TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri

Relevanta dokument
Figur 5.1. En triangel där nedre högra hörnet har en rät vinkel (90 ).

TATM79: Föreläsning 7 Arcusfunktioner och hjälpvinkelmetoden

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

Bestäm den sida som är markerad med x.

TATM79: Föreläsning 7 Komplexa exponentialfunktionen och binomiska ekvationer

sin (x + π 2 ) = sin x cos π 2 + cos x sin π 2 = cos π 2 = 0 sin π 2 = 1 Svar: cos x

TATM79: Föreläsning 8 Arcusfunktioner

Exempelsamling :: Vektorintro V0.95

Sidor i boken Figur 1:

Repetition av cosinus och sinus

MA2047 Algebra och diskret matematik

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 8, H15

Matematik CD för TB. tanv = motstående närliggande. tan34 = x 35. x = 35tan 34. x cosv = närliggande hypotenusan. cos40 = x 61.

5B1134 Matematik och modeller

Några saker att tänka på inför dugga 2

TATM79: Matematisk grundkurs HT 2017

Geometri och Trigonometri

TATM79: Matematisk grundkurs HT 2016

formler Centralt innehåll

Matematik för sjöingenjörsprogrammet

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

3. Trigonometri. A c. Inledning

5B1134 Matematik och modeller

5B1134 Matematik och modeller

A1:an Repetition. Philip Larsson. 6 april Kapitel 1. Grundläggande begrepp och terminologi

SF1620 Matematik och modeller

Svar och arbeta vidare med Cadetgy 2008

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

Uppföljning av diagnostiskt prov HT-2016

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1 2011

Trigonometri. Joakim Östlund Patrik Lindegrén 28 oktober 2003

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 2 OBS! En fullständig lösning måste innehålla en figur!

Uppgiftshäfte Matteproppen

Lösningsförslag TATM

a (och liknande ekvationer). a har lösningar endast om 1 a 1 (eftersom 1 sin( x ) 1). 3 saknar lösningar.

Kapitel 4. cos(64 )= s s = 9 cos(64 )= 3.9m. cos(78 )= s s = 9 cos(78 )= 1.9m. a) tan(34 )= x x = 35 tan(34 )= 24cm

Fall 1 2x = sin 1 (1) + n 2π 2x = π 2 + n 2π. x = π 4 + n π. Fall 2 2x = π sin 1 (1) + n 2π. 2x = π π 2 + n 2π

Lösningar till udda övningsuppgifter

2146 a. v = 290 v = 290 omvandlingsfaktor rad v = 290 v = rad v 5.1 rad

Rotation Rotation 187

6.2 Implicit derivering

SF1620 Matematik och modeller

HF1703, Inledande matematik (Byggproduktion) DEN TRIGONOMETRISKA ENHETSCIRKELN OCH TRIGONOMETRISKA FUNKTIONER

MA0021, MA0022, MA0023

också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

Läsanvisningar till kapitel 4 i Naturlig matematik

Föreläsning 9: Komplexa tal, del 2

vara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är

Sommarmatte. del 2. Matematiska Vetenskaper

Linjen P Q tangerar cirkeln i P och enligt en sats i geometrin är OP vinkelrät. tan u = OP. tan(180 v) = RS. cos v = sin v = tan v, tan v = RS.

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..

Algebraiska räkningar

Lathund geometri, åk 7, matte direkt (nya upplagan)

Avsnitt 5, introduktion.

Trigonometri och funktioner

NC-Matte. 1 Formler och Begrepp beskrivet med Figur 1 (Vad är Klockan) (Viktig Figur)

SF1658 Trigonometri och funktioner Lösningsförslag till tentamen den 19 oktober 2009

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

Matematik CD för TB = 5 +

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag

MATMAT01b (Matematik 1b)

Föreläsning 1 5 = 10. alternativt

Lösning av trigonometriska ekvationer

NpMa3c vt Kravgränser

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren och

Vektorer En vektor anger en riktning i rummet (eller planet) och en längd (belopp). Vektorer brukar ritas som pilar, Vektoraddition

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

Block 4 - Funktioner. Funktionsbegreppet Definitionsmängd

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

Trigonometri och funktioner

MÄTNING AV ELEKTRISKA STORHETER

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

Trigonometri. π 8. Derivatan av f (x) = sin x. 48 Fourieranalys (Historia)..55

Matematik över gränserna

Repetitionsuppgifter i matematik

JONAS SJUNNESSON MARTIN HOLMSTRÖM EVA SMEDHAMRE

Att verifiera Biot-Savarts lag för en platt spole samt att bestämma det jordmagnetiska fältets horisontalkomposant

Föreläsning 1. Kursinformation All viktig information om kursen ska kunna läsas på kursens hemsida

GYMNASIEMATEMATIK FÖR LÄKARSTUDENTER

1 av 9. vara en icke-nollvektor på linjen L och O en punkt på linjen. Då definierar punkten O och vektorn e ett koordinataxel.

