A är inverterbar, och bestäm i så fall dess invers.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MAA150 Vektoralgebra TEN1 Datum: 9januari2015 Skrivtid:
Datasäkerhet och integritet
Chapter 4 module A Networking Concepts OSI-modellen TCP/IP This module is a refresher on networking concepts, which are important in information security A Simple Home Network 2 Unshielded Twisted Pair
Föreläsning 9 Innehåll. Söndra och härska. Fibonaccitalen. Söndra och härska. Divide and conquer teknik för att konstruera rekursiva algoritmer.
Föreläsning 9 Innehåll Mer om rekursion söndra-och-härska-algoritmer dynamisk programmering backtracking Orientering om versionshantering med git Söndra och härska Divide and conquer teknik för att konstruera
Isolda Purchase - EDI
Isolda Purchase - EDI Document v 1.0 1 Table of Contents Table of Contents... 2 1 Introduction... 3 1.1 What is EDI?... 4 1.2 Sending and receiving documents... 4 1.3 File format... 4 1.3.1 XML (language
Discovering!!!!! Swedish ÅÄÖ. EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24. Misi.se 2011 1
Discovering!!!!! ÅÄÖ EPISODE 6 Norrlänningar and numbers 12-24 Misi.se 2011 1 Dialogue SJs X2000* från Stockholm är försenat. Beräknad ankoms?d är nu 16:00. Försenat! Igen? Vad är klockan? Jag vet inte.
1. Compute the following matrix: (2 p) 2. Compute the determinant of the following matrix: (2 p)
UMEÅ UNIVERSITY Department of Mathematics and Mathematical Statistics Pre-exam in mathematics Linear algebra 2012-02-07 1. Compute the following matrix: (2 p 3 1 2 3 2 2 7 ( 4 3 5 2 2. Compute the determinant
Föreläsning 4. Kö Implementerad med array Implementerad med länkad lista Djup kontra bredd Bredden först mha kö
Föreläsning 4 Kö Implementerad med array Implementerad med länkad lista Djup kontra bredd Bredden först mha kö Kö (ADT) En kö fungerar som en kö. Man fyller på den längst bak och tömmer den längst fram
Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014
Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 14 1.(a) The considered problem may be modelled as a minimum-cost network flow problem with six nodes F1, F, K1, K, K3, K4, here called 1,,3,4,5,6, and
Föreläsning 4 Datastrukturer (DAT037)
Föreläsning 4 Datastrukturer (DAT037) Fredrik Lindblad 1 2016-11-10 1 Slides skapade av Nils Anders Danielsson har använts som utgångspunkt Se http://wwwcsechalmersse/edu/year/2015/course/dat037 Förra
Datastrukturer, algoritmer och programkonstruktion (DVA104, VT 2015) Föreläsning 6
Datastrukturer, algoritmer och programkonstruktion (DVA104, VT 2015) Föreläsning 6? DAGENS AGENDA Komplexitet Ordobegreppet Komplexitetsklasser Loopar Datastrukturer Några nyttiga regler OBS! Idag jobbar
Tentamen'('Datastrukturer,'algoritmer'och'programkonstruktion.'
Tentamen'('Datastrukturer,'algoritmer'och'programkonstruktion.' Skrivtid: 08.30 13.30 Hjälpmedel: Inga Lärare: Betygsgränser DVA104' Akademin)för)innovation,)design)och)teknik) Onsdag)2014:01:15) Caroline
Fredag 10 juni 2016 kl 8 12
KTH CSC, Alexander Baltatzis DD1320/1321 Lösningsförslag Fredag 10 juni 2016 kl 8 12 Hjälpmedel: En algoritmbok (ej pythonkramaren) och ditt eget formelblad. För betyg E krävs att alla E-uppgifter är godkända,
Pre-Test 1: M0030M - Linear Algebra.
Pre-Test : M3M - Linear Algebra. Test your knowledge on Linear Algebra for the course M3M by solving the problems in this test. It should not take you longer than 9 minutes. M3M Problem : Betrakta fyra