Mattekonvent. Matematik. Keep calm and do math. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov. Plugga inför nationella provet med Mattecentrum!

Transkript

1 Keep calm and do math Mattekonvent Plugga inför nationella provet med Mattecentrum! Matematik 1A Innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov matteboken.se pluggakuten.se formelsamlingen.se

2 Så lyckas du med det nationella provet För att få ut så mycket som möjligt av kvällens mattekonvent vill vi uppmuntra dig att ställa många frågor till volontärerna. De finns på plats idag för din skull och de vill hjälpa till! Självklart kan du ställa vilka mattefrågor du vill; de behöver inte handla om en specifik uppgift på övningsprovet. Här följer några pluggtips från oss på Mattecentrum: Rita upp problemet: Inget förklarar ett problem så bra som en figur och det mesta går att rita. Ska du räkna ut måtten på en hage? Rita hagen! Ska du lösa en trigonometrisk ekvation? Rita enhetscirkeln! Ta problemet steg för steg: De flesta av oss kan inte hålla massor av steg i huvudet samtidigt så ha för vana att alltid skriva ner alla delar i din uträkning så blir det färre slarvfel och både du, läraren och volontärerna kan lättare följa med i hur du har tänkt. Jobba med grundteknikerna: Inom matematiken bygger de mer avancerade metoderna ofta på grundtekniker som man har lärt sig i tidigare mattekurser eller kapitel så se till att öva lite extra på exempelvis prioriteringsreglerna, ekvationslösning och andra grundtekniker om de mer avancerade metoderna känns knepiga. Prata matte: Hjälp dig själv och andra genom att diskutera problemen tillsammans. Genom att prata matte övar du på allt möjligt: din egen förståelse, hur problem kan attackeras på flera olika sätt, ditt matematiska språk och ditt mattesjälvförtroende. Kan du förklara en metod för en kompis så vet du att du själv behärskar den. Pratar du matte övar och förbereder du dig även inför det muntliga nationella provet! Kvalitet istället för kvantitet: Tänk kvalitet istället för kvantitet. Ägna hellre en hel lektion åt att verkligen försöka förstå Pytaghoras sats än att räkna ut hypotenusan i 30 olika trianglar utan att förstå vad du faktiskt gör.

3 Tips för att lösa en specifik uppgift 1 Läs uppgiften noggrant! Förstår du uppgiften? Vad frågas det efter egentligen? Det kan vara något som ska räknas ut eller något som ska ställas upp för att sedan räknas ut. Om inte, vad är det du inte förstår? Är det vissa ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften ber dig att använda? Kolla upp de delar som du inte förstår genom att slå upp orden, bäddra bakåt i boken för att fräscha upp minnet eller fråga en volontär! 2 3 Innan du börjar lösa uppgiften, ställ dig frågan: Förstår jag vilken metod som ska användas för att lösa uppgiften? Om inte, kolla upp liknande uppgifter och titta på hur lösningsmetoderna är där. När du vet vilken metod som ska användas till den uppgift du sitter med kan du ställa dig själv följande frågor: Förstår jag metoden som används? Förstår jag varför just denna metod används till denna typ av problem? Om inte, gå tillbaka till avsnittet med den metoden i boken och frächa upp minnet eller fråga en volontär. Räknat klart och svaret är galet? Då ska du felsöka svaret! Gå noggrant igenom uträkningarna för att se om du gjorde några räknefel och ställ dig än en gång frågorna i de första två punkterna för att försäkra dig om att du verkligen har förstått frågan och använt rätt räkneoperationer. Känns uträkningen och metoden fortfarande rätt, räkna om uppgiften på en helt ny sida utan att tjuvkika på den gamla uträkningen! Fortfarande fel svar och svaret är detsamma som du fick första gången du räknade? Då har du troligtvis inte gjort ett slarvfel, utan använder fel metod. Gå tillbaka och kolla hur liknande uppgifter har lösts. Känner du att du ändå inte kommer vidare på egen hand, fråga en volontär! Läs mer ingående tips på matteboken.se!

