Transkript

1 1

2 Bilar & Getter Du är med i ett spel-och-lek-program på TV. Du får välja en av tre dörrar. Bakom en av dörrarna finns en bil, men du vet inte bakom vilken... 2

3 Bilar & Getter Du väljer en dörr, säg, Programledaren öppnar en annan dörr, säg, Fråga: Vill du byta? 3?

4 Bilar & Getter Gör det någon skillnad om jag byter??? 4

5 Bilar & Getter Om jag inte byter: Det finns tre dörrar när jag gör mitt val, en är rätt. => 1 rätt av 3 möjliga = 1/3. Sannolikheten att jag får bilen om jag inte byter = 1/3 Om jag byter vad händer då? 5

6 Bilar & Getter Jag har valt dörren a)...med bilen. b)...med vita geten. c)...med bruna geten. Byt blir av med bilen. Programledaren öppnar dörren med den bruna geten... Byt får bilen. Programledaren öppnar dörren med den vita geten... Byt får bilen. Sannolikheten att jag får bilen om jag byter = 2/3 6

7 Bilar & Getter Slutsats: Genom att byta val av dörr, dubblar jag min chans att vinna bilen! 7

8 Bilar & Getter Marilyn vos Savant Executive summary: IQ 228, still dumb. Listed in the Guinness Book of World Records Hall of Fame under Highest IQ. Parade Ask Marilyn CSICOP Fellow Mensa Marilyn vos Savant 1946 Författare 8

9 Sannolikhetsteori Gerolamo Cardano Thomas Bayes ca Pierre de Fermat ca Blaise Pascal

10 Bilar & Getter revisited Med hjälp av Bayes sats kan vi mäta betingad sannolikhet: P( behåller) = = P( valt rätt dörr & behåller) P(valt rätt dörr) + P( inte rätt dörr & behåller) P(inte rätt dörr) = 1 1/ /3 = 1/3 P( byter) = = P( valt rätt dörr & byter) P(valt rätt dörr) + P( inte rätt dörr & byter) P(inte rätt dörr) = 0 1/ /3 = 2/3 10

11 Sannolikhetsteori Bayes sats Hur mätningar eller senare inkommen kunskap påverkar ens sannolikhetsfördelning. 11

12 Sannolikhetsteori Gerolamo Cardano Thomas Bayes ca Pierre-Simon de Laplace Carl Friedrich Gauss Pierre de Fermat ca Blaise Pascal Andrej Kolmogorov

13 Sannolikhetsteori Kolmogorovs axiomsystem, 1933 Kombinerar begreppet utfallsrum med måtteori. I och med detta finns en hållbar grund som täcker både diskreta & kontinuerliga fördelningar, och vilken mix som helst av dylika. 13

14 Sannolikhetsteori Harald Cramér Nobelpris 1954 Robert Merton Nobelpris 1997 Professur 1929: Försäkringsmatematik och matematisk statistik Nobelpris 1932 Werner Heisenberg Max Born Fisher Black Klimat Försäkringsmatematik Kvantmekanik Myron Scholes Finans Telekommunikation Matematisk statistik Datorisering Kvalitetskontroll Mobiltelefoni Medicinsk statistik Kliniska prövningar Internet SPAMfilter Google Big Data 14 Epidemiologi

15 Finansiell matematik hur modellera värdepapper? Aktiepriser SEK Men! Papper med samma trend men olika pris ger inte samma avkastning. AZN Ex. A kostar 1 kr, B kostar 10 kr. KINV-B Om de går upp 1 kr är A:s SCA-B avkastning 100% medan B:s är 10%. ERIC-B Dyra papper rör sig dessutom normalt mer - i kronor räknat - än billiga. 0 jan-14 feb-14 mar-14 apr-14 maj-14 jun-14 jul-14 aug-14 sep-14 okt-14 nov-14 Prisutvecklingen kan väsentligen beskrivas av: - trend - spridning kring trenden (rörlighet) Man vill istället mäta trend och rörlighet i förhållande till priset. prisförändring = trend * dt + spridning * slumpfaktor 15

16 Finansiell matematik hur modellera värdepapper? Aktiepriser: Prisförändringar i % 15,00% 10,00% 5,00% AZN % 0,00% -5,00% ,00% KINV-B SCA-B ERIC-B -15,00% 16

