Mtte KONVENT Plugg tillsmmns inför de ntionell proven i mtemtik M te m Länktips: tikcinnehåll: Mttecentrum.se Pluggtips Formelsmlingen.se Formelsmling Mtteboken.se Ntionell prov från tidigre år Pluggkuten.se I smrbete med rbetsgivrorgnistionen
Så lycks du med det ntionell provet För tt få ut så mycket som möjligt v kvällens mttekonvent vill vi uppmuntr dig tt ställ mång frågor till volontärern. De finns på plts idg för din skull och de vill hjälp till! Självklrt kn du ställ vilk mttefrågor du vill; de behöver inte hndl om en specifik uppgift på övningsprovet. Här följer någr pluggtips från oss på Mttecentrum: Rit upp problemet: Inget förklrr ett problem så br som en figur och det mest går tt rit. Sk du räkn ut måtten på en hge? Rit hgen! Sk du lös en trigonometrisk ekvtion? Rit enhetscirkeln! T problemet steg för steg: De flest v oss kn inte håll mssor v steg i huvudet smtidigt så h för vn tt lltid skriv ner ll delr i din uträkning så blir det färre slrvfel och både du, lärren och volontärern kn lättre följ med i hur du hr tänkt. Jobb med grundteknikern: Inom mtemtiken bygger de mer vncerde metodern oft på grundtekniker som mn hr lärt sig i tidigre mttekurser eller kpitel så se till tt öv lite etr på eempelvis prioriteringsreglern, ekvtionslösning och ndr grundtekniker om de mer vncerde metodern känns knepig. Prt mtte: Hjälp dig själv och ndr genom tt diskuter problemen tillsmmns. Genom tt prt mtte övr du på llt möjligt: din egen förståelse, hur problem kn ttckers på fler olik sätt, ditt mtemtisk språk och ditt mttesjälvförtroende. Kn du förklr en metod för en kompis så vet du tt du själv behärskr den. Prtr du mtte övr och förbereder du dig även inför det muntlig ntionell provet! Kvlitet istället för kvntitet: Tänk kvlitet istället för kvntitet. Ägn hellre en hel lektion åt tt verkligen försök förstå Pytghors sts än tt räkn ut hypotenusn i 30 olik tringlr utn tt förstå vd du fktiskt gör.
Tips för tt lös en specifik uppgift 1 Läs uppgiften noggrnt! Förstår du uppgiften? Vd frågs det efter egentligen? Det kn vr något som sk räkns ut eller något som sk ställs upp för tt sedn räkns ut. Om inte, vd är det du inte förstår? Är det viss ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften ber dig tt nvänd? Koll upp de delr som du inte förstår genom tt slå upp orden, bäddr bkåt i boken för tt fräsch upp minnet eller fråg en volontär! 3 Innn du börjr lös uppgiften, ställ dig frågn: Förstår jg vilken metod som sk nvänds för tt lös uppgiften? Om inte, koll upp liknnde uppgifter och titt på hur lösningsmetodern är där. När du vet vilken metod som sk nvänds till den uppgift du sitter med kn du ställ dig själv följnde frågor: Förstår jg metoden som nvänds? Förstår jg vrför just denn metod nvänds till denn typ v problem? Om inte, gå tillbk till vsnittet med den metoden i boken och fräch upp minnet eller fråg en volontär. Räknt klrt och svret är glet? Då sk du felsök svret! Gå noggrnt igenom uträkningrn för tt se om du gjorde någr räknefel och ställ dig än en gång frågorn i de först två punktern för tt försäkr dig om tt du verkligen hr förstått frågn och nvänt rätt räkneopertioner. Känns uträkningen och metoden fortfrnde rätt, räkn om uppgiften på en helt ny sid utn tt tjuvkik på den gml uträkningen! Fortfrnde fel svr och svret är detsmm som du fick först gången du räknde? Då hr du troligtvis inte gjort ett slrvfel, utn nvänder fel metod. Gå tillbk och koll hur liknnde uppgifter hr lösts. Känner du tt du ändå inte kommer vidre på egen hnd, fråg en volontär! Läs mer ingående tips på mtteboken.se!
