77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln och linjern x =, och x = b. Figur 9.1. y y = f(x) A x b Idé: Det finns två skäl till tt vi i Exempel 1.2 tidigre kunde bestämm ren för en cirkel med rdie r som vi nsåg vr en komplicerd geometri. Det först skälet är tt vi delde in cirkeln i tringlr som är en enklre geomtri eftersom vi kn beräkn tringelns re. Det ndr är tt vid en llt finre indelning så hde gränsprocessen, med oändligt mång tringlr som pproximerde cirkelns re llt bättre, ett ändligt gränsvärde πr 2. Dett gränsvärde fick vr cirkeln re. Vi kommer därför frmöver tt nvänd denn idé i olik tillämpningr. Vi kommer fktiskt tt i situtioner då vi hr en komplicerd geometri tt pproximer den med en enklre geometri som förutom tringlr kn vr rektnglr, rät linjer, cirkelsektorer smt cylindrr. Figur 9.2. y I problemet ovn delr vi in den pln ytn melln kurvn y = f(x) och x-xeln i rektnglr eller llmännre trppfunktioner. x
78 9 BESTÄMDA INTEGRALER 9.1. Trppfunktioner Definition 9.3. Vi säger tt Φ är en trppfunktion på [,b] om Φ är styckvis konstnt, dvs Φ är konstnt på delintervll till [,b]: c 1 då x 0 x x 1 c 2 då x 1 < x x 2 Φ =.. c n då x n 1 < x x n där strtpukten = x 0 och slutpunkten b = x n. Exempel 9.4. Rit följnde trppfunktioner 1. Φ i Definition 9.3. 2, 3 x 1 4, 1 < x < 1 2. Ψ(x) = 5, x = 1 2, 1 < x 3 3, 3 < x 4 Definition 9.5. Integrlen v en trppfunktion Φ över [,b] definiers som Φ(x)dx = c 1 (x 1 x 0 ) + + c n (x n x n 1 ) = n c k (x k x k 1 ). k=1 Observer: tt om Φ är positiv, dvs ll c k 0, så kn vi tolk området melln kurvn y = Φ(x) och x-xeln. Φ(x)dx som ren v Exempel 9.6. Bestäm integrlen v trppfunktionen Ψ i Exempel 9.4.
9.2 Undertrpp och övertrpp 79 9.2. Undertrpp och övertrpp Definition 9.7. Låt f vr en funktion definierd på [,b]. Om en trppfunktion 1. Φ är sådn tt Φ(x) f(x), då x [,b], så säger vi tt Φ är en undertrpp till f. 2. Ψ är sådn tt Ψ(x) f(x), då x [,b], så säger vi tt Φ är en övertrpp till f. Exempel 9.8. Ange någr undertrppor Φ n resp. övertrppor Ψ n till f(x) = e x på [0,1]. Undersök också gränsvärdern lim n 1 0 Φ n (x)dx resp. lim n 1 0 Ψ n (x)dx.
80 9 BESTÄMDA INTEGRALER 9.3. Riemnnintegrlen Definition 9.9. Låt f vr definierd på [, b]. Om f hr egenskpen tt det för vrje ε > 0 finns en undertrpp Φ ε och en övertrpp Ψ ε sådn tt Ψ ε (x)dx Φ ε (x)dx < ε så säger vi tt f är (Riemnn)integrerbr på [,b]. Observer: tt Definition 9.9 säger tt f är integrerbr lim n Φ n (x)dx = lim n Ψ n (x)dx. Sts 9.10. Om f integrerbr på [,b], så finns det exkt ett tl A sådnt tt Φ(x)dx A Ψ(x) dx för vrje undertrpp Φ och vrje övertrpp Ψ. Dett tl klls integrlen v f över [,b] och beteckns f(x)dx. Exempel 9.11. Bestäm integrlen 1 0 e x dx.
9.3 Riemnnintegrlen 81 Sts 9.12. Räknelgr för bestämd integrler: Om f och g är integrerbr över [,b], så gäller tt 1. 2. 3. 4. 5. b f(x)dx = Cf(x)dx = C (f(x) + g(x))dx = f(x)dx = f(x)dx c 6. Tringelolikheten: f(x)dx f(x)dx, där C är en konstnt f(x)dx + f(x)dx + c g(x)dx om f(x) g(x) g(x) dx f(x)dx om c b f(x)dx f(x) dx.
82 9 BESTÄMDA INTEGRALER Sts 9.13. Integrerbrhet hos monoton funktioner: Om f är monoton på [,b] så existerr f(x)dx. Exempel 9.14. Vis tt 1 3 14 1 dx 1. Skrpre skttning? 1 1 + x3
9.3 Riemnnintegrlen 83 Sts 9.15. Integrerbrhet hos kontinuerlig funktioner: Om f är kontinuerlig på [,b] så existerr f(x)dx. Sts 9.16. Medelvärdesstsen för integrler: Om f är kontinuerlig på [,b] så finns minst ett < c < b sådnt tt f(x)dx = f(c)(b ). 1 5x t Exempel 9.17. Beräkn lim x 0 x x e t 1 dt.
84 9 BESTÄMDA INTEGRALER Följnde sts visr tt vrje kontinuerlig funktion hr en primitiv funktion. Sts 9.18. Anlysens huvudsts: Om f är kontinuerlig på [,b], så är funktionen S(x) = x f(t)dt, x b, en primitiv funktion till f på [,b], dvs S (x) = f(x). Dett kn också skrivs d dx x f(t)dt = f(x). Exempel 9.19. Beräkn derivtn v funktionen S(x) = x 987 sin(5t + 1)dt.
9.4 Smbnd melln integrler och derivtor 85 9.4. Smbnd melln integrler och derivtor Stsen nedn visr hur mn beräknr en integrl. Sts 9.20. (Insättningsformeln): Om f är kontinuerlig på [,b] och F är en primitiv funktion till f på [,b], så är f(x)dx = F(b) F(). Anmärkning 9.21. Högr ledet i formeln ovn skrivs oft [F(x)] b. Exempel 9.22. Beräkn integrlen 1 0 e x dx.
86 9 BESTÄMDA INTEGRALER Sts 9.23. Om f är kontinuerlig på [,b] och g och h är deriverbr på [,b], så gäller tt d h(x) f(t)dt = f(h(x))h (x) f(g(x))g (x). dx g(x) Exempel 9.24. Beräkn derivtn v funktionern ) x 987 sin(5t + 1)dt b) x 3 x 2 sin(5t + 1)dt.