4 Formler till nationellt prov i matematik 1 PREFIX Beteckning T G M k h d c m µ n p Namn tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko Tiopotens POTENSER För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller a x a y = a x+ y a x a y = a x y a x b = a x b x a x = 1 a x ( a ) x y = a x y a x b x = ( ab) x 1 a n = n a 0 = 1 a FUNKTIONS- LÄRA Räta linjen y = k x + m om y = k x är y proportionell mot x Exponentialfunktion y = Ca x där C och a är konstanter a > 0 och a 1 Potensfunktion y = C x a där C och a är konstanter GEOMETRI Pythagoras sats a 2 + b 2 = c 2 Triangel area = bh 2 Parallellogram area = bh Parallelltrapets area = h ( a + b ) 2 Cirkel area = π r 2 = π d 2 4 omkrets = 2π r = π d Cirkelsektor bågen b = v 360 2πr area = v 360 πr2 = br 2 Skolverket

5 Prisma volym = Bh Cylinder Rak cirkulär cylinder volym = π r 2 h mantelarea = 2π r h Pyramid volym = Bh 3 Kon Rak cirkulär kon volym = π r2 h 3 mantelarea = π r s Klot 4π r3 volym = 3 area = 4π r 2 Skala areaskala = (längdskala) 2 volymskala = (längdskala) 3 TRIGONOMETRI Definitioner Rätvinklig triangel sin v = a c cos v = b c tan v = a b Enhetscirkel OP är radie i en enhetscirkel. Koordinaterna för P är ( x 1, y 1 ) Definitioner sin v = y 1 cos v = x 1 tan v = y 1 x 1 Skolverket

6 DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA Anvisningar Delprov B Provtid 60 minuter för Delprov B. Hjälpmedel Uppgifter Kravgränser Tillåtna hjälpmedel på Delprov B är formelblad och linjal. Detta delprov består av uppgifter som ska lösas utan digitala verktyg. Svar och lösningar skrivs i provhäftet. På några av uppgifterna krävs redovisning, som redovisas i figur och ruta intill uppgiften. Till övriga uppgifter krävs endast svar. Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som du kan få för ditt svar/din lösning. Provet (Delprov A D) ger totalt högst 79 poäng. Gräns för provbetyget E: Minst 19 poäng. D: Minst 33 poäng varav minst 11 poäng på lägst nivå C. C: Minst 43 poäng varav minst 19 poäng på lägst nivå C. B: Minst 53 poäng varav minst 4 poäng på nivå A. A: Minst 62 poäng varav minst 8 poäng på nivå A. Namn: Födelsedatum: Program: Klass: Illustration: Jens Ahlbom NpMa1a Delprov B ht2016 3

7 DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA 1. Vilket av följande tal är det bästa närmevärdet till 6,35 3,2? Ringa in ditt svar. 0,203 2,03 20, (1/0/0) 2. En formel för momsberäkning är inlagd i ett kalkylblad. Vad blir kostnaden med moms? Svar: kr (2/0/0) 3. Skriv talet 20 som en produkt av två negativa tal. Svar: (1/0/0) 4. Daniel har bara två ägg. Hur mycket mjölk behövs enligt receptet om han ska göra pannkakor på två ägg? Svar: dl (1/0/0) NpMa1a Delprov B ht2016 5

8 DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA 5. Vilket tal ska stå i rutan för att likheten ska gälla? = 17 Svar: (1/0/0) 6. Du vet att = 82,5. Vad är då ,4? Svar: (1/0/0) 7. Hur lång är sträckan S uttryckt i den givna skalan? S Svar: l.e. (1/0/0) 8. Lös ekvationen 15,8 = 2x 7,2 Redovisa din lösning. Svar: x = (2/0/0) NpMa1a Delprov B ht2016 6

9 DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA 9. Elin har börjat i en ny skola och behöver åka buss till och från skolan varje dag. Diagrammet visar kostnaden för enkelresor, det vill säga för en resa till eller från skolan. a) Ett månadskort kostar 230 kr. Hur många enkelresor måste Elin minst göra för att hon ska tjäna på att köpa ett månadskort? Svar: (1/0/0) b) Vad kostar en enkelresa enligt diagrammet? Motivera ditt svar. Svar: kr (1/1/0) NpMa1a Delprov B ht2016 7

