Sammanfattning av föreläsning 10 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 11. DAE-modeller Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Bindningsgrafer: Kausalitet anger beräkningsgången i en bindningsgraf. Konfliktfri kausalitet och avsaknad av kausala slingor: tillståndsbeskrivning lätt Blockschemaspråk, sammanbindning av block Objektorienterade språk: exemplet Modelica Språk av Modelica-typ förutsätter att DAE-modeller kan hanteras Föreläsning 11 : DAEmodeller Modelltyper Differentialalgebraiska ekvationer, DAE Index Linjära DAE-modeller, standardform Olinjära DAE-modeller F(ż, z, u) = 0, y = H(z, u) u insignal, y utsignal, z generaliserat tillstånd, inre variabler Specialfall: tillståndsbeskrivning ẋ = f (x, u), y = h(x, u) u insignal, y utsignal, x tillstånd
Bindningsgrafer och DAE-modeller RC-krets med olinjärt R-element v En bindningsgraf ger lätt en ostrukturerad DAE: skriv upp ekvationen för varje knutpunkt, R-, I- och C-element, källa osv. Detsamma gäller i stort sett allt modellbygge. u I C För en bindningsgraf med konfliktfri kausalitet och utan kausala slingor kan DAE-beskrivningen lätt sorteras upp till en tillståndsbeskrivning. Ideal spänningskälla: u u x = I + I 5 Det går inte att explicit lösa I som funktion av u, x. DAE-problem. En naiv lösningsmetod för RC-kretsen Definition av index Derivering av den undre ekvationen till vänster ger nästan en tillståndsbeskrivning till höger. Index för en allmän DAE F(ż, z, u) = 0 u I/C u x = I + I 5 İ = 5I 4 + 1 u(0) x(0) = I(0) + I(0) 5 DAE-sambandet deriveras en gång: Index = 1 är det antal gånger man måste derivera ekvationen för att kunna lösa ut ż. Kallas ibland differentieringsindex eftersom andra definitioner finns. Visar sig vara ett mått på svårigheten att simulera.
Linjär DAE-modell Lösbarhet för linjära DAE-modeller Skulle E vara icke-singulär kan man skriva ż = E 1 Fz + E 1 Gu vilket är en vanlig tillståndsbeskrivning. Är E däremot singulär fås en äkta DAE-beskrivning. kan laplacetransformeras till (se + F)Z(s) = GU(s) Man kan alltså räkna ut en entydig lösning om se + F är inverterbar åtminstone för något s. Index för linjära system. Beräkning. E1 E 2 ż + F1 F 2 z = G1 G 2 u Ordna raderna så E 1 full rang och E 2 linjärt beroende av E 1. Nollställ E 2 genom att subtrahera multiplar av de övre ekvationerna: E1 F1 G1 ż + z = u 0 F 2 G 2 Derivera de undre ekvationerna: E1 F1 G1 ż + z = u + u, F 2 0 0 0 G2 E1 inverterbar index = 1 F 2 Omformning av DAE-system kan omformas genom att man byter variabler z = Qw och multiplicerar med P från vänster (P, Q icke-singulära matriser). PEQẇ + PFQw = PGu Upprepa annars. Index=antal derivationer.
Standardform för DAE-system Index ur standardformen Ekvationen Nẇ 2 + w 2 = Du Man kan visa att P och Q kan väljas så att systemet får formen I 0 ẇ1 A 0 w1 B + = u 0 N 0 I D ẇ 2 där matrisen N uppfyller N k = 0, något k. Här är alltså w 1 tillstånd som satisfierar en vanlig tillståndsmodell ẇ 1 = Aw 1 + Bu w 2 har en speciell betydelse. Om N = 0 gäller w 2 = Du och problemet har index 1. Om N = 0 men N 2 = 0 fås w 2 = Du ND u och problemet har index=2. Vi ser att det är nödvändigt att derivera u (om inte ND = 0). Allmänt blir index det minsta tal k sådant att N k = 0. För att beräkna w 2 kan u behöva deriveras k 1 gånger. Index för olinjära DAEer Implicita funktionssatsen F(ż, z, u) = 0 Olinjära DAE-system leder till olinjär ekvationslösning. Om ż kan lösas ut, är detta en vanlig tillståndsbeskrivning I annat fall kan man derivera: F F z + ż z ż + F u u = 0 Om ż nu kan lösas ut har problemet index = 1. Om ż kan lösas ut efter derivation 2 gånger har DAEn index 2, osv. För en olinjär ekvation gäller implicita funktionssatsen: g(x, y) = 0 Om g(x o, y o ) = 0 och g y (x o, y o ) är inverterbar, så kan ekvationen g(x, y) = 0 lösas entydigt i en omgivning till x o, y o, dvs det finns en funktion φ så att y = φ(x).
Exempel på index = 1 Exempel på index=2 ẋ = f (x, y) ẋ = f (x, y) 0 = g(x, y), g y inverterbar 0 = g(x), g x f y inverterbar