Lösningar Heureka Kapitel 7 Harmonisk svängningsrörelse Andreas Josefsson Tullängsskolan Örebro
Lo sningar Fysik Heureka Kapitel 7 7.1 a) Av figuren framgår att amplituden är 0,30 m. b) Skuggan utför en hel period, från högsta läget till lägsta och tillbaka igen, samtidigt som hjulet roterar ett helt varv. Detta tar sekunder, därför är skuggans period också sekunder. c) Skuggans hastighet är lika stor som den lodräta komposanten av bollens hastighet. Mitt emellan högsta och lägsta läget är bollens hastighet riktad vertikalt. I dessa ögonblick har skuggan lika stor fart som bollen. Matematiskt betyder detta (se figuren ovan) π 0,3 = 0,94 m/s 7. a) Sinusfaktorn varierar mellan l och -l, vilket gör att y varierar mellan -0,15 och 0,15. Amplituden är alltså 0,15 m. b) Sinusfaktorn går genom en hel period när vinkeln (10 t) växer med radianer. Det betyder att tiden ska öka 0, π= 0,63 s. Perioden är alltså 0,63 s. Den här delen av uppgiften kan vi lösa på ett alternativt sätt också. En jämförelse med det allmänna sambandet y = A sin ωt visar att ω= 10 rad/s. Eftersom ω = π T får vi att T = π ω = π = 0,63 s 10 c) För att få hastigheten v deriverar vi elongationsfunktionen (y = A sin ωt) med avseende på t ( Glöm inte att "Inre derivatan" är 10.) Hastigheten är 1,5 cos (10t) m/s. 1
d) Cosinusfaktorn varierar mellan -l och l, vilket betyder att hastigheten varierar mellan-1,5 m/s och 1,5 m/s. Största farten är (hastighetens "amplitud") alltså 1,5 m/s. e) För att få accelerationen a deriverar vi hastigheten v med avseende på tiden: Accelerationen är a = dv dt = 1,5 (sin 10t) 10 = 15 sin 10t (m/s ) Resultatet visar att den maximala accelerationen är 15m/s 7.3) a) Sträckan A = 0,46 m = 0,9 m genomlöps på 1s. Genomsnittsfarten är 0,9 m/s. b) Eftersom elongationen är y = A sin ωt är hastigheten v = dy dt = A (cos ωt) ω = Aω cos ωt Mitt emellan ytterlägena: y = -A och y = A är y = O, eftersom sinusfaktorn är noll. Samtidigt har cosinusfaktorn sitt största eller minsta värde, l eller -l, så att hastighetens största belopp är v max = π T A = π 0,46 = 1,4m/s Maximala farten är alltså 1,4 m/s. c)om A = 0,46 m och ω = π/ (rad/s) får vi att y = 0,46 sin ωt = 0,46 sin πt 0,46 sin 3,1t 7.4) a) Att kurvan är en cirkel ser vi först när vi kvadrerar och adderar de två ekvationerna: x + y = 3 eftersom (sin t) + (cos t) = 1, trigonometriska ettan vi får då: x + y = 3. Varje punkt (x, y) på kurvan har alltså avståndet 3 längdenheter till origo. Kurvan är en cirkel med radien 3 enheter.