10 DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA 10. Det ursprungliga priset på en vara är kr. Varans värde ökar med 5 % per år. y är varans pris och x är antalet år efter inköp. Vilket av följande samband beskriver prisutvecklingen? Ringa in ditt svar. y = 1,05 x y = ,05 x y = ,95 x y = ,05x y = 2000(x + 5) (0/1/0) 11. Förenkla uttrycket 3(x + 5) (x + 1) så långt som möjligt. Svar: (0/1/0) 12. Vilket tal ligger exakt mitt emellan 10 2 och 10 4? Svar: (0/1/0) 13. När Pelle fick 1,5 % i löneökning blev det 300 kr. Hur många kronor skulle han ha fått i löneökning om löneökningen hade varit 4 %? Svar: kr (0/2/0) NpMa1a Delprov B ht2016 8

11 DIGITALA VERKTYG ÄR INTE TILLÅTNA 14. Vilket eller vilka tal av alternativen nedan är större än 2 promille? Ringa in ditt/dina svar , , (0/1/1) 15. A = B B + 1 där B är ett positivt tal. Blir A större eller mindre om B dubbleras? Motivera ditt svar. Svar: (1/1/1) NpMa1a Delprov B ht2016 9

12 Anvisningar Delprov C Provtid 60 minuter för Delprov C. Hjälpmedel Tillåtna hjälpmedel på Delprov C är digitala verktyg, formelblad och linjal. Uppgifter Detta delprov består av en stor uppgift. Lösningen till uppgiften redovisar du på separata papper som du lämnar in tillsammans med provhäftet. I arbetet med uppgiften krävs det att du redovisar dina lösningar förklarar och motiverar dina tankegångar. Kravgränser Provet (Delprov A D) ger totalt högst 79 poäng. Gräns för provbetyget E: Minst 19 poäng. D: Minst 33 poäng varav minst 11 poäng på lägst nivå C. C: Minst 43 poäng varav minst 19 poäng på lägst nivå C. B: Minst 53 poäng varav minst 4 poäng på nivå A. A: Minst 62 poäng varav minst 8 poäng på nivå A. Namn: Födelsedatum: Program: Klass: Skriv även ditt namn, födelsedatum, program och klass på de papper som du lämnar in. Illustration: Jens Ahlbom NpMa1a Delprov C ht2016 3

13 16. Spela kula (3/5/3) På en skolgård spelar barnen kula. Barnen kastar kulor mot pyramider som består av fyra kulor. Följande spelregler gäller: Spelregler: Spelet spelas i par. En person som ställer upp en pyramid (uppställare) och en person som kastar kulor mot pyramiden (kastare). Kastaren kastar en kula i taget. En spelomgång pågår tills kastaren träffar pyramiden. Om kastaren träffar pyramiden så vinner hon/han de fyra kulorna som finns i pyramiden. Kastaren förlorar alltid den kula som hon/han kastar. Det gäller både om hon/han träffar pyramiden eller inte. NpMa1a Delprov C ht2016 4

14 Camilla har under en dag observerat sin lillebror Niklas när han kastar kula. Av 150 kast har Niklas träffat pyramiden 15 gånger och missat 135 gånger. Besvara följande frågor utifrån spelreglerna och Camillas observationer av hur ofta Niklas träffar eller missar. I. Hur stor är sannolikheten att Niklas träffar pyramiden i första kastet i en spelomgång? II. Rita av träddiagrammet och ange sannolikheterna för träff och miss i de första tre kasten. Om Niklas har fler kulor efter en spelomgång än före kallas det att gå plus. Om Niklas har färre kulor efter en spelomgång än före kallas det att gå minus. III. IV. Hur många kulor kan Niklas gå plus med i en spelomgång? Ange samtliga möjligheter. Hur stor är sannolikheten att Niklas går plus med precis två kulor i en spelomgång? V. Hur stor är sannolikheten att Niklas går plus med minst en kula i en spelomgång? VI. Hur stor är sannolikheten att Niklas går minus med minst en kula i en spelomgång? Motivera. NpMa1a Delprov C ht2016 5

