Översikt. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 3 - Linjär residualgenerering. Feldetektion och observationsmängder. Arkitektur för diagnossystem

Transkript

1 Översikt TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 3 - Linjär residalgenerering Erik Frisk Bakgrnd och grndläggande principer för residalgenerering Linjära differential-algebraiska modeller Formell definition av residalgenerator Instittionen för systemteknik Linköpings niversitet frisk@isy.li.se Designmetodik Statiska modeller Dynamiska modeller Avsltande exempel 1 2 Arkitektr för diagnossystem Diagnosis Statement Falt Isolation Feldetektion och observationsmängder O(mod) är mängden av alla observationer som är konsistenta med mod. Det vore bra om vi knde räkna direkt med dessa observationsmängder, exempelvis vill man skapa en residal r så att? Diagnostic Test Diagnostic Test Diagnostic Test Diagnostic Test Diagnostic Test observation O(NF ) r = 0 observation / O(NF ) r 0 O(NF ) O(F 1 ) Observations Idag foks på testerna och specifikt hr en residal kan designas givet en linjär modell. Varför intresse för linjära system? Svårt i generella fall, men för linjära modeller går det bra och är ämnet för denna föreläsning. Hvdfråga för detektion: observation O(NF ) eller inte. 3 4

2 Isolering och observationsmängder Antag att vi har moderna NF, F 1,..., F n. Om vi kan testa observation O(NF ), observation O(F i ), i = 1,..., n Residalgenerator f d så kan vi direkt avgöra för varje mod om den är en diagnos eller inte. Process y Direkt motsvarighet till besltsstrktren: F 1 F 2 F 3 F 4 r 1 0 X X X r 2 X 0 X X r 3 X X 0 X r 4 X X X 0 Residal- Generator r Hvdfråga för felisolering: observation O(F i ) F i diagnos När vi kan räkna som vi vill med observationsmängder, så kan vi enkelt avgöra diagnoserna. 5 Linjära system Alla fel och störningar modelleras som signaler enkelt, dvs. kompletta lösningar kan förväntas r = R(p) ( ) y 6 Operatorn p och den komplexa variabeln s Grndläggande princip Antag en enkel linjär statisk modell a 0 y(t) + a 1 ẏ(t) + a 2 ÿ(t) = (a 0 + a 1 p + a 2 p 2 )y(t) = a(p)y(t) x 1 = 3 x 2 = x y(t) = b(p) (t) a(p)y(t) = b(p)(t) a(p) p p 1 men s s = 1 Man kan inte prata om nollställen till operatorn a(p) men väl till det komplexa polynomet a(s). Det mesta av teorin i kompendiet presenteras i tidsplanet, dvs. det finns inget behov av att Laplace-transformera. y = x 1 + 2x 2 där som vanligt z = (y, ) är kända signaler. O(NF ) = {z : x 1, x 2. x 1 = 3, x 2 = x 1 + 2, y = x 1 + 2x 2 } Residalgenerator = {z : y = 3 2} = {z : y = 5} Genom att eliminera okända signaler x får man y = 5 om modellen är korrekt, och alltså kan en residal beräknas enligt r = y + 5, z O(NF ) r = 0 7 8

3 Princip Översikt Residalen skapas genom att ta y ŷ och eliminera störningarna genom klriga linjärkombinationer. Möjligheterna är rätt begränsade, oftast handlar det om att inte använda den sensor/aktator vars fel ska avkopplas. Ovan är ingen vidare metodbeskrivning, därför följer n en formell beskrivning av linjära modeller, residalgeneratorer och designprocedrer. Störningar och brs, isolerbarhet. Bakgrnd och grndläggande principer för residalgenerering Linjära differential-algebraiska modeller Formell definition av residalgenerator Designmetodik Statiska modeller Dynamiska modeller Avsltande exempel 9 10 Tillståndsformen En lite ovanlig modellformlering, vanligt i grndläggande reglerkrser är tillståndsformen. En tillståndsform med tillstånd w, insignaler, f, d, och mätsignal y: ẇ = Aw + B + B d d + B f f y = Cw + D + D d d + D f f med x = (w, d) och z = (y, ) så fås [ ] [ ] (pi A) Bd 0 B x + C D d I D }{{}}{{} H(p) L(p) [ Bf z + D f }{{} F (p) ] f = 0 Generell modellbeskrivning En generell linjär modell kan skrivas H(p)x + L(p)z + F (p)f = 0 där x är okända variabler, z kända variabler och f fel vi vill detektera. Fel vi vill avkoppla är inbakade i x. Ingen fixerad kasalitet, dvs. observationerna inte indelade i inrespektive tsignaler Icke-kasalitet och diagnos DAE:er och objektorienterad modellering 11 12

