Våg1 Endimensionell ågubredning Här kommer ågekaionen för framför all longiudinalågor a as fram. När i har få fram ågekaionen och en lösningsmeodik kommer i a behandla endimensionella longiudinalågor i luf. Här behandlas äen skjuåg och böjåg i fasa maerial. Härledning a ågekaionen, longiudinalåg i en sång Vi änker oss a i skär u en lien del a en sång, frilägger denna och säller u Newons rörelseekaion. Sångbien har längden d. Vidare har i en ubredd massa er längdenhe = S, där är densieen och S är ärsnisarean. å den ena sniyan id koordinaen erkar en kraf F och å den andra sniyan id +d erkar samma kraf lus en iss förändring a denna, F+d ilke kan ayloruecklas och aroimeras med F+d F+F/d. Förskjuningen a den änsra sniyan beecknas u medan förskjuningen a den högra sniyan då blir u+d som å samma sä aroimeras med u+d u+u/d. d F F+F/d u +d u +u/d Figur 1 Friläggning a sångelemen Vi säller nu u rörelseekaionen som säger a summan a kraferna ska ara lika med massan gånger yngdunkens acceleraion F F F d ma 1 Om d är mycke lie kan i idare aroimera förskjuningen a massans yngdunk med u+d/ u. Allså har i m d och u a u 3 1
Rörelseekaionen kan nu förenklas ill F d d u 4 F u 5 För a komma idare behöer i nu yerligare en ekaion som relaerar kraferna med förskjuningarna. Från Byggnadsmekaniken känner i ill Hookes lag, som säger a sänningarna är roorionella med öjningarna E 6 där E är elasiciesmodulen och ärkonrakionen försummas. Vidare är sänning desamma som kraf er yenhe och öjning desamma som förskjuning er längdenhe. Vi måse dock beaka a osii sänning är dragen, medan i har sa krafen ryck, så i får ha negai ecken å krafen: F 7 S öjning förhåller sig ill förskjuningen som u 8 Den söka relaionen mellan kraferna och förskjuningarna är således u F ES 9 Om i derierar ekaion 9 en gång med aseende å och soar in i ekaion 5, så har i sluligen ågekaionen för en longiudinalåg i en sång: u ES u 1 u u E 11 Vågekaionen är ydligen en andra ordningens ariell differenialekaion. För a lösa den behös å begynnelseillkor och å randillkor. De flesa ågekaioner, så som ransersalågen i en giarrsräng, en orsionsåg i en sar eller elekriska ågor, har denna form. Böjågen i en balk har dock e anna useende, den är a fjärde ordningen.
Ofa anänder man sig a förskjuningshasigheen = u/ i sälle för förskjuningen u. sådana fall blir ågekaionen isälle E 1 efersom deriaan / erkar lika å alla ermer. Ekaion 5 och 9 blir i dea fall F 13 F ES 14 ilke ser lie snyggare u, då relaionerna är symmeriska kom ihåg a = S. Dessa ekaioner brukar kallas fälekaionerna. Derierar i nu ekaion 13 med aseende å och ekaion 14 med aseende å, så har i F 15 F ES 16 och om i soar in den ena i den andra F F ES 17 F F E 18 så får i ågekaionen igen, men denna gång med krafen F som ariabel. De är ydligen likgilig ilken ariabel man anände, och man anänder lämligen den som lämar sig bäs för robleme i fråga. För ågor i fasa maerial är de anligas a anända förskjuning som ariabel. De olika ariablerna brukar benämnas fälariablerna. Vågubredning Men ad är då en åg? 3
