1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e r ett koordinataxel.



Relevanta dokument
1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e ett koordinataxel.

=============================================== Plan: Låt π vara planet genom punkten P = ( x1,

===================================================

===================================================

GRADIENT OCH RIKTNINGSDERIVATA GRADIENT. Gradienten till en funktion f = f x, x, K, innehåller alla partiella derivator: def. Viktig egenskaper:

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, 22 september 2011, kl

x=konstant V 1 TANGENTPLAN OCH NORMALVEKTOR TILL YTAN z = f ( x, LINEARISERING NORMALVEKTOR (NORMALRIKTNING) TILL YTAN.

Kurs: HF1903 Matematik 1, Moment TEN1 (Linjär Algebra) Datum: 28 augusti 2015 Skrivtid 8:15 12:15

2012 Tid: läsningar. Uppgift. 1. (3p) (1p) 2. (3p) B = och. då A. Uppgift. 3. (3p) Beräkna a) dx. (1p) x 6x + 8. b) x c) ln. (1p) (1p)

sluten, ej enkel Sammanhängande område

TMV166 Linjär algebra för M. Datorlaboration 4: Geometriska transformationer och plottning av figurer

Tvillingcirklar. Christer Bergsten Linköpings universitet. Figur 1. Två fall av en öppen arbelos. given med diametern BC.

Uppgift 4. (1p) Beräkna volymen av den parallellepiped som spänns upp av vektorerna. ) vara två krafter som har samma startpunkt

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

i) oändligt många lösningar ii) exakt en lösning iii) ingen lösning?

Datum: xxxxxx. Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Denna. Uppgift Låt u och w. Uppgift 2x. Uppgift.

TENTAMEN. Datum: 5 juni 2019 Skrivtid 14:00-18:00. Examinator: Armin Halilovic, tel

Vi börjar med att dela upp konen i ett antal skivor enligt figuren. Tvärsnittsareorna är då cirklar.

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar läsvecka 3

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med r

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Sammanfattning av STATIK

=============================================== Plan: Låt vara planet genom punkten )

Tentamen 1 i Matematik 1, HF sep 2015, kl. 8:15-12:15

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Lösningsförslag till tentamen i 5B1107 Differential- och integralkalkyl II för F1, (x, y) = (0, 0)

Tentamen 1 i Matematik 1, HF jan 2016, kl. 8:15-12:15

REDOVISNINGSUPPGIFT I MEKANIK

Föreläsning 1. Elektrisk laddning. Coulombs lag. Motsvarar avsnitten i Griths.

8 Minsta kvadratmetoden

Linjer och plan (lösningar)

1 av 9 SKALÄRPRODUKT PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE. Skalärprodukt: För icke-nollvektorer u r och v r definieras skalärprodukten def

För att bestämma virialkoefficienterna måste man först beräkna gasens partitionsfunktion då. ɛ k : gasens energitillstånd.

Kompendium om. Mats Neymark

Tentamen i El- och vågrörelselära,

Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8

Grundläggande mekanik och hållfasthetslära

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 8. Vi antar först att den givna bromsande kraften F = kx är den enda kraft som påverkar rörelsen och därmed också O

Finansiell ekonomi Föreläsning 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

Matematisk statistik Kurskod HF1012 Skrivtid: 8:15-12:15 Lärare och examinator : Armin Halilovic

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 Tor 25 sep 2014, kl 13:15-17:15

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

Sidor i boken 8-9, 90-93

September 13, Vektorer En riktad sträcka P Q, där P Q, är en pil med foten i P och med spetsen i Q. Denna har. (i) en riktning, och

Temperaturmätning med resistansgivare

Räta linjer: RÄTA. Därför PM. Eftersom. x y z. (ekv1) Sida 1 av 11

===================================================

5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN

1 Två stationära lösningar i cylindergeometri

x 4 a b X c d Figur 1. Funktionsgrafen y = f (x).