TSBB31. En bild är en 2D signal. Exempel på färginnehåll i bilder p. 4. För en digital bild gäller. vitt. Fig. 1.1

Facit till Förberedande kurs i matematik av Rolf Pettersson

MA002X Bastermin - matematik VT16

Addition av hastigheter

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

14 min 60 s min 42 s 49m 2 =18 s m 2, alltså samma tid. Vi kan säga att den tid som mamman behövde åt dammsugning var beroende av husets storlek.

Kängurutävlingen Matematikens hopp

Svar och arbeta vidare med Student 2008

Lösningsförslag TATM

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

5B1134 Matematik och modeller Uppgifter från kontrollskrivningar och tentamina under läsåren , och

Parametriska kurvor: Parametriska ytor

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

TNA001- Matematisk grundkurs Tentamen Lösningsskiss

Matematiktävling för högstadieelever. Kvalificeringstest. Tid : 60 minuter Antal uppgifter: 15 Max poäng: 15 poäng.

Vektorgeometri och funktionslära

Transkript:

TATM79: Föreläsning 5 Trigonometri Johan Thim augusti 016 1 Enhetscirkeln Definition. Enhetscirkeln är cirkeln med centrum i origo och radie ett. En punkt P = (a, b på enhetscirkeln uppfyller alltså a + b = 1. y P = (a, b 0.4 0.4 P 0 = (1, 0 x Vinkel Definition. Vinkeln definieras som båglängden från P 0 till P i positi led (moturs. johan.thim@liu.se 1

Det följer alltså att ett ar motsaras a inkeln (cirkelns omkrets. Sinus och cosinus Definition. Vi definierar funktionerna sin och cos genom sin = b och cos = a. Definition. Funktionerna tan och cot definierar i genom och tan = sin cos, då + n för alla n Z cot = cos, då n för alla n Z. sin Följder från dessa definitioner (sådant i kan se ur enhetscirkeln. (i Trigonometriska ettan: cos + sin = 1; (ii sin( + n = sin och cos( + n = cos för n Z; (iii sin( + = sin, cos( + = cos, tan( + = tan och cot( + = cot ; ( ( (i sin = cos och cos = sin ; ( cos( = cos och sin( = sin ; (i cos( = cos och sin( = sin. Till exempel punkt (i kan i se ur följande figur. y (sin, cos 0.4 (cos, sin 0.4 x Öriga samband kan illustreras på liknande sett (öning!

Parenteser? Som i redan sett skrier i ibland sin och ibland sin(. Tanken är att om det inte råder någon tetydighet om ad som är argumentet till funktionen så skrier i inte ut parantsen. Uttrycket sin / är tydligt medan sin / + / inte är lika klart. Om det inte är själklart ad uttrycket betyder, skri ut parenteser! Men gör det inte i onödan för då blir uttrycken sårlästa med många parenteser 1.1 Trigonometriska ekationer Följande samband kan ses direkt ur enhetscirkeln. (i sin u = sin u = + n eller u = + n, n Z; (ii cos u = cos u = ± + n, n Z; (iii tan u = tan u = + n, u + k, k, n Z; (i cot u = cot u = + n, u k, k, n Z. Till exempel (i kan illustreras med följande figur. y ( cos, sin 0.6 0. 0.4 0.4 (cos, sin x Det finns alltså tå sätt att få ett isst ärde på sinus, den naturliga inkeln men äen. Sen kan i så klart snurra runt hur många ar i ill för att hitta andra inklar, men dessa tå är principlösningarna. Finn alla x R så att sin x = cos x.

