Kapitel 8 9 b A Sök öjden: sin 8,, cm (,7968),, A cm cm Se viktigruta i eempel s. >. Den undre vinkeln u är tan, 8 u + v är tan v,8 9, v 9 y sin7 y sin7, Pytagoras:, P (,;, ) Q? Samma metod som i. Kalla den längre kateten för b oc ypotenusan, dvs. den sökta sidan, för c. 8 tanv b Givet: tanv, 8 b, b 9, Pytagoras: 8 + 9, c c,8 cm 6 7 Dela upp pentagonen i likbenta trianglar med basen 7, cm oc öjden. Arean av en sådan triangel är 7 Söker : Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Toppvinkeln i de likbenta trianglarna är 6 / 7. Det ger att sidorna cm vardera, cm,8 cm tan6 Vi får:,,8 A cm 8 cm Se viktigruta s.. cm c + + ( ) c cm b A cm, cm sin, cos, + sin6 tan6, cos sin + + 6 Se viktigruta s. Diagonalen > 7 Se viktigruta s. 7 cm alva sidan Kort katet Hypotenusan c 7 cm 7 7 + cm cm 8 Båda är rätt ty 9 Utgå från enetscirkeln > v oc u 8 v 8 Se viktigruta s. 9. Två vinklar: oc 8 ( ) Se viktigruta s. 9. Två vinklar: oc. a är -koordinat, b är y-koordinat. Enetscirkeln ar radien l.e. b c) b a a b a d) a a Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
- 6 sinv sin(8 v) sin(8 ) sin( ), cosv cos( v) cos( ) cos sin / c) tan cos / 7 sin, cos sin cos sin6 cos6, >, + + +, oc c) Se facit 8 Höjden över marken kan tecknas m + sin6 m 6 m På samma öjd då v. Förflyttning: 6 πr m m (,) 6 9 cosv a sin( v) b b tanv a b a b a b b b a a 6 Använd areasatsen. Mellanliggande vinkel,8. Sidorna är m oc 8 m (skissa!). Den motstående sidan till den minsta vinkeln måste vara den kortaste. 8 sin,8 A m 8m 7 Dela parallellogrammen i två delar. Använd areasatsen: A, 7, sin cm,cm A cm 8-9 Likformiget: Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Förållandet mellan AD oc AB är lika med förållandet mellan AE oc AC>, 7,, AC AC, cm Vinkeln BAC 8 8 Areasatsen:, sin A cm, cm Areasatsen: aa sinv a sinv A I en liksidig triangel är alla vinklar lika stora, dvs. 6. Vet att sin 6. Skissa figur. Sinussatsen 6 sin sin B B 8,8 eller 8 8,8 C 8 8,8 96, eller 8 (8 8,8 ),8 Areasatsen: 6 sin96, A cm 7cm eller 6 sin,8 cm cm A Sinussatsen: Areasatsen: s / s A sin B sin > B 7, eller B 8 7, Skissa triangeln. Den minsta vinkeln 7 ligger mellan sidorna som är respektive 9 cm. Sinussatsen: sinv sin7 Ekvationen ovan ar två lösningar v, eller v 8, Eftersom den sökta vinkeln är trubbig får vi v 8 > c 7 eller Skissa figur. Vinkeln C 8 6 Sinussatsen: AC 6 sin sin AC, 7 cm Höjden vinkelrät mot sidan AB. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
sin6 AC, cm 6 Sinussatsen: sin A sinc BC AB ABsin A sinc BC Vid rätvinklig triangel: BC sin A BC c sin A c Studera motsvarande figur på s.. Två fall då c sin A < BC < c Ett fall då BC c sin A eller BC c 7 9 cos7 + + 6 moc 8m 9 sin7 sin B B, eller 8, C 8 7 B C, eller 9,7 9sinC AB sin7 AB 8 cm eller cm AC, + m m Cossinussatsen ger: 6 + 7 6 7 cos > v 6 6 d ( + 9 9 cos) mm d mm d ( + 9 9 cos8) mm d 8mm 6 ty v 8 cosinussatsen: d d d d cos + 9 7 Skissa figur. Givet: Resultanten R F+ F N v v + v + cosv + cosv v, 8 v 8, v 6 v Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
8 Förläng sidan m med 8 m på varje sida så att två rätvinkliga trianglar erålls. 8 sinv v, Sidorna som är m oc 7 m ar alltså en mellanliggande vinkel som är 9, 7,8. Cosinussatsen ger: d + 7 7 cos7,8 d m (,8) 9 Skissa figur. Utnyttja cosinussatsen för att beräkna den minsta vinkeln: + cos v Ledning. Utnyttja följdsats till randvinkelsats: Motstående vinklar i en fyrörning ar alltid summan 8 då fyrörningen är inskriven i en cirkel (se uppgift 6 i M c). A+ C 8 C 8 A + cos(8 ) cos A ( cos(8 A) cos A) cosa cos A cos A cos A 9cos A cos A 9 Kalla vinkeln vid väggfästet u. Ur figur: sinv sinu,, u 6,9 eller 8 6,9 v,6 Söker övriga vinklar: Sinussatsen ger sin, 6 sinu Den tredje vinkeln i triangeln (vid stag oc flaggstång): w 8 6,9, eller w 8 (8 6,9 ) 6,9 u 67,, 67 oc 9 från a-uppgiften: + cosc cos A Sök eakt värde på cos C. sin, s m, 8 m (, 8) sin sin6,9 s m, m (,) sin Övre triangel rätvinklig >, 6,8 A m,96 m Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 6