Lösningar till övningsuppgifter centralrörelse och Magnetism

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Mekanik Laboration 3

1 av 12. Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

på två sätt och därför resultat måste vara lika: ) eller ekvivalent

7 Elektricitet. Laddning

Finansiell ekonomi Föreläsning 3

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

Figur 5.1. En triangel där nedre högra hörnet har en rät vinkel (90 ).

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR

I ett område utan elektriska laddningar satisfierar potentialen Laplace ekvation. 2 V(r) = 0

2 S. 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig)

Explorativ övning Vektorer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Tentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp

Kap.7 uppgifter ur äldre upplaga

Potentialteori Mats Persson

Den geocentriska världsbilden

Partikeldynamik Problemsamling Lösningar

Tentamen 1 i Matematik 1, HF okt 2018, Skrivtid: 14:00-18:00 Examinator: Armin Halilovic

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Magnetiskt fält kring strömförande ledare Kraften på en av de två ledarna ges av


Uppgift 1. a) Bestäm alla lösningar till ekvationen. b) Lös olikheten. Rita följande andragradskurvor:

6. Samband mellan derivata och monotonitet

Geometriska vektorer

Institutionen för tillämpad mekanik, Chalmers tekniska högskola TENTAMEN I HÅLLFASTHETSLÄRA F MHA AUGUSTI 2010

Bestäm den sida som är markerad med x.

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

Vektorgeometri. En inledning Hasse Carlsson

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

Storhet SI enhet Kortversion. Längd 1 meter 1 m

Gravitation och planetrörelse: Keplers 3 lagar

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Räta linjens ekvation & Ekvationssystem

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

16.7. Nollrum, värderum och dimensionssatsen

November 17, 2015 (1) en enda lsg. Obs det A = 1 0. (2) k-parameter lsg. Obs det A = 0. k-kolonner efter sista ledande ettan

Vektorgeometri för gymnasister

Datum: 24 okt Betygsgränser: För. finns på. Skriv endast på en. omslaget) Denna. Uppgift. Uppgift Beräkna. Uppgift Låt z. Var god. vänd.

Övningstentamen i Matematik I för basåret (HF0021), del 2

Uppgift 1. (4p) (Student som är godkänd på KS1 hoppar över uppgift 1.) Vi betraktar triangeln ABC där A=(1,0,3), B=(2,1,4 ), C=(3, 2,4).

Rotation Rotation 187

= 1 h) y 3 = 4(x 1) i) y = 17 j) x = 5. = 1 en ekvation för linjen genom a) (6, 0) och (0, 5) b) (9, 0) och (0, 5)

DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP

Transkript:

Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet BASER CH KRDINATER Vektoe i ett plan Vektoe i ummet BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER PÅ EN RÄT LINJE Vi betakta ektoe som ligge på en ät linje L elle ä paallella med L Låt e aa en icke-nollekto på linjen L och en punkt på linjen Då definiea punkten och ekton e ett koodinatael e A P -aeln En ekto som ligge på L elle ä paallell med L ä också paallell med e och däfö finns det ett tal så att e Vekton e ä en basekto fö alla ektoe som ligge på L elle ä paallella med L BASER CH KRDINATER FÖR VEKTRER SM LIGGER I ETT PLAN Vi betakta ektoe som ligge i ett giet plan som i beteckna α SATS Låt e och e aa tå skilda fån nollekton och dessutom icke-paallella ektoe som ligge i planet Vaje ekto i planet kan skias som en linjä kombination a e och e e e * dä och ä entidigt bestämda tal Beis: Vi paallellföfltta e e och så att de stata i samma punkt Vi beteckna e e B och P se figuen nedan Genom punkten P da i linjena paallella med e och e samt beteckna med M N deas skäningspunkte med linjena som gå genom punktena och B Vi se att M N Eftesom M e och N e så finns det ett tal så att M e och ett tal så att N e Däfö M N e e Dämed ha i isat att det finns tal och sådana att

Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet e e * Vi ha ka att beisa entdighet Låt e e en godtcklig epesentation a som en linjä kombination a e och e Då ha i e e e e e e Eftesom e och e ä icke- paallella och skilda fån nollekton ä detta möjligt endast om och Vi ha dämed beisat entdighet i * ---------------------------------------------------- Anmäkning: I samband med base och basektoe anände i följande teminologi: Vi säge att oanstående e och e utgö en bas i planet α och att talen och ä :s koodinate i basen e e Vektoena e och e kallas :s komposante i basen e e Vi säge att planet α spänns upp a ektoena e och e m P ä en punkt i planet α då kan motsaande ektop skias som en linjä kombination a e och e P e e Vi säge också att alla ektoe som ligge i planet bilda ett tå-dimensionell ektoum ummet ha basektoe Beteckning: Vekton P e e följande sätt: P Koodinatsstem i ett plan nä basen e e ä känd anges oftast med endast koodinate på En punkt och tå basektoe icke-paallella och ej nollektoe som ligge i planet och som i beteckna e och e definiea ett paallellt koodinat sstem i planet med tå ala: -aeln gå genom och ha iktningsekto e och -aeln gå genom och ha iktningsekto e

Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR a 9 Base och koodinate i D-ummet -aeln P B e e A -aeln Låt P aa en gien punkt i planet Vekto P som ha en entdlig famställning P e e kallas punktens otekto Tal kallas punktens koodinate Alltså punkten P och punktens otekton P ha samma koodinate Beteckning: Att punkten P ha koodinate skis i kusböcke på följande tå sätt: P elle P ----------------------------------- Koodinate fö en ekto mellan tå gina punkte m A och B ä tå punkte i planet A B då gälle AB A B B Alltså AB e elle kotae AB e e e e e e Eempel: A B AB [ alltså ändpunktens koodinate statpunktens kodinate] e BASER CH KRDINATER FÖR GEMETRISKA VEKTRER I RUMMET

Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 4 a 9 Base och koodinate i D-ummet Fö att bilda en bas i D-ummet te-dimensionella ummet behöe i te ektoe e e e som ä skilda fån 0 och som inte ä paallella med ett gemensamt plan man säge ofta de inte ligge i samma plan Då kan aje skias på eakt ett sätt som en linjä kombination a e e och nedanstående figu e se Vi se detta om i paallell föfltta e e e och så att de ha en gemensam stat punkt Den ätta linje genom P :s ändpunkt som ä paallell med e måste skäa planet e e -planet i en punkt Q eftesom e e e ä ej paallella med något gemensamt plan Linjen genom Q paallell med e skä aeln i punkten R Då gälle R RQ QP Men eftesom R e RQ e QP e R e RQ e QP e Däfö e e e Entdighet beisas som i D fallet Koodinatsstem i D_ummet finns det tal så att En punkt och te basektoe icke-paallella med något gemensamt plan och skilda fån 0 e e e definiea ett paallellt koodinat sstem i planet med te ala: -aeln gå genom och ha iktningsekto e -aeln gå genom och ha iktningsekto e och -aeln gå genom och ha iktningsekto e

Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 5 a 9 Base och koodinate i D-ummet Koodinate fö en punkt P definieas som koodinate med ekton otekto Alltså P e e e P Koodinate fö en ekto mellan tå gina punkte P punktens m A och B ä tå punkte i ummet då gälle AB A B B e e e e e e e e e Alltså AB e e e elle kotae AB Eempel: A B4 AB 0 ÖVNINGAR: Uppgift Uttck u och i nedanstående figu som linjäa kombinatione a basektoe e och e och bestäm deas koodinate Sa: u e e koodinate 5e e koodinate 5 5e e koodinate 5 Uppgift Uttck i nedanstående figu som en linjä kombination a basektoe e och e och bestäm ektons koodinate

Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 6 a 9 Base och koodinate i D-ummet e e Vi paallell föfltta ekton så att statpunkt hamna i punkten : e e Nu ha i 5e e koodinate 5 5 5 Uppgift Bestäm koodinate fö w 0 u i basen e och e om :s koodinate ä och samt u :s koodinate ä 5 och -5 i samma bas e e u 5e 5e w 0 u 0e e 5e 5e 0e 0e e 5e 7e 5e Dämed ä w : s koodinate i basen e och e 7 5 Uppgift 4 Bestäm p och q så att u p e e och e q 5 e bli lika ektoe Vi anände att koodinate ä entdigt bestämda fö en gien bas u { p och q 5} p q 7 Sa: p q 7 Uppgift 5 Agö om u och ä paallella dä a u e e e e b u e e 8e 4e a u och ä paallella om det finns ett tal k så att ku

Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 7 a 9 Base och koodinate i D-ummet ku e e ke e { k och k} dä båda ekatione måste satisfieas Men fösta ekationen ge k som ä motsägelse med k i anda ekationen och dämed finns inget k som satisfiea ku Detta medfö att u och ä inte paallella b ku 8e 4e ke e {8 k och 4 k} k 4 Alltså 4u ds ä paallella ektoe Sa a nej b ja Uppgift 6 Låt e e e u e e e aa tå ektoe i D ummet med basen e e e Bestäm w 0 u w 0e e e e e e e 4e 7e Uppgift 7 Låt u aa tå ektoe i D ummet i någon bas t e e e e Bestäm a u b u c 5 u d 0 e 5 u 0 Sa: a u 4 b u 0 e 5u 0 5u 0 505 c 5 u 505 d 0 0 0 0 Uppgift 8 Bestäm p och q om möjligt så att u och definieade nedan med koodinate i en gien bas bli lika ektoe om a u p och q p b u p och q p a Sstemet med te ekatione p q p ha eakt enlösning p och q Då bli u b Sstemet med te ekatione p q p sakna lösning eftesom fösta ek p och tedje ek p ä en motsägelse Sa a p och q b Det finns inte sådana pq att u och bli lika Uppgift 9 Bestäm p om möjligt så att u och gien bas bli paallella definieade nedan med koodinate i en

Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR 8 a 9 Base och koodinate i D-ummet a u p och 844 b u p och 84 a u och paallella det finns k så att och p k844 Häa sstem : p 8k 4k k/4 och däfö p 6 4k Då bli u 6 uppenbat paallell popotionella koodinate med 844 b Den hä gånge fån p k84 få i sstemet p 8k 4k k som sakna lösning Sa: a u och ä paallella om p 6 b Det finns inte någon p så att u och bli paallella ektoe Uppgift 0 Låt A B 48 aa tå punkte i ummet dä koodinate ä gina i ett koodinatsstem e e e Bestäm koodinate fö punkten P som ligge på stäckan AB och dela AB i föhållandet : Lägg mäke till att en punkt och tillhöande otekto ha samma koodinate Vi ha P AB B B 5 5 5 5 Däfö P 48 7 9 5 5 5 P ha samma koodinate som P 7 9 Alltså P 5 5 5 Uppgift 0 Låt A och B aa tå punkte i ummet och S mittpunkten på stäckan AB Koodinate ä gina i ett koodinatsstem e e e Visa att mittpunkten ges a S

9 a 9 Amin Haliloic: EXTRA ÖVNINGAR Base och koodinate i D-ummet Vi ha B B AB S och dämed S ad skulle beisas Uppgift 0 Låt A B C och aa te punkte i ummet och T tngdpunkten fö tiangeln ABC Koodinate ä gina i ett koodinatsstem e e e Visa att tngdpunkten ges a T B A T A C A AA AT T ] [ C B C B Alltså T ad skulle beisas