Studiehandledning till MMA22 Differentialekvationer för lärare läsåret 21/11
Kursinformation för MMA22 Mål Avsikten med kursen MMA22 Differentialekvationer för lärare är att introducera de grundläggande kvalitativa och kvantitativa metoder som används för analys av ordinära differentialekvationer och linjära differensekvationer, samt därtill hörande transformer och tillämpningar. Undervisning och kursinnehåll Kursen är schemalagd med 15 lektioner à 3 timmar (utom vid ett tillfälle då det är 2 timmar). Vid sidan om de schemalagda passen karakteriseras kursupplägget av att ett antal individuella inlämningsuppgifter ska lösas och lämnas in för bedömning. Specifikationen av vilken version av varje inlämningsuppgift som ska lösas av respektive student ges av den siffra som han/hon tilldelas i början av kursen. Numreringen av inlämningsuppgifterna följer i sin första siffra kursbokens kapitelnumrering. Längst ut till höger på varje kapitelrubrik finns angivet vilka avsnitt i kursboken som kursen baseras på litteraturmässigt. Examination och betyg Examinationsmomentet INL1 De betygsgrader som används i examinationsmomentet INL1 (2,5 hp) är underkänd (u) och godkänd (g). För att under kursens gång bli godkänd på examinationsmomentet krävs att lösningar till i kursen ingående inlämningsuppgifter har inlämnats enligt angivna regler och sedan blivit godkända inom stipulerade tider. Varje enskild inlämningsuppgift blir godkänd när en nöjaktig, skriftlig redovisning har åstadkommits. Studenten ska dock vara beredd på att kunna besvara frågor om den teori som ett lösningsförfarande baseras på. Ett godkännande ges sålunda när läraren har bedömt att studenten har förstått den berörda matematiken och kan kommunicera sin lösning på ett fullständigt sätt. Om en lösning inte blir godkänd skickas den i retur (kanske med något tips) för att studenten ska ha en möjlighet att kunna göra nödvändiga korrigeringar för ett slutgiltigt godkännande. Detta förfarande fortsätter i cykler till dess uppgiften ifråga har blivit godkänd, dock med begränsningarna att lösningar till uppgifterna i block nummer n, n = 1, 2, 3, 4, måste, bortsett eventuellt från någon enstaka uppgift, vara godkända innan föreläsning nummer 2n+1 inleds. Eventuella rester måste vara åtgärdade senast dagen därefter. Examinationsmomentet TEN1 De betygsgrader som används i examinationsmomentet TEN1 (5 hp) är underkänd (u), och godkännandegraderna godkänd (g), och väl godkänd (vg). Tentamen TEN1 består av åtta (8) stycken uppgifter à 5 poäng. Gränserna för betygen (g) och (vg) är 18 respektive 3 poäng. Hjälpmedel vid tentamen är penna, linjal och radermedel. Skrivtiden per enskild tentamen är fem (5) timmar. Sammanfattningsbetyg Sammanfattningsbetyg på en godkänd kurs är lika med det betyg som har uppnåtts på examinationsmomentet TEN1. Generellt råd Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I kursboken (och i studiehandledningen) finns därför relativt många övningsuppgifter att ta sig an. Litteratur MDH/UKK/TM, Studiehandledning till MMA22 Differentialekvationer för lärare läsåret 21/11. MDH/UKK/TM, Föreläsningsanteckningar om Z-transformen. Zill and Cullen, Differential Equations with Boundary-Value Problems, International Edition 7e, ISBN -495-55623-82, Brooks/Cole Publishing Company, 29. Adresser lars-goran.larsson@mdh.se mdh.se/ukk/utbildning/amnen/matematik/kurssidor/ 1
Block 1 ODE av första ordningen 1. Introduktion till differentialekvationer............................ ZC 1.1 1.3 INL 1.1 Ange differentialekvationens ordning, och om den (med avseende på y) är linjär eller ej. 1) (5x 2 2)y 2xy + y = x 4 2) y (4) y = x 3 y 3) x 4 y (3) + x 7 y = 4) x 2 y + 5xyy + y = sin(x) 5) yy = e x y 3 6) cos(x)y + x 2 y + 3y = 2. Första ordningens ordinära differentialekvationer..... ZC 2.1 2.5 INL 2.1 Skissera fasporträttet till den autonoma differentialekvationen av första ordningen, och klassificera dess kritiska punkter. Ange även alla jämviktslösningar och skissera en typisk lösningskurva i varje av de av jämviktslösningarna avgränsade regionerna i xy-planet. 