17 Finansiell matematik Black-Scholes modell Robert Merton Sveriges Riksbanks pris i ekonomisk vetenskap till Alfred Nobels minne 1997 ds S = µ dt + σ dw (Fisher Black) Myron Scholes Procentuell prisförändring = trend * dt + spridning * slumpfaktor drift volatilitet 17

18 Brownsk rörelse Studerar pollens rörelse i vatten: till synes slumpmässig! Robert Brown Brittisk botaniker Brownsk rörelse modelleras av Wienerprocess: - Minneslös. Processen utvecklar sig framöver oberoende av vad som hänt tidigare. - Normalfördelade inkrement Den sträcka Wienerprocessen avverkar från tidpunkten s till tidpkten t är normalfördelad: W(t)-W(s) ~ N(0, (t - s)) 18

19 Normalfördelningen Exempel på normalfördelat: - Vikten hos en flygplansresenär. - Mätfel i tillverkningsprocess. - IQ-fördelning i befolkning. 19

20 Normalfördelningen 20

21 Normalfördelningen P(a < X b) = ytan under kurvan mellan a och b. 21

22 Normalfördelningen Centrala gränsvärdessatsen I princip: Om man summerar en massa händelser som är hyfsat oberoende och har samma sannolikhetsfördelning summan blir normalfördelad. 22

23 Normalfördelningen Aktiepriser SEK AZN KINV-B SCA-B ERIC-B jan-14 feb-14 mar-14 apr-14 maj-14 jun-14 jul-14 aug-14 sep-14 okt-14 nov-14 23

24 Black-Scholes modell ds S = µ dt + σ dw dw ~ N(0, dt) för godtyckligt, fixt dt Modellen beskriver (sannolikhetsfördelningen för) hur priset kommer att röra sig på kort sikt. ds ~ N( μ dt, σ dt ) S Härifrån kan man räkna ut (sannolikhetsfördelningen för) hur priset kommer att röra sig på lång sikt. 2 σ ln S ( T ) ~ N (ln S ( t 0 ) + ( µ )( T t 0 ), σ ( T t 0 )) 2 T = framtida tidpunkt t 0 = nu S(T) = priset vid den framtida tidpunkten T (stokastiskt) S(t 0 ) = priset nu (känt, vanligt tal) μ = driften (=0 för termin) σ = volatiliteten N = normalfördelningen ln = (naturliga) logaritmen 24

25 Black-Scholes modell Enligt prismodellen gäller: - Framtida priset log-normalfördelat. - Priset alltid > 0. - Prisets framtida utveckling beror bara på värdet idag, inte på hur det utvecklat sig historiskt (Wienerprocessens minneslöshet). 25

26 Den nordiska elmarknaden 1996 avregleras den nordiska elmarknaden och en gemensam nordisk elbörs skapas. Här kan man handla fysisk kraft till nästa dag. Men man kan också handla elterminer = avtal om att få köpa/sälja el för ett visst pris under en viss vecka, månad eller år i framtiden. 26

27 Den nordiska elmarknaden ENOYR-16 - Köp minsta enhet: 1MW (=1 MWh varje timme under hela året 2016) - Pris: 30 EUR/MWh = 8784 MWh totalt Varje dag får jag (dagspriset 30) 24 EUR EUR/MWh Tjänar pengar om dagspriset blir > 30, förlorar om dagspriset <

28 Den nordiska elmarknaden ENOYR-16 ENOQ1-15 ENOMJAN-15 ENOMMAR Idé: Använd finansmattetänket på elmarknaden!!! 28

29 Den nordiska elmarknaden ENOYR-16 ENOQ1-15 ENOMJAN-15 ENOMMAR Först ville vi förstå riskerna: Hur mycket pengar kan man i värsta fall förlora tills imorgon om man har en hel kombination av olika elvärdepapper (terminer och optioner)? - Clearinghus går in som försäkringsbolag mellan parterna i ett termins/options-avtal. Garanterar att båda parter uppfyller sina åtaganden annars går clearinghuset in i felande partens ställe. - Clearinghuset kräver att båda parter ställer pant i förhållande till risken. Pantens storlek = värsta förlusten parten kan drabbas av (och som clearinghuset alltså kan behöva täcka för). 29

