Tentmen i Mtemtik, HF93 To sep 4, kl 3:-7: Exminto: Amin Hlilovi Undevisnde läe: Håkn Stömeg, Jons Stenholm, Elis Sid Fö godkänt etyg kävs v mx 4 poäng Betygsgänse: Fö etyg A, B, C, D, E kävs, 9, 6, 3 espektive poäng Kompletteing: 9 poäng på tentmen ge ätt till kompletteing etyg Fx Vem som h ätt till kompletteing fmgå v etyget Fx på MINA SIDOR Kompletteing ske : två veko efte tt tentmen ä ättd Om kompletteing ä godkänd ppotes etyg E, nns ppotes F Hjälpmedel: Endst ifogt fomelld miniäkne ä inte tillåten Till smtlig inlämnde uppgifte fods fullständig lösning Skiv endst på en sid v pppeet Skiv nmn oh pesonnumme på vje ld Inlämnde uppgifte skll mkes med kyss på omslget Denn tentmenslpp få ej ehålls efte tentmenstillfället utn sk lämns in tillsmmns med lösning 4p kn du som ä godkänd på KS hopp öve p Lös olikheten x x x 3 < p Lös ekvtionen 9x p Bestäm så tt vektoen u,, v,,3 ild ät vinkel med vnd 3 3p:Bestäm så tt den pllellogm som spänns upp v vektoen u,, oh v,3, få en 6 e 4 p: Bestäm x u ekvtionen: dä ä ett eellt tl oh x x 3p: Bestäm en ekvtion fö det pln som innehålle linjen x, y, z,, t,3, oh ä pllell till skäningslinjen melln plnen x y z oh x z V god vänd
6 3p: Betkt linjen L med ekvtionen x, y, z,, t,, oh punkten P,, som inte ligge på linjen L Låt punkten S v punkten P:s spegling i linjen L se figuen nedn Bestäm koodinten fö punkten S 7 4p Betkt följnde ekvtionssystem med vseende på x, y oh z x 3y z x y 4z x y z Bestäm vilken typ v lösning ingen lösning, unik lösning, elle oändligt mång lösning pmetelösning det h fö vje väde på konstnten oh Bestäm okså eventuell pmetelösning 8 4p Låt, dä, oh ä eell tl Dessutom nts tt 3p Bestäm en ekvtion som oh elementen på huvuddigonl måste stisfie, så p tt li en mtis v typen dä p oh q ä godtyklig tl q p Finn en mtis v typen, dä, som stisfie ekvtionen 9 9 Lyk till
FACIT 4p kn du som ä godkänd på KS hopp öve p Lös olikheten x x x 3 < p Lös ekvtionen 9x Lösning: Rättningsmll: p fö koekt metod oh ett koekt intevl 9x 9x ± 9 x ± Fån 9xx 7 h vi x 7 / 9 Fån 9 x 3 h vi x 3/ 9 / / 3 Sv: Fy lösning: x 7 / 9, x / 3 Rättningsmll: p fö koekt metod oh en koekt lösning p Bestäm så tt vektoen u,, v,,3 ild ät vinkel med vnd Lösning u v 3 4 Sv: Rättningsmll: Rätt elle fel 3 3p:Bestäm så tt den pllellogm som spänns upp v vektoen u,, oh v,3, få en 6 e Lösning Pllellogmmens Föst eäkn vi e ä A u v u v 3,, Häv A u v 3 8 4 Fån 8 4 6 h vi 8 4 6 dvs 4 4 somm ge Sv: Rättningsmll: p fö koekt u v, p f fö koekt uttyk fö en A 8 4 4 p:
Bestäm x u ekvtionen: dä ä ett eellt tl oh x x Lösning: x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Fån x x oh h vi x, x Sv: x, x Rättningsmll: Rätt deteminnteäkning p, estende ätt p Ej koekt deteminnteäkning ge p 3p: Bestäm en ekvtion fö det pln som innehålle linjen x, y, z,, t,3, oh ä pllell till skäningslinjen melln plnen x y z oh x z Lösning: Skäningslinjen melln plnen x y z oh x z estäms genom följnde ekvtionssystem ehållen vi dess ekvtion: x s x y z x y z Skäningslinjen y s x z y z z s Plnets noml ä vinkelät till linjens iktningsvektoe oh ehålls vi: n,3,,,, 3, Plnets ekvtions på nomlfom: x 3y z d En punkt i plnet: P,, sätts in i ekvtionen fö tt eäkn konstnten d: d d Sv: Plnets ekvtion: x 3y z Rättningsmll: Rätt skäningslinje ekvtion p Rätt noml p Resten ätt p Ej koekt skäningslinje medn esten ä ätt ge mx p 6 3p: Betkt linjen L med ekvtionen x, y, z,, t,, oh punkten P,, som inte ligge på linjen L Låt punkten S v punkten P:s spegling i linjen L se figuen nedn Bestäm koodinten fö punkten S
Lösning: Vi välje en punkt på linjen, t ex P,, oh eäkn P S Fån nednstående gf se vi tt P S P P PQ Föst ild vekton u P P,,,,,3, Sedn estämme vi pojektionen v vekton u på linjen L linjens iktningsvekton ä v,, : u v 6 P Q poj v u v,,,, v v 6 Nu h vi PQ PP P Q 3,,,, oh slutligen P S P P PQ,3,,, 3,, Vi h koodinte till punkten P oh vekton S P koodinte fö punkten S; t ex genom tt estämm OS : OS OP P S,, 3,, 4,, Dett inneä tt S 4,, Sv: S 4,, Rättningsmll: Koekt oh dämed kn vi, på enkelt sätt, få P Q ge p Koekt uttyk fö P S ge p 7 4p Betkt följnde ekvtionssystem med vseende på x, y oh z x 3y z x y 4z x y z Bestäm vilken typ v lösning ingen lösning, unik lösning, elle oändligt mång lösning pmetelösning det h fö vje väde på konstnten oh Bestäm okså eventuell pmetelösning Lösning: Koeffiientmtisens deteminnt: 3 4 med Sus egel elle utvekling längs 3 7 d / kolonn 3
Slutsts: Fö ll 7 finns en unik entydig lösning till ekvtionssystemet Om 7 finns pmetelösning elle ingen lösning lls Vilketde eo på i höge led Insättning v 7 i ekvtionssystemet: x 3y z x y 4z Gusselimintion ge suessivt: x y 7z x y 4z y 9z y 7z x y 4z y 9z 6 Om 6 li sist den lltid snn Det li en pmetelösning Om 6 li sist den en lltid flsk ekvtion Då skns lösning Pmetelösning existe endst då 7 oh smtidigt 6 Vi estämme denn lösning: x y 4z y 9z 9 Låt z t : y 9z y t x y 4 z x y 4z x t Sv: Unik lösning då 7 ovsett :s väde Lösning skns då 7 oh 6 Pmetelösning då 7 oh 6 x t 9 Pmetelösningen ä y t z t Rättningsmll: Koekt estämt vilk väden fö oh som ge de olik lösningstypen 3p Koekt pmetelösning p 8 4p Låt, dä, oh ä eell tl Dessutom nts tt 3p Bestäm en ekvtion som oh elementen på huvuddigonl måste stisfie, fö p tt li en mtis v typen dä p oh q ä godtyklig tl q
p Finn en mtis v typen som stisfie ekvtionen 9 9 Lösning: q p Mn se tt villkoet fö tt sk h den givn fomen ä, vilket ge elle, eftesom enligt ntgnde 9 9 Enligt ovn gälle Vi få hä ännu en ekvtion: 9 En möjlig lösning ä,, Sv: En möjlig lösning finns oändligt mång ä Rättningsmll: p fö koekt, p fö villkoet 3p om llt ä koekt Rätt elle fel