15 Anvisningar Delprov D Provtid 120 minuter för Delprov D. Hjälpmedel Uppgifter Kravgränser Tillåtna hjälpmedel på Delprov D är digitala verktyg, formelblad och linjal. Detta delprov består av flera olika uppgifter. Lösningarna till uppgifterna redovisar du på separata papper, som du lämnar in tillsammans med provhäftet. Till de flesta uppgifterna räcker det inte med endast svar, utan där krävs det också att du redovisar dina lösningar förklarar/motiverar dina tankegångar ritar figurer vid behov. Provet (Delprov A D) ger totalt högst 79 poäng. Gräns för provbetyget E: Minst 19 poäng. D: Minst 33 poäng varav minst 11 poäng på lägst nivå C. C: Minst 43 poäng varav minst 19 poäng på lägst nivå C. B: Minst 53 poäng varav minst 4 poäng på nivå A. A: Minst 62 poäng varav minst 8 poäng på nivå A. Namn: Födelsedatum: Program: Klass: Skriv även ditt namn, födelsedatum, program och klass på de papper som du lämnar in. Illustration: Jens Ahlbom NpMa1a Delprov D ht2016 3

16 17. Följande skylt finns i en affär: Hur stor är rabatten i procent? (1/0/0) 18. Jeansstorlekar anges i hela tum. 1 tum motsvarar 2,54 cm. Joseph har midjemåttet 74 cm. Vilken tumstorlek på jeans ska han välja? (2/0/0) 19. Du åker 80 km på en timme. Hur många sekunder tar det då för dig att åka 100 m? (2/0/0) 20. För en bil med bra däck och bromsar kan den ungefärliga bromssträckan på torr asfalt beräknas med formeln s = v där s är bromssträckan i meter och v är hastigheten i km/h. Hur mycket längre blir bromssträckan enligt formeln om man kör i hastigheten 70 km/h jämfört med om man kör i hastigheten 50 km/h? (2/1/0) NpMa1a Delprov D ht2016 4

17 21. Diagrammet visar antalet miljarder mejl som i genomsnitt skickas i världen varje dag. a) Av alla mejl som skickas uppskattas att cirka 82 procent är spam (oönskade mejl). Ungefär hur många spam skickades under en dag år 2010? (2/0/0) b) Diagrammet är missvisande. Vad är det som är missvisande i diagrammet? (1/1/0) c) Om man skulle rita diagrammet korrekt, hur skulle det påverka utseendet på diagrammet? (1/1/0) 22. År 2014 var elpriset 27 öre per kwh. Det var 40 % lägre än året innan. Hur mycket kostade 1 kwh år 2013? 1 kwh = 1 kilowattimme (0/2/0) NpMa1a Delprov D ht2016 5

18 23. Nedanstående tabell visar genomsnittligt pris för en lunch år 2006 och år 2012 i några svenska städer. Har lunchpriset i Malmö ökat mer eller mindre än KPI (konsumentprisindex)? (0/2/0) Lunchpris i kronor År Stockholm Göteborg Malmö Riksgenomsnitt ,3 77,2 76,4 79, ,1 67,4 66,8 67,5 Källa: Gastrogate År KPI Kim och Alex jämför resultatet i skolvalet. Kim påstår att en ökning från 16 % till 19 % är större än en ökning från 32 % till 36 %. Alex säger att det är tvärtom. Kan båda ha rätt? Motivera. (1/1/1) 25. Frida tar ett sms-lån på kr. Lånet ska betalas tillbaka efter en månad och den procentuella månadsräntan är 20 %. När månaden är slut har Frida inte råd att betala sin skuld. För att betala skulden tar hon ett nytt sms-lån på hela det belopp hon är skyldig. Det nya lånet har samma procentuella månadsränta. Frida fortsätter att låna på samma sätt varje månad. Hur stor är Fridas skuld ett år efter att hon har tagit sitt första sms-lån? (0/2/1) NpMa1a Delprov D ht2016 6