Figur Vågubredning i en maa. Vi kan änka oss å ersoner som skakar en maa, i kallar dem A och B. Vi änker oss idare a B håller sin kan silla medan A gör en löslig rörelse uå id sin kan. Resen a maan ill nu följa med i denna rörelse, med början med de unker å maan som är närmas A. Rörelsen forsäer sedan a srida sig med en konsan hasighe ills den når B. Om A forsäer a skaka sin ände u och ned, och roar olika ak i skakande, olika frekens, så kommer de finna a om man skakar snabb så blir ulsen, eller åglängden, kor och om man skakar långsam så blir åglängden lång. Men oase ilken frekens de skakar med så kommer sridningshasigheen a ara densamma. Med andra ord, händelsen a röra sig uå srider sig längs maan med en iss hasighe som i kan kalla c, ågubredningshasighe. De känns naurlig a c beror å maans ik och hur hår A och B drar i maan, hur sor sänningen är. Är massan sor, ung maa, ransoreras ågen långsam. Är sänningen sor går ågen snabb. Den iniiella förskjuningen kommer a reeeras id en unk belägen en sräcka från A, och dea sker efer /c sekunder, de ill säga den id de ar för ågen a ubreda sig sräckan. De är ikig a inse a ingen massa ransoreras a ågen, ad som ransoreras är endas möjligheen ill rörelse. Massan i maan rör sig endas u och sedan ner igen. eemle med maan oan ar förskjuningen uå medan ågubredningen går mellan A och B, ilke är en ransersalåg. eemle med sången ar ågubredningen och förskjuningen rikad å samma håll, en longiudinalåg. Nedan isas eemel å hur harmoniska ransersal- och longiudinalågor kan se u. den öre figuren är åglängden, arikelförskjuningen w i y-led sam åghasigheen c markerad. den undre figuren är åglängden, arikelförskjuningen u i -led sam åghasigheen c L markerad. 4
w u Figur 3 Eemel å ransersalåg och longiudinalåg. Hur ska man då beskria ågubredningen? Vi åergår ill eemle med longiudinalågen i en sång. Vi beskre här förskjuningarna i en unk med u, där u både är en funkion a rumme och iden. u u 19 Om i nu iar i en secifik unk å sången, säg =, där i drier sången med en besämd förskjuning u dri så har i där endas en ariabel u, u dri Vi har idigare sag a ad som karakeriserar en åg är a rörelsen forsäer a srida sig med en konsan hasighe, som i kallar c. Vid en annan osiion = 1 å sången kommer därför samma idshisoria a inräffa som för driosiionen, men försena å grund a gångiden 1 /c. Vågformen förändras allså ine u, udri / 1 1 1 c Hel allmän, för en godycklig osiion, har då förskjuningen reduceras ill en funkion a en ariabel /c. Vi har dock missa a ågen i allmänhe kan gå både framå, i osii -rikning, som bakå, i negai -rikning. Allså behöer i lägga ill en bakågående åg, ilken kan beskrias med en ariabel + /c u u 1 / c u 1 / c 5
Oansående funkion kallas d Alembers lösning och är lösningen ill ågekaionen å den mes generella formen. Vi har sag a ågformen ine ändrar sig beroende å ar och när i berakar den, och a alla delar a ågen rör sig med samma hasighe. För en gien idshisoria id =, så kan man få ågformen, de ill säga mosarande -beroende id en gien idunk jämför med foografi, genom a öerföra arje förskjuning id =, ill -skalan med hjäl a hasigheen c, se figuren nedan. Funkionerna för förskjuningens -beroende och förskjuningens -beroende kommer då a bli segelbilder a arandra. Maemaisk kan man se dea som en konsekens a a - och -ermerna i argumene /c har olika ecken. u u u 1 u 3 Figur 4 ids- och rumsberoende för åg. Vi har nu förs härle ågekaionen och sedan resonera oss fram ill hur lösningen ill denna bör se u. Genom a säa in den anagna lösningen i ekaionen, så kan i se om den sämmer. För enkelhes skull anar i a i endas har en framågående åg, för bakågående åg gäller samma sak. Ana 6
