Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL OCH KAPITALMARKNADSTE- ORI FÖR F4 OCH MMT4 LÖRDAGEN DEN 5 AUGUSTI KL 8. 3. Examinaor : Lars Hols, el. 79 8649, e-pos: lhols@mah.kh.se Tillåna hjälpmedel : Inga. Införda beeckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uräkningar skall vara så uförliga a de är läa a följa. Numeriska svar skall anges med mins vå siffrors noggrannhe. Resula i deluppgif som ine löss får användas i andra deluppgifer. Resulae anslås senas fredagen den 4 augusi på Maemaisk saisiks anslagsavla i enréplane, Lindsedsvägen 5, rak fram innanför poren. Tenamen kommer a finnas illgänglig på elevexpediionen ill sju veckor efer enamensillfälle. Lycka ill! - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - När de i de följande hänvisas ill Black Scholes modell avses modellen { db = rb d B =, { ds = µs d + σs dw S = s, där r >, µ R, σ > sam s > och W är en Wienerprocess. Uppgif För a prissäa en amerikansk säljopion med lösenid om sex månader använder man sig av en binomialmodell med e idsseg på re månader. Give a akiens pris vid iden är S kommer akiens pris om re månader vid + a ges av { u S med sannolikhe p, S + = d S med sannolikhe p. Akiens förändring över olika perioder är oberoende av varandra. Lå S vara akieprise idag, K vara lösenprise och r vara remånadersränan. Vi anar vidare a < d < + r < u, a u = /d och r >, sam a d S < K < S. Besäm värde av den amerikanska säljopionen i samliga noder. p)
fors enamen i 5B86-8-5 Lå W vara en Wienerprocess. Uppgif a) Visa a W 3 3W är en maringal. 5 p) b) Besäm E [ )] exp fs)dw s, där f) är en deerminisisk funkion. 5 p) Uppgif 3 Anag Black Scholes modell. Härled genom a använda risk neurala prissäningsformeln prise på en europeisk säljopion vid iden [, T ]: p = Ke rt ) Φ d ) S)Φ d ), där p beecknar opionens pris vid iden, K är lösenprise, T lösendagen, Φx) är normalfördelningens fördelningsfunkion och ) ln S) + r + σ )T ) K d = σ T d = d σ T. Uppgif 4 p) För a förbära Black Scholes modell anar man a volailieen ine är konsan, uan given av en känd deerminisisk funkion σ) >,. Akiens prisuveckling ges allså av ds = µs d + σ)s dw ; ) i övrig är modellen oförändrad. a) Visa a S) = s exp µ σ s)ds + σs)dw s ), där s = S), löser ). 5 p) b) Besäm fördelningen för ln ) ST ). S) Ledning: Man kan visa a fs)dw s är normalfördelad för varje om f är en deerminisisk funkion. 5 p)
fors enamen i 5B86-8-5 3 Uppgif 5 Man har vid iden köp en europeisk köpopion med lösendag T > och lösenpris K. För a minska riskexponeringen vill man hedga sig. Lå, Γ och V beeckna den köpa köpopionens dela, gamma respekive vega. a) Hur många akier respekive köpopioner med samma lösenpris och på samma underliggande akie, men med lösendag T > T, måse man köpa om man vill a den nybildade porföljen ska vara både dela- och veganeural? Kalla dela och vega för köpopionen med lösendag T för c respekive V c. 5 p) b) Man vill skaffa sig en posiion som föruom a vara dela- och veganeural även är gammaneural. Därför köper man säljopioner med samma underliggande akie och som har lösenpris K och lösendag T. Visa a de i allmänhe ine är möjlig a konsruera en posiion som är både dela-, vega- och gammaneural med hjälp av akien och opionerna med lösenid T. Ledning: Använd pu call pariy. 5 p) Uppgif 6 En ränemodell sägs ha affin erminssrukur om priserna på nollkupongsobligaioner kan skrivas som p, T ) = F, r), T ) med F, x, T ) = e A,T ) B,T )x. a) Visa a om kora ränan r) under maringalmåe Q modelleras som dr) = µ, r))d + σ, r))dw Q ), där W Q ) är en Q-Wienerprocess, och om { µ, r) = a)r + b) σ, r) = c)r + d), så ges A, T ) och B, T ) av { A,T ) = b)b, T ) d)b, T ) AT, T ) = { B,T ) + a)b, T ) c)b, T ) + = BT, T ) = 8 p) b) Besäm R, T ) för modellen i a). p)
