2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat

Relevanta dokument
2320 a. Svar: C = 25. Svar: C = 90

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

A-del. (Endast svar krävs)

Funktionsstudier med derivata

5B1134 Matematik och modeller

NpMa3c vt Kravgränser

vux GeoGebraexempel 3b/3c Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

3.1 Derivator och deriveringsregler

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Lösningsförslag TATM

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Träningsprov funktioner

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Lösningar kapitel 10

SF1625 Envariabelanalys

Kan du det här? o o. o o o o. Derivera potensfunktioner, exponentialfunktioner och summor av funktioner. Använda dig av derivatan i problemlösning.

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Kapitel 4. Funktioner. 4.1 Definitioner

d) cos ( v) = a Se facit. Se facit. b) Se facit. sin x har maxvärdet 1 och minvärdet 1. c) ymax ymin

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

Attila Szabo Niclas Larson Gunilla Viklund Mikael Marklund Daniel Dufåker. GeoGebraexempel

Kompletterande lösningsförslag och ledningar, Matematik 3000 kurs B, kapitel 2

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 10, H15

6 Derivata och grafer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Hantera andragradskurvor del 2

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Ekvationer & Funktioner Ekvationer

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Avsnitt 3, introduktion.

Uppgift Endast svar krävs. Uppgift Fullständiga lösningar krävs. 120 minuter för Del B och Del C tillsammans. Formelblad och linjal.

BASPROBLEM I ENDIMENSIONELL ANALYS 1 Jan Gustavsson

vilket är intervallet (0, ).

a) y = 10 0,5x där y är vattenmängden i hinken och x antalet timmar. b) Se diagrammet c) Då det återstår 5 liter har det gått 10 timmar.

Gamla tentemensuppgifter

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad

DOP-matematik Copyright Tord Persson. Gränsvärden. Uppgift nr 10 Förenkla bråket h (5 + h) h. Uppgift nr 11 Förenkla bråket 8h + h² h

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

Trigonometriska funktioner och deras derivata

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

GeoGebra i matematikundervisningen - Inspirationsdagar för gymnasielärare. Karlstads universitet april

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

ATT KUNNA TILL. MA1203 Matte C Vuxenutbildningen Dennis Jonsson

grafer Centralt innehåll

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Labb 3: Ekvationslösning med Matlab (v2)

Sidor i boken KB 6, 66

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Lösningsförslag TATM

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösning av trigonometriska ekvationer

En samling funktionspussel för gymnasienivå

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

En vanlig uppgift är att bestämma max resp min för en trigonometrisk funktion och de x- värden för vilka dessa antas.

Modul 1 Mål och Sammanfattning

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Optimala vinkeln av bortklippt cirkelsektor fo r maximal volym pa glasstrut

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Matematik Ten 1:3 T-bas Nya kursen

Tisdag v. 2. Speglingar, translationer och skalningar

Betygskriterier Matematik D MA p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

konstanterna a och b så att ekvationssystemet x 2y = 1 2x + ay = b

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Modul 4 Tillämpningar av derivata

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

Ma3bc. Komvux, Lund. Prov kap

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

Prov 1 c) 1 a) x x x. x cos = + 2π 0 = 2 cos cos = + + = = = = 7 7 2,3. Svar a) 4 b) 7 c) 4 d) 9

Transkript:

2301 OBS! x används som beteckning för både vinkeln x och som x-koordinat A Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln x = 0 har P koordinaterna (1, 0) och då är x = 1 cos x = 1 B Punkten P har koordinaterna x och y P = (x, y) i enhetscirkeln gäller att { x = cos x y = sin x P = (cos x, sin x) För vinkeln x = 90 har P koordinaterna (0, 1) och då är y = 1 sin x = 1 Svar: A visar cos x och B visar sin x

2302 a Den trigonometriska funktionen är y = sin x och den andra funktionen är y = 0.8 I skärningspunketerna har funktionerna samma funktionsvärde, dvs y = y vilket ger ekvationen sin x = 0.8 Svar: Ekvationen som vi kan lösa är sin x = 0.8

b Grafisk lösning Vi kan uppskatta lösningarna genom att studera grafen. En ruta i x-led motsvarar 30, om vi uppskattar att den första skärningspunkten ligger på en och två tredjedels ruta från origo så blir vinkeln x 50 Då den trigonmetriska funktionen är y = sin x så fås den andra lösningen, på grund av symmetrin i enhetscirkeln, av 180 50 = 130 Då sin x är periodisk med 360 så fås de andra lösningarna i intervallet av 50 + 360 = 410 130 + 360 = 490 Svar: Lösningarna i intervallet 0 x < 540 är x = 50, 130, 410, 490

Om vi behöver större noggrannhet så kan vi lösa ekvationen algebraiskt sin x = 0.8 Fall 1 x = sin 1 (0.8) + n 360 x 53.1 + n 360 markerade med Då 0 x < 540 finns fler lösningar x 53.1 + 0 360 = 53.1 x 53.1 + 1 360 = 413 Fall 2 x = 180 sin 1 (0.8) + n 360 x 127 + n 360 markerade med Då 0 x < 540 finns fler lösningar x 127 + 0 360 = 127 x 127 + 1 360 = 487 Svar: x = 53.1, 127, 413, 487