b) När t växer med π = 6,3 sekunder, genomlöper sinus- och cosinusfaktorerna båda en hel period och partikeln fullbordar ett varv i banan. Omloppstiden är alltså 6,3 s. c) Radien i denna cirkel är 3 enheter som förut, men nu växer vinklarna dubbelt så fort. Omloppstiden blir hälften så stor, alltså π sekunder = 3,1 s d) Sätt x = 3 cos ωt och y = 3 sin ωt På 5 sekunder ska vinkeln växa med π radianer. Om vinkelhastigheten är ω får vi följande: 5 ω = π ω = π 5 (rad/s) insättning i ekvationerna ovan ger: x = 3 cos π 5 t och y = 3 sin π 5 t e)jämförelse med ekvationerna i d) ger att r betyder radien i cirkelbanan och T är omloppstiden 7.5) Kraften F som drar ut fjädern är direkt proportionell mot förlängningen x: F = k x, där k kallas för fjäderkonstanten. Det medför att x = F k = 1,5 = 0,0 Fjädern blir cm längre. 75 7.6 a) T = π m k = π 0,5 8 = 0,59s b) Självklart ja, eftersom både massan och fjäderkonstanten är samma på månen som på jorden 3
7.7 a) I läge A har vagnen bromsats in och ska börja accelerera mot jämviktsläget. Kraften 18 N är alltså riktad åt höger. b) I läge B (jämviktsläget) är farten maximal, och kraften övergår från att vara accelererande till att vara retarderande (bromsande). Den "byter tecken" och är alltså noll. c) I läge C är fjädern lika mycket utdragen som den är sammanpressad i läge A. Kraften har alltså storleken 18 N men är riktad åt vänster. 7.8 a) När fjädern trycks ihop 0, m blir dess kraft18 N. Fjäderkonstanten k är alltså k = 18 = 90 N/m 0, b) Vi vet att svängningstiden T = π m k Frekvensen f = 1 är alltså svängningstidens inverterade värde: T f = 1 T = 1 π k m = 1 π 90 1, = 1,4Hz 7.9 Av figur l framgår att den nedåtriktade resultanten till fjäderkraften och tyngdkraften i det övre läget är 4N. Då måste resultanten i det nedre läget också ha storleken 4N, men vara uppåtriktad. Figur visar att fjäderns kraft nu måste vara 10N och riktad uppåt för att resultanten ska bli 4N. 4
7.10 Svängningstiden är s. Då är vinkelhastigheten ω = π T = π = π (rad/s) Dessutom är massan m = 0,6 kg och amplituden A = O, 1 m. a) Maximala farten är:ω A = π 0,1 0,31m/s b) Maximala accelerationen inträffar i vändlägena, där den är A ω Kraften i dessa lägen är då lika med: 0,6 0, l π = 0,59 N Kommentar: Man kan också utnyttja att fjäder konstanten är ω = 5,9 N/m. Kraften i ett vändläge är fjäderkonstanten gånger fjäderns längdändring, som där är lika med amplituden. c) Accelerationen och fjäderkraften är proportionella mot elongationen. Vi har sett att a = ω y där y är elongationen. Om y är 0,05 m blir accelerationen lika med π 0,05 = 0,49 m/s Dess storlek (belopp) är alltså 0,49 m/s 7.11 a) När vagnen är i sitt jämviktsläge påverkas den av två lika stora fjäderkrafter, som tar ut varandra. Vi antar att fjädrarna drar åt var sitt håll med kraften F. Om vagnen flyttas sträckan x åt höger blir den vänstra fjäderns kraft F + k x, (k = 30 N/m). Samtidigt minskar kraften från den högra fjädern lika mycket, med k x, alltså och den blir F k x. Den resulterande kraften drar åt vänster och har storleken F + kx (F kx) = kx Exakt likadant resonemang blir det när vagnen flyttas åt vänster. Se figuren! 5
b) Vagnen "känner" att fjäderkonstanten är k = 0,6 0,01 = 60N/m Svängningstiden T = π m k = π 1, 60 0,89s 7.1 Fjäderkonstanten k får vi ur jämviktsvillkoret mg = kb k = mg b Detta uttryck sätter vi in i formeln för svängningstiden: T = π m k = π m mg b = π mb mg = π b g 7.13 Vinkelhastigheten är ω = π π 3600 = = 10π (rad/s) T T a) Hastighetens maximum är ω A = 10π 0,04 = 15m/s b) Den maximala accelerationen är ω A och maximala kraften F max =m a max F max = 0,6 10 π 0,04 3,4 10 3 N = 3,4kN 7.14 a) I "parallellfallet" sträcks båda fjädrarna1cm och sammanlagda fjäderkraften blir F 1 = kx = 40 0,01 = 0,8N 6