Lösning. Om i hade haft samma trig-funktion på båda sidorna i likheten så hade i kunnat anända sambanden oan. Kan( i komma dit? Visst går det, på flera olika sätt. En ariant är att utnyttja att cos = sin och därmed att ekationen kan skrias ( sin x = cos x sin x = sin x x = x + n eller x = ( x + n. Fall 1: x = x + n 5x = + n x = 10 + n 5. Fall : ( x = x + n. x x = + n x = n. Här finns flera saker att kommentera. Variabeln n antar alla heltal Z (alltså n = 0, ±1, ±,..., så om i har +n eller n spelar egentligen ingen roll, så den sista likheten kan lika gärna skrias x = + n. Sen kan det isa sig att issa inklar förekommer både i fall 1 och fall, så ill man snygga till saret så måste det undersökas. I årt fall ser i att för att få / i fall 1 måste 1 + 4n 10 = 1 n =, ilket inte kan hända då n är heltal. Lösningarna öerlappar alltså inte. Sar: x = 10 + n och x = + n där n Z. 5 ( Alternatit hade man kunnat byta ut sin x mot cos x. Trigonometriska funktionsärden Vissa standardinklar föräntas i kunna sinus, cosinus etc för mer eller mindre utantill. Vilka? Vi betraktar fallet då inkeln ligger i interallet ] 0, / [. I detta fall kan i anända trianglar för att reda ut issa inklar. Låt oss undersöka en rätinklig triangel. Här är c b och c = a + b sin = b c, cos = a c, tan = b a a, cot = a b. Alltså kan i anända en sådan triangel och ia Pythagoras räkna ut till exempel sin om i känner cos. Hur då? 4

Om sin x = 0. och 0 < x < /, ad är cos x och tan x? Lösning. Eftersom x ligger mellan 0 och / så kan i anända en hjälptriangel. 10 a Pythagoras medför att a = 10 = 96, så a = 96 (giet att a > 0. Alltså kan i direkt säga att cos x = a 96 c = sin x och tan x = 10 cos x = /10 =. 96/10 96 96 Sar: cos x = och tan x =. 10 96 Om sin x = 0. och / < x <, ad är cos x och tan x? Lösning. Är det samma sar som oan? Obserera att längderna i en hjälptriangel måste ha positi storhet! Ds att a, b, c > 0..1 Standardinklar I en rätinklig triangel med samma katetlängd (till exempel 1, men båda kateterna a längd eller 71 går också bra så är en inkel (den räta / medan de andra tå måste ara lika stora, så /4. cos 4 = sin 4 = 1 = 1 4 4 1 Om i istället konstruerar en likbent triangel där alla sidor är lika långa (till exempel så måste alla ingående inklar ara lika stora, ds /. Om i delar triangeln i tå lika stora delar från ett hörn till mitten på motstående sida så uppstår tå rätinkliga trianglar enligt figuren nedan. 5

6 6 Ur denna triangel kan i utläsa att 1 1 sin = cos 6 = och sin 6 = cos = 1. Additionsformlerna Additionsformlerna sin(u + = sin u cos + cos u sin sin(u = sin u cos cos u sin cos(u + = cos u cos sin u sin cos(u = cos u cos + sin u sin Det räcker att isa den första likheten, resten följer a enkla trigonometriska samband i redan känner till. Beisen kan återfinnas i boken. Ett par intressanta specialfall. Formler för dubbla inkeln sin x = cos x sin x och cos x = cos x sin x = 1 sin x = cos x 1 och omänt sin cos x 1 x = och cos cos x + 1 x =. Dessa formler är mycket anändbara när det gäller att lösa trigonometriska ekationer, och som ni kommer att se, äen när ni skall integrera issa uttryck i enariabelanalysen! Tangens då? Jodå, ia formlerna oan kan i ställa upp följande samband. 6

tan(u + = Additionsformel för tangens tan u + tan 1 tan u tan och tan(u = tan u tan 1 + tan u tan. Finn det exakta ärdet för tan 1. Lösning. Tricket här är att försöka dela upp inkeln som en summa a kända standardinklar. Således, 1 = 4 och därmed måste tan 1 = tan ( 4 = tan tan 4 1 + tan tan 4 = 1 1 + = 1 (1. Lös ekationen cos x + sin x sin x (1 + cos x = 1. Lösning. Exemplet kanske ser lite askräckande ut, men i försöker oss på att skria om med lite trig-ekationer och se om det trillar ut något enklare. Ett tips är att försöka se till att man bara har en sorts trigonometrisk funktion i uttrycket. Vi et att cos x = 1 sin x och att 1 + cos x = sin x, så ekationen är ekialent med 1 sin x + sin x sin x( sin x = 1 4 sin x + sin x sin x = 0 Om i låter t = sin x (för att enklare se ad i arbetar med så ser i att 4t + t t = 0 t(t + t 1 = 0. Så t = 0 är en lösning. Vi faktoriserar andragradaren: t + t 1 = (t + t/ 1/ = ((t + 1/4 9/16 = (t + 1(t 1/, så de öriga lösningarna ges a t = 1 och t = 1/. Vi har alltså tre olika fall. Fall 1: Om t = 0 så är sin x = 0 x = n. Fall : Om t = 1 så är Fall : Om t = 1/ så är sin x = 1 x = + n. sin x = 1 x = 6 + n eller x = 5 6 + n. Sar: x = n, x = + n, x = 6 + n och x = 5 6 + n, där n Z. 7