u u / c u 1 u 1 u / c u / c c c u u u / c u / c 3 Här beyder deriaa med aseende å hela argumene, de ill säga u/ /c. nsa i ågekaionen ger dea 1 c E u u 4 och för a dea ska gälla så måse åghasigheen ara E c 5 ilke erkar rimlig, då e yngre medium ger en långsammare åg, medan e syare medium ger en snabbare åg. Harmoniska ågor Vi har nu isa a funkioner a formen u/c löser ågekaionen och a åghasigheen c besäms med hjäl a elasicieen och densieen. Ofa är de dock rakisk a begränsa sig ill harmoniska funkioner efersom arje godycklig funkion kan beskrias med hjäl a harmoniska funkioner. Vi anar nu a driningen är en harmonisk funkion u, u uˆ cos 6 dri dri Om i ill ha en lösning ill ågekaionen å denna form behöer i bara bya u mo /c. u uˆ dricos / c 7 Genom a införa en ny erm k, som i kallar ågal, kan skrisäe förenklas k / c u uˆ dri cos k 8 Vågale k har ydligen samma beydelse för rumsberoende som har för idsberoende. Vi skrier u de båda frekensermerna jäme arandra f 9 7
f k 3 c De leder ill e enkel samband mellan åglängd och frekens c f 31 Här är eriodid och åglängd. Figur 5. eriodid och åglängd. Andra ågyer i fasa maerial eemle med sången oan har i borse från ärkonrakionen. Om maeriale i sången är isoro med ärkonrakionsale får i korrigera ågekaionen ill u u E1 3 och åghasigheen blir då isälle 1 c E 33 Skjuågor å samma sä som med longiudinalågen oan kan man sälla u mosarande ågekaion för skjuågor. Som innan anänder man rörelselagen, fas nu i erikalled, och skjusänning isälle för normalsänning. Vågekaionen blir då w w G 34 8
där w är förskjuningen i ärrikningen 1 och G maeriales skjumodul. Den har samma lösning som oan, w w wˆ cos / c 35 med åghasigheen G c 36 För isoroa maerial är åghasigheen för ransersella skjuågor lägre än för longiudinella ryckågor efersom E G 37 1 Böjågor Vågekaionen för böjågor i balkar såäl som laor härleds med hjäl a elasiska linjens ekaion. Den skiljer sig från de oansående genom a den besår a fjärde rumsderiaan a förskjuningen isälle för andraderiaan som oan 4 w w B S 38 4 Där B är balkens böjsyhe, för rekangulär ärsni 3 bh B E E 39 1 och S är balkens ärsnisarea. en lång balk är ågekaionens harmoniska lösning w w wˆ cos k 4 ilke är samma som för longiudinella ågor. När man säer in lösningen i ågekaionen kan man lösa u åghasigheen c f som c f k B S Eh 1 4 4 41 Vad man kan obserera här är de ikiga resulae a åghasigheen är beroende a frekensen, ju högre frekens deso snabbare går ågen. Våghasigheens 1 Ofa anänder man sig a för a beskria ransersell förskjuning, men här saras den ill hasighe i longiudinell rikning. När de gäller åghasighe för böjågor måse man skilja man mellan fashasighe c f och gruhasighe c g. Den förra anger hur snabb informaion i ågen fasen forlanar sig, medan den senare hur energin forlanar sig. De förhåller sig så a c g = c f 9
