Grundläggande hyperbolisk geometri

Fkulteten för teknik- oh nturvetenskp Ann Persson Grunläggne hperolisk geometri Elements of Hperoli Geometr Mtemtik D-uppsts p Dtum: 6-5- Hnlere: Ilie Br Exmintor: Alexner Bolev

Grunläggne hperolisk geometri I enn uppsts presenters grunläggne elr v hperolisk geometri. Uppstsen är inel i två kpitel. I först kpitlet stuers Möiusvilningr på Riemnnsfären. Anr kpitlet presenterr moellen v hperolisk geometri i övre hlvplnet H, skp v Poinré på 88-tlet. Huvuresulttet i uppstsen är Guss Bonnét s sts för hperolisk tringlr. Elements of Hperoli Geometr In this thesis we present funmentl onepts in hperoli geometr. The thesis is ivie into two hpters. In the first hpter we stu Möiustrnsformtions on the Riemnn sphere. The seon prt of the thesis el with hperoli geometr in the upper hlf-plne. This moel of hperoli geometr ws rete Poinré in 88. The min result of the thesis is Guss Bonnét s theorem for hperoli tringles.

Innehåll: Inlening...s 4 Kpitel. Möiusvilningr oh ess egenskper 5. Riemnnsfären... 5. Definition v Möiusvilningr... 9. Mtriser som motsvrr Möiusvilningr....4 Biler v irklr oh linjer genom Möiusvilningr....5 Konformitet... 4.6 Fixpunkter... 6.7 Prolisk Möiusvilningr... 8.8 Ike prolisk Möiusvilningr....9 Geometrisk klssifiering v ike prolisk vilningr.... Cirklr genom prolisk Möiusvilningr... 8. Cirklr genom ike prolisk Möiusvilningr.... Anhrmonisk förhållnen... 5. Anhrmonisk förhållnens invrins... 9 Kpitel. Hperolisk geometri... 4. Övre hlvplnet... 4. Hperolisk ågläng... 45. Geoetisk linjer... 5.4 Isometrier v H, s)... 58.5 Hperolisk vinklr... 6.6 Hperolisk re... 6.7 Guss Bonnet s sts för hperolisk tringlr... 6.8 Hperolisk rottioner oh trnsltioner... 68.9 Jämförelse melln Eukliisk oh hperolisk geometri... 7 Referenser... 75

4 Inlening: I enn uppsts presenters grunläggne elr v hperolisk geometri. Uppstsen är inel i två kpitel. I först kpitlet stuers Möiusvilningr på Riemnnsfären oh ers viktigste egenskper. Att nhrmonisk förhållnet oh fmiljen v irklr oh rät linjer är invrint genom en Möiusvilning är egenskper som är entrl i kpitel. Klssifieringen v Möiusvilningr me hjälp v ers fixpunkter är okså ett vsnitt som stuers i först kpitlet. Denn klssifiering är grunläggne för ientifieringen v hperolisk rottioner oh trnsltioner i kpitel. I kpitel presenters moellen v hperolisk geometri i H som skpes v Poinré på 88-tlet. Bågelementet oh et hperolisk vstånet H : H H [, [ i H är egrepp som efiniers. Senre efiniers e geoetisk linjern i H som klls för e rät linjern eller e hperolisk rät linjern i H. I uppstsen presenters även vinklr melln kurvor oh re i H smt e enklste polgonern.v.s. e hperolisk tringlrn. Aren v ess tringlr kn eräkns enligt Guss Bonnét s sts som eviss i kpitel. Efter eviset stuers ett vsnitt me hperolisk rottioner oh trnsltioner oh vslutningsvis görs en jämförelse melln Eukliisk oh hperolisk geometri. Den stor skillnen melln e två geometriern är Euklies femte postult om prllell linjer. Jg vill pss på tt tk min hnlere Ilie Br för stort enggemng oh föreömlig hnlening v min uppsts. Ann Persson Krlst 65

5 Kpitel. Möiusvilningr oh ess egenskper. Riemnnsfären S N,,) Px,, ) Y X x S,,) ζp) : L P C Figur.. Riemnnsfären Vi eteknr me S { x,, ) x } oh Z X iy C Avilningen ξ: S Ĉ efinier genom ξp) L P C för P N oh ξn), klls en stereogrfisk projektionen v sfären S på Ĉ. Sfären S tillsmmns me en stereogrfisk projektionen på Ĉ klls för Riemnnsfären. Oänligheten,, är en punkt utnför et komplex tlplnet. Ĉ : C { } C är XY-plnet i figur.. Punkten X, Y) X iy C ientifiers me punkten X, Y, ) i R. Om mn rr en rät linje genom en punkt X, Y) C oh norpolen N,, ) så kommer linjen tt skär S i punkten Px,, ). Mn får å tt; X x oh Y ξ P) Z x i oh ξ N). ξ - Z ) ξ X iy ) P oh ξ - ) N. Re Z Im Z Z,, Z Z Z S \ {N} All punkter på Riemnnsfären koppls å ihop me punkter P Ĉ.

6 Sts.: Om Г är en irkel på S å är ξг) en irkel eller en rät linje i C. Om N,,) Г så är ξг) en irkel oh om N Г så är ξг) en rät linje { }. Omvänt: Om Γ är en irkel eller en rät linje i XY-plnet så är ξ - Γ) en irkel på S. Bevis: Låt Г vr en irkel på S som inte innehåller N. Г hr ekvtionern: Г : x x, så tt oh Dessutom måste vstånet från origo till plnet x vr <. Om så är plnet tngent till sfären oh irkeln C reuers till en punkt. Om vstånet är > så lir Г lik me tomm mängen Ø ). Vi hr tt: X Y x oh ξ x,, ) Låt x,, ) vr en gotklig punkt på Г. Z ξ x,, ) X iy, är X x oh Y Vi får å tt: x Z X ; Z Y ; Z Z Om vi sustituerr uttrken för x, oh i plnets ekvtion så får vi: X Y Z ) x Z ) Z X Y )X Y ) X Y X Y X Y ) Om vi sätter, oh kn vi skriv ekvtion ) som; X Y X Y

7 Om vi kvrt kompletterr ) får vi följne uttrk: X Y ) ) Vi kn nu se tt ξг) är en irkel me meelpunkt, oh rie r > är, r ) ) ) ) ) ) ) ) > r. Låt oss nu etrkt fllet när Г innehåller N. Vi hr sen tiigre tt: Г: x är,, oh < x, På smm sätt som i förr fllet så sustituerr vi uttrken för x, oh i plnets ekvtion. Vi får igen tt, )X Y ) X Y,.v.s X Y ) Ekvtion ) är en rät linje. Dett eter tt ξг) är en rät linjen L me ekvtionen, X Y i XY plnet tillsmmns me ξn). Låt oss nu etrkt Ω, en irkel i XY plnet. Låt ekvtionen för irkeln Ω vr: X Y mx ny p, ) är m, n, p R oh p < m n Eftersom Ω är en irkel, för Z Ω så träffr en rät linjen genom Z oh norpolen N,, ) S i punkten x,, ) me <.

8 Vi hr sen tiigre tt: X x, Y, Z Om vi sustituerr ovnståene uttrk för X, Y oh Z i ekvtion ) smt utnttjr tt Z X Y så får vi tt: x m n p 4) Ekvtion 4) kn förenkls till: mx n -p) p 5) Ekvtion 5) är ett pln som inte innehåller norpolen N. ξ - Ω) är lltså snittet melln S oh ett pln som inte innehåller N, vs ξ - Ω) är en irkel på S som inte innehåller N. Ant nu tt Ω är en rät linje i XY-plnet som hr ekvtionen: AX BY C är A, B, C R oh tt A B > Sätter vi in vår uttrk för X oh Y så får vi: x A B C Ax B C C 6) Ekvtion 6) eskriver ett pln som innehåller norpolen N,,). ξ - Ω) är å snittet melln S oh plnet 6). Me tnke på en föregåene stsen så kllr vi från oh me nu irklrn oh e rät linjern i XY-plnet för irklr eller generliserne irklr) i Ĉ ξ S ). Om Ω är en rät linje så hr Ω ilen genom ξ v en irkel genom N.