1) dy dx = (y + 2)y2 (y 1) 3 2) dy = (y + 1)y(y 1)2 dx 3) dy dx = (y +3)2 (y +1)(y 2) 3 4) dy dx = (y + 2)y3 (y 3) 3 5) dy dx = y2 (y 2)(y 4) 6) dy = (y + 1)y(y 4)3 dx INL 2.2 Lös begynnelsevärdesproblemet. Ange även existensintervallet för lösningen. 1) yy = x, y(2) = 3. 2) y = y 2 9, y() = 1. 3) y = xe x2 2y, y( 2) = ln(2e). 4) y = (y 1) 2, y( 1) =. 5) y = y 2 + 4, y() = 2 3. 6) y = 5y + y 2, y() = 4. INL 2.3 Lös begynnelsevärdesproblemet. Ange även existensintervallet för lösningen. 1) xy + 3y = 3, y(1) = 8. 2) y + 3xy = x, y() =. 3) y 9x 2 y = 27x 2, y() = 9. 4) x 2 y xy = 3, y(1) = 1. 5) y + 6x 2 y = x 2, y() = 1/3. 6) xy 5y = 2x, y(1) = 5. INL 2.4 Lös begynnelsevärdesproblemet där funktionen U är definierad enligt U(x ξ) = {, x < ξ, 1, x ξ. 1) y + 8y = 16 U(x 2), 2) y + 3y = 9 U(x 3), 3) y + 9y = 27 U(x 4), 4) y + 6y = 12 U(x 5), 5) y + 2y = 6 U(x 6), 6) y + 5y = 5 U(x 7), 2
3.. MODELLERING MED FÖRSTA ORDNINGENS ODE 3 INL 2.5 Visa att differentialekvationen är exakt och bestäm (på åtminstone implicit form) den allmänna lösningen. 1) (1xy 3 + 35x 4 y 3 ) dx + (15x 2 y 2 + 21x 5 y 2 ) dy = 2) (2x/y 3 + y 2 ) dx + (2xy 3x 2 /y 4 ) dy = 3) (y 5 + 6x 2 ln(y)) dx + (5xy 4 + 2x 3 /y) dy = 4) (16x 3 y 2 2xy 3 ) dx + (8x 4 y 3x 2 y 2 ) dy = 5) (2xe 3y 9x 2 y 2 ) dx + (3x 2 e 3y 6x 3 y) dy = 6) (3x 2 y 2 + 6xy 5 ) dx + (2x 3 y + 15x 2 y 4 ) dy = INL 2.6 Visa att differentialekvationen är homogen och bestäm alla lösningar (på åtminstone implicit form). 1) (x + y)y = x y 2) (y + 2 xy)dx = xdy 3) xyy = y 2 + x 4x 2 + y 2 4) (x 3 + y 3 )dx = xy 2 dy 5) x(x + y)y = y(x y) 6) (x + 3y)dx = (y 3x)dy INL 2.7 Lös begynnelsevärdesproblemet. Ange även existensintervallet för lösningen. 1) 2xy + y(1 + xy) =, y(1) = 1 2. 2) y = (xy 1)y, y() = 1. 3) (x + x 2 )y = y(1 y), y(1) = 2. 4) y = y + 1/y, y() = 1. 5) y = y(2 y), y() = 1. 6) y = y x + x 2y, y(1) = 3. INL 2.8 Differentialekvationen har en integrerande faktor som bara beror av x (udda numrerade problem) eller y (jämnt numrerade problem). Bestäm ekvationen för den lösningskurva som går genom punkten (1, 2). 1) (12x + y 3 /x) dx + 3y 2 dy = 2) 1x/y dx + (5x 2 /y 2 6/y) dy = 3) (4y 3 /x 2 + 2x) dx + 12y 2 /x dy = 4) 9x 2 y dx + (6x 3 + 16y 2 ) dy = 5) (16y 3 /x 6/x) dx + 24y 2 dy = 6) 7y 3 dx + (28xy 2 1) dy = 3. Modellering med första ordningens ODE...................... ZC 3.1 3.3 INL 3.1 Modellering med första ordningens linjära differentialekvationer 1) En hastigt insjuknad person med hög feber behöver omedelbart diagnosticeras. Man har endast tillgång till en relativt långsam termometer och behöver därför kunna räkna ut febern innan termometern stabiliserats vid febertemperaturen. Det antages att termometerns temperaturförändring per tidsenhet vid varje tidpunkt är proportionell mot skillnaden mellan termometerns temperatur och temperaturen i det medium som omsluter mätpunkten. Ett rimligt antagande är också att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i personens kropp. Termometern hålls normalt i rumstemperatur (2 grader). Tre (3) sekunder efter det att termometern har förts in i munnen hos den sjuke avläses 3 grader. Ytterligare tre sekunder senare är termometers utslag 35 grader. Med hjälp av insamlade data görs en snabb beräkning av den sjukes temperatur. Vad kommer man fram till, dvs hur hög feber har den sjuke personen? 2) Ett radioaktivt material sönderfaller i en takt som är proportionell mot mängden av materialet vid tidpunkten t. Antag att halveringstiden är 5 år, och att det vid en viss tidpunkt finns.1 g av materialet. För hur länge sedan fanns det 1 g av materialet? 3) I en förenklad modell (nr 1) av hur mycket en student lär sig av ett visst stoff antages inlärningen per tidsenhet vid en viss tidpunkt