frekensberoende kallas disersion och sambande oan kallas disersionsrelaion. För de idigare nämnda ågyerna är ju åghasigheen samma oase frekens. Vidare kan man obserera a om frekensen går mo oändligheen, ilke är fysikalisk möjlig, så går hasigheen också mo oändligheen, ilke ine är fysikalisk möjlig då informaion ine kan färdas snabbare än ljuse. Dessförinnan säer dock eorin begränsningar i a anagandena hos balkeorin som ligger ill grund för elasiska linjens ekaion ine längre gäller. Våglängden, som ska ara beydlig längre än balkens jocklek, minskar med högre frekens. Endimensionell ågubredning i fluider De fenomen man framför all behandlar i akusiken är ågubredning i fluider, nämligen ljudågor i luf. Med fluider menar man medier som ine ar u skjusänningar, de ill säga gaser och äskor. Således gäller de ekaioner som i kommer a a fram här både för ljudubredning i luf och i aen. För a hia ågekaionen skär i u en infiniesimal srimla a fluiden, frilägger denna, säller u rörelseekaionen och ser ad som händer. Fluidelemene har längden d. Vidare har i en massa er olymsenhe, de ill säga densie. å den ena sniyan erkar e ryck = F/S och å den andra erkar samma ryck lus en iss förändring a denna, + d + /d. Förskjuningen a den änsra sniyan beecknas med ibraionshasigheen gånger e lie idsillsko d, så u = d, medan förskjuningen a den högra sniyan beecknas +/dd. De bör här åekas a med ibraionshasighe så menar i den del a fluidens hasighe som flukuerar, i ar allså ine med de konsana flöde från eemelis ind, fläkar eller srömmande aen. d +/d d +d +/dd Figur 6. Fluidelemen med jockleken d. Vi säller u rörelseekaionen för fluidelemene F F F d ma 4 Vi anänder ryck isälle för kraf, så: 1
S S d S ma 43 Om d är mycke lie så kan i ana a massans förskjuning kan beskrias enbar med u eller d: m S d 44 a 45 Rörelseekaionen kan nu förenklas ill 46 För a komma idare behöer i nu yerligare en ekaion som kan relaera kraferna med förskjuningarna. falle med en sång anände i Hookes lag. När de gäller fluider, eller åminsone om i begränsar oss ill gaser, så får i anända den allmänna illsåndslagen för gaser. falle med äskor kan man hia mosarande samband, som i dock ine ar u här. Vi börjar dock med a beskria förändringen i ibraionshasigheen i relaion ill öjningen: u 47 Hookes lag har sänningen s och öjningen samma ecken. Dea beror å a dragning är osii sänning medan ryck är negai. Mosarigheen ill Hookes lag i luf måse därför ha negai ecken. Vi kan då skria: D 48 där D är bulkmodulen eller olymsyheen. Vad i nu behöer är e uryck för denna. Från fysikkursens asni om gasfysik känner i ill a allmänna gaslagen id adiabaisk 3 komression kan skrias som V konsan 49 där är ryck, V är olym och är koen mellan ärmekaacieerna = C /C. För åaomiga gaser, som luf, är = 1.4. Vi anänder här sor boksa för rycke. Dea beror å a de här handlar om de oala rycke, som är ubygg ae konsan amosfärsryck sam e ibraionsillsko som i är inresserade a, = +. Vi logarimerar och derierar nu gaslagen för a få e anändbar uryck. 3 En adiabaisk illsåndsförändring beyder, som ni e från fysikkursen, a rocessen sker uan ärmeransor eller ärmeförluser, de ill säga förlusfri i år fall. Då man ill a hänsyn ill förluser, som i absorbener, änker man sig isälle isoerma illsåndsändringar, V=konsan. 11