Pytagoras ger längden på den streckade linjen: d, + 6,8 m8,m Räkna fram vinkeln mellan sidorna som är 6, m oc, m: 8, 6, +, 6,, cos v 98, Areasatsen: 6,, sin98, A m,m A A+ A 9, m 6 Kalla sidorna, y oc z. Areasatsen: y sin 6 > y Vi ar nu ett ekvationssystem med två ekvationer oc två okända: + y 6 y Sätt in 6 y i ekvation oc lös ut y. Andragradsekvationen ar lösningen y 8 cm eller 8 cm. Vi får 8 cm eller 8 cm. Använd cossinussatsen oc beräkna den tredje sidan: z y y + cos z, cm Använd sinussatsen oc beräkna v: v 8 sin sinv, v,7 eller v 8,7 9, v 9 7 Se eempel. Cirkeln skär y-aeln då. y y + + + y + y y 6,9 y,9 Cirkeln skär -aeln då y. Lös ut med samma metod som i a-uppgiften. 6 Sätt oc lös ut y genom att lösa ekvationen y + 6y y,76 l.e y,76 l.e y y, l.e 7 8 Sätt in givna värden i cirkelns ekvation oc räkna ut r : Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 7
r ( ) + ( ) 9 9 ( ) + ( y ) 9 Se eempel. Kvadratkomplettering: + + + + + y 8y+ 9 ( + ) + ( y ) r 9 7 oc medelpunkt (, ) Sätt in linjens ekvation i ekvationen för cirkeln: 9 + + ( ) 9 6 6 9 + + + 9 Lös ut oc oc sedan y oc y. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 8
Kapitel 9...... 7 c)... ( ) d)... 6 ( ) a a b a b a b ab b 9 ab b b 9 8 + + 8 6 6 Nej, ty 77 77 9 77,, % (7 ) 9 6 7 ( ) ( 8 ) 6 ()... 8... ( ) + a a + 6a + a a 6a a + a + + 6... (9 ) (6 6 6 ) 6 8+ 6 6 + + + 7 8... 8 8 + 8 8 Konjugatregeln:... 7 Förenkla VL oc HL: Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
: 9 6 ( 9) VL + + + + 7 + + : ( ) HL + + + + + + + + 7 + + + + 8 6... ( ) ( + )( ) Konjugatregeln:... ( y + z )( y z ) c)... ( a ab + b ) d)... (9 6+ ) ( ) t (t 6t+ t ) ( t ) ( 6t+ t ) ( ) t+ + t + t 6 Se facit 7... a+ a b+ b a+ a b b ab... ( ) 6 + + ( ) 6 + 6 + 6 + 6 8 8 9 + 9 Ersätt med z : z ± 9 z 9, z, ± ±, 6... a + aa a( +... ( ) c)... bb n n + b n b n ( b n + ) 7... ( 8 + 6 ) + 8 8... ( y )( + y ) ( y)(+ y)( + y )... t(6t ) t(t )(t ) t(t )(t )(t ) + + + c)... ( )( ) + ( + )( + )( ) ( + )( + )( + )( ) + + + + ( )( )( )( )( ) 8 9 + 6 Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
a a+ c) ( ) ( ) a+ a+ + ( a + a+ ) a + a + a+ a + a + a+ d) ( a + + a a Den största eponenten bestämmer graden på polynomet. Den största eponenten erålls vid multiplikationen, dvs. polynomet får graden. -e) -c) Jämför lösning till 9. 6 a a d) 9 ( ) ( ) 6 + + + 9+ 6+ 6 + 6 6+ + + ( ) ( ) a+ a+ a + a a + a+ a a + a a + a+ T.e. p ( ) + ty Avläs i bilden: f () f () Sätt in i givet uttryck: (+ 6) 6+ 8 p () + 6 n är största eponenten. För att resultatet ska bli ett polynom av graden måste n -termen multipliceras med -n, ty n n n+ n 6 Bryt ut. Andragradsekvationen + ar dubbelroten. Vi får ( )( ), dvs. ekvationen ar rötterna oc (dubbelrot). Bryt ut 6 oc lös ekvationen,, oc, c) Bryt ut > är enda reella roten, ty +, ±, saknar reella rötter Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
