Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt i mtten, återkommer vi till senre. Funktioner v tyen y = 2 eller y = 000,08, där är eonent, klls eonentilfunktioner. Denn funktionsty är vnlig när mn vill eskriv förändringsförlo där en förändring el tiden estår v en konstnt rocentsts. Ett eemel å dett är kitltillvät å ett srkonto. Allmänt kn en eonentilfunktion skrivs å formen y = C där C oc är reell tl oc > 0. (Ilnd för mn in ytterligre en konstnt, oc skriver k y = C Beroende å :s värde, får grfen olik utseende, vilket frmgår v ilden. Smtlig vildde funktioner r C-värdet, vilket inneär tt de skär y-eln i unkten (0;) Lägg märke till tt > resulterr i en vände (y-värdet ökr ständigt) funktion, medn 0<< resulterr i en vtgnde funktion. Eonentilfunktioner kommer l.. till nvändning vid rolem liknnde dett: Du sätter in 5000 kr å ett nkkonto. Räntn är 4 %. Hur mycket r du å kontot efter 0 år. Svret fås med jäl v följnde eräkning. 5000,04 0 = 740 kr. Vill mn sedn t red å när kitlet vuit till 0000 kronor måste mn kunn lös ekvtionen 5000,04 = 0000, där vänstr ledet är en eonentilfunktion. Mn kn lös ekvtionen grfiskt, men för tt lös ekvtionen lgeriskt, krävs ytterligre kunsk om logritmer. (Bendls längre frm).
Eonentilfunktionens derivt Det är knske lite komlicert tt komm frm till deriveringsregler för eonentilfunktionen. Det är då r tt komm iåg, tt det mång gånger är mycket svårre tt komm frm till en regel, än tt sen tilläm dem. Derivtn v f( ) = 2 Om mn ärleder derivtn för eonentilfunktionen f( ) = 2 genom tt teckn ändringskvoten f( + ) f( ) kommer mn efter någr steg frm till tt ändringskvoten är lik med 2 2 Uttrycket 2 kn inte förenkls. Om mn undersöker vd som änder med dett uttryck då 0, visr det sig, tt uttrycket närmr sig ett estämt värde 0,693... Det etyder lltså tt funktionen f( ) = 2 r derivtn f ( ) 0,693 2. Lägg märke till tt också derivtn inneåller fktorn 2, vilket inneär tt även derivtn är en eonentilfunktion. Det end som skiljer f( ) oc f ( ) är konstnten 0,693. Om du ritr funktionen f( ) = 2 å grfräknren, oc därefter ritr även funktionen f ( ) 0,693 2 i smm koordintsystem, ser du tt kurvorn r smm form, men derivtns grf ligger lite under själv funktionens grf. Derivtn v f( ) = I eemlet ovn estämdes derivtn för en viss eonentilfunktion f( ) = 2, men sk vi komm frm till en deriveringsregel för eonentilfunktioner, måste regeln nturligtvis vr generell, dvs den måste gäll för ll eonentilfunktioner. Vi utgår därför från eonentilfunktionen f( ) =, oc tecknr ändringskvoten för den. I nlogi med eemlet ovn lir ändringskvoten. Om mn undersöker vd som änder med dett uttryck, för någr olik värden å, när 0 utäcker mn tt för vrje värde å närmr sig uttrycket ett estämt värde då 0. Om vi kllr det värde, som uttrycket närmr sig då 0, för k r vi kommit frm till följnde. Eonentilfunktionen f( ) = r derivtn f ( ) = k. Derivtn v f( ) = C åt Vi generliserr uttrycket för eonentilfunktionen ytterligre, genom tt inför ännu en kostnt C, oc skriver eonentilfunktionen så är: f( ) = C. Denn konstnt kommer inte tt våll oss något ekymmer. Allmänt gäller tt funktionen C f( ) r derivtn C f ( ) säg konstnten med. Det etyder tt funktionen f( ) = C r derivtn f ( ). Vid derivering följer så tt Derivtn v f( ) = e Betrkt återigen eonentilfunktionen f( ) =, som r derivtn f ( ) = k. (Vi lämnr konstnten C därän så länge). Enligt ovn är k lik med det värde som 2