1 lnkonsan ln ln lnkonsan ln ln lnkonsan ln V V V V V 5 idsdifferenialen d finns i alla led och kan därför förkoras bor. Vidare kan i aroimera de båda andra differenialerna d och dv med differenser V V V V 51 Man kan nu se a = = och a V/V. Således har i 5 Som en sisa aroimaion anar i a man för små ryckförändringar kan ersäa de oala rycke i nämnaren med de konsana amosfärsrycke 53 Vi flyar om så a i kan idenifiera bulkmodulen D 54 Om i kombinerar ekaion 47 med idsderiaan a ekaion 54 så får i den andra fälekaionen 55 Om i soar in ekaion 55 i 46, så har i sluligen ågekaionen för en longiudinalåg i luf i en äskeåg får i anända en annan bulkmodul D: 56 Som innan kan i skria ågekaionen för den fälariabel som i ill anända i arje secifik fall. Dessa skrier i dock ine u denna gång. Ur ekaion 56 kan i idare idenifiera åghasigheen: 1 c
c 57 För luf kan i nu lä beräkna åghasigheen. Lufens densie är = 1.18 kg/m 3 id C och normal amosfärsryck som är = 1.131 5 a. Konsanen som relaerar ärmekaacieerna för konsan ryck och konsan olym, är =1.4 för åaomiga gaser som luf. Således är ljudubredningshasigheen för luf: 5 1.4 1.131 c 347 m/s 58 1.18 Lufens densie är dock beroende a emerauren, så om man ill ara noggrann får man modifiera formeln för ljudhasigheen: c 1 331.41 73 73 59 där denna gång är emerauren i grader Celsius. Vanligis räknar man dock med c = 34 m/s, ilke mosarar 18-19C. Om i har en allmän fluid får i isälle anända bulkmodulen D c 6 För söaen id C är bulkmodulen D =.181 9 a. Som idigare kan man anända andra fälariabler än rycke i ågekaionen, ill eemel arikelhasigheen 4. Vanligen beskrier man ljude med rycke, men arikelhasigheen anänds också ilke i snar ska se. Harmonisk lösning ill ågekaionen i luf En harmonisk lösning ill ågekaionen i luf uryck i ryck är ˆ cos k 61 för en åg som forskrider i osii -rikning, eller uryck i komle form ˆ e i k 6 Om man ill a reda å ad arikelhasigheen är kan man anända rörelseekaionen 4 Var obseran å a arikelhasigheen = u/ skiljer sig från åghasigheen c. Den förra är hasigheen i arje ögonblick för fluidelemene eller arikeln som befinner sig id och den senare är hasigheen med ilken ågrörelsen ubreder sig. 13
ik 1 e i i k 1 1 d 1 e c i k ik e i k d 63 Dea är e ikig resula och konsanerna framför urycke brukar få en egen beeckning. Vi definierar därför den secifika akusiska imedansen Z, eller ågimedansen, som koen mellan de komlea rycke och den komlea hasigheen i den framåskridande ågen: Z 64 medansen är i allmänhe en komle sorhe och innehåller allså både amliud och fas. För en endimensionell åg som färdas i osii -rikning blir Z Z en reell sorhe Z c 65 För en åg som forskrider i negai -rikning kan man isa a imedansen blir Z c 66 medans kan beskrias som e mosånd ill rörelse, en hög imedans i medie innebär a de kräs e hög ryck för a åsadkomma en iss arikelhasighe. Mekanikens mosarighe ill imedansen är syhe, allså kraf genom förskjuning eller mosånd mo deformaion. Vi kan också se de som en öerföringsfunkion som diskuerades i asnie om SDOF. Vid ljudöergångar mellan olika medier är de förhållande mellan mediernas imedanser som agör hur mycke a ljudenergin som ransmieras in i de nya medie och hur mycke som reflekeras. Vid C och normal lufryck och inge anna anges brukar man räkna med imedansen för luf Z luf = 415 as/m och för söaen Z söaen = 1.481 6 as/m. För fasa maerial brukar man isälle anända sig a mekanisk ågimedans, som definieras F Z 67 Ljudrycksniå Vid rakiska ändamål är de osmidig a anända ryckamliuden ˆ som må å ljudsyrkan. De är anlig inom signalområde anända effekiärde för ryckfunkionen isälle, 14