d) Bryt ut. Andragradsekvationen ar lösningarna 7 oc. >, 7 oc. 7 Se lösning 6. Lösningarna nedan framgår av eempel oc viktigruta s 6. 6( )( +,) c) ( + ) d) ( 7)( + ) 8 Grafen skär -aeln då oc, dvs. polynomet ar nollställen då oc. Sätt in eller oc lös ekvationen + a > a 9 Ett sådant polynom saknar nollställen oc skär alltså inte -aeln. Skissa t.e. p ( ) + ( + )( ) + T.e. Lösningen framgår av eempel oc viktigruta s 6. ( )( + ) Bryt ut. Andragradsekvationen 6 7 ar rötterna 7 oc. Detta ger ( 7)( + ). ( )( ) ( 6+ 9) 6 + 9 T.e 6 + 9 Lösningarna nedan framgår av eempel oc viktigruta s 6. Andragradsekvationen 6+ saknar reella rötter > ( 6+ ) Bryt ut oc lös ut andragradsekvationen 8+ 7 Detta ger ( 7)( ) c) Bryt ut > + ( ) d) Bryt ut oc lös andragradsekvationen > ( )( + 8) ( )( + 8) 6 s s s s ss ( ) s (förkastas) s l.e Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
s 6s ss ( 6) s > s (förkastas) s (förkastas) s 6 l.e 7 Andragradsekvationen ar en dubbelrot, a, dvs. endast ett nollställe. Den tangerar då -aeln i en punkt. Se figur i facit för. 8 ab b b ab b + ab a b + a ( a aa ( a c) Förkorta parenteserna oc dela täljare oc ( ) nämnare med : ( + ) Förkorta parenteserna oc dela täljare oc ( + ) nämnare med : c) 9( + ) 6 ( + ) ( )(+ ) (+ ) (+ )( ) ( + ) ( ) - ( ) Nämnaren t.e. Givet uttrycket ar värdet 6 då : a 6 a 7 då. Polynomet 8 uppfyller detta villkor > 8 T.e. 7 Volymen som ar strömmat ut efter t minuter är V() Vt ( ),t + t t,t Den genomsnittliga utströmningsastigeten kan tecknas t,t Gt ( ),t t Notera att facit ar Gt ( ),t. Om man definierar flödet som positivt då tanken fylls får man ett negativt flöde då tanken läcker oc vattenmängden minskar. G (6), 6 l/min l/min. Se kommentar facit. 8 ( 7) ( + 7)( 7) (facit ar + i täljaren i första tryckningen). ( a 6a+ 9) ( a ) a a 6 ( a ) 6 Givet: nämnaren då > ( ) ( )( ) ( ) a a a+ a+ 6( a a+ ) 6( a ) ( a ) Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
c) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( )( + ) ( + ) ( ) ( ) d) (9 b ) ( b )( b+ ) ( ) b ( ) b ( ( b+ ) ( b+ ) ( ) b ( ) b ( b+ ) ( b ) 6 ( + 9)( 9) ( + 9) ( 9) c) d) ( ) ( ) ( )(+ ) (+ ) ( ( ( (+ (+ ( a )( a+ ) ( a+ ) aa ( ) a 7 8 Polynomets nollställe fås genom att lösa andragradsekvationen i täljaren:, > ( )( ) Bryt ut oc lös på samma sätt som i a- uppgiften: 9 Lös ekvationen i nämnaren > + ( )( + ) ( )( + ) ( + ) ( )( ) ( ) Observera dubbelroten! ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) aa ( )( a+ ) aa ( + ) ( a )( a+ ) ( a+ ) Faktorisera täljare oc nämnare: Sätt uttrycket i nämnaren lika med noll oc lös andragradsekvationen. Detta ger rötterna oc ( )( + ) Gör på samma sätt med täljaren. Rötterna kan a a skrivas: ± 8 Om : a a + 8 a a 8 a a a + 8 a 8 a 6 7 a ( )( + ) ( + ) Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 6
7 ( )... ( + )( ) ( + ) + +... + + c) ( + + )... 6+ d) ( + )... 8 9... ( )( + ) ( + ) +... + ( + )( ) ( ) c) ( y) ( + y)( y)... + y y ( y) 9 ( 6)... ( 6) (6 ) yy ( )... ( y )( y+ ) yy ( )( y+ ) y ( y )( y+ ) c) ( ( b )... b ( b ) d)... ( + ) ( + + ) + ( + )... + ( + ) d) Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 7
( + ) ( + )( + + ) + + + + + + + + + + + b + ( ) k + b förläng + b + b + 6b (+ b k ( ) förläng b b b b( b b b 7 ( + )... + ( + ) ( + ) + + + ( + ) ( + ) aa ( ) ( a+ )... + aa ( + ) aa ( + ) a a+ a+ a + aa ( + ) aa ( + ) 8 p+ p... ( p+ )( p ) ( p+ )( p ) ( p+ )( p ) +... ( + ) ( + ) ( + ) 9 + + +... ( + )... ( + ) ( + )... ( + ) + ( + ) + + + + +... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (... ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 8