9. Definition v Möiusvilningr Definition.: Avilningen T : Ĉ Ĉ efinier genom T) är,,, C oh klls för Möiusvilning eller en Möiustrnsformtion v Ĉ ). T ) om oh T ) å. T ) i fllet å. Invers funktionen T ges om ekvtionen löses me vseene på : w w w T är okså en Möiusvilning oh ges v: w T w) ; T ) å oh w T ) oh T ) å. Fmiljen v ll Möiusvilningr etekns me Mö. Mö Mö Mö Mö estår v Mö estår v,,,,, C,,,,, C Anmärkningr:. Om kn mn se tt T är en konstnt funktion.. Mn kn llti t. Om oh k C är sånt tt k, T k k k k oh k k k i ett fllet.). Om, T ) : lim T ). 4. Om, T ) lim T ) oh T ) :.

. Mtriser som motsvrr Möiusvilningr Vi eräkningr me Möiusvilningr kn mn nvän mtriser. M T : klls för mtrisen v T. M T måste ientifiers me eftersom ess oh enst ess) mtriser uppfller krven tt et oh T. χt):, klls för spåret v T. Spåret är okså efiniert upp till teknet,.v.s χt) kn okså vr tlet om vi tr mtrisen M T. Sts.: Om S, T Mö så gäller tt:. M S T M S M T. T M M T -. χs T) χt S). Bevis:. Ant tt S oh T. Mtrisern lir å: M T oh M S S T)).. ) ) M S T M S M T.v.s )

. Ant tt T M T, T - M T [ M T ] M eftersom ). T. Vi ser i ) tt χs T) T S)).. ) ). M T S χt S) χs T) Följsts: χs - T S) χt) för gotklig Möiusvilningr T oh S. Anmärkning: Två Möiusvilningr klls för konjugere om et finns en Möiusvilning S så tt: U S T S Den föregåene följstsen kn omformulers som: Konjugere Möiusvilningr hr smm spår. χs - T S) χt S S - ) χt)

.4 Biler v irklr oh linjer genom en Möiusvilning Sts.: Om Г är en generliser) irkel oh T är en Möiusvilning så gäller tt TГ) okså är en generliser) irkel. Bevis: I x-plnet eskrivs en rät linje llmänt på formen x ;,, R oh ) Vi sk nu uttrk enn ekvtion i termer v x i oh x i, är är komplexkonjugtet v. Från uttrken me oh erhålls tt: x oh i När vi nu sustituerr uttrken för x oh får vi följne uttrk; i) i) ) är ärför tt i > Ekvtion ) eskriver fmiljen v ll rät linjer i C. En irkel me rien r oh meelpunkt, ) eskrivs v ekvtionen; x ) ) r x x r x x, är, oh r meelpunkt, ) ; r ; r R 4 4 Ekvtionen; Ax ) x ) innehåller ll irklr för A oh ll rät linjer för A i plnet. Låt oss etekn me Ω, fmiljen v ll generlisere) irklr i et komplex tlplnet XOY : Ω { Г C Г generliser irkel }

Vi måste evis tt T Ω) Ω. Låt Г Ω vr given v ekvtionen, Ax ) x är A,, oh R ) Genom tt nvän tt x i oh x i skrivs ekvtion ) på formen, A i ) i ) 4) Vi får å tt Г eskrivs me hjälp v en komplex vrieln som: A m m A, R, m C 4) Om T är given v: T w u iv så ges ess invers T - v:,,,, C oh T - w w. w w Genom tt sustituer w i ekvtion 4) får vi tt: w w A w w w m w Aw ) w ) mw )- w ) m w )-w ) -w ) - w ) A ww m w m w 5) är koeffiientern ges v: A Re m ) A A m m ) m m A m ) m m A m ) A m m ) A Re m ) Vi ser tt m m oh tt A, R. T Г) är lltså given v ekvtionen: A ww m w m w är A, R 6)

4 Ekvtion 6) visr tt TГ) är en generliser irkel. Smmnfttningsvis får vi: TГ) TΩ), Г gotklig TΩ) Ω Eftersom T - okså är en Möiusvilning får vi tt: T - Ω) Ω. Slutligen får vi: Ω T T - Ω)) TΩ) Ω.v.s TΩ) Ω oh stsen är evis..5 Konformitet Definition.: En konform vilning är en vilning T: Ω D, w T ) som evrr vinklr till storlek oh riktning är Ω oh D är områen i C. En kurv Г i komplex tlplnet kn prmetrisers enligt: Г: t) xt) it), t I intervll R. Vi ntr tt t t) är eriverr oh tt erivtn & /t är kontinuerlig oh skil från noll överllt. En sån kurv klls regulär oh hr en estäm tngentvektor vt) [ x& t), & t)] o i vrje punkt. Låt T: Ω D, w T ), vr en vilning oh låt två gotklig kurvor skär vrnr me en vinkel θ i punkten. θ är genom efinition vinkeln melln tngentvektorern till e två kurvorn i en gemensmm punkten. Avilningen T klls för konform i punkten om eloppet v θ är etsmm som för vinkeln melln ilkurvorn, se figur.. Om T är konform i ll punkter i ett områe Ω så är T konform på Ω.

5 plnet: w plnet: w T) Γ T ) θ T ) θ Γ T ) Figur.. En konform vilning evrr vinklr till storlek oh riktning. Sts.4: Avilningen T är konform i ll punkter är T ). Bevis: Ant tt oh w är komplex tl är x i oh w u iv. Eukliisk sklärproukten v vektorern x oh u är: v x u :, w Re w ) xu v v, w xu v,, w oh θ [, π ], w w osθ, θ ros Bilkurvns tngentvektor ges v: Γ t ) T ) ) är t ). t, w, w om R, w w Om oh C får vi tt:, w Re w) oh, w Re w) Re w) Re w)

6, w Re w) Re w), w vinkeln melln Γ t ), Γ )) ros t Γ t Γ t ), Γ t ) Γ t ) ) ros T T ) t ) t ), T ) T ) t ) t ) ) T ) ros T ) t t ), t ) t ) ) ros t t ), t ) t ) ) vinkeln melln t ), )). t Följsts: T Möiusvilning T konform. Bevis: T) är,,, C, T ) i ll punkter. ).6 Fixpunkter Möiusvilningr klssifiers me hjälp v sin fixpunkter. En fixpunkt till en vilning T är lösning till ekvtionen: T), är Ĉ oh,,, C, Vi vet från efinitionen v Möiusvilningr tt för hr vi T ) oh i fllet å är T ) oh T ). Avilningen T : Ĉ Ĉ är ijektiv oh ess invers T : Ĉ Ĉ är given v: T ) ; T ) ; T ) för ) Den ientisk vilningen I, I ) ) Ĉ, hr vrje punkt Ĉ som fixpunkt. Från oh me nu så ntr vi tt T I. Spåret χ som efinieres i kp. som χ:, visr sig vr ett r hjälpmeel vi klssifiering v Möiusvilningr.

7 Sts.5: Ekvtionen T), Ĉ, hr högst två lösningr. Bevis: Fll : : T Vi ser här tt T ). En lösning till ekvtionen oh ärme en fixpunkt är lltså. Om, vs om så hr ekvtionen tterligre en lösning, C. T) Om så hr T två fixpunkter: ) C är oh ) oh. Om ) så lir T, T λ, λ, eftersom vi ntgit tt T I ). För C, λ. I et här fllet så hr T r fixpunkten. Fll : : T ) oh T) C ; är lltså inte en fixpunkt till T. T ) C är ingen fixpunkt. Vi fortsätter tt sök efter eventuell) fixpunkter C vs ). T ) ) Eftersom ) är en nrgrsekvtion hr T högst två fixpunkter nämligen röttern till ekvtionen )., ± ) 4 ± 4 4 ± χ 4 ) ± χ 4 I fllet å T enst hr en fixpunkt χ 4. Här får vi å tt.