4 Modelleringsexempel Modelleringsexempel - Hr hanteras dynamik? k J 1 J 2 y J 1 ϕ 1 = τ 1 τ 1 = k(ϕ 1 ϕ 2 ) y = ϕ 2 + f ϕ 1 ϕ 2 J 2 ϕ 2 = τ 1 J 1 ϕ 1 = τ 1 y = ϕ 2 + f τ 1 = k(ϕ 1 ϕ 2 ) J 2 ϕ 2 = τ 1 Uppgift: Skriv modellen på den generella matrisformen H(p)x + L(p)z + F (p)f = 0 Vad är vektorerna x, z och f i detta exempel? 13 Om vi sklle skriva modellen på tillståndsform kan bland annat följande tillstånd väljas: x 1 = ϕ 1, x 2 = ϕ 1, ẋ 1 = x 2 Att skriva modellen på den generella matrisformen är mycket enklare! ϕ 1 och ϕ 1 = pϕ 1 bör inte betraktas som två obekanta tan som två formler i en obekant, nämligen i ϕ 1. Jmf ϕ 1 och kϕ 1. Tillskillnad från när man skriver en tillståndsform så finns det ingen anledning att införa ϕ 1. Det behövs ingen extra ekvation som beskriver att pϕ 1 är derivatan av ϕ 1, det är inbyggt i notationen. 14 Modelleringsexempel - Vad är känt och okänt? Modelleringsexempel k y k y J 1 J 2 ϕ 1 ϕ 2 J 1 ϕ 1 = τ 1 τ 1 = k(ϕ 1 ϕ 2 ) J 2 ϕ 2 = τ 1 y = ϕ 2 + f Bara det som representerar en mätsignal eller en av dator tlagd styrsignal är känd. Allt annat är okänt! är en känd styrsignal, y är mätsignal, dessa är alltså kända variabler. ϕ 2 betecknar en vinkelhastighet som mäts av y. Är ϕ 2 känd? eller är kanske till och med ϕ 2 känd? Nej! Varken ϕ 2 eller ϕ 2 är känd men vi kan skatta ϕ 2 genom att använda y och vetskapen om att dessa signaler (åtminstone i felfritt fall) är ganska lika. 15 J 1 J 2 ϕ 1 ϕ 2 J 1 ϕ 1 = τ 1 τ 1 = k(ϕ 1 ϕ 2 ) J 2 ϕ 2 = τ 1 x = z = ϕ 1 ϕ 2 τ 1 ( y ) H(p)= y = ϕ 2 + f Variabler: ϕ 1,, τ 1, ϕ 2, y, f L(p)= F (p)= { }} {{ }} {{ }} { J 1 p k k 1 0 J 2 p 2 1 x z f = 0 0 p

