90 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10. Tillämpningr v integrler 10.1. Riemnnsummor I det här vsnittet sk vi se hur integrler nvänds för tt beräkn re v en pln t, volm v rottionskroppr, längd v en kurv, re för ett vinkelområde smt re v en rottionst. Innn dess tr vi och tittr på definitionen v själv integrlen på ntt. Antg tt f är en icke-negtiv och begränsd funktion på [,b]. Vi hr definiert följnde steg: 1. Del in intervllet [,b] i n delintervll vi = 0 < 1 < 2 < < n = b. 2. Låt Φ n och Ψ n vr en undertrpp resp. övertrpp till f, dvs φ n = m k = f() M k = Ψ n, för [ k 1, k ]. Låt k = k k 1. Då får vi en f()d genom undersumm = Φ n ()d = M k k = m k k Ψ n ()d = översumm. 3. Vi förfinr nu indelningen, dvs låter n. Om undersummn och översummn hr smm gränsvärde säger vi tt f är Riemnnintegrerbr med integrlen definiert enligt lim n Φ n ()d = lim n = lim n m k k = Ψ n ()d = lim f()d n M k k. f()d
10.1 Riemnnsummor 91 Om vi nu lägger en trpp melln under- och övertrppn, dvs φ n = m k f(c k ) M k = Ψ n, för något c k [ k 1, k ], så får vi en Riemnnsumm f(c k ) k som ligger melln undersummn och översummn, dvs m k k Av instägningsstsen följer nu tt f(c k ) k M k k. lim n f(c k ) k k = f()d. Figur 10.1. = f() f(c k ) A k = f(c k ) k c = k k+1 =b 0 k n Sts 10.2. Om f är kontinuerlig på [,b] och om f(c k ) k är en Riemnnsumm till f på [,b], så gäller tt f(c k ) k då indelningens finhet k 0, dvs n. f()d
92 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10.2. Are melln två funktionskurvor Definition 10.3. Om f är kontinuerlig och icke-negtiv på [, b], så definiers ren A v den t som begränss v kurvn = f(), b, -eln och linjern =, och = b v A = f()d. Anmärkning 10.4. Are elementet da är ren v en oändlig tunn skiv med bredd d och längd f(), dvs da = f()d och = f() A = da = f()d. f() da d b Anmärkning 10.5. Om g() f() i intervllet b, så hr det pln området melln = f() och = g(), b, och linjern = och = b ren A = (f() g())d. b = g() = f() d
10.3 Volm v en rottionskropp. Skivformeln 93 10.3. Volm v en rottionskropp. Skivformeln Antg tt f() 0 för b. Låt tn som begränss v kurvn = f(), b, -eln och linjern =, och = b roter ett vrv kring -eln vrvid en rottionskropp K uppstår. Figur 10.6. = f() K b Problem: Vi vill beräkn volmen V v K. Idé: Skiv upp K, vinkelrät mot -eln, i n stcken små skivor med tjocklek k, dvs gör en indelning v [,b]. Tvärsnittsren A( k ) för vrje snitt är då pproimtivt ren v en cirkel med rdie f( k ), dvs A( k ) = πf 2 ( k ). Volmen V k v en sådn skiv är pproimitivt volmen v en clinder med rdie f( k ) och tjocklek, dvs V k = A( k ) k πf 2 ( k ) k. Figur 10.7. f( k ) K V k k 1 k k
94 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER Volmen v ll skivorn är en Riemnnnsumm V k πf 2 ( k ) k. Om indelningen v [,b] görs llt finre, dvs tlen k 0, k, bör hel kroppens volm V fås vi Definition 10.8. Volmen V v den kropp, som uppstår då tn melln kurvn = f(), b, -eln och linjern =, och = b roterr ett vrv kring -eln definiers V = π f 2 ()d. Anmärkning 10.9. Volmelementet dv ges v dv = A()d = πf 2 ()d och därmed är volmen V = dv = A()d = π f 2 ()d. Figur 10.10. K f() dv b d
10.3 Volm v en rottionskropp. Skivformeln 95 Eempel 10.11. Beräkn volmen v den kropp som uppkommer då området melln - eln och kurvn = cos, 0 π, roters ett vrv kring -linjen. 2 Lösning: 1 = cos π/2
