Linjär Algebra: Föreläsn 1 Carl Olsson 2018-03-19 Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 1 / 18
Kursinformation Kurschef Carl Olsson arbetsrum: MH:435 tel: 046-2228565 epost: calle@maths.lth.se Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 2 / 18
Kursinformation Kurshemsida: http://www.maths.lth.se/~calle/linalgvt18/linalg.html Frågeforum: http://forum.maths.lth.se/login Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 3 / 18
Ex 3. Fortsättning. Har (S1) och (S2) samma lösningar? x + 2y + z = 1 (a) x + 2y + z = 1 (a ) = (a) (S1) : 2x + 3y 2z = 1 (b) (S2) : y 4z = 1 (b ) = (b) 2(a) 3x + 2y 4z = 1 (c) 2y 7z = 2 (c ) = (c) 3(a) Hur visar vi detta? Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 4 / 18
Ex 3. Fortsättning. Har (S1) och (S2) samma lösningar? x + 2y + z = 1 (a) x + 2y + z = 1 (a ) = (a) (S1) : 2x + 3y 2z = 1 (b) (S2) : y 4z = 1 (b ) = (b) 2(a) 3x + 2y 4z = 1 (c) 2y 7z = 2 (c ) = (c) 3(a) Hur visar vi detta? 1 Antag (x 0, y 0, z 0 ) löser (S1). Visa att (x 0, y 0, z 0 ) löser (S2). Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 4 / 18
Ex 3. Fortsättning. Har (S1) och (S2) samma lösningar? x + 2y + z = 1 (a) x + 2y + z = 1 (a ) = (a) (S1) : 2x + 3y 2z = 1 (b) (S2) : y 4z = 1 (b ) = (b) 2(a) 3x + 2y 4z = 1 (c) 2y 7z = 2 (c ) = (c) 3(a) Hur visar vi detta? 1 Antag (x 0, y 0, z 0 ) löser (S1). Visa att (x 0, y 0, z 0 ) löser (S2). 2 Antag (x 0, y 0, z 0 ) löser (S2). Visa att (x 0, y 0, z 0 ) löser (S1). Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 4 / 18
Ex 3. Fortsättning. Har (S1) och (S2) samma lösningar? x + 2y + z = 1 (a) x + 2y + z = 1 (a ) = (a) (S1) : 2x + 3y 2z = 1 (b) (S2) : y 4z = 1 (b ) = (b) 2(a) 3x + 2y 4z = 1 (c) 2y 7z = 2 (c ) = (c) 3(a) Första delen: Antag att (x 0, y 0, z 0 ) uppfyller (S1). V.L. blir lika med H.L. i (a),(b),(c) när vi stoppar in (x 0, y 0, z 0 ). V.L. blir lika med H.L. i (a),(b)-2(a),(c)-3(a) när vi stoppar in (x 0, y 0, z 0 ). (x 0, y 0, z 0 ) uppfyller (S2). Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 5 / 18
Ex 3. Fortsättning. Har (S1) och (S2) samma lösningar? x + 2y + z = 1 (a) x + 2y + z = 1 (a ) = (a) (S1) : 2x + 3y 2z = 1 (b) (S2) : y 4z = 1 (b ) = (b) 2(a) 3x + 2y 4z = 1 (c) 2y 7z = 2 (c ) = (c) 3(a) Andra delen: Antag att (x 0, y 0, z 0 ) uppfyller (S2). V.L. blir lika med H.L. i (a ),(b ),(c ) när vi stoppar in (x 0, y 0, z 0 ). Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 6 / 18
Ex 3. Fortsättning. Har (S1) och (S2) samma lösningar? x + 2y + z = 1 (a) x + 2y + z = 1 (a ) = (a) (S1) : 2x + 3y 2z = 1 (b) (S2) : y 4z = 1 (b ) = (b) 2(a) 3x + 2y 4z = 1 (c) 2y 7z = 2 (c ) = (c) 3(a) Andra delen: Antag att (x 0, y 0, z 0 ) uppfyller (S2). V.L. blir lika med H.L. i (a ),(b ),(c ) när vi stoppar in (x 0, y 0, z 0 ). Vi har (a) = (a ) (b) = (b ) + 2(a ) (c) = (c ) + 3(a ) V.L. blir lika med H.L. i (a ),(b )+2(a ),(c )+3(a ) när vi stoppar in (x 0, y 0, z 0 ). (x 0, y 0, z 0 ) uppfyller (S2). Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 7 / 18
Ex 3. Fortsättning. Vi säger att (S1) och (S2) är ekvivalenta och skriver (S1) (S2). På samma sätt ser man att (S2) (S3) och därför är (S1) (S3). Sats 1 (sid 9): Vid radoperationer ändras inte lösningsmängden om man byter ordning på ekvationerna, multiplicerar en ekvation med en konstant 0, adderar en ekvation till en annan. Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 8 / 18
Ex. 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 (a) 2x 4 + x 5 x 6 = 0 (b) x 5 + x 6 + x 7 = 0 (c) 3x 7 = 0 (d) Understrukna element = pivå element. (d) x 7 = 0 Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 9 / 18
Ex. 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 (a) 2x 4 + x 5 x 6 = 0 (b) x 5 + x 6 + x 7 = 0 (c) 3x 7 = 0 (d) Understrukna element = pivå element. (d) x 7 = 0 (c) x 5 + x 6 = 0, x 6 = s x 5 = s Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 10 / 18
