INLÄMNINGSPPGIFT MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, HF003 007/08 ( DIFFERENTIAL EKVATIONER ) armin@sth.kth.se www.sth.kth.se/armin tel 08 790 80 Inlämningsuppgift består av två uppgifter. Individuellt arbete. Du väljer två av nedanstående uppgifter enligt följande : A-G Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna A-G då gör du uppgifterna och ( som finns nedan på sidan ). H-N Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna H-N då gör du uppgifterna 3 och ( som finns nedan på sidan 3). O- Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna O- då gör du uppgifterna 5 och 6 ( som finns nedan på sidan ). V-Ö Om ditt efternamn börjar med en av bokstäverna V-Ö då gör du uppgifterna 7 och 8 ( som finns nedan på sidan 5). ppgifter 9 och 0 är för de som studerar byggteknik Låt a, b, c och d beteckna de sista fyra siffrorna i ditt personnummer. T ex, om du har pn. 75506 38 så är a=, b=3, c= och d=8 som du substituerar i dina uppgifter och därefter löser dem. Använd Maple för att lösa dina uppgifter.
ppgift. A-G Magnetiskt kopplade spolar: Ovanstående modell kan beskrivas med följande differentialekvationer: = Ri + Li ( = R i + L i ( ) ( t Beräkna och plotta strömmarna i ( t ) och i då L= H, L= H, R= Ω, R = Ω, M=(+a) H i (0) = 0 A, i (0) = 0 A, = 6sin(0 + 30cos(0 + 0( + a)cos(0 volt sin(0 + 0cos(0 + 30( + a)cos(0 volt = ppgift. A-G I nedanstående elektrisk krets betecknas: induktansen med L, L resistansen med R,R,R3 strömmen med i () t, i () t och spänningen med u( a) Ställ upp ett system med diff: ekvationer för strömmarna i () t samt i () t och i 3 () t då, L=3H, L=H, R= Ω, R = Ω, R3= Ω, R=6 Ω, i (0) = 0a + 0, i (0) = 0a + 0 och i 3 (0) = 0 u( = (a+)(0cos0t 78sin0 V b) Använd Maple för att lösa systemet m a p i () t, i () t. c) Plotta lösningen.
ppgift 3. H-N Magnetiskt kopplade spolar: Ovanstående modell kan beskrivas med följande differentialekvationer: = Ri + Li ( ( = R i + L i ( ) ( t Beräkna och plotta strömmarna i ( t ) och i då L= H, L= H, R=3 Ω, R = Ω, M=(+a) H i (0) = 0 A, i (0) = 0 A, = 9sin(0 + 30cos(0 + 0( + a)cos(0 volt sin(0 + 0cos(0 + 30( + a)cos(0 volt = ppgift. H-N I tankar A och B finns (0 +a) liter respektive (00+0c+d) liter saltvatten som innehåller, 30g, respektive 50 g salt. Tanken A tillförs 8 liter vatten per minut som innehåller 5 gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och liter förs till B och därefter liter från B förs till A och 8 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt x(,y( beteckna saltmängden (i gram) i A, B vid tidsmoment t i) Ställ upp ett ekvationssystem för x( och y( och lös systemet med Maple ii)bestäm stationärtillstånd d v s lim x( och lim y(
ppgift 5. O- Ett mekaniskt system med en fjäder och en dämpare kan beskrivas med följande ekvationen m y + ay + ky = F Bestäm y( då a) m=, a=, k=, F=5 b) m=, a=, k=, F=sin5t c) m=, a= 0, k=, då y(0)=, y ( 0) = 0 Plotta lösningarna. F = e 3t ppgift 6. O- I nedanstående elektrisk krets betecknas: induktansen med L, L resistansen med R,R,R3 strömmen med i () t, i () t och spänningen med u( a) Ställ upp ett system med diff: ekvationer för strömmarna i () t samt i () t och i 3 () t då, L= H, L=5 H, R=5 Ω, R = Ω, R3= Ω, i (0) = b +, i (0) = b + och i 3 (0) = 0 och u( = (b+)(6cost 70sin V b) Använd Maple för att lösa systemet m a p i () t, i () t. c) Plotta lösningen.
ppgift 7. V-Ö I en tank finns (50 +a+b) liter saltvatten som innehåller 50g salt. Tanken A tillförs 8 liter vatten per minut som innehåller (5+c) gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och 8 liter rinner ut, enligt bilden nedan. Låt y( beteckna saltmängden (i gram) i tanken vid tidsmoment t i) Ställ upp en ekvation för y( och lös ekvationen (använd Maple för att lösa ekvationen) ii)bestäm stationärtillstånd d v s lim y( ppgift 8. V-Ö Bestäm strömmen i( i nedanstående LCR-krets då u( =(0+a)cos(8 V, L=(+a+c) H, R=(3+b) Ω, R=(d+) Ω, C=F, i(0)= A, i ( 0) = a) Ställ upp en differential ekvation för strömmen i( b) Lös ekvationen m a p i( dvs beräkna strömmen i( (använd Maple) c) Plotta lösningen
ppgift 9. (Bygg) d y w( x) En balk med belastning w(x) är fast i båda änder satisfierar + = 0. Om ett dx EI koordinatsystem med origo i den första punkten inläggs som i ovanstående figuren, satisfierarkoordinaterna (x,y) för en godtycklig punkt på balken följande differentialekvation d y w( x) + = 0. dx EI a) Bestäm y(x) då w( x) = b + x, EI y ( 0) = 0, y ( ) = 0 y ( 0) = 0 och y ( ) = 0 b) Använd grafen för att approximativt bestämma funktionens minimivärde ( y min ) ppgift 0. (Bygg) I tankar A, B och C finns (00 +a), liter (00+b) liter respektive (00+c) liter saltvatten som vid tiden t=0 innehåller, 30g, 0 respektive 50 g salt. Tanken A tillförs 9 liter vatten per minut som innehåller 0 gram salt per liter. Vatten blandas ordentlig och liter förs till B och därefter 5 liter från B förs till A. På liknande sätt blandas vatten i B och C, enligt bilden nedan. Låt x(,y( och z( beteckna saltmängden (i gram) i A, B, C vid tidsmoment t i) Ställ upp ett ekvationssystem för x(, y( och z( och lös systemet med Maple ii)bestäm stationärtillstånd d v s lim x(, lim y(, lim z(