4 vara proportionell (α) mot differensen av hur mycket som är möjligt att lära sig (totala mängden stoff M) och hur mycket som har lärts in fram till och med den aktuella tidpunkten. I en lite mera realistisk modell (nr 2) tas även hänsyn till att studenten hinner att glömma bort delar av det som tidigare lärts in och då i en takt som är proportionell (β) mot studentens kunnande vid den aktuella tidpunkten. Formulera och lös differentialekvationerna för de två modellerna. Utgå därvidlag från att studentens kunnande är noll vid tidpunkten. Jämför lösningarna för mycket stora t. Beskriv dessutom innebörden av specialfallen α β (α mycket större än β) respektive α β. 4) Temperaturförändringar hos en termometer antas kunna beskrivas med Newtons avkylnings- (och uppvärmnings-)lag. En febersjuk person har med hjälp av en sådan termometer mätt sin egen kroppstemperatur till att vara 38 o C. Vad visar termometern 3 minuter efter febermätningen om den visar 22 o C 2 minuter efter febermätningen och om rumstemperaturen är 2 o C? Det kan anses rimligt att antaga att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i det omgivande mediet (personens kropp respektive luften). 5) I en isolerad population där ingen dör, insjuknar individer i en viss lindrig sjukdom i en takt som i varje ögonblick är proportionell mot antalet friska individer. Låt proportionalitetskonstanten vara lika med 1 7 s 1, antalet individer i hela populationen lika med 1 och antal sjuka vid tidpunkten t lika med 2. Ange insjukningstakten som funktion av tiden t. Ange även antalet insjuknade individer för stora tider. 6) En hastigt insjuknad person med hög feber behöver omedelbart diagnosticeras. Man har endast tillgång till en relativt långsam termometer och behöver därför kunna räkna ut febern innan termometern stabiliserats vid febertemperaturen. Det antages att termometerns temperaturförändring per tidsenhet vid varje tidpunkt är proportionell mot skillnaden mellan termometerns temperatur och temperaturen i det medium som omsluter mätpunkten. Ett rimligt antagande är också att termometerns ringa konstitution och motsvarande försumbara värmeinnehåll ej nämnvärt rubbar temperaturen i personens kropp. Termometern hålls normalt i ett uppvärmt tillstånd om 3 grader i syfte att inte kontrastera för mycket mot kroppstemperaturer. Fem (5) sekunder efter det att termometern har förts in i munnen hos den sjuke avläses 35 grader. Ytterligare fem sekunder senare är termometers utslag 36 grader. Med hjälp av insamlade data görs en snabb beräkning av den sjukes temperatur. Vad kommer man fram till, dvs hur hög feber har den sjuke personen? INL 3.2 Modellering med första ordningens icke-linjära differentialekvationer 1) Vid tidpunkten finns det 5 gram av ämne A och 8 gram av ämne B. Ämnena förs ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 1 : 2 och bildar ämnet C, dvs för varje 3 gram av slutprodukten C så går det åt 1 gram av ämne A och 2 gram av ämne B. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av återstoderna (i gram räknade) av ämnena A och B. Antag att det vid tidpunkten 1/3 minuter har hunnit skapats 6 gram av ämne C. Hur många gram C har skapats till och med tidpunkten 1/15 minuter? 2) Vid tidpunkten finns det 1 gram av ämne A. Ämnet sönderfaller varvid två ämnen, B och C, bildas i förhållandet 5:3, dvs för varje sönderfallet gram av ursprungsämnet A bildas 5/8 gram av ämne B och 3/8 gram av ämne C. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot kvadraten av återstoden (i gram räknad) av ämnet A, och tiden tills mängden ursprungsämne har halverats är lika med 1 minuter. Hur många gram finns det av ämne B vid tidpunkten t (i minuter räknad) om antalet gram vid tidpunkten är lika med noll. 3) Vid tidpunkten finns det 75 gram av ämne A och 5 gram av ämne B. Ämnena förs ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 3 : 1 och bildar ämnet C, dvs för varje 4 gram av slutprodukten C så går det åt 3 gram av ämne A och 1 gram av ämne B. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av återstoderna (i gram räknade) av ämnena A och B. Antag att det vid tidpunkten 1/1 minuter har hunnit skapats 25 gram av ämne C. Hur många gram C har skapats till och med tidpunkten 2/5 minuter? 4) Vid tidpunkten finns det 5 gram av ämne A. Ämnet sönderfaller varvid två ämnen, B och C, bildas i förhållandet 2:5, dvs för varje sönderfallet gram av ursprungsämnet A bildas 2/7 gram av ämne B och 5/7 gram av ämne C. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot kvadraten av återstoden (i gram räknad) av ämnet A, och tiden tills mängden ursprungsämne har halverats är lika med 2