19 26. I en fotoaffär trycker man rektangulära bilder på målarduk och monterar därefter bilden på en träram. Träramen kostar 0,45 kr/cm. Målarduk med tryck kostar 0,12 kr/cm 2 och kostnad för montering är 169 kr för alla ramstorlekar. a) Yasmin vill trycka en bild och få den monterad. Hon vill ha bilden 50 cm lång och 40 cm bred. Vad blir kostnaden? (1/2/0) b) För att beräkna priset på monterade bilder behöver personalen en formel där längd och bredd ingår. I priset ska ingå målarduk med tryck, ram och kostnad för montering. Hjälp fotoaffären att göra en sådan formel. (0/2/2) 27. Två lika stora dunkar är fyllda med en blandning av olja och bensin. I den ena dunken är förhållandet mellan olja och bensin 1:9 och i den andra dunken är förhållandet 1:4. Vilket blir förhållandet mellan olja och bensin om man häller de två dunkarnas innehåll i en större dunk? (0/1/2) NpMa1a Delprov D ht2016 7

20 BEDÖMNINGSANVISNINGAR 2. Bedömningsanvisningar Instruktioner för bedömning av delprov B 1. 20,3 Korrekt svar kr Korrekt svar. 3. T.ex. (-5) (-4) Korrekt svar med två negativa tal dl Korrekt svar Korrekt svar Korrekt svar. (1/0/0) (2/0/0) (1/0/0) (1/0/0) (1/0/0) (1/0/0) ,67 l.e. ; 2 och l.e. 3 Korrekt svar i intervallet 2,6 2,7. (1/0/0) 8. x = 11,5 Korrekt svar eller påbörjad lösning. Redovisad lösning (även prövning) som är möjlig att följa. 9. a) 12 (st) Korrekt svar. b) 20 kr Rimligt svar i intervallet kr med någon motivering. Redovisning som visar på lämplig avläsning, t.ex. 200/ y = ,05 x Korrekt svar x + 14 ; 2(x + 7) Korrekt svar Korrekt svar. (2/0/0) (1/0/0) (1/1/0) (0/1/0) (0/1/0) (0/1/0) 6 BEDÖMNINGSANVISNINGAR MATEMATIK 1A HT2016

21 BEDÖMNINGSANVISNINGAR kr Korrekt svar. (0/2/0) ,00201 och 499 Minst ett korrekt tal inringat och maximalt ett felaktigt tal inringat. Ringat in de båda korrekta talen och inget felaktigt tal inringat. (0/1/1) +A 15. A blir större Påbörjad lösning, sätter in ett värde på B och dess dubbla värde. Korrekt slutsats utifrån exempel. Korrekt slutsats utifrån generellt resonemang. (1/1/1) +A Till uppgiften finns bedömda elevlösningar, se s.12. BEDÖMNINGSANVISNINGAR MATEMATIK 1A HT2016 7

22 BEDÖMNINGSANVISNINGAR Instruktioner för bedömning av delprov C Uppgift 16 (3/5/3) Metod och genomförande Eleven anger någon sannolikhet, t.ex. sannolikheten för träff. E C A Eleven beräknar någon sannolikhet i flera steg, t.ex. P(miss, träff) eller P(miss, miss). Eleven beräknar sannolikheten för att gå minus med minst en kula. +A Eleven fyller i sannolikheterna i träddiagrammet. Eleven anger samtliga möjligheter för hur många kulor man kan gå plus med. Eleven beräknar sannolikheten för att gå plus med precis två kulor, P(miss, träff). Eleven beräknar sannolikheten för att gå plus med minst en kula. Redovisning Eleven visar möjliga utfall eller komplementhändelse för att gå plus med minst en kula. Redovisningen är möjlig att följa och omfattar minst en av punkterna IV VI. Det matematiska språket är acceptabelt. Eleven motiverar beräkningen för att gå minus med minst en kula. +A Redovisningen är lätt att följa och omfattar minst två av punkterna IV VI. Det matematiska språket är lämpligt. +A Till uppgiften finns bedömda elevlösningar, se s BEDÖMNINGSANVISNINGAR MATEMATIK 1A HT2016 9