1(4) Formler till ntionellt prov i mtemtik, kurs Algebr Regler ( b) b b ( b) b b ( b )( b ) b Andrgrdsekvtioner p q 0 b c 0 p p b b 4c q Aritmetik Prefi T G M k h d c m n p ter gig meg kilo hekto deci centi milli mikro nno piko 10 1 10 9 10 6 10 3 10 10-1 10-10 -3 10-6 10-9 10-1 Potenser y y y y y y ( ) 1 b ( b) b b 1 n n 0 1 Logritmer y 10 lg y lg lg y lg y lg lg y lg y lg p p lg 15-09-07 Skolverket
(4) Funktioner Rät linjen Andrgrdsfunktioner y k m k y y1 1 y b c 0 by c 0, där inte både och b är noll Potensfunktioner Eponentilfunktioner y C y C 0 och 1 Geometri Tringel bh A Prllellogrm A bh Prllelltrpets h( b) A Cirkel πd A πr 4 O πr πd Cirkelsektor v b 360 πr v A π br r 360 Prism V Bh Cylinder V πr h Mntelre A πrh Pyrmid V Bh 3 15-09-07 Skolverket
3(4) Kon πr h V 3 Mntelre A πrs Klot 4πr 3 V 3 A 4πr Likformighet Tringlrn ABC och DEF är likformig. d b e c f Skl Areskln = (Längdskln) Volymskl n = (Längdskln) 3 Topptringel- och trnsverslstsen Om DE är prllell med AB gäller DE CD CE och AB AC BC CD CE AD BE Bisektriss tsen AD BD AC BC Vinklr u v 180 Sidovinklr w v Vertiklvinklr L 1 skär två prllell linjer L och L 3 v w Likbelägn vinklr u w Alterntvinklr 15-09-07 Skolverket
4(4) Kordstsen b cd Rndvinkelstsen u v Pythgors sts b c Trigonometrii sin v c b cosv c tn v b Avståndsformeln Mittpunktsformeln d 1 ( ( ) y y1) m 1 ocho y m y 1 y Sttistik och snnolikhet Stndrdvvikelsee för ett stickprov s ( 1 ) (... ( n 1 ) n ) Lådgrm Normlfördelning 15-09-07 Skolverket
NpMc vt 015 Delprov B: Digitl verktyg är inte tillåtn. Endst svr krävs. Skriv din svr direkt i provhäftet. 1. Ange det uttryck som sk stå i prentesen för tt likheten sk gäll. ( ) ( 5) = 5 (1/0/0). Lös ekvtionern. Svr ekt. ) 5 = 3 (1/0/0) b) + 1 = 5 (1/0/0) 3. Koordintsystemet visr en rät linje L och en punkt P som ligger på linjen. ) Ange ekvtionen för den rät linjen L. (1/0/0) b) Ange ekvtionen för en nnn rät linje så tt den tillsmmns med linjen L bildr ett ekvtionssystem som hr sin lösning i punkten P. (1/0/0)
NpMc vt 015 4. På tllinjen finns se punkter A F mrkerde. Vrje tl nedn motsvrs v en mrkerd punkt på tllinjen. Pr ihop vrt och ett v tlen med en punkt på tllinjen genom tt skriv rätt bokstv A F vid rätt tl. (/0/0) 5. Två v ekvtionern A E hr reell lösningr. Vilk två? A. + 3 = 1 B. + 6 3= C. = 9 D. 4 + 9 = E. ( )( + ) = 0 (0/1/0) 6. Beräkn 10 om lg = 0 (0/1/0) 7. Under år 1998 skickdes 44 miljoner sms i Sverige. Under år 01 skickdes 16 514 miljoner sms. Ant tt den årlig procentuell ökningen v ntl sms per år hr vrit lik stor under hel tidsperioden. Beteckn den årlig förändringsfktorn med. Teckn en ekvtion med vrs hjälp kn beräkns. (0/1/0) 3
NpMc vt 015 8. Koordintsystemet visr grfern till en rät linje f och en ndrgrdsfunktion g. Besvr frågorn med hjälp v grfern. ) För vilk värden på gäller tt g< ( ) 3? (0//0) b) För vilk värden på gäller tt f( ) g( ) = 0? (0/0/1) 9. Förenkl följnde uttryck så långt som möjligt. ) ( + 3) ( + 3) (0/0/1) b) lg lg lg (0/0/1) 4