3.. MODELLERING MED FÖRSTA ORDNINGENS ODE 5 minuter. Hur många gram finns det av ämne B vid tidpunkten t (i minuter räknad) om antalet gram vid tidpunkten är lika med noll. 5) Vid tidpunkten finns det 6 gram av ämne A och 1 gram av ämne B. Ämnena förs ihop varvid de reagerar med varandra i proportionerna 2 : 3 och bildar ämnet C, dvs för varje 5 gram av slutprodukten C så går det åt 2 gram av ämne A och 3 gram av ämne B. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot produkten av återstoderna (i gram räknade) av ämnena A och B. Antag att det vid tidpunkten 1/2 minuter har hunnit skapats 3 gram av ämne C. Hur många gram C har skapats till och med tidpunkten 1/1 minuter? 6) Vid tidpunkten finns det 9 gram av ämne A. Ämnet sönderfaller varvid två ämnen, B och C, bildas i förhållandet 4:3, dvs för varje sönderfallet gram av ursprungsämnet A bildas 4/7 gram av ämne B och 3/7 gram av ämne C. Reaktionshastigheten antages vara proportionell mot kvadraten av återstoden (i gram räknad) av ämnet A, och tiden tills mängden ursprungsämne har halverats är lika med 15 minuter. Hur många gram finns det av ämne B vid tidpunkten t (i minuter räknad) om antalet gram vid tidpunkten är lika med noll. INL 3.3 Modellering med system av första ordningens differentialekvationer Teckna ett system av differentialekvationer som vid tidpunkten t beskriver graderna av förorening i respektive av behållarna A, B och C. Ange även motsvarande begynnelsevärden. Det antages att de hastigheter med vilka föroreningarna sprids inom de olika behållarna är mycket större än de flödeshastigheter med vilka vätskor strömmar genom systemet av behållare. 1) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och från C till A. Det flyter även vätska från omgivningen in i A, samt görs det utsläpp från B. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i B är jämnt blandad med 2 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i A har flödeshastigheten φ in = 4 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 1 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 2 liter/min, φ B C = 1 liter/min, φ C A = 3 liter/min och φ ut = 2 liter/min. 2) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och tillbaka från C till B. Det flyter även vätska från omgivningen in i A, samt görs det utsläpp från C. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i A är jämnt blandad med 3 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i A har flödeshastigheten φ in = 3 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 2 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 2 liter/min, φ B C = 3 liter/min, φ C B = 1 liter/min och φ ut = 4 liter/min. 3) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och tillbaka från B till A. Det flyter även vätska från omgivningen in i B, samt görs det utsläpp från C. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i B är jämnt blandad med 3 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i B har flödeshastigheten φ in = 4 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 1 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 1 liter/min, φ B C = 2 liter/min, φ B A = 2 liter/min och φ ut = 3 liter/min. 4) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och från C till A. Det flyter även vätska från omgivningen in i A, samt görs det utsläpp från B. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i A är jämnt blandad med 2 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i A har flödeshastigheten φ in = 2 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 3 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 3 liter/min, φ B C = 1 liter/min, φ C A = 2 liter/min och φ ut = 1 liter/min. 5) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och tillbaka från B till A. Det flyter även vätska från omgivningen in i A, samt görs det utsläpp från C. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i B är jämnt blandad med 3 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i A har flödeshastigheten φ in = 1 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 2 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 2 liter/min, φ B C = 3 liter/min, φ B A = 1 liter/min och φ ut = 2 liter/min.
