MA Tillämpd Mtemtik I, 7.hp, 6--8 Hjälpmedel: Penn, rdergummi och rk linjl. Vrken räknedos eller formelsmling är tillåtet! Tentmen består v frågor! Endst Svrsblnketten sk lämns in! Inget tentmensomslg! Svrslterntiv i Bold Courier New sk tolks som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningr enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betgsgränser se kursens hemsid. Lösningsförslg nslås på kursens hemsid efter tentmen. Lck till! Bertil Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hnd, smt grundläggnde färdighet i Mthemtic.. Beräkn rgz z, då z och z betder komplekonjugt. (p) Lösningsförslg: Först w z z b b :, så rgwrctn b rctn w, Argw. w z z. z. Mthemtic väljer närmst vägen, Rätt svrslterntiv: d 7 6 b c d. För det komple tlet z är bsz och rgz. Skriv z på rektngulär form. (p) Lösningsförslg: Vi hr Pot.lgr Eulercos sin. b c d. Lös ekvtionen z z, där z betder komplekonjugt. (p) Lösningsförslg: Ansätt z b. Sedn krvet på likhet melln komple tl, med ndr ord identifier rel- och imginärdelr. b z z b b : Likhet Re : b bb Im : b b En sist ängslig test... Solvez z b. z b c d. Låt f sin,, 6. Bestäm V f. (p) Lösningsförslg: Eftersom D f, 6 kommer V sin,. Så V f,,. SinIntervl, 6 Intervl,
Plot Sin, Sin,,,, PlotLbels Automtic 6 sin..... sin Rätt svrslterntiv: e V f, b V f, c V f, d V f,. Lös ekvtionen 8. (p) Lösningsförslg: T hjälp v potenslgrn, 8. Solve 8 b c d 6. Lös ekvtionen ln ln ln6. (p) Lösningsförslg: Övning på logritmlgr, ln ln ln6 ln ln6 6, vrv eller. Här är flsk rot med hänsn till krvet ovn, t logritmlgen lnblnlnb gäller ju br om och b. Dett vet nturligtvis Mthemtic SolveLog Log Log6, b c d 7. Låt f tn. Bestäm f '. (p) def sin Lösningsförslg: Jobb på med deriveringsregler, tn och SD. cos f ' tn tn sincossin cos Trig. :ntn Df Tn,. f tn cos cos cos, så f '. f b c d 8. Låt f lnsin. Bestäm f '. (p) Lösningsförslg: Jobb på med lämplig deriveringsregler. f ' lnsin u sin lnu u sin u lnu sin v u lnu v sinv SD u cosv Bt tillbk cos sin Df LogSin,., så f ' cos sin.
cos f sin f b c d 9. Låt f. Bestäm f '. (p) Lösningsförslg: Regler & SD Df,Simplif. 6 f 6 6 6. f 6 b c d Rätt svrslterntiv: e. För en viss tp v gs gäller smbndet pv melln trck och volm. Bestäm p då V och V 6. (p) Lösningsförslg: Lös ut p och deriver med vseende på t, eftersom vi söker hstighet tidsderivt. Sedn är det br tt sätt in givn numerisk dt Dpt Vt,t. Vt, V 't 6 p t 6 V t Vt p t 7 7 b c d. Funktionen f hr en primitiv funktion F. Grfen till F är uppritd i figuren till höger. Beräkn f. p F Lösningsförslg: Vi får direkt f F FF. b 7 c d 8 Rätt svrslterntiv: e. Beräkn. (p) Lösningsförslg: Vi får 7. 7 Rätt svrslterntiv: d
b 6 c d 7. Beräkn. (p) Lösningsförslg: Vi får ln lnlnln. log ln b c ln d ln. Beräkn. (p) Lösningsförslg: Äntligen vribelsubstitution! Integrnden är v tpen f gg ', där f och det som sticker i ögonen g. Så kör på med kokboken. Substitution u g. Måttet u. Gränser u uu u g u g u u lnu lnln ln ln 9. uu uu log 9 ln b ln c ln d ln 7. Bestäm sin cos i punkten. (p) Rätt svrslterntiv: e Lösningsförslg: Deriver mh kedjeregeln sin b sin cos cos cos sin c d cos, vrv sin. 6. I figuren ser vi ett m långt bmbustrå som hr brutits i vinden så tt toppen hmnr 6 m bort längs mrken. Sök brtpunktens höjd h ovn mrk. p Del B poäng med fokus på modellering och Mthemtic. Lösningsförslg: Övning i geometri, vrs ursprung kn dters till c fkr och den kinesisk boken Chui-chng sun-shu (Nio kpitel om den mtemtisk konsten). Låt h vr den sökt höjden, så får vi direkt med vår egen Ptgors
Solve6 h h,h h 6 Solve6 h h,h b Solve h 6,h c Solve h 6 h,h d Solve6 h h,h 7. Hur långt bort är horisonten när vi tittr ut över hvet, eller mer precist vståndet d från ögonen till horisonten? Låt Jorden vr ett klot med rdien R 67. km och behndl fllet då ögonen är.7 m ovnför vttentn. Svr i m. p Lösningsförslg: Ett klot med rdien R 67. km är väl sådär, men det är precis smm pproimtion mn gör vid beskrivning v stellitbnor i GPS. Med stöd v figuren till höger och Ptgors ännu en gång får vi svret på det som mång bdnde i Tlösnd fundert på SolveR d R h,d.r 67..h.7, d d 6. SolveR d Rh,d.R67.,h.7, d b SolveR d Rh,d.R67..h.7, d c SolveR d Rh,d. R 67..h.7, d d SolveR d Rh,d.R67..h.7, d Rätt svrslterntiv: d 8. I figuren är en cirkel inskriven i en kvdrt. Bestäm cirkelns rdie r. p Lösningsförslg: Mer geometri! Här gäller det tt teckn hlv digonlen i kvdrten på två sätt. Att modelleringsriktigt skriv den som istället för som vi ser är knske en etr utmning. r Solver Sin r c Solver Solver r Sin r Tn b Solver r Sin d Solver r Sin 9. Sök längdern v och p