( a ) a+ a ( a )( a+ ) ( a )( a+ ) a ( a )( a+ )... + + ( ) + + 6... ( )( + ) + 6 ( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) 6 6+ ( )( + ) ( )( + ) ( + ) +... + ( )( + ) ( )( + ) ( + ) + + + ( )( + ) ( )( + ) 6 ( a )... + ( a+ )( a ) ( a+ )( a ) aa ( + ) a + aa ( )( a+ ) aa ( + )( a ) aa ( ) aa ( + ) + aa ( + )( a ) aa ( )( a+ ) a a + a+ a + a + + a( a+ )( a ) ( a+ )( a ) 7 ( a+ )( a ) ( z )... + ( z )(z+ ) ( z )( z+ ) ( z+ ) + z z ( z )( z+ ) ( z )( z+ ) + z z z ( z )( z+ ) ( z )( z+ ) ( z + ) ( z )( z+ ) ( z ) 7 ( + )(+ )... ( )( ) ( )( ) + + + ( )( + )(+ ) ( )( + )( + ) ( )( + )( + ) ( ) + ( )( + )(+ ) ( )( + )( + ) + + + ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + ) + +... + + 6 + Faktorisera täljare oc nämnare ( )( ) ( + )( ) + ( )( + ) ( )( + ) ( )( ) + ( + )( ) ( )( + ) ( ) + ( + ) ( + ) + 7 Se eempel s. 79-8. Avläs i grafen. I uppgift c), d) oc e) ritas linjer. 8 6+ Av a-uppgiften oc grafen framgår att Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 9
y < då < <. c) 6+ 6+ 8 > timmar. f() p g() > m Sätt in en punkt på linjen i uttrycket för g() oc räkna ut k. g() k k Avläs skärningspunkterna i figuren. Alternativt algebraisk lösning: + + p k + m + ( k ) + ( p m) ( k) ( k) ± ( p m) c) Från grafen ser vi att < eller > d) g() f () Från grafen ser vi att g ( ) > då < f( ) f() c) Alla räta linjer kan skrivas på formen y k + m Från grafen ser vi att y då, dvs. m. Välj en punkt på linjen oc räkna ut k: g() k + k g() + 8 d) f () g( f()) f( ) 6 Från grafen ser vi att detta gäller då eller Från grafen ser vi att detta gäller då eller (facit ar > ) c) Rita grafen, dvs. en rät linje som skär y- aeln i -, oc ar lutningen k,. Från grafen ser vi att skärningspunkterna är,, d) Från grafen ser vi att detta är uppfyllt då < eller < < e) g() f ( ), ( ),, 7 Från grafen ser vi att detta är sant, ty Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
< eller > 8 + < (7 ) < 6 6 7 Bestäm uttryckets tecken för några lämpliga värden. + + < 6 eller > 6 Samma metod som i a-uppgiften ger,, Teckenstudium ger Uttryckets nollställen är Teckenstudium ger < < Bryt ut oc bestäm nollställen:,, Teckenstudium ger > Uttryckets nollställen är,, Teckenstudium ger < eller < < Uttryckets nollställen är,, Teckenstudium ger < eller < < ( ),,,, Teckenstudium ger < < eller > 6 Söker som ger R >. + 8 ± 8 år Teckenstudium av ursprungligt uttryck: < < år,,, Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Företaget kommer att gå med vinst mellan oc. 7 Sök som ger y <. + 9 6, Teckenstudium av ursprungligt uttryck ger minusgrader mellan. oc 6.. 8 ( ),, Teckenstudium ger < < eller > ( 6), 8, 7 Teckenstudium ger 7 < < eller > 8 9 Studera täljaren: a + a, a± a a a a ( a då a a dvs. > a. Faktorisera täljaren. Se a-uppgiften. a a ( ) ( ( + + a Om större än a är både täljare oc nämnare positiva. Oliketen gäller inte. Studera nämnaren: Om är mindre än a blir både täljare oc nämnare negativa. Oliketen gäller inte. Då a< < a får täljare oc nämnare olika tecken oc oliketen gäller. Alla tal multipliceras med mgn. Nämnaren förkortas sedan bort. Andragradsekvationen är korrekt löst > Ja. 6( aa+ ) 6aa 6( a a 6 a ( a+ ) a ( a+ 6 a 6 a a a a ( a är inte definierat) yy ( + ) y yy ( ) y y ( y+ ) y ( y ) y+ y y 6 y 6 ( ) (6 ), ( ) (6 ) 6, + 6, 7,8 9 Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
( + )( ) + ( + )( ) ( + )( ) ( ) ( + )( ) ( + ) + 8 9+ 8 9 8 9 8 6 ± +, 7 aa ( + ) a aa ( + )( + a+ a a ( a + a+ ) a ( )( )( ) ( ) ( ) a+ a a+ a a+ + ( a )( a+ ) ( a ) ( a+ ) ( a+ )( a+ ) + ( a ) ( a + a a ) a + a+ a+ + a a+ a + a a 7 a 7 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) + aaa ( + ) aa ( + ) a + a a + aa ( + ) a a a + a a(a+ ) a Ekvationen är inte definierad för a. 9 6 ± + 6 ( är en falsk rot) ( ) ( ) ( ) + + 8 8+ ( + )( ) ( )( + )( ) ( + )( ) + ( + )( ) ( )( ) ( + )( ) + ( )( ) ( + )( ) + +, Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