8 För χ ± så hr T två fixpunkter; χ 4 oh χ 4 Följsts: Om T Mö oh T hr fler än tre fixpunkter så är T I. Om,, Ĉ oh är prvis olik smt om T k ) k för k, å är T I ). Följsts: Om S, T Mö oh om ),, Ĉ som är prvis skil oh S k ) T k ) för k, å är S T.v.s. S) T) ) Ĉ..7 Prolisk Möiusvilningr Definition.: Möiusvilningen T klls för prolisk om en enst hr en fixpunkt Ĉ. Eftersom T som ges v T λ, är λ, är prolisk så efiniers även I som prolisk. Alltså är T λ, ) Ĉ, prolisk ) λ C.) Fll : När T är prolisk oh oänligheten är en fixpunkten,, får vi tt vilket reuerr vilningen till; T λ, λ C, Fll : T prolisk oh C. T ; χ 4 ; Den norml formen för vilningen T skrivs som: T 9) Vi kn vis ett genom tt nvän oss v tt smt tt T.

9 T T ) ) ) ) Om vi inverterr ett uttrk får vi: T T ) ) utnttj tt ) ) ) ) ) utnttj tt Vi fik lltså tt: T 9) Vi etrktr fllet å χ oh sustituerr mot T i 9) får vi: T T Genom mtemtisk inuktion får vi tt: T m m ) m N

Om vi gör smm sustitution me mot T - ekvtion 9) får vi tt: T T )) T ) T ) T ) Genom mtemtisk inuktion får vi tt: T m m ) m Z, m Slutligen får vi tt: T m m, ) m Z Vi kn r slutstsen tt T m är prolisk ) m Z. Sts.7: T prolisk χ oh χ R. Bevis: Fll : å T λ Eftersom χ Fll :, C ), ± χ 4, oh χ 4 χ ± χ oh χ R. Vi hr vist tt å T är prolisk χ eller.

Vi sk nu vis et omvän, χ T prolisk Fll : oh χ, χ R. T,, ) ; T, enn vilning är prolisk Fll : oh χ, χ R. ), ± χ 4 Eftersom hr T enst en fixpunkt oh är ärme prolisk..8 Ike-prolisk Möiusvilningr Definition.4: Möiusvilningen klls för ike-prolisk om en hr fler än en fixpunkt,.v.s. två fixpunkter. Fll :. T, ; oh T ) Genom mtemtisk inuktion får mn tt T k ) ) k Z. På smm sätt får mn tt T k ). oh är lltså fixpunkter till T k, k Z *. För vilningrn T k I T k är ike-prolisk.

Norml formen lir här ): T T ) ) Ĉ ) Tlet etekns me kt) oh klls för multipliktorn v T. T T kt) ) ) Ĉ ) Fll :, oh, C, ± χ 4 Ekvtionen i w, T ) oh T ) ; T ) Ĉ \{ ; } w k, k, ) w leer till w w), vs w är ett element i Mö. Vi eteknr w me S. Vi får å uttrket: S ) S ) k, k, 4) Då får vi: S ) S ), vs S ) Då får vi: S S ) ). Alltså är S ) k S I. S hr lltså r oh som fixpunkter. Om vi väljer ett väre på k sånt tt S ) T ) får vi tt S T. S ) T ) S T k k, T ) S ) Dett väre på k etekns som kt) oh klls för multipliktorn till T.

Ekvtion 4) lir å: T ) T ) k T ) 5) Smmnfttningsvis kn vi nu skriv: T kt) ) om T ) oh T ). T ) T ) k T ) om, C oh. 6) I å fllen 6) ovn klls ekvtionern för en norml formen v vilningen T. kt) C \{, } ärför tt T inte är konstnt oh T I). Anmärkning: Då T är prolisk efiniers kt). Det finns ett nvänrt smn melln multipliktorn k oh spåret χ : k.. χ k.9 Geometrisk klssifiering v ike-prolisk vilningr Anmärkningr: T ike-elliptisk [ kt) ] m, ) m Z * Multipliktorn, kt) kn skrivs på polär form: kt) ρ iθ e är ρ > oh θ ] π;π ] 7) Uttrket 7) för kt) möjliggör en klssifiering v ike-prolisk Möiusvilningr. Definition.5: i) T klls för elliptisk om ρ oh θ ii) T klls för hperolisk om ρ oh θ iii) T klls för loxoromisk om ρ oh θ

4 Någr egenskper hos kt) Fll : T) kt) ) T ) T T)) T T) ) T T)) kt)[ T) ] [ kt) ] ) Genom mtemtisk inuktion får vi tt: T m ) [ kt) ] m ), ) m N Fll :, C, ) T ) T ) k T ), ) Ĉ 5) Om vi ter ut me T i 5) får vi: T T T k T ) T [kt)] Genom mtemtisk inuktion får vi: kt m ) [kt)] m, ) m N I å fllen gäller tt kt m ) [kt)] m, ) m N. Den föregåene likheten gäller även för m Z, är m. Vi kn nu smmnftt vår resultt i två ekvtioner: T m ) [ kt) ] m ), ) m N, fll 8) T T m m ) ) [ kt) ] m, ) Ĉ oh ) m Z, fll Det finns fll när m oh kt) m Exempel: m π π kt) { ε, ε,..., ε }, ε os ) i sin ) m m m m {, ε, ε,..., ε })

5 I ett fll är T, T,, T m- elliptisk oh T m I. Ett sånt element klls för kliskt element i Mö. T kliskt element i Mö T elliptisk oh kt) πr i m e e iπt, t Q Följne sts ger en krktärisering v ikeprolisk Möiusvilningr me hjälp v spåret. Sts.8: T ),,,, C,. T är elliptisk χ R oh χ <. T är hperolisk χ R oh χ >. T är loxoromisk χ R Bevis:. Vi ntr nu tt T är elliptisk,.v.s, kt) iθ e, < θ< π χ k osθ k χ χ θ ± os osθ os θ) 4 θ os Vi får lltså tt χ R, χ os θ θ <,eftersom < < π Då T är elliptisk χ R oh χ < Vi ntr nu tt χ R oh χ < oh sk evis tt T är elliptisk. χ χ R oh χ < ], [ χ ) θ ], π [ så tt os θ χ os θ, θ ros χ ], π [

6 k χ 4os θ os θ ) os θ k k k os θ k, os θ ± os θ os θ ± i sin θ k os θ i sin θ, är k k k iθ e är < θ < π T är elliptisk Bevis: ) Vi skll evis tt är T hperolisk χ R oh χ > k ρe iθ å är T hperolisk hr vi tt θ oh ρ >, ) k ρ ], [ \{} χ k ρ k ρ χ ρ ρ ρ oh ρ ], [ \ {} ρ ρ eftersom ρ t ) t > t t t ) t t t Vi får lltså tt: ρ > χ ρ χ ± ρ χ R ρ ρ > 4 ρ χ R oh χ >.

7 Vi sk nu evis et omvän, nämligen tt χ R oh χ > T hperolisk k χ k k k χ ) k k χ > k k k oh k hr smm teken. χ ± k, χ ) 4 χ ± 4 χ 4χ χ ± χ χ 4 k R, k > k ρe iθ, θ, ρ > k k > åtminstone k eller k > Vi får lltså tt k >, k >.v.s T är hperolisk ) I treje oh sist fllet å T vrken är prolisk, elliptisk eller hperolisk är en loxoromisk. T loxoromisk χ R. Smmnfttningsvis kn vi nu skriv tt å χ R är T, prolisk, χ. elliptisk, χ < hperolisk, χ >, smt i fllet å χ R är T loxoromisk å χ R.