NpMc vt 015 Delprov C: Digitl verktyg är inte tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. 10. Lös ndrgrdsekvtionen 6+ 5= 0 med lgebrisk metod. (/0/0) 11. Lös ekvtionssystemet y = 5 y = 4 med lgebrisk metod. (/0/0) 1. Figuren visr två rektnglr som hr sidlängdern cm respektive ( 8 ) cm. Bestäm den störst totl re som de två rektnglrn kn h tillsmmns. (1//0) b 13. Förenkl uttrycket så långt som möjligt om = + 1 4 och b = 1, 5 (0//0) 14. En ndrgrdsekvtion + ( + 4 ) + ( b + 5 ) = 0 hr lösningrn 1 =1 = 3 Bestäm värdet på och b. (0//0) 5
NpMc vt 015 15. I en rätvinklig tringel ABC finns en grå kvdrt AEFD inritd. Sträckn BE är 4 cm och sträckn CD är cm. Se figur. Vis tt den grå kvdrtens re är 8 cm. (0//0) 16. En cirkel med rdien tngerr de positiv koordintlrn. Den tngerr även en mindre cirkel som hr mittpunkten i origo. Se figur. Vis tt den mindre cirkelns rdie är ( 1 ) längdenheter. (0/0/3) 6
NpMc vt 015 17. För ndrgrdsfunktionen f gäller tt f ( ) = 0, 5 + b ) Bestäm för vilk värden på b som f endst hr ett nollställe. (0//0) I figuren nedn ser du grfern till funktionen f för någr olik värden på b. Grferns mimipunkter är mrkerde. Då b vrierr följer mimipunktern grfen till en ny ndrgrdsfunktion g, se figur. b) Bestäm ndrgrdsfunktionen g. (0/0/3) 7
NpMc vt 015 Delprov D: Digitl verktyg är tillåtn. Skriv din lösningr på seprt ppper. 18. En linje går genom punktern (0, 0) och (3; 6,45). En nnn linje hr ekvtionen y =,15 + 3. Vis tt linjern är prllell. (/0/0) 19. För funktionen f gäller tt f ( ) = 4 + C där C är en konstnt. Punkten (5, 7) ligger på funktionens grf. Bestäm koordintern för en nnn punkt som också ligger på grfen. (/0/0) 0. Lådgrmmet visr resulttet från ett stickprov. Stickprovet nger ntlet timmr en person sov per ntt under en period v 15 nätter. Värden i stickprovet nedn är ngivn i storleksordning. Två värden hr erstts med respektive y., 5, 6, 6, 7, 7, 7, y, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 13 Vilk värden hr och y? Motiver ditt svr. (/0/0)
NpMc vt 015 1. Mgnituden M är ett mått på hur strkt en stjärn lyser och kn beräkns med hjälp v formeln r M 5 = 5 lg 3 10 16 där r är vståndet i meter från jorden till stjärnn och en konstnt för en specifik stjärn, se tbell nedn. Stjärnns nmn M r Solen 4,80 6, 7 Sirius A 1,46 Proim Centuri 15,5 11,1 11 1,50 10 16 8,14 10 ) Beräkn mgnituden M för stjärnn Sirius A. (/0/0) b) Beräkn vståndet r till stjärnn Proim Centuri. (0//0) 3
NpMc vt 015. Ett eemplr v ett känt dtorföretgs först dtormodell såldes under år 013. I smbnd med försäljningen kunde mn läs följnde i en tidningsnotis: Priset för dtorn hr därmed tusenfldigts, sedn den ursprungligen såldes 1976. Den tillverkdes för hnd v företgets båd grundre, ledren Steve Jobs och progrmmerren Steve Woznik, hemm i Jobs grge. 1 Enligt tidningsnotisen såldes dtorn år 013 till ett pris som vr tusen gånger så stort som priset år 1976. Ant tt den procentuell prisökningen vrit lik stor vrje år. Beräkn den årlig procentuell prisökningen melln år 1976 och år 013 för dtorn. (0/3/0) 3. För en funktion f där f ( ) = k + m gäller tt f ( + ) f ( ) = 3 f ( 4 ) = m Bestäm funktionen f. (0/0/) 1 TT 6 mj 013 4