I "seriefallet" drar fjädrarna med lika stora krafter åt var sitt håll i föreningspunkten. Förlängningarna blir lika stora. Den sammanlagda förlängningen är 1cm. Varje fjäder förlängs alltså 0,5 cm. Kraften som behövs för detta är F = kx = 40 0,05 = 0,N b) När 1cm förlängning kräver 0,8 N är fjäderkonstanten 80 N/m. I "serie"-fallet kräver exakt lika mycket förlängning 0,N som motsvarar en fjäderkonstant på 0N/m Eftersom T = π m k får vi följande: I parallellfallet T = π 1 80 = 0,7s I seriefallet = π 1 0 = 1,4s 7.15 Kraften F på stenen är proportionell mot avståndet r till jordens centrum: F = K r (l) mg = K R () Här betyder m stenens massa, R jordradien och K en konstant. Genom att dividera (l) med () får vi: F g = r mg varifrån med korsmultiplikation får vi att F = R R r Kraften som verkar på stenen under resan genom hålet är en kraft som vill återföra stenen till jämviktsläget med"fjäderkonstanten" k = mg R Rörelsen är en harmonisk svängning med svängningstiden: T = π m k = π m mg R = π R g = π 6,38 106 = 5,06 10 3 sekunder 9,8 7
som är ungefär 84minuter Stenen dyker alltså upp igen efter 84 min. Enkel resa tar 4 min, vilket faktiskt också gäller om hålet borras "snett", t ex från Stockholm till London eller från Stockholm till Beijing. Se Lasse Samuelssons PIM film på lsswebb. 7.16 a) Anta att fjäderns förlängning är s 0 när vikten hänger i jämvikt. Då gäller att k s 0 = mg. Energin i fjädern är då E = k s 0 När fjädern dras ut sträckan y blir den nya förlängningen s = s 0 + y och fjäderns energi blir då : k (s 0 + y) Ökningen är: k (s 0 + y) k s 0 OBS. Om vi faktoriserar uttrycket y mg + ky k y = ks 0 y + = mg y + 1 k y termen (mg + ky ) kan uppfattas som medelkraften när den sträcker fjädern sträckan y b) Lägesenergin i tyngdkraftfältet avtar med mg y c) Nettotillväxten av energin hos systemet fjäder och vikt, alltså det arbete som krävs blir mgy + ky mgy = ky Den första delkraften får man ganska enkelt genom viktens tyngdkraft. Den resterande delen av medelkraften multiplicerad med y ger det sökta arbetet. Se även figuren, där arbetet fås som "area under grafen"! 8
7.17 a) Perioden ändras inte eftersom svängningstiden inte beror på amplituden om svängningsrörelsen är harmonisk. b) v max = ω A som medför att v max halveras c) E = 1 m ω A som medför att energin minskar till en fjärdedel d) a max = ω A som medför att a max halveras 7.18 Totala energin är summan av rörelseenergin 0,7 J och potentiella energin 0,9 J i samma ögonblick, alltså 1,60 J. jämviktsläget har vi endast rörelseenergi, och om farten där betecknar vi v kan vi skriva mv 1,6 = 1,6J och räkna ut v = 0,8 = m s 7.19 Vi betecknar den potentiella energin med E p och den kinetiska (rörelse) energin med E k E = E P + E k 9
Eftersom svängningsrörelsen är harmonisk är k y E p = där k är ju fjäderkonstanten och y är ju elongationen som vi är vana vid nu. Vidare är E = 1 ka (I vändlägena är ju rörelseenergin noll. )( A är amplituden) Om y = A får vi att den potentiella energin E p = 1 k A 4 Den kinetiska energin blir då E k = E E p = ka ka 8 = 1 k A 1 1 4 = 3 4 E Bråkdelen är alltså 3/4. 7.0 En trådpendel med längden l har svängningstiden T = π l g Vi löser ut l och sätter in T = s och g=9,8m/s l = T π g = 0,994m 7.1 Antalet sekunder på ett dygn är 4 3600 =86 400. a) Uppe på berget utför pendeln 86 400-6=86376 hela svängningar på 86 400 sekunder. Svängningstiden är då T berg = 86400 = 1,0003 s 86376 b)pendelns längd l är lika i de båda fallen T hav = π l 9,807 och T berg = π l g berg Vi dividerar de två sambanden ledvis, löser ut g berg och sätter in tiderna: 10