8. Cirklr genom prolisk Möiusvilningr De olik tpern v Möiusvilningr hr olik egenskper. Vi sk här stuer fmiljer v irklr oh rät linjer som är invrint genom Möiusvilningr. Vi örjr me tt unersök fllet å Möiusvilningen T är prolisk. T prolisk: Fll : Avilningens fixpunkt,. T λ är λ. Vi ientifierr λ C me vektorn som hr origo i o oh änpunkten λ. Låt L vr en rät linje som är prllell me λ, se figur.. Det är å uppenrt tt T L) L. Om L * är en rät linje som är vinkelrät me λ å är T L * ) okså en linje som är vinkelrät me λ. T invrierr e rät linjern prllell me λ oh invrierr fmiljen v e rät linjer som är ortogonl me λ. L L * o TL * ) λ λ Figur.. Prolisk vilning me som en fixpunkt. Fll : Möiusvilningen T hr en änlig fixpunkt C. Avilningens norml form är: T, ärför tt T I ) ) Låt oss t S T, U T Mö är: S T oh U T Möiusvilningens norml form ) lir å: S T T U T S T ) ) kn skrivs som: - T S T U T S T ) x i, w u iv

9 Låt Δ vr är en rät linjen genom fixpunkten som är prllell me vektorn i, se figur.4. Den rät linjen Δ s ekvtion är: x x ) ) ) är x i är T s fixpunkt. För Δ oh w u iv S T får vi: w w u iv u iv u v 4) Δ S T Δ ) x x Figur.4. Prolisk vilning å T hr en änlig fixpunkt. Eftersom ligger på Δ så gäller ekvtion ). Ur smn 4) så får vi tt: u x x u v, relelen v w ) 5) v, imginär elen v ) u v w Om vi sustituerr 5) i ) så får vi tt: u u v u v v u v 6) Vi kn här se tt S T Δ ) är en rät linjen som går genom origo oh punkten se figur.4. Alltså är U T S T Δ )) S T Δ ) oh följktligen, T Δ ) S T - U T S T Δ ))) S T - S T Δ )) Δ Δ är lltså invrint me vseene på Möiusvilningen T.

Låt nu Г vr en irkel som tngerr rät linjen Δ i punkten se figur.5. S T Γ) Γ Δ S T Δ ) x Figur.5. S T Г) är en rät linje som enst hr som gemensm punkt me en rät linjen S T Δ ) i Ĉ S T Г) // S T Δ ). Eftersom U T, U T S T Г)) S T Г) ärför tt U T w w ) w. T Г) S T - U T S T Г))) S T - S T Г)) Г Cirkeln Г är lltså invrint me vseene på T. Låt oss nu t en nnn irkel Γ som är ortogonl mot e föregåene irklrn.v.s. Γ hr meelpunkten på Δ oh går genom fixpunkten, se figur.6. Δ Γ S T Δ ) TΓ) Figur.6 x S T Γ) x S T Γ) är en rät linje som är ortogonl mot S T Δ ). U T S T Γ)) är en rät linje S T Δ ). T Γ) S T - U T S T Γ))) en irkel v smm fmilj.v.s. en irkel me meelpunkt på Δ oh som går genom fixpunkten. Γ oh T Γ) hr lltså smm tngent i. Fmiljen v ll irklrn me meelpunkt på Δ oh som går genom är invrint me vseene på T.

Smmnfttningsvis kn vi skriv tt T invrierr irklrn genom som tngerr Δ oh invrierr fmiljen v irklrn som är ortogonl mot e föregåene irklrn som går genom.. Cirklr genom ike prolisk Möiusvilningr Vi skll nu stuer fllen å Möiusvilningen T är ike prolisk oh vi örjr me stuien v e elliptisk vilningrn T ; T. Fll :. C oh. Den norml formen v T är i ett fll, T kt) ) är kt) iθ e, θ oh π < θ π S T T U T S T T S T - U T S T iθ U T är en rottion kring origo. U ) e oh S T ) ) T TΔ) S - T U T S T Δ))) Δ S T Δ) φ φ Figur.7 x x U T S T Δ)) θ S T Δ) Figur.8 x T roterr e rät linjern genom kring me vinkeln θ. Om är en irkel me meelpunkt så är T ). T roterr lltså me vinkeln θ kring e rät linjern genom oh invrierr irklrn me meelpunkt.v.s. irklrn som är ortogonl mot e rät linjern genom.

Fll : Vi hr två fixpunkter oh C. oh T elliptisk) S T S T ), S T ) ) iθ U T e, T S - T U T S T C TC) U T S T C)) S T C) θ Δ θ x S T ) x Figur.9 S T C) är en rät linje som innehåller origo. U T S T C)) är en nnn linje genom origo som fås genom tt roter S T C) me vinkeln θ. S T - U T S T C))) skll vr en nnn irkel genom oh som ilr vinkeln θ me C. Δ Figur.. x Låt vr en irkel som är ortogonl mot två irklr genom oh, se figur.. En v ess två irklr kn vr en rät linjen Δ genom oh. S T ) skll vr en irkel ortogonl mot S T ) oh S T ). Eftersom S T ) oh S T ) är två rät linjer genom origo oh S T ) är ortogonl mot vr oh en sk S T ) vr en irkel me meelpunkt på S T ) oh S T ).v.s. S T ) hr meelpunkten S T ) S T ) {} origo.

Följktligen är S T ) ortogonl mot ll linjern genom origo oh vi kn nu r slutstsen tt är ortogonl mot ll irklrn genom oh. Alltså: Om är en irkel ortogonl mot två irklr genom oh å är ortogonl mot fmiljen v irklrn genom oh. U T S T )) S T ) oh T) S T - U T S T )) Me nr or så invrierr vilningen T irklrn som är ortogonl mot irklrn genom oh. Slutsts: En elliptisk vilning invrierr fmiljen v irklr som går genom oh oh vrje irkel som är ortogonl mot en föregåene fmiljen. Vi sk nu ehnl fllet å T är hperolisk. Fll : C,. Avilningens norml form är, T) kt) ), kt) ρ ], [ \{} UT) ρ kontrktion eller iltion) Δ S T Δ) x Figur.. Låt oss etrkt en linje Δ som går genom. S T Δ) skll vr en linje genom origo prllell me Δ, se figur.. U T S T Δ)) S T Δ) TΔ) S U S Δ))) Δ T T T T invrierr irklrn genom oh.

4 Fll :, C, S T, U T ρ, T S - T U T S T S T ) Γ S T Γ) S T Δ) φ φ x x Figur.. Låt vr en irkel genom oh se figur.. S T ) är en linje genom origo. U T S T )) S T ) eftersom U T är en kontrktion eller iltion) T) S U S ))) T T T T invrierr irklrn genom oh. Låt oss nu etrkt en irkel Γ som är ortogonl mot irklrn genom oh, se figur.. Som tiigre räker et tt nt tt Γ är ortogonl mot en irkel genom oh oh mot en rät linjen Δ genom oh. S T Γ) är en irkel me meelpunkt i origo. U T S T Г)) är en nnn irkel me meelpunkt i origo eftersom U T är en kontrktion eller iltion. S T UT ST Γ))) TГ) skll vr en nnn irkel som är ortogonl mot irklrn genom oh. Slutsts: En hperolisk vilning T invrierr irklrn genom oh oh fmiljen v irklrn som är ortogonl mot e föregåene irklrn.