5 Översikt Bakgrnd och grndläggande principer för residalgenerering Linjära differential-algebraiska modeller Formell definition av residalgenerator Designmetodik Statiska modeller Dynamiska modeller Avsltande exempel Residaler Lite löst, en residal är en signal r som är 0 när övervakade fel f (t) är 0 (och gärna skild från 0 vid ett övervakat fel). Övervakade fel (monitored falts) Fel man vill ska påverka residalen; vara detekterbara i residalen Icke övervakade fel (non-monitored falts) Fel man inte vill ska påverka residalen, detta på grnd av isolationsskäl. f 1 f 2 f 3 r 1 X 0 X f 1 f 2 f 3 r 2 0 X X f = f = ( f1 f 3 ( f2 f 3 ), d = f 2 ), d = f 1 17 Se till att detta är klart, brkar knna vålla problem annars 18 Formell definition av residalgenerator Observationsmängden O beskriver alla observationer som är konsistenta med felfritt beteende (eller den moden vi vill testa) O = {z x; H(p)x + L(p)z = 0} Feldetektering blir då att avgöra om z O eller inte. Definition Ett propert linjärt filter R(p) är en residalgenerator för observationsmängden O och r = R(p)z en residal om z O lim t r(t) = 0 Varför proper? Limes och dynamiska/statiska modeller. Detekterbarhet då? Tidsdiskreta system 19 Observationsmängder för olika felmoder O(NF ) = {z x; H(p)x + L(p)z = 0} O(F i ) = {z x, f i ; H(p)x + L(p)z + F i (p)f i = 0} En residal detekterar z O: Isolera en mod z O lim t r(t) = 0 Därför, med O = O(F 1 ) så kommer motsvarande residal att knna användas för att isolera fel från mod F 1. NF F 1 F 2 F X X Gå tillbaka till förra föreläsningen om isolerbarhetsegenskaper för ett diagnossystem och relatera! 20

6 Översikt Teoriframställning Bakgrnd och grndläggande principer för residalgenerering Linjära differential-algebraiska modeller Formell definition av residalgenerator Teori för att systematiskt ta fram alla residaler. Det kommer finnas fnktioner i Matlab som stöder hela designprocedren. 1 Metod för statiska linjära modeller 2 Metod för dynamiska linjära modeller Designmetodik Statiska modeller Dynamiska modeller Avsltande exempel Design för ett enkelt statiskt system Antag en enkel linjär statisk modell x 1 = 3 x 2 = x y = x 1 + 2x 2 där som vanligt och y är kända signaler. En residalgenerator beräknar en residal tgående från kända signaler z = (y, ). Variablerna x i är okända eliminera dessa y = x 1 + 2x 2 = x 1 + 2x = 3x = = 5 Alltså kan en residal beräknas enligt r = y + 5 Om modellen gäller så är r = 0. Härleddes genom eliminering av de okända variablerna x. 23 Nollrm Låt A = [ a 1 a 2 a m ] R n m vara en matris med rang r. Vänster nollrm till A definieras då som N L = {v : va = 0} Detta betyder att v a i = 0 dvs v är ortogonal med alla kolonnvektorer i A. Dimensionen på N L är lika med antalet rader i A mins dimensionen på det rm som spänns pp av kolonnvektorerna i A, dvs n r. Låt raderna i en matris N A vara en bas för N L, då kommer N A att ha n r rader. Viktiga begrepp - Se till att förstå dessa linjära rm rang dimension nollrm 24

7 Designprocedr för statiska modeller En statisk modell och residalgenerator (inga p/derivator) Hx + Lz + Ff = 0, r = Rz Betrakta felfria fallet (f = 0) och mltiplicera modellen från vänster med N H 0 = N H (Hx + Lz) = N H Lz, En residalgenerator ges då till exempel av r = γn H Lz = Rz Lemma 6.7 O = {z N H Lz = 0} för godtycklig radvektor γ (hr man väljer γ kommer senare). Theorem Den konstanta matrisen R är en residalgenerator för en statisk modell om och endast om R kan skrivas Det enkla statiska exemplet Modellen blir på matrisform 1 0 ( ) 0 3 ( ) Hx + Lz = 1 1 x y = 0 x En bas för vänster nollrm (dimension = 3 rang H = 3 2 = 1) är N H = ( ) O = {z N H Lz = 0} = {z y + 5 = 0} vilket är samma ttryck som vi härledde för hand och man kan tänka sig en residal r = y + 5 R = γn H L Sammanfattning statiska modeller Designprocedr för dynamiska modeller Designprocedren kan alltså sammanfattas med följande steg 1 Skapa modellmatriserna H, L, and F. 2 Beräkna en bas N H för vänster nollrm till matrisen H. 3 En residalgenerator r = Rz för modellen ges då av R = γn H L där γ är en fri designparameter. Designprocedren närmast identisk för dynamiska modeller, vi behöver bara räkna med polynommatriser istället för konstanta matriser. Kommer att krävas ett extra steg, men vi börjar som i det statiska fallet