T hav = g berg T berg 9,807 g 1 berg = 9,807 1,0003 = 9,80 m s 7. Vi kan betrakta kolsyreisens rörelse som en pendelrörelse med pendelns längd, 0,5m T = π l g och f = 1 T = 1 π l g = 1 π 0,5 9,8 = 0,7Hz 7.3 Vi kallar utslagsvinkeln i vändläget α 0 Se figuren! Eftersom hastigheten är noll i just vändlägena, är centripetalaccelerationen också noll. Det betyder att vi inte har någon centripetalkraft. Då måste spännkraften S i tråden och tyngd kraftens komposant längs radien mgcosα 0 vara lika stora och motsatt riktade, alltså ta ut varandra. Den resulterande kraften på pendelkulan i ett vändläge är alltså tyngdkraftens komposant vinkelrätt mot pendeltråden. Dess storlek är mgsin α 0 7.4 Accelerationens belopp (storlek) är då gsin α 0 α 0 som sagt är maximala utslagsvinkeln a) I formeln för svängningstiden byt m mot m. Då ser ni att om man fördubblar massan hos en fjäder pendel, ökar svängningstiden med faktorn svängningstiden enligt sambandet T = π m k är proportionell mot kvadratroten ur massan när fjäderkonstanten k är känd. Svaret blir här 1,4s b) Trådpendelns svängningstid beror inte av massan.(massan finns inte med i formeln!) Alltså ingen ändring när massan ändras. 11
7.5 I ett ögonblick när utslagsvinkeln är α (alfa) utgörs centripetalkraften av resultanten till spännkraften S och tyngdkraftskomposanten i trådens riktning: Med lite matte: m v l = S mgcosα S = mgcosα + mv l (samband 1) Vi måste uttrycka mv termen med saker som vi vet l Vi räknar kulans rörelseenergi vid den aktuella utslagsvinkeln. Vi låter kulans lägesenergi när den är rakt under upphängningspunkten vara noll, Se figuren! När kulan förs ut till ett vändläge blir dess lägesenergi m g h 0 h 0 = l lcosα 0 enligt figuren Om α < α 0 är lägesenergin mgh ( h = l lcosα) När kulan släpps från ett vändläge säger energilagen att mgh 0 = mgh + mv mv = mg(h 0 h) = mgl(cosα cosα 0 ) Dividerar med l och multiplicerar med mv = mg(cosα cos α l 0 ) som vi sätter in i formeln för S (samband 1) S = mg(3cosα cosα 0 ) 7.6 Vi betraktar bilen som en harmonisk oscillator. Tyngdkraften av personen orsakar en hoptryckning på 4cm och då kan vi räkna ut fjäderkonstanten. a) k = F s 81,5 9,8 = 4 10 = 10 4 N m 1
T = π m k och f = 1 T = 1 π m k = 1 π 1,8 103 10 4 = 0,53Hz b) Frekvensen visar hur mycket bilen svänger upp och ner på en sekund. Hastigheten blir då 0m 0,53s 1 = 10,6 m s (38 km h ) OBS. Det kan hända att även vid halva den farten (19km/h) händer samma sak. 7.7 a) Vagnens rörelseenergi omvandlas till potentiell energi i fjädern, alltså mv = ka Om en konstant kraft F ska uträtta det arbete som förmedlar omvandlingen, måste vi ha att F a = ka eftersom bromssträckan är a Det betyder att F = ka b) Under inbromsningen utför vagnen en fjärdedels harmonisk svängning. Den har hela tiden kontakt med fjädern och uppför sig som om den vore fäst vid den. Tiden som går åt är (med bokens beteckning): 13
τ = 1 4 π m k = π m k (τ utläses tao och betecknar tid) c) Rörelsemängdens ändring är m v. Om en konstant kraft F ska åstadkomma denna ändring ska dess impuls uppfylla villkoret F τ = mv F = mv τ F = mv τ = mv π k m = π m v k m = π mv k Enligt ekvationen under punkt a) är mv = ka och vi får då F = π ka k = ka π 14