Kap.6 Grafer. Egenskaper: Handskakningslemmat och Eulers formel Sats om eulerkrets/väg Isomorfi och representation av grafer Graffärgning

Transkript

1 Kap.6 Grafer Allmänna begrepp: graf, delraf, multigraf, enkelgraf, riktad graf, nodsgrad vandring, väg, stig, krets, cykel sammanhängande graf, sammanhängande komponenter Speciella grafer: komplett graf, komplementgraf bipartitgraf, komplett bipartitgraf plangraf hamiltonstig, hamiltoncykel, eulerväg, eulerkrets träd, spännande träd, rotat träd, binärt träd Egenskaper: Handskakningslemmat och Eulers formel Sats om eulerkrets/väg Isomorfi och representation av grafer Graffärgning Rekommenderade uppgifter: 6.5, 6.33, 6.34, 6.47, 6.48, 6.49, 6.50, 6.62, 6.63, 6.64, 6.78, 6.82, 6.83, 6.86, 6.87, 6.90, 6.91, 6.92, 6.93, 6.94, 6.95, 6.96, 6.97, 6.98, 6.99, 6.102,

2 Grafbegrepp Graf Graf: G ( V, E) =, där V är mängden av noder (vertex) och E består av några oordnade par av noder som kallas kanter. Delgraf av G: G ' = ( V ', E' ) med V ' V och G' G. Multigraf: en generaliserad graf så att för ett par noder tillåtes mer än en kant (multipla kanter). Riktad graf: D ( V, E) =, där V är mängden av noder (vertex) och E består av några ordnade par av noder. Enkelgraf: multipla kanter och öglor (som börjar och slutar i samma nod) inte får förekomma. Nodsgrad: antalet kanter som går ut från noden.

3 Vandring i en graf Vandring: en alternerande följd av noder och kanter i en graf, som börjar och slutar i noder.. Väg: en vandring som inte använder samma kant flera gånger. Stig: en väg som inte passerar samma nod flera gånger. Krets: en väg som är sluten, dvs börjar och sluta i samma nod. Cykel: en sluten stig. Sammanhängandet Sammanhängande graf: det finns alltid en stig mellan varje par av noder i grafen. Sammanhängande komponenter: delgrafer till grafen som var och en är sammahängande men som saknar förbindelser sinsemellan.

4 Speciella grafer Kompletta grafen K n: grafen med n noder så att varje par av noder är förbundna med en kant, dvs V = { v, v2,, }, E 1 K v n {{ v, v } 1 i, j n, i j } =. i j Komplementgrafen G till grafen G: grafen som har samma nodmängd som G men som har kanter precis mellan de nodpar som inte har kant i G, dvs V ( G ) = V (G) och ( G ) E( ) E = \ E (G). Bipartitgraf : nodmängden av grafen kan delas upp i två disjunkta delmängder (säg vänster och höger) så att alla kanter går mellan vänster och höger nodmängd. Kompletta bipartitgrafen K m, n K n : bipartitgrafen med m noder till vänster och n noder till höger så att varje nod till vänster är förbunden med varje nod till höger. Plangraf: grafen som kan ritas i planet utan att några kanter bara korsar varandra.

5 Några formler Handskakningslemmat: om grafen G har n st noder och e st kanter, så gäller n k = 1 d k = 2 e. Antalet noder med udda grad i varje graf är jämnt. Eulers formel: Om G är en sammanhängande plangraf, så gäller v e + f = 2, där v = antalet noder e = antalet kanter f = antalet fasetter

6 Euler och Hamilton Begrepp Antag att G är en graf eller multigraf. Hamiltonstig/cykel: en stig/cykel som besöker varje nod i G exakt en gång. Eulerväg/krets: en väg/krets som gå längs varje kant i G exakt en gång. Eulersk graf: om G har en eulerkrets. Hamiltonsk graf: om G har en hamiltoncykel. Eulers sats En graf har en eulerkrets om och endast om grafen är sammanhängande och alla noder har jämn grad. En graf har en eulerväg om och endast om grafen är sammanhängande och högst två noder har udda grad.

7 Isomorfi och representation av grafer Grafisomorfism: För två grafer G 1 och G 2 är en grafisomorfism φ : G1 G2 en bijektion φ : V ( G1 ) V ( G2 ) som bestämmer en bijektion φ : E( G1 ) E( G 2 ) för vilken φ ({ v v }) = { φ( v ), φ( )}. 1, 2 1 v2 Grannmatrisen till grafen G med noder v, v, 2, : 1 K en matris där varje nod ger en rad och en kolumn, dvs A = ( a ij ), där aij = antalet kanter mellan v i och v j v n Incidensmatrisen till grafen G: en matris där en rad för varje nod och en kolumn för varje kant.

8 Träd Begrepp Träd: en sammanhängande graf utan cykel. Spännande träd av grafen G: ett träd som är en delgraf av G, och som når till alla noder av G. Rotat träd: ett träd med roten. Binärt träd: ett rotat träd där varje nod har plats för exakt två barn. Sats Om T är ett träd med minst en nod, så gäller sambandet V = E +1, där V är antalet noder och E är antalet kanter. Algoritmer: Sökning i rotade träd enligt två metoder som breddenförst och djupet-först. Lagring av data i binära träd och utmatning i inordning, pre-ordning och post-ordning.

9 Graffärgning k-färgning Grafen G har en k-färgning om dess noder kan färgas med k färger så att grannar alltid har olika färg. För bipartitgraf Följande villkor är ekvivalenta för en graf G: 1) G är en bipartitgraf, 2) G har en 2-färgning, 3) G har ingen cykel med udda st kanter. För plangraf 5-färgningssatsen: varje plangraf G har en 5-färgning 4-färgningssatsen: varje plangraf G har en 4-färgning Färgning och grad Om den största graden till noderna i en graf G är d, så har G en ( d +1) -färgning.

10