uttrycket närmr sig då 0 oc därför skulle det vr r om k fick ett enkelt värde då 0 vi vill därför tt uttrycket då 0 villkor sätter vi uttrycket lik med dvs =. Om mn löser ut ur dett uttryck får mn = ( + ) Om vi nu låter 0 går uttrycket mtemtiken tt det r fått ett eget nmn. Tlet klls för e.. Mn vill ju tt en deriveringsregel sk vr så enkel som möjligt,. Ett mycket enkelt värde är, oc. För tt t red å vilket värde å som ufyller dett ( + ) 2,782... Dett tl 2,782...är så viktigt i Alltså: Om vi i eonentilfunktionen f( ) =, låter få värdet 2,782...dvs e får vi funktionen f( ) = e. Denn funktion r derivtn f ( ) = e eller enklre f ( ) = e Genom tt inför tlet e som förändringsfktor i eonentilfunktionen r vi lltså ittt en eonentilfunktion vrs derivt är identisk med funktionen!!! Logritmer Vårt tlsystem är sert å tlet 0, oc därför är det viktigt tt kunn skriv tl som otenser med sen 0. Definitionen v tio-logritm lyder: Med tio-logritmen (lg) för ett ositivt tl, mens eonenten, när tlet skrivs som en otens med sen 0. Med mtemtisk symoler skrivs dett lg = 0 Eftersom tlet e är mycket viktigt i mtemtiken, eöver vi även kunn skriv tl som otenser med sen e. Vi inför därför ytterligre en ty v logritm, som klls den nturlig logritmen, oc som r eteckningen ln. Definitionen v den nturlig logritmen är elt nlog med definitionen v tiologritm: Med den nturlig logritmen (ln) för ett ositivt tl, mens eonenten, när tlet ln skrivs som en otens med sen e. Med mtemtisk symoler skrivs dett = e. Mn kn komletter definitionen v tiologritm med en mer mtemtisk definition enligt följnde: Vrje tl > 0 kn skrivs som en tiootens, 0, dvs = 0. Tlet klls logritmen för, vilket skrivs lg. Smndet kn då skrivs lg =. Dess två smnd = 0 () lg = (2) kn också formulers å ett nnt sätt. Om vi i först smndet ersätter med lg kn vi skriv I det ndr smndet ersätter vi med 0 oc skriver lg0 lg = 0 (3) (Smm som def. ovn) = (4) De två först smnden är själv definitionen v logritm, oc de två ndr är en direkt följd v definitionen. 3
Om vi gör å smm sätt med den nturlig logritmen får vi: Vrje tl > 0 kn skrivs som en otens med tlet e som s, e, dvs e nturlig logritmen för, vilket skrivs ln. Smndet kn då skrivs ln =. = () Dess två smnd e ln = (2) kn också formulers å ett nnt sätt. ln Om vi i först smndet ersätter med ln kn vi skriv = e (3) I det ndr smndet ersätter vi med e oc skriver ln e = (4) =. Tlet klls den Funktionen f( ) = ln Eftersom den nturlig logritmen kn estämms för ll tl > 0, är ln en funktion med definitionsmängden > 0. = (igen) Derivtn v f( ) Vi r tidigre slgit fst tt eonentilfunktionen f( ) = r derivtn f ( ) = k. Vilket är smndet melln förändringsfktorn oc konstnten k? Det går tt vis, vilket jg or över, tt k = ln I uttrycket för funktionens derivt f ( ) = k kn vi lltså ersätt k med ln oc får då f ( ) = ln. Funktionen f( ) = r lltså derivtn f ( ) = ln. Derivtn v f( ) = C (igen) Om vi även är lägger till konstnten C får vi funktionen f( ) = C. Eftersom enligt tidigre funktionen C f( ) r derivtn C f ( ), r funktionen f( ) = C derivtn f ( ) = C ln k Derivtn v f( ) = e (ln ) Funktionen f( ) = kn enligt definitionen v den nturlig logritmen skrivs f( ) e ln sin tur kn skrivs f( ) = med jäl v en v otenslgrn. Eftersom funktionen f( ) ln derivtn f ( ) = ln måste även funktionen f( ) f ( ) = ln. Om vi i smnden (ln ) ln =, som i = r = (som är smm funktion) derivtn f( ) = = e = () (ln ) ln f ( ) = ln = ln = ln (2) ersätter ln med k får vi k f( ) = () k f ( ) = k (2) Därmed r vi utvidgt deriveringsregeln för eonentilfunktion med sen e till tt omftt även det fll då eonenten inneåller en konstnt k. 4
Derivtn v f( ) = C e Som tidigre lägger vi till konstnten C oc får då k k Funktionen f( ) = C r derivtn f ( ) k Smmnfttning Funktionen f( ) = C r derivtn f ( ) = C ln k Funktionen f( ) = C r derivtn f ( ) k Logritmlgrn För åde tio-logritmer oc nturlig logritmer kn mn ärled s.k. logritmlgr. Jg går är inte närmre in å ärledningen, men logritmlgrn ser ut så är. Tio-logritmen Nturlig logritmen lg( y) = lg + lg y () ln( y) = ln + ln y () lg = lg lg y (2) ln ln ln y y y = (2) lg = lg (3) ln = ln (3) = lt ln ln Anm: Vid rolemlösning kommer oft den tredje lgen, lg lg =, till nvändning i smnd med rolem som leder till s.k. eonentilekvtioner. En eonentilekvtion är en ekvtion där den oeknt är eonent. Vilken v de två logritmern mn nvänder när mn löser en eonentilekvtion selr ingen roll. 5