NpMc vt 015 4. En Gltonbräd är en nordning som nvänds för tt illustrer normlfördelning. Kulor släpps ner och ändrr riktning genom tt psser ett ntl spikr. Kulorn hmnr i olik fck och ntlet kulor i fcken blir ungefär normlfördelt kring mitten v brädn. Se figur. Vid ett eperiment släpptes 1478 kulor ner i en Gltonbräd med 16 fck. I fck 6 hmnde 136 kulor, i fck 7 hmnde 3 kulor och i fck 8 hmnde 81 kulor. Hur mång kulor bör h hmnt i fck 5? (0/0/) 5
NpMc vt 015 5. Ett företg tillverkr nslgstvlor v olik storlekr. Vrje nslgstvl består v en rektngulär pltt omgiven v en rm. Rmen består v fyr delr som sågs till v en 5 cm bred trälist. Delrns ändr är sågde med vinkeln 45 och trälistens utseende gör tt delrn br kn monters på ett sätt. Rmen monters så tt den går cm in över plttns frmsid. Se figur. Mterilkostnden för en nslgstvl beror på plttns re och trälistens längd. Priset för plttn nges i kr/m och för trälisten i kr/m. Mterilkostnden för en nslgstvl med bredden 36 cm och längden 46 cm är 59 kr. För en nslgstvl med bredden 46 cm och längden 56 cm är mterilkostnden 81 kr. Se figur. Teckn ett generellt uttryck för den totl mterilkostnden för nslgstvlor som hr bredden m och längden b m. (0/0/4) 6
NpMc vt 015 Bedömningsnvisningr Eempel på ett godtgbrt svr nges inom prentes. Till en del uppgifter är bedömd elevlösningr bifogde för tt nge nivån på bedömningen. Om bedömd elevlösningr finns i mterilet mrkers dett med en symbol. Delprov B 1. M 1/0/0 Korrekt svr ( + 5 ) +1 E P. M /0/0 lg3 ) Korrekt svr ( = ) +1 E P lg5 b) Korrekt svr ( = 4 ) +1 E P 3. M /0/0 ) Korrekt svr ( y = + ) +1 E P b) Korrekt svr (t.e. y = 4) +1 E PL 4. M /0/0 Anger minst tre korrekt lterntiv med korrekt svr +1 E B +1 E B 5. M 0/1/0 Korrekt svr (Alterntiv B: + 6 5 = 0 och E: ( )( + ) = 0 ) +1 C B 6. M 0/1/0 Korrekt svr (0,1) +1 C B 9
NpMc vt 015 7. M 0/1/0 14 Korrekt svr (t.e. 16514 = 44 ) +1 C M 8. M 0//1 ) Godtgbrt ngivet intervll, t.e. då är melln 3 och 4 +1 C B med korrekt nvänd olikhetstecken ( 3 < < 4 ) +1 C K b) Korrekt svr ( = och = 4) +1 A B 9. M 0/0/ ) Korrekt svr ( 3 ) +1 A P b) Korrekt svr ( lg ) +1 A P Delprov C 10. M /0/0 Godtgbr nsts, sätter in värden korrekt i formeln för lösning v ndrgrdsekvtioner eller motsvrnde för kvdrtkomplettering +1 E P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( 1 = 1, = 5 ) +1 E P Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 11. M /0/0 Godtgbr nsts, bestämmer en vribel med lgebrisk metod +1 E P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( =, y = 1 ) +1 E P 1. M 1//0 Godtgbr nsts, t.e. tecknr korrekt uttryck för rektnglrns totl re, ( 8 ) +1 E PL med godtgbr fortsättning, t.e. visr insikt om tt symmetrilinjen ger funktionens mimum med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (3 cm ) +1 C PL +1 C PL 10