5. Anhrmonisk förhållnen Det finns en enkel oh mket nvänr meto för tt konstruer Möiusvilningr me särskil krv. Om vi t ex hr två irklr Γ oh Γ så finns et oänligt mång Möiusvilningr som vilr Γ på Γ. Definition.6: Ett nhrmoniskt förhållne som generers v e tre prvis istinkt punktern, oh Ĉ är en Möiusvilning S: Ĉ Ĉ som uppfller villkoret S{,, }) {,, }. Eftersom mängen v ll permuttioner v {; ; } hr! 6 olik element följer et tt vrje fix mäng {,, } skpr exkt sex olik nhrmonisk förhållnen. Vi eteknr me S et en nhrmonisk förhållnet som uppfller villkoren: S ) ; S ) ; S ) En tligre nottion för S S är S ) [,,, ].,, Om,, C, så är S. Definition.7: Om,, C oh så är S ): lim S ) Vilket är et smm som tt skriv, [,,, ] ). De nr fem nhrmonisk förhållnen noters på följne sätt: S k ) eller [,,, ] k För k,,, 4 oh 5 får vi följne uttrk; S ) [,,, ] : [,,, ],, S ) [,,, ] : [,,, ],, S ) [,,, ] : [,,, ],, S 4 ) [,,, ] 4 : [,,, ],, S 5 ) [,,, ] 5 : [,,, ],,

6 S ) [,,, ].,, : förhållnet S ) [,,, ] S ) [,,, ].,, : S ) [,,, ] S ) [,,, ].,,, :e S ) [,,, ] S 4 ) [,,, ].,, 4:e S 4 ) [,,, ] 4 S 5 ) [,,, ].,, 5:e S 5 ) [,,, ] 5

7 I e fll när, eller får vi följne förhållnen: S ) [,,, ] [,,, ],, S ) [,,, ] [,,, ],, S ) [,,, ] [,,, ],, S ) [,,, ] [,,, ],, S ) [,,, ] [,,, ],, S ) [,,, ] [,,, ],, S ) [,,, ] [,,, ],, S ) [,,, ] [,,, ],,, S ) [,,, ] [,,, ],, o. s. v De övrig förhållnen ser ut på liknne sätt oh följer smm mönster. En v e viktigste egenskpern hos et nhrmonisk förhållnet är tt e är invrint me vseene på Möiusvilningrn.

8 Låt T Mö, T är,,, C oh Δ. Sts.9: För vrje k {,,,, 4, 5} hr vi tt [,,, ] k [ T, T, T, T ] k. För tt kunn evis enn sts ehövs lite mer teori så vi återkommer till ett lite senre.) Speilfllen å {,, } {,, } m m ): [,,, ], Ĉ,.v.s. m ientitetsvilningen v Ĉ,, m ) : [,,, ] [,,, ],, m ) : [,,, ] [,,, ],, m ) m ) m ) m ) : [,,, ] [,,, ] m ),, m 4 ) : [,,, ] [,,, ] 4,, m ) m ) m 5 ) : [,,, ] [,,, ] 5 m ),, Mängen M : { m I ; m, m, m, m 4, m 5 } ilr en grupp som är unergrupp till Mö Ĉ ), )). Gruppen M, ) är knoniskt isomorf me en smmetrisk gruppen σ, ) är σ { σ : {,, } {,, } σ ijektiv } Opertionstellen för M me opertionen ser ut på följne sätt: m I m m m m 4 m 5 m I m m m m m 4 m 5 m m m m m 5 m m 4 m m m m m 4 m 5 m m m m 4 m 5 m m m m 4 m 4 m 5 m m m m m 5 m 5 m m 4 m m m Ur ovnståene tell kn vi utläs e invers vilningrn enligt följne: m - m, m - m, m - m, m - m, m 4 - m 4 oh m 5 - m 5

9. Anhrmonisk förhållnens invrins De nhrmonisk förhållnen hr en mket r oh nvänr egenskp nämligen tt e är invrint genom en Möiusvilning. Vi hr sen tiigre tt: S S: [,,, ],,. [,,, ] [,,, ] [,,, ] [,,, ]. [,,, ] lim ) lim [,,, ] ) [,,, ] ) lim [,,, ] 4) lim [,,, ] 5) T Mö, T, Δ, w T ) Ĉ. Vi eteknr w k T k, k,,. Sts.: Om,, Ĉ oh är prvis olik så gäller tt: [ T, T, T, T ] [,,, ] Bevis: Om vi hr ekvtionern ) 5) i åtnke är et tillräkligt tt ehnl fllen å,, C oh C. Fll : w, w, w C, vilket är et smm som tt k för fllet när. I fllet när får vi tt, w T me. w w w w [ w, w, w, w ]. w w w w ) ). [,,, ] ) )

4 Om oh,, får vi följne uttrk; [ w, w, w, w ]. [,,, ] Fll : T w. Vi ntr tt *,, oh tt *. Vi får å tt: [ w, w, w, w ] lim [w, w *, w, w ] w w lim [ T, T *, T, T ] lim [, *,, ] [,,, ] * T - w * ) eftersom T är en homeomorfism. På smm sätt kn mn evis invrinsen hos S i e nr fllen när T oh T. Mn kn utför exkt smm evis för e nr nhrmonisk förhållnen S k men et finns en mket kortre lösning. Sts.: För vrje k {,,,, 4, 5 } så hr vi tt S k m k S,vilket är et smm som tt säg tt: [,,, ] k m k [,,, ] ) Bevis: k : I fllet när k gäller tt S S oh m I. Vi får härme tt S m S. k : S ) [,,, ],, m S) ) m S )) m ) S ) m S) ) m S )) m ) S ) m S) ) m S )) m ) S )

4 Eftersom Möiusvilningen är lik i tre prvis skil punkter ger ett oss tt: m S)) S ), ) Ĉ oh är et smm som tt säg tt m S) S. k : S ) [,,, ],, m S) ) m ) S ) m S) ) m ) S ) m S)) S ) Ĉ m S) ) m ) S ) k : S ) [,,, ],, m S) ) m ) S ) m S) ) m ) S ) m S)) S ) Ĉ m S) ) m ) S ) k 4: S 4 ) [,,, ],, m 4 S) ) m 4 ) S 4 ) m 4 S) ) m 4 ) S 4 ) m 4 S)) S 4 ) Ĉ m 4 S) ) m 4 ) S 4 ) k 5: S 5 ) [,,, ],, m 5 S) ) m 5 ) S 5 ) m 5 S) ) m 5 ) S 5 ) m 5 S)) S 5 ) Ĉ m 5 S) ) m 5 ) S 5 )

4 Nu kn vi utför eviset för S k s invrins me vseene på Möiusvilningrn. Bevis:.7) T Mö. Vi hr tiigre vist tt: [ T, T, T, T ] [,,, ] Vi kn nu nvän oss v tt, [ T, T, T, T ] k m k [ T, T, T, T ] ) m k [,,, ] ) [,,, ] k

4 Kpitel. Hperolisk geometri Den ike-eukliisk geometrin upptäktes v Boli, Lohevsk oh Guss i örjn v 8-tlet. I ett kpitel sk vi presenter grunläggne egrepp oh resultt i enn geometri. Enligt Felix Klein s filosofi om olik tper v geometri så måste mn för tt få tl om geometri h en mäng M oh en grupp G v ijektiv vilningr T: M M. Geometri på M, G) eter, enligt Klein, tt stuer egenskpern hos elmänger v M som är invrint me vseene på verkn på M v elementen i G. Meningen me et föregåene påståenet klrnr när vi örjr stuien v ike-eukliisk geometrin som okså klls för en hperolisk geometrinenligt Boli Lohevski).. Övre hlvplnet Moellen v en hperolisk geometrin som vi sk stuer upptäktes/skpes v Poinré på 88-tlet. Som pln i en hperolisk geometrin kn mn enligt Poinré) nvän ntingen et övre hlvplnet, eller enhetsisken, H : { C Im > } D D ): { C < }. Dess två moeller kn ientifiers vi en konform vilningen: i T : H D, T ) H. i Vi nväner oss här v moellen me övre hlvplnet, H, se figur.. L H L Figur.. Moellen övre hlvplnet. x H skll vr et hperolisk plnet. Rät linjer i H är Eukliisk hlvlinjer v formen: L : { H Re k konstnt } eller Eukliisk hlvirklr i H me meelpunkt på ox xeln. Punkter i et hperolisk plnet H är vnlig punkter i H.