8 Påminner om definition av residalgenerator Litet introdcerande exempel Observationsmängden O beskriver alla observationer som är konsistenta med felfritt beteende (eller den moden vi vill testa) O = {z x; H(p)x + L(p)z = 0} Med ett litet system ẋ = x + y = x Feldetektering blir då att avgöra om z O eller inte. Definition Ett propert linjärt filter R(p) är en residalgenerator och r = R(p)z en residal om z O lim t r(t) = 0 Varför proper? Limes och dynamiska/statiska modeller. Elimination av den obekanta variabeln x är här trivialt och vi får Tänkbart med en residal enligt ẏ + y = 0 r = ẏ + y Vad gör vi åt derivatan ẏ? Nmerisk derivering känns inte helt attraktivt Litet introdcerande exempel, forts. Istället för att beräkna residalen enligt r = ẏ + y så kan man tänka sig en låg-pass filtrerad version r = 1 p + 1 (ẏ + y ) = p + β p + β y 1 p + β som kan visas skrivas på tillståndsformen ẇ = βw + (1 β)y r = w + y Egenskaper hos propra system En proper överföringsfnktion G(s) = b(s) a(s), deg a(s) deg b(s) kan enkelt skrivas på explicit tillståndsform, dvs. det finns matriser A, B, C, och D så att differentialekvationen beskrivs av tillståndsformen a(p)r = b(p)z ẇ = Aw + Bz r = Cw + Dz Poäng Via introdktion av efterfiltrering, samt en enklare omskrivning har vi en residalgenerator 31 Inga derivator av insignalen Exempelvis observerbar kanonisk form Residalen på förra bilden hade enbart en täljare, ingen nämnare. Filtrera den tänkta residalen, Lägg till en nämnare 32

9 Observerbar kanonisk form G(p) = 1 [ b1 (p)... b m (p) ] a(p) a(p)r(t) = b 1 (p)z 1 (t) + + b m (p)z m (t) a(p) = p n + a 1 p n a n, så är ett exempel på en tillståndsrealisering a a ẇ =... w + a n a n r = ( ) w (strikt) proper överföringsfnktion Gradtalen i nämnarna (strikt) större än täljarna b i (p) = b i,1 p n b i,n b 1,1... b m,1 b 1,2... b m,2. b 1,n 1 b 1,n. z... b m,n 1... b m,n 33 Nollrm Låt A(s) R n m vara en polynommatris med rang r. Vänster nollrm till A(s) definieras då som N L = {v(s) : v(s)a(s) = 0} Dimensionen, dvs antalet rader i en bas N A (s), ges av antalet rader mins rangen, dvs. n r. Definition (Normalrang) Låt A(s) R(s) m n vara en polynommatris, då är normalrangen för A(s) max rank A(s) s C Ordet normal telämnas ofta och man säger enbart rang av en polynommatris när man egentligen menar normalrang. 34 Polynommatris Nollrm forts. Matrisen A(s) = Har fll (normal-)rang eftersom [ s ] 1 s + 3 det A(s) = s 2 + 4s Nollställena till A(s) är precis de s C där matrisen tappar rang, dvs. i s = 2 ± i s 2 + 4s + 5 = (s i)(s + 2 i) s A(s) = 0 a s rank A(s) = 2 Dimensionen på vänster nollrm är då 3 2 = 1 och en bas ges av raderna i tex. N A (s) = [ a s 2 2 a s 2 (s + 1) ] Lite mer information finns i ett appendix i kompendiet