~ 1 d 68 Där ~ kallas effekiärde eller rms-ärde roo-mean-square roen ur idsmedelärde a rycke i kadra. För en eriodisk signal, ilke i kan ugå ifrån i akusiska sammanhang, så gäller a ~ = ˆ. ne heller dea är så rakisk smidig efersom ljudrycke har så sor sännidd. Därför införde man idig måe ljudrycksniå som definieras som ~ ~ 5 1log log L där 1 a ref 69 ref ref L sår för ljudniå och inde indikerar a de är ljudrycksniån, ill skillnad från andra som isas senare. regel säger man lie korare ljudniå och då är de underförså a de är ljudrycksniån som ases då denna är anligas anänd. Enheen för ljudniå är decibel, db. Ljudinensie och ljudeffek Ljudinensieen definieras som ljudenergi er idsenhe som asserar genom en areaenhe inkelrä mo ubredningsrikningen. Från grundkursen i mekanik får i urycke för effek i arje ögonblick som F 7 där är ljudeffeken i W, F är krafen som erkar å areaenheen och är arikelhasigheen. Ljudinensie är allså effek er areaenhe d 71 ds S om energin är jämn fördelad öer yan S. Vi kan skria den momenana ljudinensieen som 7 recis som med ryck och hasighe är de mer anändbar med idsmedelärde a ljudinensieen 1 d 73 idsmedelärde a effeken om energin är jämn fördelad öer S är 15
S d 74 Om i begränsar oss ill en endimensionell ågrörelse som färdas i osii -rikning så kan i skria rycke och arikelhasigheen å komle form enlig och e ˆ i k 75 e ˆ i k ˆ e c i k 76 Då blir idsmedelärde a inensieen i en akuell unk 1 1 1 d c 1 d ~ c 77 där ~ är ryckes effekiärde. recis som man kan definiera ljudrycksniå definierar man också ljudinensiesniå enlig L 1log där 1 1 W/m ref 78 ref Där är absolubeloe a ljudinensiesniåns idsmedelärde. ref är referenssorheen för ljudinensie. De går äen a å mosarande sä definiera ljudeffeksniån som 1log 1 L där 1 W ref 79 ref 16
Vikiga formler Rörelseekaionen i fluider och fasa medier är Vidare gäller för fluider sambande mellan ryck och arikelhasighe För fasa medier har i mosarande samband mellan kraf och förskjuning u F ES Vågekaionen för longiudinella ågor i en dimension uryck i ljudryck är 1 c där c är ubredningshasigheen för ryckågen i luf, = 1.4 och är amosfärsryck. fasa medier är ubredningshasigheen för longiudinella ågor c E. Äen arikelförskjuning, arikelhasighe, öjning eller kraf kan anändas isälle för ryck som fälariabel i ågekaionen. Den allmänna lösningen ill ågekaionen är / c / c Den harmoniska lösningen å ågekaionen å komle form för fysikalisk olkning, a realdelen a resulae är ˆ e i k ˆ e i k där ˆ och ˆ är ryckamliuderna för ågorna som ubreder sig i osii resekie negai rikning. är inkelfrekensen och k c är ågale. De ger c f Secifik akusisk imedans definieras som Z För en framåskridande åg i luf endimensionell ubredning i osii -rikning blir den secifika akusiska imedansen 17
18 c Z För skjuågor kan man urycka ågekaionen med den ransersella förskjuningen w w G w där G c För böjågor i balkar och laor blir ågekaionen i en dimension 4 4 w S w B där 1 3 bh E B för rekangulär ärsni och ubredningshasigheen fasens 4 S B k c f Ljudenergi resekie ljudinensie är S F Uifrån ljudrycke definieras ljudniån som a 1 där ~ 1log 5 ref ref L Ljudeffekniå och ljudinensiesniå beräknas uifrån resekie idsmedelärde enlig ref L log 1 och ref L log 1 där ref = 1-1 W och ref = 1-1 W/m. idsmedelärdena är d S och d 1 För en åg som forlanar sig i osii -rikning gäller a c ~.