44 Om T Mö koeffiienter. så vils reell xeln R på sig själv om oh enst om T enst hr reell Sts.: T Mö hr egenskpen TH) H å oh enst å T ) oh,,, R., Bevis: T är en homeomorfism Trnen v H ) rnen v TH ). H rnen v H i Ĉ R { } Fll :. Vi hr å tt: T oh T - är,,, R oh Eftersom T vilr R { } på R { } så får vi tt: T ) R, T - ) R oh T) R Vi kn nu se tt T hr reell koeffiienter. T Mö oh TH) H,,, R oh ) Fll :. T oh T - Eftersom T vilr R { } på R { } så får vi tt: T - ) R oh T - ) R, et T Vi får lltså tt R oh tt R

45 Vi ntr nu tt,,, R, smt tt T oh visr tt TH) H.. Det är klrt sen tiigre tt TR { } ) R { } w u iv T v Im w eftersom, w T ) ) ) ) x x i i ) v Imw. Vi hr lltså vist tt H > v > w H. Slutligen får vi tt TH) H.. Hperolisk ågläng. Mn förser H me ågelementet s som upptäktes v Cle) som ges v: s : x Im. Me hjälp v s kn mn efinier längen eller s-längen eller hperolisk längen) v kurvor i H som är stkvis slät. Om : [, ] H, given v t) t) xt) it) ) t [, ] R, är slät.v.s x&t) oh &t) existerr för vrje t [, ] oh funktionern x&, &: [, ] R är kontinuerlig) å efiniers längen v enligt formeln:

46 Definition.: l ) : s x : x& t) & t) t) t ) x i t) H x i Figur.5. En Eukliisk sträk i et hperolisk plnet. x Exempel: Låt x i oh x i är < <, se figur.. Låt vr en Eukliisk sträkn me prmetriseringen : [, ] H, t) t) t t )[ x i] x i t )] [ [ ] t x i x i[ t) t] l ) ) t t ) t t ) t )] ln[ ln ln ln ln[,,, ] i i, är,,, ] : [,,, ] k, k ) [ Sts.: Bågelementet s är invrint m..p Möiusvilningrn T Mö för vilk TH) H. w D.v.s om w u iv T är,,, R oh, å är Im w. Bevis: w u iv v. w T ).., som vi sett tiigre. )

47 Vi får nu tt: w Im w w v. v.. Anmärkningr:. Om Γ är en stkvis slät kurv,.v.s Γ... m är vrje k är slät oh slutpunkten v k är strtpunkt för k k n ) så efiniers s-längen v Γ genom: n lγ) : l k ), är l k ) eräkns enligt ) k. Om Γ oh Γ är stkvis slät kurvor å efiniers lγ Γ ) : lγ ) lγ ), även om Γ oh Γ är isjunkt.. Om :[, ] H å efiniers inversen v etekn t): t) ) t [, ]. genom: : [, ] H, ) t): t) ) Figur.6 t) Mn ser tt oh hr smm s läng: l ) l ).v.s s s för vrje stkvis slät kurv. För ett rigoröst evis v enn viktig egenskp måste mn nvän vrieltet i en vnlig Riemnn) integrl.

48 Följsts till Sts.): Om : [, ] H är en stkvis slät kurv oh T Mö, TH) H, å hr oh T ) smm läng.v.s, s s T ο Bevis: T ) w s Imw T ) w ) t) t v t) Im s Låt V vr efinier genom, Vi får å tt: V är,,, R oh ) w u iv V v Im w VH) H I ett fll låter vi r : Mtrisen r r V) r r >.v.s <., r R, r >. r r ) Ĉ r r M V hr eterminnten. r Anmärkning: Om V) är som tiigre får vi tt; V ) ) ) ) Alltså för w u iv V) hr vi tt: w Im w oh lv ) l) för vrje stkvis slät kurv i H.

49 Från oh me nu eteknr vi me IH) mängen: I H): A B är: A {T T, är,,, R, } Mö B {V V, är,,, R, } Mö Anmärkning: Vi hr sett tt T, V IH) meför tt TH) H oh VH) H. Sts.: I H), ) är en grupp. Bevis:. Vi måste först evis tt I H) är invrint me vseene på opertionen,.v.s f g I H) för ll f,g I H). Fll : f, g A Fll : f, g B Fll : f A, g B Fll 4: f B, g A Fll : f), g) är k, k, k, k R oh k k k k, k, f g)) ) ) g g. ) ) Alltså: f g)) är, M f g M f M g Det M f g ) ). Därför får vi tt: f g A I H).

5 Fll : f), g) f g)) ) ) g g ) ) M f g et M f g ) ) Vilket eter f g A Fll : f) som i fll oh g) f g)) ) ) g g ) ) M f g et M f g f g B Fll 4: f B oh g A f) oh g) f g)) ) ) g g ) ) ) ) ) )

5 M f g et M f g ) ),vilket eter tt f g B.. Eftersom I är et uppenrt tt I A I H) oh f I I f f ) f I H). Vrje element I H) hr invers. För vrje element h A Så vet vi tt h - A. Detsmm gäller för elementen i B. h B h B Bevis: h) är,,, R h) w w w oh ) ) w Alltså är M h oh M h h - w) h - w) w oh h - B IH). w Vrje element i I H) inverterrt oh inversen ligger i I H). I H), ) är en grupp. Anmärkning: Vi hr sett tt å U A B oh är en stkvis slät kurv i H å hr oh U smm s-läng: λ) λ U ).

5 Sts.4: Om V A B så gäller tt:. V A [V, V, V, V ] [,,, ] för ll,,, Ĉ.. V B [V, V, V, V ],,, ] för ll,,, Ĉ. [ De föregåene likhetern gäller för ll 6 nhrmonisk förhållnen. I fortsättningen kommer följne nhrmonisk förhållne tt nväns; [,,, ] : [,,, ] Bevis: Egenskp evises i kp.. [T, T, T, T ] [,,, ] ) prvis skil,,, Ĉ Låt oss t V B. V,,,, R oh. Låt,,, Ĉ vr prvis skil smt,,, Ĉ vilk okså är okså prvis skil. V T k är k) [V, V, V, V ] [Tk), Tk ), Tk ), Tk )] [k, k, k, k ],,, ]. Geoetisk linjer [ Definition.: En kurv Г i H klls för geoet eller geoetisk linje om en hr följne egenskper: För vrje, Γ hr ågen v Г me änpunktern oh längen minre än längen för vilken nnn kurv som helst så tt änpunktern v är oh. Г Figur.7 Sts.5: De geoetisk linjern i H, s) är ntingen e Eukliisk hlvlinjern prllell me imginär xeln o eller hlvirklrn som hr meelpunkt på reell xeln ox.

5 Bevis: Vi evisr först tt hlvlinjern x k konstnt oh >) är geoeter. På grun v tt s är IH) invrint räker et me tt t fllet å k eftersom V A å V k. x k Figur.8 Låt nu x, R, < oh låt :[,] H, t) t)i ti, se figur.9. Vi hr sett tt l ) s ln ln[, i, i, ] i i Figur.9. x Låt oss nu etrkt en nnn kurv från i till i, se figur.9. Vi ntr tt är en slät kurv. :[,] H, t) xt) it) är ) i ; ) i. l) x & t) & t) t t) & t) t t) &t ) t t ) &t ) t t ) ) ln t ln )) ln )) ) ln ) i) ln i ) ) ln ) i ln ln i l ). Alltså är l ) l) eftersom i oh i vr gotklig är o en geoet i H. Vrje vertikl H-linje är en geoetisk linje.

