ht06 Föreläsning 7: Trigonometri Trigonometrisk identiteter En identitet är en likhet som håller för ll värden på någon vriel. Tex så gäller tt ( + ) + + för ll,. Dett skrivs ilnd som ( + ) + +, men vi kommer här tt håll oss till för tt eskriv identiteter. Märk tt en identitet lltså är skild från ekvtioner, där värden på någon okänd storhet söks för tt uppfyll likheten, tex x +. Det finns en uppsjö v trigonometrisk identiteter, oh vi går här igenom någr v de viktigste: Negtiv vinklr Om vinkeln u definiers som moturs rottion från x-xeln kn vi definier u som medurs rottion från x-xeln:
ht06 y P (os u, sin u) O u u x P (os u, sin u) Vi kn se tt följnde smnd gäller: Sts: Negtiv vinklr Det gäller tt: os( u) os u sin( u) sin u tn( u) tn u Exempel: sin( π 6 ) sin( π 6 ).
ht06 Periodiitet Om vi roterr en vinkel ett helt vrv kommer vi tillks till smm punkt. Det smm gäller om vi roterr fler vrv, oh oeroende om vi roterr medurs eller moturs. Dett leder oss till följnde smnd: Sts: Periodiitet Det gäller för ll n Z tt: Rdiner: Grder : os(u + πn) os u sin(u + πn) sin u tn(u + πn) tn u os(u + 60 n) os u sin(u + 60 n) sin u tn(u + 60 n) tn u Exempel: sin( π) sin( π + π) sin( π + 4π) sin( π + π ) sin( π). Komplementvinkeln Vi kn från enhetsirkel tt för vrje vinkel u finns en vinkel v sådn tt sin u os v. Dess hr ett speifikt förhållnde. I en rätvinklig tringel hr vi en vinkel u, en rät vinkel π, oh eftersom vinkelsummn i tringeln måste vr pi kn vi skriv den sist vinkeln som v π π u π u. Denn vinkel klls komplementvinkeln till u. Sts: Komplementvinkel Vi kn från en figur slut oss till:
ht06 v π u os u sin(π u) sin u os(π u) tn u tn( π u) u Exempel: Vi vet tt os( 5π ) ( ). Använd dett för tt eräkn sin( π ). Lösning Vi nvänder komplementvinkeln: ( ( π π sin os ) ) π Svr: sin( π ) ( ). ( 6π os π ) ( ) 5π os ( ). Trigonometrisk ettn Ett nnt sätt tt relter osinus oh sinus är vi den så kllde trigonometrisk ettn, vilket är en ppliktion v Pythgors sts. Vi inför först följnde skrivsätt: os n u (os u) n sin n u (sin u) n oh i synnerhet os u (os u) sin u (sin u) Sts: Trigonometrisk ettn 4
ht06 För ll vinklr u gäller tt: os u + sin u Exempel: Förenkl uttryket tn u sin u. os u Lösning: Vi eräknr: tn u sin u os u os u sin u os u sin u sin u os u os u os u os u Svr: Uttryket kn förenkls till os u. (sin u + os u) sin u os u Vinkelddition I formler dyker oft en trigonometrisk funktion upp där två vinklr hr dderts. Vi hr följnde formler för dett fll: Sts: Vinkelddition För ll vinklr u oh v gäller: os(u + v) os u os v sin u sin v os(u v) os u os v + sin u sin v sin(u + v) sin u os v + os u sin v sin(u v) sin u os v os u sin v Vi utelämnr evis tills vi lärt oss om komplex tl. 5
ht06 Exempel: Beräkn os( 5π ). Lösning: Vi delr upp vinkeln oh eräknr: ( ) ( 5π π os os + π ) ( π os 4 + π ) ( ) ( ) ( ) ( ) π π π π os os sin sin 6 4 6 4 6 Svr: os( 5π ) ( ). ( ) För ddition v π rd ger dess någr nvändr speilfll: Sts: Hlvvrvsddition För ll vinklr u gäller tt: sin(u + π) sin u sin(π u) sin u os(u + π) os u os(π u) os u Trigonometrisk ekvtioner På grund v sin periodisk ntur hr trigonometrisk ekvtioner oft fler, oh ilnd oändligt mång lösningr. Vi kn titt på grfen som representerr ekvtionen sin x som exempel: 6
ht06 y 0 0 x Vi försöker systemtisk hitt dess lösningr: Exempel: Hitt ll lösningr till sin x. Lösning: Vi vet tt sin x när x π 6 lösningr. Så lösningrn ges v: eller när x π π 5π, smt hel vrv + dess 6 6 x π 6 + πn, n Z eller x 5π 6 + πn, n Z Exempel: Hitt ll lösningr till os(x + π 6 ). Lösning: os u löses v u ± π + πn, n Z. Vi vet således tt ekvtionen är uppfylld 6 när: x + π 6 π 6 + πn, n Z eller x + π 6 π 6 + πn, n Z x πn, n Z eller 7
ht06 x π 6 + πn, n Z x πn, n Z eller x π 9 + πn, n Z Tringelstser Vi går här igenom stser för tringlr som relterr tringlrs sidor, vinklr oh ytor. Vi kommer etrkt tringlr på formen: C A B Där vinkeln A är motstt sidn et. Sts: Arestsen Låt en tringel vr som i figuren ovn. Då är ytn v tringeln, S, given v: S sin C sin A sin B sin A Bevis: Vi visr stsen för. Vi vet enligt känd formel tt sen gånger höjden genom. Vi ritr ut höjden i två fll: 8
ht06 A h C B A B C h Fll Fll I åd fllen ser vi tt h sin A h sin A. Vi kn okså se tt sen är lik med. Dett ger tt S h sin A. För de ndr fllen kn vi se tt de måste vr snn genom tt yt nmn på vrilern på lämpligt vis. Exempel: En tringel hr sidorn 4, 5 oh vinkeln A π. Beräkn ren v tringeln. Lösning: Vi eräknr: S sin A 4 5 sin π 0 5 Svr: Tringeln hr ren 5 reenheter. I fll när vi känner till minst tre vinklr oh/eller sidor i en tringel är följnde sts nvändr: Sts: Sinusstsen sin A sin B sin C. Bevis: Vi vet genom restsen tt: S sin C sin A sin B 9
ht06 Vi multiplierr smtlig led med S sin C sin A sin B V.S.V. vilket ger: Exempel: Låt,, oh A π. Beräkn vinklrn B oh C. 6 Lösning: Sinusstsen ger: sin A Det gäller tt: sin B sin B sin B sin A sin π 6 B π eller B π π π Vinkelsummn i en tringel är π, så π π C π π 6 π π π π 6 6 Svr: Vinklrn B oh C är ntingen B π, C π eller B π, C π 6. Vår sist sts är osinusstsen som generliserr Pythgors sts för tringlr som inte är rätvinklig. Sts: Cosinusstsen + os B Bevis: Preis som för restsen krävs flluppdelning i två fll. Vi visr stsen här för fll : C A B π B d h 0
ht06 Enl. Pythgors sts måste det gäll tt ( + d) + h. Vi kn eräkn d oh h genom: h d Dett ger tt: V.S.V. sin(π B) sin B h sin B os(π B) os(b) d os B ( + d) + h + d + d + h + ( os B) + os B + sin B os B + (os B + sin B) + os B Fll viss tex i oken. Exempel: Låt, 4 oh A π. Beräkn. 4 Lösning: Vi nvänder osinusstsen: + os A + 4 4 os π 4 9 + 6 4 5 4 }{{} >0 Svr: 5 4 längdenheter.