10 Residalgenerering för dynamiska modeller Modellen är n igen H(p)x + L(p)z + F (p)f = 0 Som i det statiska fallet, betrakta det felfria systemet och mltiplicera från vänster med operatorn N H (p) 0 = N H (p)(h(p)x + L(p)z) = N H (p)l(p)z På samma sätt som tidigare gäller Modelleringsexemplet igen k J 1 J 2 ϕ 1 ϕ 2 J 1 ϕ 1 = τ 1 y = ϕ 2 + f τ 1 = k(ϕ 1 ϕ 2 ) J 2 ϕ 2 = τ 1 Variabler: ϕ 1,, τ 1, ϕ 2, y, f y O = {z N H (p)l(p)z = 0} och man sklle knna tänka sig r = γ(p)n H (p)l(p)z, z O r = 0 som residalgenerator. Ett problem dyker dock pp pga dynamiken! x = z = ϕ 1 ϕ 2 τ 1 ( y ) H(p)= L(p)= F (p)= { }} {{ }} {{ }} { J 1 p k k 1 0 J 2 p 2 1 x z f = 0 0 p Modelleringsexemplet, forts. Matriserna H(p) och L(p) var där J 1 p H(p) = k k 1 0 J 2 p 2 1, L(p) = p Nollrmmet har då dimension 4 3 = 1 och en bas för vänster nollrm till H(s) kan beräknas till N H (s) = [ k J 1 s 2 k + J 1 s 2 k(j 1 + J 2 )s + J 1 J 2 s 3] dvs. O = {z N H (p)l(p)z = 0} = {z J 1 J 2 y (3) + k(j 1 + J 2 )ẏ k = 0} med en tänkt residal r = N H (p)l(p)z = J 1 J 2 y (3) + k(j 1 + J 2 )ẏ k Problem! Derivator av insignaler i ttrycket. 39 Propra överföringsfnktioner och derivator i beräkning Litet exempel: r 1 = ẏ + y y Lägg till ett post-filter (α > 0 för stabilitet) r 2 = 1 p + α r 1 = 1 (ẏ + y ) p + α Detta r 2 kan skrivas på tillståndsform och beräknas tan att känna till/approximera derivator. Sätt tillståndet till w = r 2 y, då ẇ = αw + (1 α)y r 2 = w + y Sltsats: Genom att införa efterfiltrering (som vi sannolikt vill ha hrsom) så knde vi beräkna residal tan att känna derivator. 40

11 Dynamiska residalgeneratorer Då ż, z,... ej är kända måste vi beräkna residalen på annat sätt. Istället för r = γ(p)n H (p)l(p)z beräkna residalen enligt r = 1 d(p) γ(p)n H(p)L(p)z d(p)r = γ(p)n H (p)l(p)z Bara d(p) har gradtal minst lika stort som γ(p)n H (p)l(p) så kan R(p) = d 1 (p)γ(p)n H (p)l(p) skrivas på tillståndsform och r kan beräknas tan att vi behöver derivator av z. Stabilitet hos residalgeneratorer För att ppfylla definitionen så måste residalgeneratorn vara stabil. O = {z x; H(p)x + L(p)z = 0} = {z N H (p)l(p)z = 0} Stabiliteten avgörs av d(p) i d(p)r = γ(p)n H (p)l(p)z Om d(s) har enbart stabila nollställen och z O så kommer r beskrivas av differentialekvationen d(p)r = 0 och gå mot 0, dvs. vilket var det vi ville. z O lim t r(t) = Exempel forts. Vi vill beräkna r enligt d(p)r = N H (p)l(p)z = [ k(j 1 + J 2 )p + J 1 J 2 p 3 k ] Eftersom N H (s)l(s) har gradtal 3 så måste d(s) minst ha gradtal 3. Välj här exempelvis d(s) = (s + α) 4 vilket ger en överföringsfnktion R(p) = som kan skrivas på tillståndsform. 1 [ J1 (p + α) 4 J 2 p 3 + k(j 1 + J 2 )p k ] d(s) måste vara stabil och tillräckligt högt gradtal, i övrigt fri att välja. Exempel, avsltning Den rsprngliga residalen, r = N H (p)l(p)z = J 1 J 2 y (3) + k(j 1 + J 2 )ẏ k beräknades istället via överföringsfnktionen 1 [ r(t) = J1 (p + α) 4 J 2 p 3 + k(j 1 + J 2 )p k ] ( ) y(t) (t) vilket kan skrivas på tillståndsformen ẇ = w r = ( ) w J 1 J k(j 1 + J 2 ) 0 0 k ( ) y 43 Uppfyller z O lim t r(t) = 0, samt innehåller inga derivator. 44