30 Den nordiska elmarknaden ENOYR-16 ENOQ1-15 ENOMJAN-15 ENOMMAR Att tänka på när man modellerar elmarknaden - Elterminer korrelerar mycket (deras priser följs åt). Viktigt att få med beroendet! - Säg att vi köper en eltermin ENOYR Om vi sedan säljer en eltermin ENOQ1-15 får jag därför mindre risk totalt. - Om vi har en eltermin ENOYR-16 och säljer en eltermin ENOQ1-16 släcker de ut varandra helt. Då har jag ingen risk alls under leveransperioden första kvartalet Det farligaste som kan hända är att priset går upp kraftigt. När det händer tenderar korrelationen att öka alla priser springer då uppåt samtidigt. 30

31 Den nordiska elmarknaden Att sälja el till ett hushåll Fastprisavtal Elbolaget åtar sig att leverera el för x öre/kwh, oavsett vad elen kommer att kosta i marknaden när den levereras och oavsett hur mycket och när kunden förbrukar sin el. Sannolikhetsteori! Sannolikhetsteori! 31

32 Att prissätta ett fastprisavtal på el Vad kommer det att kosta att leverera själva elen? I princip kan vi prissäkra elen redan nu genom att köpa terminer. Terminspriser för olika leveransperioder 39,00 45,00 43,00 37,00 41,00 35,00 39,00 Forwardkurva EUR/MWh 37,00 33,00 35,00 31,00 33,00 29,00 31,00 29,00 27,00 27,00 25,00 jan-14 jan-14 jan-15 jan-15 jan-16 jan-16 jan-17 jan-17 jan-18 jan-18 jan-19 jan-19 jan-20 jan-20 jan-21 jan-21 jan-22 jan-22 jan-23 jan-23 jan-24 jan-24 32

33 Att prissätta ett fastprisavtal på el man tror att Kan man verkligen pussla med terminer så att man får precis det som kunden kommer att förbruka? 16,00 14,00 Konsumtion villa Dessutom kommer kunden i praktiken att konsumera sin el på något annat sätt än förväntat... 12,00 10,00 (%) 8,00 6,00 4,00 2,00 0,00 jan feb mar apr may jun jul aug sep oct nov dec Helst hade elbolaget velat köpa terminer redan idag för varje dygn (eller ännu hellre, varje timme) i kundens leveransperiod. Men framför allt: Om det blir varmare eller kallare än förväntat. Men terminer med dygnsupplösning säljs bara närmaste veckan. Därefter Blir sjoken större och större: veckor månader kvartal år. 33

34 Att prissätta ett fastprisavtal på el Hur ska man kunna förutspå hur mycket el kunden faktiskt kommer att förbruka??? Vad kommer det att kosta att kunden vill ha mer eller mindre el??? januari februari mars april maj juni juli augusti september oktober november december januari februari mars april maj juni juli augusti september oktober november december Tydligt samband mellan förbrukning och temperatur. Samvariation HDD och förbrukning Förbrukning (GWh) HDD (base = 17) januari februari mars april maj juni juli augusti september oktober november december januari februari mars april maj juni juli augusti september oktober november december januari 0 mar-10 sep-10 mar-11 sep-11 mar-12 sep-12 mar

35 Att prissätta ett fastprisavtal på el Vad händer med EURSEK-kursen? Den el som kunden konsumerar köps in i EUR. Den betalas när kunden konsumerar den. Kunden betalar i SEK. EURSEK Här kan man prissäkra genom att köpa valutaterminer. Hur skydda sig mot att valutakursen EURSEK kommer att vara något annat i framtiden (när elen levereras)? 10,0 9,8 9,6 9,4 Forwardkurva 9,2 9,0 8,8 dec-14 jun-15 dec-15 jun-16 dec-16 jun-17 dec-17 jun-18 dec-18 jun-19 dec-19 jun-20 dec-20 jun-21 dec-21 jun-22 dec-22 jun-23 dec-23 jun-24 dec-24 35

36 Att prissätta ett fastprisavtal på el Är priset ett erbjudande med betänketid för kunden? Rationell kund lägger offerten i byrålådan till sista dagen den gäller. Då tittar kunden på vilket marknadspriset är just då. Om offertpriset är bättre accepterar kunden offerten. Annars ringer kunden och vill ha ny offert... 36

37 Att prissätta ett fastprisavtal på el Så vad kostar det till slut för kunden? 38,1 öre/kwh 2 öre/kwh 40,1 öre/kwh 37

38 Vindkraft... och hur är det egentligen med vindkraft på vintern??? Vindproduktion Sverige 12,00 10,00 8,00 % per månad 6,00 4,00 2,00 0,00 jan feb mar apr may jun jul aug sep oct nov dec 38