2303 Likheter Definitionsmängd: D = {x R } Värdemängd: V = { 1 y 1 y R } Exakt samma form Amplitud A = 1, mer om detta i nästa avsnitt Period = 360, mer om detta i nästa avsnitt Skillnader De är förskjutna 90 i förhållande till varandra Om y = sin x används som referens så är y = cos x förskjuten 90 åt vänster den ligger 90 före

2304 Grafisk lösning TI-räknare intersect Grafisk lösning Geogebra Algebraisk lösning sin x = 0.3 Fall 1 Fall 2 x = sin 1 (0.3) + n 360 x = 180 sin 1 (0.3) + n 360 x 17.5 + n 360 x 163 + n 360 markerade med markerade med Då x R finns obegränsat Då x R finns obegränsat många lösningar många lösningar exempel på lösningar är exempel på lösningar är x 17.5 + 0 360 = 17.5 x 163 + 0 360 = 163 x 17.5 + 1 360 = 377 x 163 + 1 360 = 523 x 17.5 + n 360 Svar: Alla lösningar { x 163 + n 360 Exempel på lösningar: x 17.5, 163, 377, 523

2305 Grafisk lösning TI-räknare intersect Grafisk lösning Geogebra Algebraisk lösning cos x = 0.5 x = cos 1 ( 0.5) + n 360 TI-räknare x = ±120 + n 360 Fall 1 Fall 2 x = 120 + n 360 x = 120 + n 360 markerade med markerade med Då x R finns obegränsat Då x R finns obegränsat många lösningar många lösningar exempel på lösningar är exempel på lösningar är x 120 + 0 360 = 120 x 120 + 0 360 = 120 x 120 + 1 360 = 480 x 120 + 1 360 = 240 Svar: Alla lösningar x = ±120 + n 360 Exempel på lösningar: x = 120, 120, 240, 480

2306 a, b, c sin x = b Vi utgår från att b är en konstant lösningarna ska vara x = n 2π = n 360 x = 0 + n 2π exempel på lösningar är x = 0, 2π, 4π, markerade med för att få dessa lösningar måste b antaga värdet noll, dvs HL i ekvationen är noll. HL representeras vid grafisk lösning av linjen y = 0 grön i figur nedan (x-axeln) Bilden visar att vi även har lösningarna x = π + n 2π markerade med Svar: b) b = 0 x = n 2π = n 360 c) Lösningarna är { x = π + n 2π = 180 + n 360 Samtliga lösningar beskrivs bättre med endast ett uttryck x = n π = n 180

2307 sin x = cos x Grafisk lösning TI-räknare intersect Grafisk lösning Geogebra Algebraisk lösning Lösningsalternativ 1 cos x sin x = 0 bryt ut cos x cos x (1 sin x cos x ) = 0 cos x (1 tan x) = 0 Använd nollprodukten cos x = 0 x = ±90 + n 360 Kontrollera lösningarna i den ursprungliga ekvationen med TI-räknare 0 = falskt, 1 = sant Sålunda x = ±90 + n 360 utgör inga lösningar 1 tan x = 0 tan x = 1 x = tan 1 (1) + n 180 x = 45 + n 180 Kontrollera lösningarna i den ursprungliga ekvationen med TI-räknare 0 = falskt, 1 = sant Svar: x = 45 + n 180

Lösningsalternativ 2 cos x = sin x Kvadrera båda led OBS! Kvadrering av ekvationer kan introducera falska rötter, kontrollera därför att lösningarna är rötter till den ursprungliga ekvationen. cos 2 x = sin 2 x Trigonometriska ettan sin 2 v + cos 2 v = 1 cos 2 v = 1 sin 2 v 1 sin 2 x = sin 2 x 2 sin 2 x = 1 sin 2 x = 1 2 sin x = ± 1 2 Negativa fallet av kvadraten sin x = 1 2 Fall 1 x = sin 1 ( 1 2 ) + n 360 x = 45 + n 360 Fall 2 x = 180 sin 1 ( 1 2 ) + n 360 x = 225 + n 360 Vi får fyra lösningar som måste testas i den ursprungliga ekvationen x = 45, 45, 135, 225 Positiva fallet av kvadraten sin x = 1 2 TI-räknare 0 = falskt, 1 = sant Fall 1 x = sin 1 ( 1 2 ) + n 360 x = 45 + n 360 Fall 2 x = 180 sin 1 ( 1 2 ) + n 360 x = 135 + n 360 x = 45 + n 360 Svar: { x = 225 + n 360 Samtliga lösningar beskrivs bättre med endast ett uttryck x = 45 + n 180

2308 a y' är derivatan av y och är ett mått på funktionens förändringshastighet. Vid varje punkt är derivatan y lutningen på en linje som är tangent till kurvan. y antar värdet noll, ingen förändring, vid funktionens extremvärden, dvs vid max- och minpunkter. Svar: x = π 2 + n π = 90 + n 180 b y antar sitt största positiva värde då x = 0 + n 2π = n 2π = n 360 y antar sitt största negativa värde då x = π + n 2π = 180 + n 360 EXTRA y = cos x Funktionsvärdena för cos x stämmer överens med tangentens lutning för sin x, mer om detta i avsnitt 3.2