96 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10.4. Volm v en rottionskropp. Rörformeln Betrkt tn som begränss v = f(), b, -eln och linjern =, och = b. Vi låter nu tn roter ett vrv kring -eln vrvid en rottionskropp K uppstår. Figur 10.12. = f() K = 0 b Problem: Vi vill beräkn volmen V v K. Idé: Del in tn i strimmor genom tt skär den med lodrät linjer genom punktern och +. En sådn strimm är pproimtivt en rektngel med höjden f() och bredden. Då denn strimm roterr kring -eln, genererr den en ringformd kropp med inre rdie och ttre rdie +. Figur 10.13. +
10.4 Volm v en rottionskropp. Rörformeln 97 Ringens volm är då V = π( + ) 2 f() π 2 f() = 2πf() + πf()( ) 2 2πf(). Observer tt vi hr utnttjt tt ( ) 2 är försummbrt jämfört med då är mcket litet. Volmen v dess ringformde kroppr är en Riemnnnsumm. Låter k 0 får vi V V = 2π f() 2π f()d, då 0. Definition 10.14. Volmen V v den kropp, som uppstår då tn melln kurvn = f(), b, -eln och linjern =, och = b roterr ett vrv kring -eln definiers V = 2π f()d. Figur 10.15. f() dv d K
98 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER Eempel 10.16. Beräkn volmen v den kropp som uppkommer då området melln - eln och kurvn = cos, 0 π, roters ett vrv kring -linjen. 2 Lösning: Figur 10.17. 1 = cos π/2
10.5 Kurvlängd 99 10.5. Kurvlängd Nedn kommer vi tt beräkn längden hos tre olik tper v kurvor. Vi kommer tt beteckn en kurv med Γ (den grekisk bokstven gmm). 1. Funktionskurv: Γ : () = f() b. (10.2) 2. Kurv på polär form: Γ : { = r(θ)cos θ = r(θ)sinθ α θ β. (10.3) 3. Kurv på prmeterform: Γ : { = (t) = (t) α t β. (10.4) Eempel 10.18. Prmeterkurvn (10.4) är den mest llmänn, t en 1. kurv på polär form (10.3) är redn på prmeterform som krktärisers v tt vrje punkt ((θ),(θ)) på kurvn ligger på ett vstånd 2 (θ) + 2 (θ) = r 2 (θ)cos 2 θ + r 2 (θ)sin 2 θ = r 2 (θ) = r(θ) från origo. 2. funktionskurv = f(), b kn prmetrisers vi { = t t b. = f(t) Problem: Vi vill beräkn längden s v Γ. Idé: Del in Γ i n stcken kurvelement. Längden s v ett sådnt element kn pproimers med längden v linjestcket enligt Pthgorssts s ( ) 2 + ( ) 2. Förfinr vi nu indelningen får vi bågelementet ds: ds = (d) 2 + (d) 2. Summn v längdern v dess n kurvelement är en Riemnnsumm som vid förfining v indelningen ger längden s v Γ: s ds, s 0, d.v.s. n. Γ
100 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER Γ Definition 10.19. Längden s v en kurv Γ ges v s = ds. Γ (t+ t) (t) P s Q =(α) (t) (t+ t) b=(β) Eempel 10.20. Vis tt om Γ är en 1. funktionskurv så är bågelementet ds = 1 + f () 2 d. 2. kurv på polär form så är bågelementet ds = r 2 (θ) + r (θ) 2 dθ. 3. prmeterkurv så är bågelementet ds = (t) 2 + (t) 2 dt. Lösning:
10.5 Kurvlängd 101 Eempel 10.21. Räkn ut längden v kurvn ) r(θ) = 1 cos θ, 0 θ π, b) = e + e, 0 1. 2 Lösning: Figur 10.22.
102 10 TILLÄMPNINGAR AV INTEGRALER 10.6. Are på polär form Problem: Vi vill beräkn ren A v det pln område, som begränss v kurvn r(θ), α θ β, och strålrn θ = α och θ = β. θ r(β) r(θ + θ) r(θ) θ/2 θ r(α) r(θ) r(θ) α Betrkt det tringelliknnde område, som begränss v kurvn och de strålr som svrr mot vinklrn θ och θ + θ. Dett är en likbent tringel med sidn r(θ). Bsen i denn tringel är 2r(θ)sin θ 2 2r(θ) θ 2 = r(θ) θ för små θ. Vidre är höjden r(θ)cos θ 2 r(θ). Om A betecknr ren v tringelområdet, så är A = 1 2 r2 (θ) θ. Genom tt del in området i tringelområden med reor A och summer får vi A A 1 r 2 (θ) θ. 2 Den sist summn är en Riemnnsumm och låter vi θ 0 erhåller vi Definition 10.23. Aren v ett område som begränss v kurvn r(θ), α θ β, och strålrn θ = α och θ = β ges v A = 1 2 β α r 2 (θ)dθ.
10.6 Are på polär form 103 Eempel 10.24. Beräkn ren v området innnför kurvn r(θ) = 1 cos θ, där 0 θ π. Lösning: Figur 10.25. r(θ) dθ r(θ) = 1 cosθ