6 ( ) 8 ( ) 6 ( ) ( ) 6 6 6 8 + + 8 Faktorisera nämnaren i första termen. + mgn ( ) ( )( ) ( + ) ( )( ) (+ )( + ) ( )( ) ( + ) ( )( + ) 8( + ) ( )( ) ( )( ) (+ )( + )( ) 8( + ) ( ) ( ) (+ )( + ) 8( + ) 9 8 8 6 6 6 8 + +,, Men + Testa lösningarna. Varken eller löser ekvationen, eftersom VL alltid är positivt > eller 6 (I första tryckningen saknas åttonde raden, dvs a oc b ). 7 8 9 Men 9 9 är också en lösning. Men är också en lösning. (Ekvationen saknar lösning). Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Kapitel Steg : y 9 k k k k y + m där m är godtyckligt. Två punkter givna > 6 k 7 Sätt in en av punkterna i uttrycket f( ) + m 6 + m m f( ) V (7 8) kr (9 + ) kr ( ) kr Sätt V 8 oc lös ut > eneter. Skriv om ekvationerna: p y + oc y ( p ) Vinkelräta om p ( p ) p ± + p p (Skall stå k i uppgiften. Fel i första tryckningen) Skissa ett koordinatsystem oc markera punkten (, ). Dra två linjer med lutningen respektive. k m k m f f min ma () () N + Antalet blommor efter, dygn. (, ), blommor blommor () + blommor N N(, ) +, blommor 6 blommor/dygn, 8 blommor/dygn (,),9, m m s Fallsträckan vid fritt fall under de första, sekunderna.,9,,9,8 m/s 9, m/s, Medelastigeten mellan,8 oc, sekunder vid fritt fall. t, s,8 s, s. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
() +, kr K K() +, kr K() K() kr/glas, kr/glas Det kostar, kr/glas att tillverka de sista glasen. V() (6 +, ) kr V() (6 +, ) kr 89 kr/kg 6 kr/kg På de sista kilogrammen blir vinsten 6 kr/kg. 6 y() 9 y() 7 Sekantens lutning: 9 7 k Bestäm m genom att sätta in en punkt på sekanten oc k i ekvationen för den räta linjen: y() 7 + m m y 7 st ( ) st ( ) m/s m/s m/s t t Som i a-uppgiften > 8, m/s c) jfr a-uppgiften > 8, m/s d) Prova t.e. med t oc t, också. > ca 8 m/s. 8 Beräkna kurvans medellutning mellan 6 oc 8 sekunder: 8 m/s8, m/s 8 6 Beräkna konstanten a: s at (sätt in ett givet tabellvärde) a m/s,6 m/s 6,6 7,,6 6,9 > m/s8, m/s, Abdus astiget vid tiden t 7 s. 9 Sekantens lutning f( a Sekanten får negativ lutning då f( <, dvs. då > a a. a a+ a ± a ( givet) a > Lutningen noll vågrät linje, dvs. k. ( ) a a k a > a a > a c) a a k a a+ a a a 6a+ a Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
7 Tangenten är parallell med -aeln då, dvs. sant. Funktionsvärdet ökar då, dvs. derivatan är positiv. Sant. c) Funktionen är avtagande då >, sant. 8 Tangenten är parallell med -aeln då, dvs. '( ). Positiv eftersom kurvan är väande. c) Två nollställen:,. d) Avläs i grafen >. 9 Skissa ett koordinatsystem. Markera f(). Ma erålls då f() är en rät linje med k > m. Min erålls då f() är en rät linje med k > m 7. fma () + fmin() + 7 f () Då minskar med, oc lutningen är bör y ändras med ungefär, ( ),6. > g(6,8) (,6), 9,87 då Vi får lim( + 6,87 ) Rummets temperatur i C. + +... lim lim ( + ) + 6 +... lim lim (6 + ) 6 dy k d,, k 6,,6 c) k,,6,, d) k,,,, e) k,,, f) ( )(+ ) lim lim,,,, (,)(+ ) lim,, lim ( + ), Se uppgift f) ovan. Sätt in stora värden på t > e,7. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Sätt in större oc större värden på. >, lim +... lim, + 6 f( + ) f() ( + ) + 6 + + 6 8 + lim (8 + ) 8 oc f( + ) f() ( + ) + C ( + C) + 6 + + 6 8 + lim(8 + ) 8 6 7 f( a+ ) f( lim 6( a+ ) 6a lim 6( a + a + ) 6a lim a + 6 lim a f( a+ ) f( lim ( a+ ) + 7 (a+ 7) lim lim c) f( a+ ) f( lim 6( a+ ) + ( a+ ) + 7 (6a + a+ 7) lim 6a + a + 6 + a + + 7 6a a 7 lim a + 6 + lim lim a+ 6+ a+ d) 8 oc c) ( + ) lim ( + + )( + ) lim 8+ 8+ + + + 8 lim lim ( 6 ) + + 8 Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
