inköpings tekniska högskola Mekanik Dynamik 214-2-21 IEI/Mekanik Ulf Elun Svängningsproblem Eempel på hur man ställer upp en styrane ifferentialekvationen. Betrakta följane system beståene av en partikel me massan m, en äer me naturliga (vs ospäna) längen och äerkonstanten k, samt en ämpare me ämpkonstanten c : m k, c g Vi vill teckna Newtons II:a i vertikalle och resultatet är en ifferentialekvation som beskriver (styr) massan rörelse vi fria svängningar. Det finns ett antal olika alternativ för val av koorinaten t () för att beskriva massans läge som funktion av tien: Man kan t.e. välja origo för så att när äern är obelasta, eller så att när anorningen befinner sig i sitt statiska jämviktsläge, som för fallet ovan är när äern tryckts ihop sträckan k. Dessutom kan man välja att efiniera positiv uppåt eller neåt. Ett annat tänkbart val för origos läge är att låta vi infästningen i marken. åt oss belysa etta me ett antal eempel. 1
inköpings tekniska högskola Mekanik Dynamik 214-2-21 IEI/Mekanik Ulf Elun Eempel 1 Vi väljer att låta när äern är obelasta, och väljer att låta vara positiv uppåt. Vi frilägger massan och väljer att låta kraften på massan från äern vara positiv neåt. Vi gör samma val för kraften från ämparen. Så här alltså: (, och blir positiva åt samma hall som.) Vi tecknar Newtons II:a i positiv -le : : m När vi tecknar uttrycken för äern och ämparen måste vi vara väligt noga, eftersom uttrycken beror av åt vilket håll förskjutningen är efiniera positiv och åt vilket håll kraften är positiv. Vi ser att om är positiv rar vi ut äern sträckan och me vår efinition av kraften ska en vara positiv. Sålees, k Om är positiv betyer et att partikeln rör sig uppåt ( är allti positiv vi en rörelse å ökar). Vi rar alltså ut ämparen som bromsar rörelsen, vs ska vara positiv: c (Notera att uttrycken på och gäller även å, respektive är negativa: Om t.e. trycks äer ihop och kraften blir negativ, vs motrikta vår positiva riktning. Genom att ekvationerna ställs upp me hänsyn tagen till införa efini- 2
inköpings tekniska högskola Mekanik Dynamik 214-2-21 IEI/Mekanik Ulf Elun tioner av variablernas positiva riktningar, får vi ekvationer som gäller i alla lägen och rörelsetillstån (som t e när systemet är ihoptryckt och har acceleration neåt).) Insättning ger följane ifferentialekvation: Eempel 2 g m m Vi väljer att låta när äern är obelasta som i Eempel 1, men väljer nu att låta vara positiv neåt. Vi väljer att låta kraften på massan från äern vara positiv neåt. Vi gör samma val för kraften från ämparen. Så här alltså: Vi tecknar Newtons II:a i positiv -le : : m Om är positiv så är äern ihoptryckt sträckan och kraften ska vara negativ me vår efinition av positiv riktning av kraften: k Om är positiv betyer et att partikeln rör sig neåt. Vi trycker alltså ihop ämparen som bromsar rörelsen, vs ska å vara negativ: c Insättning ger följane ifferentialekvation: g m m 3
inköpings tekniska högskola Mekanik Dynamik 214-2-21 IEI/Mekanik Ulf Elun Eempel 3 Vi väljer att låta när äern är obelasta, och låter vara positiv neåt. Vi väljer att låta kraften på massan från äern vara positiv uppåt. Vi gör samma val för kraften från ämparen. Så här alltså: Vi tecknar Newtons II:a i positiv -le : : m Vi ser att om är positiv så är äern ihoptryckt och kraften ska vara positiv me vår efinition: k Om är positiv betyer et att partikeln rör sig neåt. Vi trycker alltså ihop ämparen som bromsar rörelsen, vs ska å vara positiv: c Insättning ger följane ifferentialekvation: g m m 4
inköpings tekniska högskola Mekanik Dynamik 214-2-21 IEI/Mekanik Ulf Elun Eempel 4 Vi väljer att låta vi äerns infästningspunkt i unerlaget så att är positiv uppåt. Vi friläggningen väljer vi att låta kraften på massan från äern vara positiv neåt, men vi låter kraften på massan från ämparen vara positiv uppåt. Så här alltså: Vi tecknar Newtons II:a i positiv -le : : m Vi ser att om partikeln är i läge så har äern ragits ut sträckan och kraften ska vara positiv enligt: k( ) Om är positiv betyer et att partikeln rör sig uppåt. Vi rar alltså ut ämparen som bromsar rörelsen, vs ska å vara negativ: c Insättning ger följane ifferentialekvation: k g m m m 5
inköpings tekniska högskola Mekanik Dynamik 214-2-21 IEI/Mekanik Ulf Elun Eempel 5 Vi väljer nu att låta när anorningen befinner sig i sitt statiska jämviktsläge, vs utifrån ett läge är äern ihoptryckt sträckan stat, och låter vara positiv k neåt. Vi väljer att låta kraften på massan från äern vara positiv uppåt. Vi gör samma val för kraften från ämparen. Så här alltså: stat Vi tecknar Newtons II:a i positiv -le : : m Vi ser att för ett positivt så är äern ihoptryckt och kraften ska vara positiv me vår efinition. Eftersom äerns totala ihoptryckning är stat får vi: k( ) stat Om är positiv betyer et att partikeln rör sig neåt. Vi trycker alltså ihop ämparen som bromsar rörelsen, vs ska å vara positiv: c Me stat får vi följane ifferentialekvation: k m m 6
inköpings tekniska högskola Mekanik Dynamik 214-2-21 IEI/Mekanik Ulf Elun Jämför vi ifferentialekvationerna ser vi att et bara är högerleet som skiljer. Det är ingen tillfällighet. Väljer man att efiniera lägeskoorinaten till noll i et statiska jämviktsläget, som vi gjore i Eempel 5, så får man allti en homogen ifferentialekvation. ör att kunna bestämma konstanterna i e allmänna lösningarna till ifferentialekvationerna behövs begynnelsevillkor som efinierar tillstånet vi t. Eftersom ifferentialekvationerna är av orning två behövs villkor på variabeln själv, samt förstaerivatan, vs vi måste veta () och (). 7