12 Residalgeneratorer för dynamiska system En tillräcklig väg för att hitta en residalgenerator har visats. Det går att visa att den vägen även är nödvändig, dvs. alla residalgeneratorer kan hittas på det sättet: Theorem Ett filter med överföringsoperator R(p) är en residalgenerator om och endast om det existerar ett stabilt polynom d(s) och en radvektor γ(s) så att R(p) = 1 d(p) γ(p)n H(p)L(p) (1) där deg d(p) deg γ(p)n H (p)l(p). Vad händer med tidsdiskreta system med tanke på problem med derivator i kontinerliga system? Sammanfattning: Design av residalgeneratorer 1 Skapa modellmatriserna H(p), L(p), och F (p). 2 Beräkna en bas N H (s) för vänster nollrm till matrisen H(s). 3 En residalgenerator r = R(p)z for modellen ges av R(p) = 1 d(p) γ(p)n H(p)L(p) Radvektorn γ(s) och det skalära polynomet d(s) är fria designparametrar med följande begränsningar: polynomet d(s) måste ha alla sina nollställen i vänster halvplan. gradtalet hos d(s) måste vara större eller lika med rad-gradtalet hos γ(s)n H (s)l(s) för att knna skriva residalgeneratorn på tillståndsform. Val av d(s) och γ(s) ej diskterat här. Del av nästa föreläsning då detekterbarhet av fel diskteras Översikt Bakgrnd och grndläggande principer för residalgenerering Linjära differential-algebraiska modeller Formell definition av residalgenerator Designmetodik Statiska modeller Dynamiska modeller Avsltande exempel Avsltande exempel: linjär modell av flygplan Modellen är en linjäriserad modell av ett flygplan i en arbetspnkt. Insignaler och tsignaler: Inpts Otpts 1 : spoiler angle [tenth of a degree] y 1 : relative altitde [m] 2 : forward acceleration [ms 2 ] y 2 : forward speed [ms 1 ] 3 : elevator angle [degrees] y 3 : Pitch angle [degrees] Fel: tre sensorfel (f 1, f 2, and f 3 ), och tre aktatorfel (f 4, f 5, and f 6 ). Modellen är en tillståndsbeskrivning med 5 tillstånd. Felmodellering: y 1 1 y 2 = G(p) 2 + f 5 + f 2 y 3 3 f 6 f 3 f 4 f

13 Designproblem Konstrera en residalgenerator R(p) så att fel aktator 3 ej påverkar residalen: Definiera vektorerna f och d som: I f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 r X X X X X 0 y 1 y 2 z = y f 1 f 2 f = f 3 f 4 f 5 d = f = 8 ekvationer och = 6 signaler som ska avkopplas dimension 8 6 = 2 på rmmet av residalgeneratorer. Design Modellen är given på tillståndsform och beräkningar i Matlab ger N H (s)l(s) = [ ] s s s s s s Dimensionen 2 som väntat det finns exakt två linjärt oberoende residalgeneratorer där d = f 6 är avkopplat. Uttrycken N H (p)l(p)z = 0 svarar alltså mot relationerna ẏ 1 + ẏ y y = ÿ ẏ y ÿ ẏ y = 0 Men eftersom derivator av y etc. ej är kända måste vi lägga till dynamik Designalternativ Välj första raden i basen, dvs. γ = [1 0]: γ(p)n H (p)l(p) = [0.0705p p ] En realiserbar residalgenerator är då till exempel: R(s) = 1 [ ] s s s Notera 0 i förstärkning från 3, dvs avkoppling av f 6. En tillståndsbeskrivning av residalgeneratorn kan visas vara ẇ = w + [ ] z r = w + [ ] z Prestanda Prestanda kan tvärderas på många sätt, återkommer till det senare i krsen. Grf(s) [db] f f f3 w [rad/s] f f5 vilken är enkel att implementera i en dator

14 Alternativa metoder Avsltning Observatörer Chow-Willsky Varför tas dessa pp? Metodiken var oavsltad i och med att ingen diskssion om hr γ(s) och d(s) ska väljas. Ämne för nästa gång då detekterbarhet diskteras. γ(s) styr detekterbarhet och d(s) ger lämplig låg-pass verkan hos residalgeneratorn TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 3 - Linjär residalgenerering Erik Frisk Instittionen för systemteknik Linköpings niversitet frisk@isy.li.se