y y y + y 6 9 9 7 y y 7 6 6 y + + y 6 + + 7 y 7 y y y y y 8 8 y + 8 y st () t t s t t t s () () st ( ) 9t + t+ 9 s () 8 + 6 f ( ) 8 6 8 6 Söker de -värden då f ( ) 6 + + f ( ) 6 Lös andragradsekvationen: + ± + 6 Se till eempel faktorisering av andragradspolynom s. 6. Ansätt f( ) k ( )( ) som ges av de givna rötterna. k är koefficienten framför - termen. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
f( ) k ( 6+ 8) p f() p 8k > k 8 p f ( ) k 6k k 8 p p p p 6 8 8 p f () N () st t + 8t+ t + 6t 7 t, 8 ± 6 + 7 t 7, timmar (negativ rot förkastas) c) N ( t) 6t+ 8 N () 6 + 8 bakterier/ 7 bakterier/ d) 6t + 8 > t min oc c) s ( t),6t t 67 s d) s (67) 67, 67 m m e) Tåget bromsar i intervallet t 67 6 7 Avståndet mellan löparna: st () f() t gt () 8, t,t 7, t,t t,t Vid t är avståndet. Maimalt avstånd då derivatan är lika med : s ( t), t t, s Insättning i uttrycket för s ger: st t t ( ), (,,, )m,m 8 f ( ) + 6 Skissa en graf. oc ger f ( ). ger det största värde som derivatan kan anta: f ( ) min/ dm 8 Väande om y + y () 7+ 6 6 6 7 6 9 r ( t),6t,6t t (,6,6 t) > dubbelrot i t oc en rot i t 6. Dvs. resultatet ökar från år till år 6. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 6
y 6 Etrempunkter då oc Teckenstudera derivatan : Maimipunkt : Minimipunkt y + Etrempunkter då oc då Teckenstudera derivatan > : Terrasspunkt : Minimipunkt y Etrempunkter då,, Etrempunkter då,, Teckenstudera derivatan > : Minimipunkt : Maimipunkt : Minimipunkt y + c Etrempunkter då c. y Teckenstudera derivatan > minimipunkt i. > (; -) y, Teckenstudera derivatan > : Minimipunkt : Maimipunkt : Minimipunkt y 6 6 Etrempunkter då, Teckenstudera derivatan > : Maimipunkt : Minimipunkt y Avläs i grafen. Ekvationen ar tre rötter. + + Använd räknare eller dator: >,7 Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 7
c) f ( ) ( ) > > y, + Väande om derivatan. f ( ) 8+ Sätt derivatan lika med noll för att få fram etrempunkter. 8 ± + 6 6 6,8,9 Teckenstudium ger att funktionen är väande då,9,8. 6 7 8 y a + b y då. a + b b 6a Sätt in i f () a 6a + 9a 6 a b f ( ) 9 Etrempunkter i oc. Endast ligger i intervallet. Teckenstudium ger maimipunkt i ( ; 6,) Kontroll av ytterlägena: f ( ) f (), > minsta värdet, oc största 6,. Samma metod som i a. 6 f ( t),8t,t Etrempunkter då t oc t 7,. Kontrollera f() oc f() (ytterläge). f () f () 67, Dvs. min oc ma 67,. Kontrollera även f(7,) oc ytterläget f(). f(7,) 9, dvs. ma. f() 7 f ( ) a + f () a Teckenstudium ger maimipunkt. 8 Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 8
Avläs i grafen. Badkaret fylls under minuter. Efter minuter är flödet negativt, dvs. vattenmängden i badkaret minskar. Se c) Ja, flödet är negativt oc badkaret töms. d) Vid t minuter. 6 7 8 Derivera de olika alternativen: y (ingen andragradsfunktion) Derivatan av en tredjegradsfunktion är en andragradsfunktion. Minimipunkt i ger att derivatan ska vara negativ då < oc positiv då >. Maimipunkt då ger att derivatan ska vara positiv < oc negativ då > > Alternativ d). Se eempel s.. Derivatan negativ fram till (minimipunkt) > funktionen avtagande Derivatan sedan positiv till (maimipunkt) > funktionen väande Derivatan sedan negativ till (minimipunkt) > funktionen avtagande Derivatan positiv då > > funktionen väande y Stämmer med kurvan. Se graf i facit. Kontroll av c) oc d): c) d) y (skär y-aeln i origo) y ( då ) 9 Sant, derivatan är positiv. Sant, därefter