Ugifer Om inge anna anges gäller för luf: c = 34 m/s och c = 415 as/m. 1. En on med frekensen f = 5 Hz ubreder sig i luf. Beräkna a inkelfrekensen. b eriodiden. c åglängden. d ågale k.. Ugå från följande maerialdaa. Ämne/maerial Densie [kg/m 3 ] E-modul / Bulkmodul [a] Luf C 1.18 141 3 Söaen C 998.181 9 Sål 78 1 9 Beong 3 61 9 rä i fiberrikningen 5 11 9 abell 1 Densie och syhe för olika ämnen/maerial. Besäm åghasighe och imedans Z = / för fluider, resekie Z = F/ för fasa medier för ågor i följande medium: a Luf id C, b Luf id C, c Söaen id C. d Sål, longiudinell åg i cirkulär sång med diameern 5 mm. e Sål, kasilongiudinell åg ärkonrakion försummas ine, =.3 i samma sång. f Sål, skjuåg i samma sång. g Longiudinell åg i räelare med ärsnismå 1515 mm. h Beong uan armering med ärsnie 44 mm. 19
3. Visa a den komlea ryckfunkionen e ˆ i k ufyller den endimensionella ågekaionen i luf genom a säa in i 1 c 4. Våghasigheen för en ransersell åg i en sräng är 1 m/s. Vi änker oss en ickeharmonisk åg. Den ransersella förskjuningen id osiionen = är u, =.1-3 m när iden är mellan < < 1 s, och för alla andra idunker är u, =. a Ria förskjuningen som en funkion a iden id osiionen =. b Ria förskjuningen som en funkion a läge id iden = 1 s. ledning: anänd d Alembers lösning för a urycka förskjuningen å formen u c Vad är de maemaiska urycke för förskjuningen som en funkion a iden id läge = 1 m? Vad är förskjuningen id denna osiion id idunkerna = 1, = 1.5 och = 3 s? d Hur sor är den ransersella hasigheen id = 1 m och = 1.5 s? e Hur sor är srängens luning id = 1 m och = 1.5 s? 5. För en lan åg som färdas i osii -rikning är Z + = c. Anänd Newons rörelselag och beräkna Z - för en lan åg som färdas i negai z-rikning. 6. Ljudinensie och resekie idsmedelärde för en lan åg definieras som 1 och d och ljudinensiesniån som L 1log ref där ref 1 1 W/m Besäm uifrån dea e samband mellan ljudrycksniå L och ljudinensiesniå L. Ana en osii åg och rumsemeraur. Vad händer om man råkar blanda iho de båda?
7. En kol i änsra änden a e ihålig rör id = sänger med en förskjuning som funkion a iden u uˆcos, däruˆ. 1 mm och = 8 rad/s. En ljudåg srids i röre, som har en ärsnisarea är S =.1 m och kan anas oändlig lång. a Besäm för den endimensionella ågen som forlanas i röre uryck å komle form. Hur sor är hasighesamliuden? b Besäm, de ill säga den komlea ryckfunkionen för ågen. c Besäm ljudniån i röre. d Besäm idsmedelärde a ljudinensieen för ågen. e Besäm ljudeffeken som sänds u a kolen in i röre. 8. En cirkulär sålsång med diameern 5 mm åerkas a en driande kraf i ena änden i där = så a F, Fdri, Fdrie, där F dri = 1kN och = rad/s. Krafen orsakar en forskridande åg i -rikningen. Besäm a b c u d e Besäm Z sål uifrån resulae i d. 1
Sar 1. a = 314 rad/s b = ms c =.68 m d k = 9.4 rad/m. a c = 344 m/s Z = 45 as/m b c = 331 m/s Z = 48 as/m c c = 148 m/s Z = 1.481 6 as/m d c = 56 m/s Z = 77.61 3 asm e c = 483 m/s Z = 74.1 3 asm f c = 314 m/s Z = 48.11 3 asm g c = 447 m/s Z = 34.91 3 asm h c = 336 m/s Z = 1.41 6 asm 4.
c.1 u1, u1,1 u1,1.5.15 u1,3 1 1 3, 1 annars [m] d 1,1.5 =.5 m/s e 1,1.5 = -.5 rad 6. L = L.16 db, allså försumbar skillnad! 7. a b.96 e 38.9 e i k i k m/s a c L 13 db d 1. 87 W/m e 18. 7 W 8. a 59 e b.55 e i k i k ka srain c d u.64 e 1.9 e i k i k mm mm/s e Z = 77.61 3 asm 3