Kungl Tekniska Högskolan AMaemaiska insiuionen avd maemaisk saisik LÖSNING TENTAMEN I 5B86 STOKASTISK KALKYL... -6- Akiens prisuveckling ges av P u = Uppgif us P = ) u S P uu = S S P ud P du = K ds P d = ) = = = d S P dd = K d S Ubealningen från en säljopion ges av max, K S T ). Vi får ill a börja med P uu = P ud = och P dd = K d S. Efersom dea är en amerikansk opion måse vi beaka de fakum a vi har möjlighe a lösa in opionen före lösendagen. Om vi väljer a lösa in opionen vid iden får vi K S. Tidig inlösen kan ske vid = och =. Efersom S > K kan de ine vara opimal a lösa in opionen vid =. De kan heller ine vara opimal a lösa in opionen vid iden = om S = us efersom us > S > K. Ur dea sam de fakum a P uu = P ud = får vi P u =. Åersår allså möjligheen a lösa in opionen i förid om S = ds. Om vi väljer a ine lösa in opionen vid iden =, give a S = ds, ges värde i denna nod av + r där q d = u +r) u d gå ned. Vi får allså qd K d S ) ) = = d+r) d P d = max På samma sä fås värde vid iden som K ds, P = d + r) max + r d = u + r) + r u d + r ) K d S ) d + r) d K d S ) ), är den risk-neurala sannolikheen för a akieprise ska [ ]) d + r) K ds, K d S + r d ). ) + r [ ]) d + r) K d S d ). )
fors enamen i 5B86-8-5 Uppgif a) Använd Iôs formel på X = W 3 3W : dx = 3W dw + 6W dw ) 3W d 3dW = 3W 3)dW + 3W d 3W d = 3W 3)dW, dvs. X = 3W s 3s)dW s. Allså kan W 3 3W skrivas som en Iô-inegral, och vi ve a sådana är maringaler. Alernaiv kan vi använda definiionen av en maringal. De är klar a W 3 3W är adaperad ill filraionen genererad av Wienerprocessen och vi har E[ W 3 3W ] E[ W 3 ] + 3E[ W ] <. Dessuom gäller för s E[W 3 3W F s ] = E[W W s ) 3 3W Ws + 3W W s + Ws 3 3W F s ] = 3Ws 3 + 3W s E[W F s ] + Ws 3 3W s = Ws 3 + 3W s Ws + s) 3W s = Ws 3 3sW s. b) Lå Z = fs)dw s och Y = e Z. Vi söker allså E[Y ]. Iôs formel på Y ger dy = e Z dz + ez dz ) = Y f)dw + Y f )d, vilke på inegrerad form blir Y = + Y s fs)dw s + Vänevärdesagning ger [ ] E[Y ] = + E Y s fs)dw s + } {{ } = Y s f s)ds. Lå m) = E[Y ]. Då löser m) { m ) = m)f )d m) = E[Y s ]f s)ds. dvs. E [ )] exp fs)dw s = E[Y ] = m) = exp ) f s)ds).
fors enamen i 5B86-8-5 3 Vi använder prissäningsformeln och de fakum a Uppgif 3 Π X) = e rt ) E Q [X F ] ST ) = S) exp r σ /) T ) + σw Q T ) W Q )) ), där W Q ) är en Q-Wienerprocess. I dea fall har vi X = max, K ST )), och får allså, med ϕx) beecknande normalfördelningens ähesfunkion, ) ] E Q [max, K ST ) F ] = E [max Q, K S)e r σ /) T )+σw Q T ) W Q )) F = max, K S)e r σ /) T )+σ ) T z ϕz)dz Ur dea får vi sedan = d + d Kϕz)dz + S)e r σ /) T )+σ T z π e z / dz = KΦ d ) + S)e rt ) d = KΦ d ) + S)e rt ) d = KΦ d ) + S)e rt ) Φ d ). π e z σ T ) dz π e z dz p = e rt ) E[max, K ST )) F ] = Ke rt ) Φ d ) S)Φ d ). Uppgif 4 a) Lå X = µ σ s)ds + σs)dw s. Då gäller S) = se X och dx = µd σ )d + σ)dw. Iôs formel ger ds = se X dx + sex dx ) = S µd σ )d + σ)dw + S σ )d = µs d + σ)s dw, där vi unyja a dx ) = σ )d. b) Vi har ln ) ST ) S) = ln S) exp µt S) exp µ = µt ) T T σ s)ds + T σ s)ds + ) σs)dw s σ s)ds + ) σs)dw s T σs)dw s.
med lösning { hc = V /V c fors enamen i 5B86-8-5 4 Efersom σ) är en deerminisisk funkion så får vi [ )] ST ) E ln = µt ) T σ s)ds S) och [ )] ST ) Var ln S) Ledningen ger nu a ln T σ s)ds och varians T [ T = Var [ T = E ] [ T ) ] σs)dw s = E σs)dw s ] T σ s)ds = σ s)ds. ) ST ) är normalfördelad med vänevärde µt ) S) σ s)ds. Uppgif 5 a) Lå h c respekive h S beeckna anale köpopioner med lösendag T och anal akier vi köper. Värde V på den nya porföljen blir då V = c + h c c + h S S, där c, c resekive S beecknar den ursprungliga köpopionen, den nya med lösendag T och akien. Dela- och veganeuralie ger ekvaionssyseme { + h c c + h S = V + h c V + h S = h S = + V V c c b) Lå h p respekive p mosvara beeckningarna i a) för säljopionen. Ekvaionssyseme blir nu + h c c + h p p + h S = V + h c V c + h p V p + h S = Γ + h c Γ c + h p Γ p + h S = Pu call pariy ger c = p +, Γ c = Γ p och V c = V p, vilke insa i ekvaionssyseme ger h c + h p ) c h p + h S = h c + h p )V c = V h c + h p )Γ c = Γ För a ekvaionssyseme ska vara konsisen måse V allmänhe ine uppfyll. V c = Γ Γ c, och de är i
fors enamen i 5B86-8-5 5 Uppgif 6 a) Lå F, T, x) = e A,T ) B,T )x. Vi ve a F uppfyller erminsrukurekvaionen { F F + µ, x) + x σ, x) F xf = x F T, T, x) = Observera förs a randvillkore F T, T, x) = ger AT, T ) = BT, T ) =. Med µ, x) = a)x + b), σ, x) = c)x + d) och F, T, x) enlig ovan får vi A B ) x F + a)x + b)) BF ) + c)x + d))b F xf =, eller omskrive A F b)bf + d)b F } {{ } I) [ + F Ba)F + ] c)b F F B } {{ } II) x =. Efersom dea ska vara san för alla x måse både I) och II) vara. Dea ger, efersom F >, illsammans med randvillkoren de önskade ekvaionerna. b) Vi ve a R, T ) besäm genom relaionen p, T ) = e R,T ) T. Dea ger R, T ) = T B, T )r) A, T ) ln p, T ) =. T