är derivatan negativ oc folkmängden minskar. c) Falskt, derivatan är negativ. d) Sant, folkmängden minskar mellan B oc D. f ( ), dvs. derivatans graf är en andragradsfunktion som skär y-aeln i oc är symmetrisk runt origo > Alternativ c). Linjen kan skrivas y 8, dvs. k. Kurvans tangent är parallell med linjen då den ar lutningen, dvs. då dess derivata är lika med. Derivatan är en andragradskurva, dvs. den kan skrivas på formen y' + a + b. y' då > b y' då > a y + 9 f() oc f() är etrempunkter eftersom f () f (). Andraderivatan är < då > maimipunkt. Andraderivatan är lika Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 9
med då, vilket betyder att andraderivatan kan byta tecken just i punkten (; ), något som den gör i en terrasspunkt. + + y ( ) y 6 + y () < maimipunkt y ( ) > minimipunkt y () > minimipunkt Samma metod som i. vt ( ) t,8t t, s > s(,) ca, m at ( ),6t a() m/s Se uppg. Derivatan är en andragradskurva. Med givna värden i figuren erålls y +. y, dvs en rät linje. Ta fram funktionen genom att derivera " baklänges" y + 9 Kalla sidan mot vägen för. A y Kma 6 kr (y + + ) kr > y (6,6 ) Sätt in y i uttrycket för arean: A (6,6 ) m Söker mavärdet för arean. A 6, Kontroll : A, (maimipunkt) Sätt derivatan : 6, m y (6,6 ) m 8 m A m ma 6 + q Sätt T ( q) 6q,q Kontroll: T ( q) 6 +,q T (), dvs minvärde. T () ( +, )kr 9kr 6 Av figuren framgår att < <. Sätt V ( ) Kontroll: V () > dvs. mavärde. Se graf i facit. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
6 Sätt + V ( ) 8 > 6 7 (ej i definitionsmängd) 7 > V + tkr (7) ( 7 7 9 7 ) tkr 6 Se eempel s. 6 oc facit. 6 A y Givet: + y y A Sätt A ( ) oc y A cm cm ma 6 Se eempel s. 6. Skissa grafen. Kurvan symmetrisk kring y- aeln. b ( ) A Bestäm derivatans nollställen. A ( ) A () ± A ( ) 6 mavärde > Ama, a.e 66 Triangeln symmetrisk kring y-aeln. Pytagoras ger öjden i triangeln: cm Linjen i första kvadranten kan tecknas y, Räkna på alva triangeln: Aalva (, ), A alva,8 A alva, cm A, 8 (maimivärde) A alva,,, a.e cm A cm cm ma 67 π r V r π+ (ekv.) A r π + πr + πr (ekv. ) Två ekvationer oc två obekanta, r oc. Ekv. 7 r π πr 7 πr πr πr In i ekvation : Ekv. 7 πr πr V r π ( ) + π r 7r π r π r + V ( r),π r Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Kontroll: V r r ( ), π (dvs. mavärde) Sätt derivatan lika med noll:, π r r,π Golvarean r π m m, b b... ( ( ( +... ( )( + ) ( )( + ) ( )( + )... ( + )( ) ( y)( y)... ( + y)( y) ( y)( y) y y + + y y,, y, +, y,7 +,,,8 y 6 f( ) 8 8 f ( ) 6 7 y ( ) I punkten ar tangenten lutningen y () Tangenten (rät linje) kan skrivas: y + m m I punkten är m lika med kurvans värde: m + + > y 8 f () t t f () t c) f () t v + at 9 Funktionen kontinuerlig om funktionsvärdena lika då. Funktionen ar värdet då. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Då måste gälla att + C då > C Jfr a-uppgiften. C C (C ) C + C C C C C CC ( ) > C (C löser inte den ursprungliga ekvationen ty C kan inte vara negativt.) Skissa y' oc yʺ. Av skissen framgår att yʺ i punkten C. yʺ > i punkterna D oc E. c) yʺ < i punkterna A oc B. f ( ) f ( ) Då oc då byter kurvans tangent riktning är fʺ() byter fʺ() tecken. Se graferna nedan. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
c) e e e e + a a a Kapitel d) e e e e + a a + a,,,,9 ( e e )..., kpa/km, Lufttryckets genomsnittliga förändringsastiget mellan, km oc, km över avet. P ( ), e, e P,,, (), e, kpa/km Tolkning: n f ( ) ne då grafen skär y-aeln. n f () ne n /, ( +,),78 e) e a e f) e ( e ) e a a a a, g ( ) 7, e, e 7, ln 7,, 8, lne Sätt y e ( y e > minimipunkt) y e +,78 c) Se facit För att få f ( ) e ska man derivera f( ) 6e m +. Då ska f() vara lika med > m. 6 a e e e ( e ) e a a a a 6 Sätt ( ) 8 e f e ln, lne, e > y 8,+, (Kontroll: f ( ) > minimipunkt) Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