6 6) Tre olika vätskebehållare A, B och C är med flyter från A till B, från B till C, och tillbaka från C till B. Det flyter även vätska från omgivningen in i B, samt görs det utsläpp från C. Vid tidpunkten finns det 2 liter vätska i vardera av behållarna A, B och C, varav den i A är jämnt blandad med 2 gram av en viss förorening. Den vätska som flyter in i B har flödeshastigheten φ in = 1 liter/min och föroreningsgraden ρ in = 3 gram/liter. Övriga flödeshastigheter är φ A B = 2 liter/min, φ B C = 3 liter/min, φ C B = 1 liter/min och φ ut = 3 liter/min.
Block 2 ODE av högre ordningar, Laplacetransformen 4. Linjära ODE av högre ordningar.................................. ZC 4.1 4.4, 4.7 INL 4.1 Avgör om funktionerna f 1, f 2, f 3 är linjärt oberoende på R eller ej. f 1 (x) = 3 + x f 1 (x) = x f 1 (x) = 1 + sin 2 (x) 1) f 2 (x) = x 2x 2 3) f 2 (x) = 3x 2 x 5) f 2 (x) = cos 2 (x) 3 f 3 (x) = 3x 2 1 f 3 (x) = 2x + x 2 f 3 (x) = 5 2) f 1 (x) = e 2x f 2 (x) = e 2x f 3 (x) = cosh(2x) 4) f 1 (x) = x + 5 f 2 (x) = x + 5 f 3 (x) = x 2 6) f 1 (x) = x 2 f 2 (x) = 4x 2 + x 3 f 3 (x) = 2x 3 6x 2 INL 4.2 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen. Tips: Börja med att pröva om DE har en lösning på någon av formerna ax + b, x β, eller e γx. 1) x(x + 1)y + (2 x 2 )y (x + 2)y = 2) x 2 (1 x)y + x(x 4)y + 6y = 3) x 2 (x + 1)y + (2x + 1)(y xy ) = 4) xy (2x + 1)y 3(x 1)y = 5) x(x + 1)y + (x + 2)y y = 6) x 2 y (4x + 3)(xy y) = INL 4.3 Lös begynnelsevärdesproblemet. 1) y + y 6y =, y() = 3, y () = 4 2) y 4y + 4y =, y() = 3, y () = 2 3) y 2y 3y =, y() = 1, y () = 2 4) y + 4y + 4y =, y() = 2, y () = 4 5) y + 3y 1y =, y() = 8, y () = 5 6) y 1y + 25y =, y() = 2, y () = 7 INL 4.4 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen (för antingen x > eller x < ). 1) y 1y +25y = xe x +3e 5x 2) y y 12y = e 2x 4xe 4x 3) y + 8y + 16y = xe 3x 2e 4x 4) y + y 2y = 3xe x + 5e 3x 5) y 6y + 9y = 6e 3x + xe x 6) y 2y 8y = 2xe 2x 5e 3x INL 4.5 Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen. 1) x 2 y + 9xy + 16y = 2) x 2 y + 2xy 2y = 3) x 2 y 5xy + 9y = 4) x 2 y xy 8y = 5) x 2 y + 7xy + 9y = 6) x 2 y + 2xy 6y = 7
