CTH/GU LABORATION 3 MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Inledning Tillämpning v integrler Vi skll se på två tillämpningr v integrler. Först ren oh volymen v rottionskropp sedn omkretsen v en ellips. Rottionskroppr Betrkt kurvn som ger grfen v en funktion y = f(x) över ett intervll x b. Som exempel kn vi t.5 sin(x) f(x) =, x 3 + x Så här ser kurvn ut y..8.6.4. y = f(x).5.5.5.5.5 3 Låter vi denn kurv roter runt x-xeln får vi en s.k. rottionsyt x.5.5 3 Vi vill bestämm volymen som begränss innnför rottionsytn oh ren v själv ytn.
Volymen som begränss v rottionsytn ges v (Adms kpitel 7., sid 39) V = π b (f(x)) dx oh ren v rottionsytn ges v (Adms kpitel 7.3, sid 47) b S = π f(x) + (f (x)) dx För vårt exempel nöjer vi oss med en numerisk beräkning v volym V oh ytre S enligt >> f=@(x)(-.5*sin(x))./(+x.^); >> Df=@(x)-.5*os(x)./(+x.^)-(-.5*sin(x))*.*x./(+x.^).^; >> =-; b=3; >> V=pi*qudl(@(x)f(x).^,,b) V = 5.95 >> S=*pi*qudl(@(x)bs(f(x)).*sqrt(+Df(x).^),,b) S = 6.36 Uppgift. Beräkn volymen oh ren för rottionsytn som ges v tt grfen till roterr runt x-xeln. Så här ser ytn ut f(x) =.5 + sin(. x ), x 5 5 5 5 Om du vill se koden som genererr ytn kn du titt på funktionen rottionsyt som ligger på Mtlb-hemsidn (förståelsen får knske vänt till kursen i flervribelnlys). 3 Omkrets v en ellips En ellips med storxel oh lillxel b kn beskrivs med ekvtionen Om vi tr = b får vi en irkel med rdien. x + y b =
b Aren v en ellips är som ni nog vet A = πb oh hr vi en irkel ( = b) så får vi ren A = π. Omkretsen v irkel är s = π men omkretsen v en ellips kn inte beskrivs lik enkelt. Mn visr i Adms kpitel 7.3, sid 47, tt omkretsen v en ellips är s = 4E(ε), med π/ E(ε) = ε sin b (t) dt, där ε =. Här klls ε för exentriiteten oh det gäller tt ε <. Vi ser tt för en irkel så är ε = oh då ellipsen är nästn helt tillplttd så är ε när. För en irkel gäller s = 4E() = 4 π = π, så klrt. Integrlen E(ε), som klls för en elliptisk integrl v ndr slget, kn inte beräkns exkt utn vi får nöj oss med pproximtioner. Uppgift. Nu är det dgs för er tt beräkn integrlen för olik värden på ε med qudl oh rit en grf v E(ε) över intervllet ε <. Ledning: Mn kn i Mtlb beräkn f(x) = d g(t, x) dt för en prmeter x, som vi kn ge olik värden, enligt >> f=qudl(@(t)g(t,x),,d) Här förutsätts tt g är en funktionsbeskrivning (funktionsfil eller nonym funktion med funktionshndtg) i de två vriblern t oh x. Skll vi nu rit en grf v f(x) för x b, så är här strukturen på en skriptfil g=@(t,x)...; =...; d=...; =...; b=...; n=...; x=linspe(,b,n); f=zeros(size(x)); % Integrnden, om vi gör ett funktionshndtg % Integrtionsgränsern % Intervllgränser för grfen smt ntl punkter % x-värden % Fördimensionering. Skll fyll på integrlvärden for i=:length(x) f(i)=qudl(@(t)g(t,x(i)),,d); end % f(x)-värden plot(x,f) % Ritr grfen Tänk igenom noggrnnt. När mn förstår mtemtiken så bör inte Mtlb-biten vr något större problem. 3
4
CTH/GU MVE6 - /3 Mtemtisk vetenskper Uppföljning v lbortion 3 Målsättning Avsikten med denn lbortion är delvis tt tillämp kunskper från förr lbortionen på någr uppgifter i nslutning till rottionskroppr. Betydligt viktigre är dok tt kunn beräkn en funktion f(x) = d g(t, x) dt, vrs värden ges v tt en nnn funktion som skll integrers. Dett är uppenbrligen en tämligen komplierd funktion. Vnligtvis kn vi inte finn någon (nvändbr) primitiv funktion, så endst beräkningsmetoder för integrler kn nvänds. Kommentrer oh förklringr Det finns lltså ingen enkel formel för ellipsens omkrets, nnt än vid speilfllet tt vi hr en irkel. Nu ser vi på Mtlb-koden i strukturen för skriptfilen oh börjr med f=zeros(size(x)) Här ger size(x) storleken på vektorn x. Därmed ger zeros(size(x)) en vektor, lik stor som x, fylld med nollor. Nu kommer f vr en vektor v rätt storlek oh vi fyller på rätt värden i for-stsen. För beräkningen v f(x i ) = d g(t, x i) dt skriver vi f(i)=qudl(@(t)g(t,x(i)),,d) Vi tittr särskilt på @(t)g(t,x(i)) Dett är en nonym funktion med ett funktionshndtg. Här är t vribeln oh funktionens värde är g(t, x i ), där x i är ett konstnt värde. Vi hr lltså en funktion i en vribel t som qudl kommer integrer. 3 Lärndemål Efter denn lbortion skll du kunn beräkn volymer oh reor v rottionskroppr rit grfen till en funktion f(x) = d g(t, x) dt över ett intervll x b med hjälp v min_integrl eller qudl. 5