NpMc vt 015 13. M 0//0 Godtgbr nsts, sätter in uttrycken för och b och utvecklr (4 + 4 + 1 ) ( 1, 5 ) 4, +1 C P med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( + 1) +1 C P 14. M 0//0 Godtgbr nsts, t.e. tecknr ett korrekt ekvtionssystem +1 C PL med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( = och b = 8) +1 C PL 15. M 0//0 Godtgbr nsts, t.e. ställer upp en relevnt ekvtion utifrån likformighet med fortstt välgrundt resonemng som visr tt ren är 8 cm +1 C R +1 C R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 16. M 0/0/3 Godtgbr nsts, t.e. bestämmer vståndet melln origo och den stor cirkelns mittpunkt, +1 A R med fortstt välgrundt och nynsert resonemng som visr tt rdien är ( 1 ) l.e. +1 A R Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 11
NpMc vt 015 17. M 0//3 ) Godtgbr nsts, t.e. tecknr ekvtionen = b b 4 för beräkning v funktionens nollställe +1 C P med fortstt välgrundt resonemng med korrekt svr ( b = ) +1 C R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. b) Godtgbr nsts, t.e. visr tt mimipunkterns y-koordint för olik värden på b är 0, 5 b + b +1 A PL med i övrigt godtgbr lösning med korrekt tecknt funktionsuttryck för g ( g ( ) = 0, 5 ) +1 A PL Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 Kommentr: Lösning som bsers på specilfll är också godtgbr eftersom det i uppgiften är givet tt g är en ndrgrdsfunktion. +1 A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. Delprov D 18. M /0/0 Godtgbr nsts, t.e. inser tt k-värdet för linjen genom origo sk bestämms med fortstt enkelt resonemng som visr tt linjern är prllell +1 E R +1 E R Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 19. M /0/0 Godtgbr nsts, t.e. bestämmer konstnten C, C = +1 E PL med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (t.e. (0, )) +1 E PL Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 1
NpMc vt 015 0. M /0/0 Godtgbr nsts, bestämmer ett värde korrekt +1 E B med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( = 3 och y = 7 ) +1 E B 1. M //0 ) Godtgbr nsts, t.e. ställer upp ett korrekt uttryck för bestämning v M, 16 8,14 10 M = 1,46 5 lg +5 16 3 10 +1 E M med i övrigt godtgbr lösning med godtgbrt svr (1,37) +1 E M r b) Godtgbr nsts, t.e. skriver om ekvtionen till 0,1 = lg 16 3 10 +1 C P med i övrigt godtgbr lösning med godtgbrt svr ( 3,95 10 m ) +1 C P 16. M 0/3/0 Godtgbr nsts, tolkr problemet och kommer frm till ekvtionen 37 1000 = +1 C M med i övrigt godtgbr lösning med godtgbrt svr (1 %) Lösningen kommunicers på C-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 C M +1 C K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 3. M 0/0/ Godtgbr nsts, t.e. bestämmer funktionens riktningskoefficient, 1,5 +1 A B med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr ( f ( ) = 1, 5 + 6 ) +1 A PL 4. M 0/0/ Godtgbr nsts, inser tt en stndrdvvikelse motsvrr två fck, d.v.s. tt fck 7 och 8 tillsmmns innehåller 34,1 % v totl ntlet kulor med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (65 stycken) +1 A PL +1 A PL 13
NpMc vt 015 5. M 0/0/4 Godtgbr nsts, t.e. ställer upp ett korrekt ekvtionssystem +1 A M med godtgbr fortsättning där t.e. priset v plttn och trälisten beräkns, 150 kr/m för plttn och 5 kr/m för trälisten +1 A M med i övrigt godtgbr lösning med korrekt svr (150b + 41 + 41b + 0,54 ) +1 A M Lösningen kommunicers på A-nivå, se de llmänn krven på sidn 4 +1 A K Se vsnittet Bedömd elevlösningr. 14