8 4. Olinjära ODE av högre ordningar........................................... ZC 4.9 INL 4.6 Bestäm alla lösningar till differentialekvationen. 1) (y 2)y = (y ) 2 2) yy = 3(y ) 2 3) yy + (y ) 2 = yy 4) y = (y ) 2 5) y = 2y(y ) 3 6) (y + 1)y = 2(y ) 2 7. Laplacetransformen................................................................... ZC 7.1 7.5 INL 7.1 Lös differentialekvationsproblemet för t och med y() = 2., t < 2, t < 6 1) y (t) + 7y(t) = 5, 2 t < 5 4) y (t) + 3y(t) = 3t + 2, 6 t < 9 2t + 1, t 5 4, t 9 5 3t, t < 5 8 5t, t < 4 2) y (t) + 4y(t) =, 5 t < 7 5) y (t) + 2y(t) = 7, 4 t < 8 9, t 7, t 8 6, t < 3 9, t < 3 3) y (t) + 8y(t) = 7t 4, 3 t < 6. 6) y (t) + 5y(t) =, 3 t < 7, t 6 6t 1, t 7 INL 7.2 Lös integralekvationen för t. { t, t < 2 1) y(t) + 2 y(t w) cos(w) dw = e 2 t, t 2 2) y(t) = cos(3t) + 4 3) y(t) + 2 t 4) 2e 2t = 2y(t) + 5 5) y(t) + t t y(ξ) dξ = t + t e 2τ cos(2τ) y(t τ) dτ, t < 3 1, 3 t < 5, t 5 y(ω) sin ( 2(t ω) ) dω y(ω) ( 5(t ω) + 2 3 (t ω)3) dω = { t, t < 5 6) y(t) + e t e ξ y(ξ) dξ = e 1 2t, t 5 {, t < 3 t 3, t 3 INL 7.3 Lös differentialekvationsproblemet för t. 1) y + 8y + 16y = 2δ(t 3) 5U(t 8), y() = 3, y () = 1 2) y + y 2y = 4U(t 3) + δ(t 5), y() = 2, y () = 5 3) y 6y + 9y = U(t 2) 2δ(t 7), y() = 2, y () = 1 4) y 2y 8y = δ(t 6) + 5U(t 9), y() = 1, y () = 14 5) y + 6y + 9y = 5U(t 6) + δ(t 4), y() = 2, y () = 3 6) y 4y 12y = 5δ(t 3) 2U(t 4), y() = 2, y () = 28
Block 3 Differensekvationer Z. Linjära differensekvationer................................................ Anteckningar INL z.1 Lös differensekvationsproblemet. 1) 6y n + y n 1 2y n 2 =, y = 1, y 1 = 4. 2) 4y n + 4y n 1 + y n 2 =, y = 3, y 1 = 2. 3) 12y n + y n 1 y n 2 =, y = 11, y 1 = 1. 4) 1y n + 3y n 1 y n 2 =, y = 21, y 1 =. 5) 9y n 12y n 1 + 4y n 2 =, y = 1, y 1 = 2. 6) 2y n + y n 1 y n 2 =, y = 14, y 1 = 1. INL z.2 Lös differensekvationsproblemet. 1) y n 1 3y n = y = 2. {, n 5, 3, n = 5, 4) y n 1 + 6y n = y = 2. {, n 7, 4, n = 7, 2) y n 1 + 5y n = y = 4. {, n 3, 5, n = 3, 5) y n 1 7y n = y = 3. {, n 6, 3, n = 6, 3) y n 1 4y n = y = 5. {, n 4, 2, n = 4, 6) y n 1 + 4y n = y = 5. {, n 9, 3, n = 9, INL z.3 Lös differensekvationen med begynnelsevillkoret y =. 1) 4y n 1 + y n = ( 4) n 2) 2y n 1 + y n = ( 2) n 3) 5y n 1 y n = 5 n 4) 3y n 1 + y n = ( 3) n 5) 6y n 1 y n = 6 n 6) 2y n 1 y n = 2 n 9