Sammanfattning av föreläsning 10. Modellbygge & Simulering, TSRT62. Föreläsning 11. DAE-modeller. Modelltyper. Föreläsning 11 : DAEmodeller

Transkript

1 Sammanfattning av föreläsning 10 Modellbygge & Simulering, TSRT62 Föreläsning 11. DAE-modeller Reglerteknik, ISY, Linköpings Universitet Bindningsgrafer: Kausalitet anger beräkningsgången i en bindningsgraf. Konfliktfri kausalitet och avsaknad av kausala slingor: tillståndsbeskrivning lätt Blockschemaspråk, sammanbindning av block Objektorienterade språk: exemplet Modelica Språk av Modelica-typ förutsätter att DAE-modeller kan hanteras Föreläsning 11 : DAEmodeller Modelltyper Differentialalgebraiska ekvationer, DAE Index Linjära DAE-modeller, standardform Olinjära DAE-modeller F(ż, z, u) = 0, y = H(z, u) u insignal, y utsignal, z generaliserat tillstånd, inre variabler Specialfall: tillståndsbeskrivning ẋ = f (x, u), y = h(x, u) u insignal, y utsignal, x tillstånd

2 Bindningsgrafer och DAE-modeller RC-krets med olinjärt R-element v En bindningsgraf ger lätt en ostrukturerad DAE: skriv upp ekvationen för varje knutpunkt, R-, I- och C-element, källa osv. Detsamma gäller i stort sett allt modellbygge. u I C För en bindningsgraf med konfliktfri kausalitet och utan kausala slingor kan DAE-beskrivningen lätt sorteras upp till en tillståndsbeskrivning. Ideal spänningskälla: u u x = I + I 5 Det går inte att explicit lösa I som funktion av u, x. DAE-problem. En naiv lösningsmetod för RC-kretsen Definition av index Derivering av den undre ekvationen till vänster ger nästan en tillståndsbeskrivning till höger. Index för en allmän DAE F(ż, z, u) = 0 u I/C u x = I + I 5 İ = 5I u(0) x(0) = I(0) + I(0) 5 DAE-sambandet deriveras en gång: Index = 1 är det antal gånger man måste derivera ekvationen för att kunna lösa ut ż. Kallas ibland differentieringsindex eftersom andra definitioner finns. Visar sig vara ett mått på svårigheten att simulera.

3 Linjär DAE-modell Lösbarhet för linjära DAE-modeller Skulle E vara icke-singulär kan man skriva ż = E 1 Fz + E 1 Gu vilket är en vanlig tillståndsbeskrivning. Är E däremot singulär fås en äkta DAE-beskrivning. kan laplacetransformeras till (se + F)Z(s) = GU(s) Man kan alltså räkna ut en entydig lösning om se + F är inverterbar åtminstone för något s. Index för linjära system. Beräkning. E1 E 2 ż + F1 F 2 z = G1 G 2 u Ordna raderna så E 1 full rang och E 2 linjärt beroende av E 1. Nollställ E 2 genom att subtrahera multiplar av de övre ekvationerna: E1 F1 G1 ż + z = u 0 F 2 G 2 Derivera de undre ekvationerna: E1 F1 G1 ż + z = u + u, F G2 E1 inverterbar index = 1 F 2 Omformning av DAE-system kan omformas genom att man byter variabler z = Qw och multiplicerar med P från vänster (P, Q icke-singulära matriser). PEQẇ + PFQw = PGu Upprepa annars. Index=antal derivationer.

4 Standardform för DAE-system Index ur standardformen Ekvationen Nẇ 2 + w 2 = Du Man kan visa att P och Q kan väljas så att systemet får formen I 0 ẇ1 A 0 w1 B + = u 0 N 0 I D ẇ 2 där matrisen N uppfyller N k = 0, något k. Här är alltså w 1 tillstånd som satisfierar en vanlig tillståndsmodell ẇ 1 = Aw 1 + Bu w 2 har en speciell betydelse. Om N = 0 gäller w 2 = Du och problemet har index 1. Om N = 0 men N 2 = 0 fås w 2 = Du ND u och problemet har index=2. Vi ser att det är nödvändigt att derivera u (om inte ND = 0). Allmänt blir index det minsta tal k sådant att N k = 0. För att beräkna w 2 kan u behöva deriveras k 1 gånger. Index för olinjära DAEer Implicita funktionssatsen F(ż, z, u) = 0 Olinjära DAE-system leder till olinjär ekvationslösning. Om ż kan lösas ut, är detta en vanlig tillståndsbeskrivning I annat fall kan man derivera: F F z + ż z ż + F u u = 0 Om ż nu kan lösas ut har problemet index = 1. Om ż kan lösas ut efter derivation 2 gånger har DAEn index 2, osv. För en olinjär ekvation gäller implicita funktionssatsen: g(x, y) = 0 Om g(x o, y o ) = 0 och g y (x o, y o ) är inverterbar, så kan ekvationen g(x, y) = 0 lösas entydigt i en omgivning till x o, y o, dvs det finns en funktion φ så att y = φ(x).

5 Exempel på index = 1 Exempel på index=2 ẋ = f (x, y) ẋ = f (x, y) 0 = g(x, y), g y inverterbar 0 = g(x), g x f y inverterbar