23 BEDÖMNINGSANVISNINGAR Instruktioner för bedömning av delprov D (%) ; 23 (%) Lösning med godtagbart svar. (1/0/0) (tum) ; 30 (tum) Påbörjad lösning, t.ex. anger korrekt kvot med godtagbart svar. (2/0/0) 19. 4,5 (sekunder) Påbörjad lösning, t.ex. genomför enhetsbytet km/h till m/s. Lösning med godtagbart svar. (2/0/0) m Använder formeln och beräknar någon bromssträcka oberoende av hastighet. Bestämmer bromssträckan för hastigheten 50 km/h eller 70 km/h. Redovisning med korrekt svar. (2/1/0) 21. a) 156 miljarder (svar i intervallet miljarder) Godtagbar avläsning (intervallet miljarder). Redovisning med godtagbart svar. (2/0/0) b) Avståndet mellan årtalen på x-axeln är inte lika stora. Knapphändig beskrivning som inte anger på vilket sätt diagrammet är missvisande, t.ex. År 2003 är inte med. Beskrivning som anger att skalan inte är ekvidistant. (1/1/0) c) Kurvan skulle inte blivit lika brant, då man skulle förlängt x-axeln i förhållande till y-axeln. Mellan 2007 och 2010 hade kurvan blivit mindre brant, då 2 årtals statistik saknas. Beskrivning som antyder ett korrekt diagrams utseende. Beskrivning som tydligt anger hur ett korrekt diagram kommer att påverkas. (1/1/0) Bedömda avskrivna autentiska elevlösningar 1/0/0 Det skulle vara en mycket långsammare ökning. 1/1/0 Skulle man rita om diagrammet skulle främst x-axeln bli längre då det saknas 3 år. Diagrammet skulle inte ge samma effekt utökningen av skickade mejl ser ut att ha gått väldigt långsamt. 1/1/0 Kurvan skulle inte blivit lika brant, då man skulle förlängt x-axeln i förhållande till y-axeln. Mellan 2007 och 2010 hade kurvan blivit mindre brant, då 2 årtals statistik saknas. 10 BEDÖMNINGSANVISNINGAR MATEMATIK 1A HT2016

24 BEDÖMNINGSANVISNINGAR öre Påbörjad lösning, t.ex. visar att förändringsfaktorn är 0,6 eller visar med beräkning att minskningen ska baseras på priset år Lösning med godtagbart svar. (0/2/0) Till uppgiften finns bedömda elevlösningar, se s Lunchpriset har ökat mer än KPI Påbörjad lösning, t.ex. beräknar procentuell förändring för lunchpris eller KPI. Lösning med korrekt svar. 24. Ja, Alex har rätt om man räknar med procentenheter och Kim har rätt om man räknar med procent kr Påbörjad lösning, beräknar någon procentuell ökning eller anger båda ökningarna i procentenheter. Beräknar både procentuell ökning och ökning i procentenheter på minst en av förändringarna. Fullständig lösning med korrekt svar. Påbörjad lösning som visar upprepad procentuell ökning, t.ex. visar beräkning av skulden efter minst två månader. Lösning med godtagbart svar med en effektiv lösningsmetod, t.ex ,2 11. (0/2/0) (1/1/1) +A (0/2/1) +A Till uppgiften finns bedömda elevlösningar, se s a) 490 kr Påbörjad lösning, t.ex. beräknar kostnaden för tryck eller ram. Redovisad lösning med korrekt svar. b) Kostnaden = längden bredden 0,12 + (2 längden + 2 bredden) 0, kr, där längderna är i centimeter ; 27. 3:17 K = a b 0,12 + (2a + 2b) 0, , där K = kostnaden i kr, a = längd i cm och b = bredd i cm Påbörjad lösning, t.ex. ställer upp ett algebraiskt uttryck för kostnaden för tryck eller ram, med längd och bredd som variabler. Godtagbar fullständig formel med definierade variabler. Påbörjad lösning, t.ex. beskriver förhållandet i vardera dunk. Lösning med godtagbart svar. (1/2/0) (0/2/2) +A +A (0/1/2) +A+A Till uppgiften finns bedömda elevlösningar, se s. 22. BEDÖMNINGSANVISNINGAR MATEMATIK 1A HT