Lösningsförslg: Ytterligre geometri, tr det ldrig slut? Nu hr vi Ptgors sts och likformig tringlr, så Solve,, 8, Solve,, b Solve,, c Solve,, d Solve,,. En cmpre upplever värmen från en öppen eld som tt den är proportionell med k mot mängden ved och omvänt proportionell mot vståndet i kubik. När cmpren är m från elden lägger någon på lik mcket ved till. På vilket vstånd sk cmpren nu ställ sig för tt upplev smm värme? p Lösningsförslg: Övning i tt översätt tet! Solvek ved c Solvek ved k ved,, b Solvek ved k ved,, k ved,, d Solvek ved k ved,,. När vndrnde fiskr som ål, öring och l simmr uppströms i ett vttendrg npssr de sin frt u så tt energiåtgången per meter minimers. Om vttnet rinner med frten v u beskrivs energiåtgången v funktionen Pu ku, där k är en konstnt som bestäms v fiskens utseende. uv. Definier Pu som en funktion i Mthemtic. (p) Lösningsförslg: Vi får direkt Pu : ku u v Pu ku uv b Pu ku uv c Pu : ku uv d Pu ku uv. Rit Pu, u, 7, i rött då v, k. Pnt lrn! (p) Lösningsförslg: Efter en stund fundernde får vi PlotPu. v, k, u,, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" P. 6. 6. 7. u PlotPu. v. k, u,, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" b PlotPu. v, k, u,, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" c PlotPu. v, k, u,, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" d PlotPu. v. k, u,, 7, PlotStle Red, AesLbel "u", "P" 6
. Använd Solve för tt sök nollställe till P' u. (p) Lösningsförslg: Br gör dé! u SolveP'u, u u, u, u v Rätt svrslterntiv: d u SolveP'u, u b u SolveP'u c u SolveP'u d u SolveP'u, u. Bestäm etremvärdet. Välj den sist v tre lösningr i u. (p) Lösningsförslg: Optiml energiåtgång! Pu. u Lst 7 kv P. u Lst b u.pu c Pu d Pu. u Lst Rätt svrslterntiv: d. Bestäm volmen v skålen som uppkommer då,, roterr ett vrv kring eln. p Lösningsförslg: Vid hr vi ett tunnväggigt rör med höjden vid flld skål, så V b. b c d 6. Ett plnt snitt längs rottionseln i en rk cirkulär kon genererr en snittt S som begränss v linjern, då.,, se fig. Sök konens volm V givet tt konens topp ligger vid linjerns skärningspunkt. p S..... Lösningsförslg: Det är br lägg smmn små clindrr V r. V V. V.9 V V. V b V. V c V. V d V. 7
7. Sök ren A för en tunn pppskiv i form v en rätvinklig tringel som är uppriggd enligt figur. p b Lösningsförslg: Klipp upp tringeln i sml rektngulär strimlor, där ges v likformig tringlr b tt lägg smmn ll små strimlor A. c A A b A b A b A b A A b b A A b d A A b b. Nu är det br 8. En pppskiv i form v en "sinusbubbl" sin,, med konstnt tdensitet Ρ, är uppriggd enligt figur. Bestäm tngdpunktens läge G i riktningen, om vi vet tt denn bestäms v ekvtionen m G m. p..8.6.. Lösningsförslg: Del upp bubbln i tunn strimlor. Höjden för en sådn vid ges v sin och med konstnt tdensitet Ρ ligger dess tngdpunkt i,. Vidre är m ΡA Ρ och slutligen det efterlängtde Solve G Ρ. Sin, G G 8 Solve GΡ. Sin, G b Solve G Ρ. Sin, G c Solve GΡ. Sin, G d Solve G Ρ. Sin, G Rätt svrslterntiv: e 9. I ett cirkulärt blodkärl med rdien R m är hstighetsprofilen vrkr r ms, där rdien r, R är vståndet från centrum v blodkärlet och k en konstnt. Sök blodflödet Q. p Lösningsförslg: Betrkt tvärsnittet som en smling tunnväggig rör. Flödet genom ett sådnt är Q vra vrrr. Sedn är det br tt lägg smmn ll bidrgen Q R Q k R r r r Q kr Q R Q k R r r r Q R b Q Rk R r r r c Q R Q k R r r r Q R d Q Rk R r r r 8
. Pelrn på Golden Gtebron i Sn Frncisco är 7 m hög och brospnnet melln dem är 8 m. Miml segelhöjd 67 m. Gör en pproimtion v de lång kblrn melln pelrn med en prbel, 7 67 8, 8, och låt vr ett funktion med denn beskrivning. Bestäm nu längden v en sådn kbel. p Lösningsförslg: Först prbeln enligt givet recept. 7 67 Å så här ser den ut 8 ; Plot,, 8, 8, PlotStle DrkerRed, AesLbel "", "", AspectRtio Automtic 6 6 Slutligen med formeln för längden v en funktionskurv. NIntegrte ',, 8, 8.9 En enkel uppskttning ger tt längden måste vr längre än två hpotenusor och duktigt kortre än två omgångr kteter. Verkr ju ok som vslutning på dgen. 8 7 67, 8 7 67 9.9, 6. Rätt svrslterntiv: d NIntegrte D,,, 8, 8 b NIntegrte D,,, 8, 8 c NIntegrte ',, 8, 8 d NIntegrte ',, 8, 8 9