54 Låt oss nu etrkt en hlvirkel Γ i H me meelpunkt på ox oh punktern, Γ, Re Re. Vi ntr här tt Re < Re. Änpunktern på Γ etekns oh. Meelpunkten för Γ lir å, se figur.. t) φ Γ φ Figur.. Låt vr ågen v Γ, se figur.. :[ ϕ, ϕ] H, är ϕ Arg oh ϕ Arg. ) t it e, t ϕ, ϕ ] [ V: i ; i ) ; V ) V ) V ) ik ;k > V Γ) o -xeln. i V ) Figur.. V ) x l ) l V )) V ) ln V ) V ) V ) ln[, V ), V ), ] ln[,,, ]

55 Nu tr vi en nnn kurv i H me strtpunkt oh slutpunkten, se figur. V ο lir en kurv me strtpunkt V ) i oh slutpunkt V ) ik, se figur.. Figur. V ) Γ V) V ) ik V ) i V ) Figur. V ) Enligt först elen v eviset får vi: l V ο ) l V ο ) ln[,,, ] l ). Bågen hr lltså kortste längen ln kurvorn som iner smmn oh. Anmärkning: Om, H oh så finns et en oh enst en geoesisk linje som går melln punktern oh. Vi kllr e geoesisk linjern i H, s) för hperolisk linjer eller H linjer. Definition.: Låt, vr två gotklig punkter i H. Hperolisk vstånet, H ) melln oh efiniers å som hperolisk-) längen v geoetens åge me änpunkter i oh., H ) å oh enst å. För hr vi sett tt, H ) ln[,,, ]. Vi ser tt om, H ) oh om i,, ). H Alltså är oänligheten i hperolisk plnet R { }.

56 Två geoetisk linjer oh klls för prllell om e möts i oänligheten.v.s. tngerr vrnr i en punkt enligt figur.4. eller eller eller Figur.4. Olik fll å är prllell me. x x Två geoeter som sknr gemensm punkt oh som inte är prllell klls för ultrprllell, se figur.5. eller eller x x x Figur.5. Olik fll å är ultrprllell me. Sts.6: Funktionen H : H H R hr e tre följne egenskpern:., H ) oh, H ) oh., H ), H ) ),. För, H gäller tringelolikheten:,. Mn säger tt H, H ) H, ), ) H H T ),T )) H T ),T )) H T ),T )) oh är smmetrisk), H ) H, ) H, ) å oh enst å ligger på H linjen genom oh melln oh.

57 Bevis: ik, k > H i Figur.6. Vi ntr tt Re < Re enligt figur.6. Möiusvilningen V ) i hr följne egenskper: VH) H, V ), V ), oh V ) i V ) i k, H ) V, V H ) ln k., H ) k V ) V ) eftersom V är ijektiv) Om Re Re ntr vi tt Im., H ) Egenskp är nu evis. ln oh, ) H ln.. Eftersom [,,, ],,, ] [. Om vi hr punktern,, som i figur.6 så får vi:, H ) H V ), V )) eftersom V A)

58 V ) ki V ) V ) i Figur.7. x V ) oh V ) ligger på o xeln se figur.7. Vi hr sett tt elen v o xeln melln V ) i oh V ) är en geoetisk åge. Vi får å tt: H V ), V )) H V ), V )) H V ), V )) ) D.v.s., H ) H, ) H, ). Om, H ) H, ) H, ) hr vi likhet i ). Likheten kn enst förekomm å oh enst å V ) ligger på o xeln melln V ) i oh V ) ki. V - V )) ligger på ågen v geoeten melln oh. Alltså: H, H ) är ett metriskt rum.4 Isometrier v H, s) Definition.4: En vilning f : H H klls för isometri v H, s ) om f är ijektiv oh H f ), f )), H ) för ll punkter, H. Sts.7: Mängen v ll isometrier v H, s ) ilr en grupp me vseene på smmnsättningen v funktioner. Bevis: Låt oss etekn I * H) : { f : H H f isometri }. Det är tligt tt om f, g I * H) å är f g I * H). D.v.s I * H) är stil m..p opertionen. Det är uppenrt tt I I * H) är I är ientitetsvilningen v H. I: H H, I) H. Om f I * H) å är f ijektiv. Låt, H oh w f ) ; w f ). : H f w ), f )) w, w ), eftersom f är en isometri. w H :

59 Alltså: H Vilket eter tt: f ), f )) w, w H ) H f w ), f w )), H ) f I * H). Vi hr sett s.5) tt l) lu ) för vrje U A B oh för vrje stkvis slät kurv. Låt, H, för tt unvik et trivil fllet å, H ) H f ), f )) för vilken funktion som helst f : H H. Låt nu vr ågen v geoeten genom, så tt hr strtpunkt i oh slutpunkt i eller tvärt om). För vrje U I H) A B är U ågen v geoeten genom U ) oh U ) me strtpunkt U ) oh slutpunkt U ) eller tvärt om). Vi får tt: H U ), U )), H ) för ll punktern, H. Enligt efinitionen är U en isometri v H.v.s. U I * H). U är ett gotkligt element i I H) A B. Vi hr nu evist tt I H) I * H). Det är nmärkningsvärt tt e två mängern I H) oh I * H) är lik. Vi formulerr följne sts: Sts.8: I H) I * H).v.s en vilning f : H H är en isometri v H, s ) å oh enst å f : A B : f ),,,, R oh eller f ),,,, R oh Vi ger ing etljer i eviset v påståenet tt I H) I * H).

6.5 Hperolisk vinklr C θ C Figur.8 Vinkel melln två kurvor C oh C. Låt oss etrkt två slät kurvor C oh C. som är givn v prmeterfrmställningrn; : [, ] C oh ) ), t t Vi ntr tt C oh C är så klle regulär kurvor.v.s. & t) oh & t) ) t [, ]. För vrje t [, ] är & t) tngentvektor till C k i punkten t). k k & k t) t) k C k Figur.9 För t t är & t ) oh & t ) tngentvektorer till C respektive C i punkten. Mn efinierr H vinkeln melln C oh C som en Eukliisk vinkeln melln C oh C i.v.s tlet, θ : ros & t) & t) & t ) & t ) [, π ]. Sts.9: Ω oh Ω är områen i C. f: Ω Ω är nltisk, Ω, C oh C är regulär kurvor i Ω, C C, Γ f C ), Γ f ) C Om f ) vinkeln melln C oh C i vinkeln melln Γ oh Γ i f ). Om f är nltisk så hr vinklrn smm solutelopp me motstt teken, θ oh θ, se figur..

6 C Γ θ f ntinltisk θ C Figur. Γ V B, V ) g ) Vi ntr nu tt C oh C är skil H linjer genom C. H. Låt θ vr vinkeln melln C oh C C Figur. Om V A så är vinkeln melln VC ) oh VC ) lik me θ. Då V B är vinkeln melln VC ) oh VC ) lik me θ..6 Hperolisk re I et hperolisk plnet H är kvrten v ågelementet s given v: s är x i s x ) E ; F ; G I llmänhet om tn S hr prmeterfrmställningen ru, v) [ x u, v), u, v), u, v)] v klss C å är ågelementet s på S givet v: s Ex Fx G

6 Ytelementet som motsvrr prmetriseringen ru, v) är: σ EG F x 4 x x Alltså är σ. Om Ω är ett områe i H eller ett slutet områe i H så efiniers Ω s hperolisk re enligt: Are Ω ) : Ω x Den hperolisk ren är invrint me vseene på IH), gruppen v isometrier i H. V),,,, R oh eller V),,,, R oh Beviset är grunt på regler v klkl me ttre proukt v ifferentilformen v gr på R..7 Guss Bonnet s sts för hperolisk tringlr En hperolisk tringel är et slutn områet i H som egränss v tre rät H linjer, se figur.. Ω B A C Figur.. En hperolisk tringel Ω me vinklrn,, oh. SATS.: Guss Bonnet) Låt Ω vr en H tringel som egränss v H linjern AB, AC, BC se figur.6. Ant tt vinklrn är,, oh som i figuren. Då gäller tt: Are Ω ) π )