7 8-9 f ( ) g ( ) e Sätt derivatan : e ln ln lne > f(ln) g(ln) ln e ln ln k, Ce C oc ln, k lne k ln, (ln,) y e,8 T e C 8 C c) d) y ln, e (ln,) (ln,) () ln, e C / min y 7 C / min Tolkning. 8 y + 8 C 7,9 C y 7 ln,9,9 c) y 7 ln,9,9 C/min, 6 C/min d) 6 + 7,9 ln, ln, 9 min e) y 7 ln,9,9,,,9 7 ln,9, ln 7 ln,9 8 min ln,9 9 Sätt y ln ln ln,8 ln,8 y, Utgå från given punkt:, C C C > g () dvs. g() skär y-aeln i punkten (; /). Härled derivatan g ( ) : ln, ln,,ln e e e ( ) g ( ) ln e ln,ln, Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Tangenten kan skrivas på formen: y k + m där m Då ar tangenten lutningen k: ln g () ln, Tangenten ar samma lutning då y : ln + ln ln 7 Utnyttja de givna punkterna: (, ): Då är y > C. (, ): a a a, y ln,, y 8 Ansätt 6 (6) ln,, 7, y Ce p. y() C p 66 e ln, 66 p p,8 k y,8 e y() 7, 6 C/min d),8 8 e ln,8,8 min e),8 9, V() (8,+ e ) kr 9, kr, ( ), Sätt V e ln,, 7 + (Kontroll ger att V ( ) > minimivärde ). c), V() (8,+ e ) kr kr N ( t),e,t, e ln, t, t år,t, N() (, + e ) st 7 st y e,8 C8 C c) Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
Se metod i t.e. 8 oc facit. () b 7, cm () 7, a 6, cm / 6, a,9967 7, t ( t) 7, ln,9967,9967 cm/s, cm/s () 7, ln,9967,9967 cm/s Se kommentar facit. 7 Se facit 9 7, e 6e e F ( ) + 7,,,, F ( ) + +,,, F ( ) + Se facit f( ) F ( ) A, lnd, d > B, lnd, d > B,(ln) +, lnd, f( ) A, lnd, d > F ( ) B, lnd, d > B A (, ln +, lnd,, lnd+,)m, ln m 9, m f( ) Se facit 6 F ( ) y() 8 e C C När ökar närmar sig temperaturen C. c) d) Lös ekvationen, 8 e 6 min F ( ) + C + C C Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
( ) 6 +,t Pt e C, 7 6 e + C > C, 7 Pt ( ) (6 e + ) kr 7 kr Vt ( ),t + C V(), C + C 9 V() + 9kr 9kr V () (, () + 9) kr 9 kr f ( ) f( ) + C f() + C 6 F ( ) + 6+ C F() + 6 + C C 6 F ( ) + C + C C,6 7-9... +,6, e... + + ( + ), e + e 6,,, t 6...,,, 6 6 6,, 8,,,... 6t 6 8 6, Sätt y + > ± + (negativ rot förkastas) + A 9+ 9 9 9 a.e + d e e + e e d e e... ( ) e e e ( e + e ) d e + e e + 8,8 9,,, 9...,,, 9 9 8,,, Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB
... + 8 + ( + ),... ( + 6+ 9) d + + 9 8 + + 8 ( + 9) 9 Skissa graferna.,...,6 a.e,, a, a a, 6,,, 6, aa a, 89 6... F ( ) F() F() 7 8... f ( ) d + d 6 + 6 + 6 9-6 ( ( )) d + 8 7 6 + 8 + a.e 7 a.e a.e 7 y oc ( ( + )) d 8 ( ) a.e a.e a.e 8 9 ( ( )) d, 7 7 a.e 6 a.e 9 Skissa kurvorna. Sätt +,±,+ (negativ rot förkastas) > ( ) d + d + 8 + 8 a.e a.e 6 Sätt 9 Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 6
8 9 + 8 9 ± (negativ rot förkastas) Sätt, 9 +, 9 ± + 6 6 + > (8, ) d, 7, 7 a.e (9, ) d 9, 8 8 (9,)a.e,9 a.e A (,7+,9)a.e,67 a.e a... a + a 9 a 9 a 8 k( k ) k k... k k Ma då k k k -6-7 8 Subtraera > b a d b a 9 Arean av A är positiv men integralen är negativ eftersom A ligger under -aeln > 6/. Arean av B 6 / / a.e Areanav B / + 6 / a.e 89 / a.e k k... + m + m k m - W ( + ) d + 7 + kw9 kw 7,e, d,, e e ( ), Arean under grafen från t oc t, s är stenens fallsträcka i luften. Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 7
,, s v( t) dt m, m c) t t + 8 6,,, 6, 6 m,8 m s e dt t e e + + t t dt t t+ t 8 ( + ) m 7m e 6 s A t e dt t + e + s B e m t 9 9e dt t 9+ 9e + 9e 9 6m A leder med m. Vattenflödet ar ett ma då v () t t t c) + t t dt t t+ t 8 ( 9 ( ) m 8 (6 + ) m > m + +, 6 d,, Nm7 Nm Ledningar oc lösningar till M c 7-76- Liber AB 8