6 Bevis: Fll : Tringelns hörn är A ik, B, C iθ ke är π θ, se figur.. B Ω Aik t θ C kosθ isinθ) x Figur. θ π De rät H linjern som Ω estår v är {i k}; { ke i θ t } π { k osθ i k sinθ}. Vinklrn är: ; ; θ. oh Vi nväner Fuinis sts för tt eräkn AreΩ). Vi får å tt: Are Ω ): Ω x x k osθ k x k osθ x k x k osθ k x x π π π rsinsin θ )) θ π π ) π ) Are Ω )

64 Fll : iθ π Tringelns hörn är, C ki, k >, A ke, θ π oh B, se figur.4 oh vinklrn π är π θ, oh. B A Figur.4. C θ Vinkelsummn π θ π π ) θ Are Ω) : Ω x x k osθ k x k osθ x k x k osθ k x x x rsin k k osθ π x ros k k osθ π π ros rososθ )) π π rososθ ) θ π )

65 Fll : iθ iθ π Tringelns hörn är i ett fllet: A ke, B oh C ke är θ θ π, se figur.5. B Ω Ω A C Figur.5. Ω Ω Ω, se figur.6. Are Ω Ω ). Då får mn enligt fll oh fll : AreΩ) Are Ω Ω) Are Ω ) Are Ω ) π π π ) π ) π π ) π ) Fll 4: iθ iθ Tringelns hörn i fjäre fllet är: A ke, B oh C ke, se figur.6. B Ω Ω A iθ C ke θ Figur.6.

66 Ω { x i k x ; x k os } θ Ω { x i k x ; x k os } θ Ω Ω Ω oh Ω Ω hr re lik me noll. Vi får lltså tt: Are Ω ) Are Ω ) Are Ω) π π Are Ω) Are Ω ) Are Ω ) π ) π π ) π π π ) Fll 5: Figur.7. A Ω C B R När vi hr en vinkel som är lik me noll så utnttjs tt et finns en Möiusvilning som skikr punkten B till. m ), M m ), et M m )

67 Vi får å följne sitution: mb) Ω ma) mc) Figur.8. x Are Ω) Are m Ω)) π ) Fll 6: Vinklrn,, > ) A Ω C B Figur.9. B x H linjen AB möter x-xeln i punkten B. Den Eukliisk hlvirkel genom C som tngerr H linjen AB i B är en H linje, se figur.9. Vi eteknr: vinkeln A i ΔABC vinkeln B i ΔABC vinkeln C i ΔABC vinkeln C i ΔCBB Vi tillämpr formeln från fll 5: AreΔABC) AreΔAB C) AreΔCBB ) π ) [ π π )] π ) π )

68 Anmärkning: Me hjälp v Guss Bonnét s kn mn nu eräkn ren v en hperolisk polgon me n 4 sior. B A D C Figur. För en frsiig polgon som i figur. får vi tt ren lir: AreABCD) π ).8 Hperolisk rottioner oh trnsltioner Låt oss nu stuer verkn v Möiusvilningrn T över H i fllen när: T är,,, R oh, D.v.s fllen å T är en isometri i et hperolisk plnet. Vi örjr me fllet å T är elliptisk. Fll :Ant först tt. T oh en änlig fixpunkten är. T ) är multipliktorn kt) ρ iθ e me ρ oh θ D.v.s iθ e, vilket ger oss tt: R oh ± ± T λ T prolisk. Om T är elliptisk oh TH) å är llti.

69 Fll : När är å fixpunktern oh änlig oh ges v:, ± χ 4 är χ oh χ <. som okså kn skrivs som:, ± i 4 χ Vi ntr tt > ; nnrs ts mtrisen v T ut mot:. Då i 4 χ H oh H R. Δ Γ H θ Δ T) x x Figur. Låt oss nu etrkt en irkel genom oh, se figur.. Speilfllet kn vr en Eukliisk linjen genom oh. Vi såg i kpitel. tt T) är en nnn irkel genom oh så tt oh vinkeln melln T) är lik me θ är, kt) iθ e, θ, π < θ π Bilen v en hperolisk linjen H är linjen T) H. Vinkeln melln oh T) är θ. På grun v ett så klls vilningen T för en hperolisk rottion kring en fix punkten.

7 Cirklrn från H som är ortogonl mot irklrn genom oh är invrint me vseene på Möiusvilningen T. Dess irklr hr meelpunkten på Eukliisk linjen Δ som går genom oh se figur.. Bilen TΓ) v en sån irkel Γ uppfller TΓ) Γ oh vrje punkt på Γ hr roterts me vinkeln θ. Vi fortsätter nu me tt stuer fllet å T är hperolisk. Vi ntr som tiigre tt T är,,, R oh När T är hperolisk uppfller χ, χ > Fll : ; k oh k ], [. T ) är H T), om k > ) T), om < k < ) C Figur.. Låt oss etrkt en generliser) irkel C som går genom oh. Vi såg i kpitel. tt TC) C. C H är en hperolisk kurv invrint me vseene på T. Fll : Antr nu tt. Vi får å tt:, ± χ 4,, R

7 Vi ntr okså tt > vilket eter tt oh R oh tt <, se figur.. T) för k > ) T) T) för < k < ) x C Figur.. Vi etrktr irkeln C genom tt oh. C H är en hperolisk linje oh T). Om T) Låt,. H T ), T )) ln[, T ), T ), ] ln[ T ), T ), T ), T )] ln[,,, ] H T ), T )) Isometrin T flttr lltså punkter på till punkter på. På grun v enn egenskp så klls vilningen T för en hperolisk trnsltion. Vi sk nu stuer fllet å vilningen är prolisk. T är,,, R oh, χ ±

7 Fll :. T λ, λ R T är en Eukliisk trnsltion se figur.4. T) Figur.4 λ x Ingen speiell egenskp förekommer hos T i et här fllet. Fll : Vi ntr nu tt. Δ T) Figur.5 C x Låt oss nu etrkt en irkel C som går genom oh hr meelpunkten på R { }, se figur.5. I fllet å C hr meelpunkten i lir C en Eukliisk rät linjen Δ me ekvtionen x. Vi såg i kpitel. tt : C H är en hperolisk linje oh T) är en nnn hperolisk linje som är tngent till i punkten. Δ från kpitel. lir R { }) I et här fllet klls vilningen T för limesrottion v H runt.

7.9 Jämförelse melln Eukliisk oh Hperolisk geometri Eukliisk geometri: Om P, P är punkter i rummet R oh P P! ) rät linje R så tt P, P. Hperolisk geometri: gäller tt å, H oh! ) en geoet så tt, Figur.6 Eukliisk geometri: Euklies 5e postult) rät linje i plnet П, P punkt i plnet,.7. P! ) Δ rät linje, P Δ oh Δ //, se figur P Δ Figur.7 Hperolisk geometri: hperolisk linje en geoet, P punkt, P två hperolisk linjer oh som är prllell me, {P} oh et finns oänligt mång linjer ultrprllell me. Två geoetisk linjer är prllell å e tngerr vrnr i oh två geoeter som sknr gemensm punkt men inte är prllell klls för ultrprllell, se figur.8. P P Figur.8. är ultrprllell me. ultrprllell me.

74 Eukliisk geometri: Aren v en tringel eror på längen v tringelns sior. A B Figur.9 C Om ΔABC hr siorn me länger BC, AC, AB oh p Då gäller Heron s formel för ren v ΔABC:, Aren ΔABC ) p p ) p ) p ) Hperolisk geometri: Aren v en tringel eror enst v storleken på tringelns vinklr oh inte lls v siorns läng. Ann Persson Krlst mj 6

75 Referenser: Lehner J, Disontinous groups n utomorphi funtions, Amerin Mthemtil Soiet, Proiene, Rhoe Isln. 964) Springer G, Introution to Riemnn surfes, Aison-Wesle Pulishing Compn, In. 957) Anerson J.W, Hperoli geometr, Springer-Verlg, Lonon 999) L D.C, Liner Alger n its pplitions, seon eition, Aison-Wesle Longmn, In ) Roe J, Elementr Geometr, Oxfor universit press 99)