Ex. 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 (a) 2x 4 + x 5 x 6 = 0 (b) x 5 + x 6 + x 7 = 0 (c) 3x 7 = 0 (d) Understrukna element = pivå element. (c) x 5 + x 6 = 0, (d) x 7 = 0 (b) 2x 4 2s = 0, x 6 = s x 5 = s x 4 = s Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 11 / 18
Ex. 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 (a) 2x 4 + x 5 x 6 = 0 (b) x 5 + x 6 + x 7 = 0 (c) 3x 7 = 0 (d) Understrukna element = pivå element. (c) x 5 + x 6 = 0, (d) x 7 = 0 (b) 2x 4 2s = 0, x 6 = s x 5 = s x 4 = s (a) x 1 + 2x 2 + 3x 3 + s = 0, x 2 = t, x 3 = u x 1 = 2s 3u s (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ) = ( 2s 3u s, t, u, s, s, s, 0). Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 12 / 18
Ex. 7 x 1 + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 0 (a) x 2 = t x 3 = u 2x 4 + x 5 x 6 = 0 (b) x 5 + x 6 + x 7 = 0 (c) x 6 = s 3x 7 = 0 (d) Antal parametrar = Antal variabler - Antal pivå element. (Kallas dimmensionsatsen senare i kursen.) Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 13 / 18
Matriser En matris är ett rektangulärt schema av tal. a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... a m1 a m2... a mn a ij är talet på rad i och kolonn j. A har m rader och n kolonner. vi säger att A en m n matris. Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 14 / 18
Matriser Räkneregler Addition: Addera elementen på samma plats. ( ) ( ) ( 1 2 5 6 1 + 5 2 + 6 + = 3 4 7 8 3 + 7 4 + 8 ) = ( 6 8 10 12 ) Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 15 / 18
Matriser Räkneregler Addition: Addera elementen på samma plats. ( ) ( ) ( 1 2 5 6 1 + 5 2 + 6 + = 3 4 7 8 3 + 7 4 + 8 OBS: Funkar bara om matriserna är lika stora. ) = ( 6 8 10 12 ) Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 15 / 18
Matriser Räkneregler Addition: Addera elementen på samma plats. ( ) ( ) ( 1 2 5 6 1 + 5 2 + 6 + = 3 4 7 8 3 + 7 4 + 8 OBS: Funkar bara om matriserna är lika stora. ) = ( 6 8 10 12 Multiplikation med tal: Multiplicera alla elementen med talet. ( ) ( ) ( ) 1 2 5 1 5 2 5 10 5 = = 3 4 5 3 5 4 15 20 ) Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 15 / 18
Matriser Räkneregler Matrismultiplikation: C = AB. På plats (i, j) i matrisen C står rad i från A multiplicerad med kolonn j från B. Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 16 / 18
Matriser Räkneregler Matrismultiplikation: C = AB. På plats (i, j) i matrisen C står rad i från A multiplicerad med kolonn j från B. 1 2 3 4 5 6 ( 1 2 3 0 ) = 1 1 + 2 3 1 2 + 2 0 3 1 + 4 3 3 2 + 4 0 5 1 + 6 3 5 2 + 6 0 = 7 2 15 6 23 10 Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 16 / 18
Matriser Räkneregler Matrismultiplikation: C = AB. På plats (i, j) i matrisen C står rad i från A multiplicerad med kolonn j från B. 1 2 3 4 5 6 ( 1 2 3 0 ) = 1 1 + 2 3 1 2 + 2 0 3 1 + 4 3 3 2 + 4 0 5 1 + 6 3 5 2 + 6 0 = 7 2 15 6 23 10 OBS: Funkar bara om A har lika många kolonner som B har rader. Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 16 / 18
Matriser Räkneregler Matrismultiplikation: C = AB. På plats (i, j) i matrisen C står rad i från A multiplicerad med kolonn j från B. 1 2 3 4 5 6 ( 1 2 3 0 ) = 1 1 + 2 3 1 2 + 2 0 3 1 + 4 3 3 2 + 4 0 5 1 + 6 3 5 2 + 6 0 = 7 2 15 6 23 10 OBS: Funkar bara om A har lika många kolonner som B har rader. Oftast blir AB BA. Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 16 / 18
Matriser Räkneregler Matrismultiplikation: C = AB. På plats (i, j) i matrisen C står rad i från A multiplicerad med kolonn j från B. 1 2 3 4 5 6 ( 1 2 3 0 ) = 1 1 + 2 3 1 2 + 2 0 3 1 + 4 3 3 2 + 4 0 5 1 + 6 3 5 2 + 6 0 = 7 2 15 6 23 10 OBS: Funkar bara om A har lika många kolonner som B har rader. Oftast blir AB BA. Om A är m p, B är p n blir C m n. Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 16 / 18
Ex 8 Beräkna AX om 1 2 1 x A = 2 3 2 och X = y. 3 4 4 z 1 2 1 x x + 2y + z 2 3 2 y = 2x + 3y 2z. 3 4 4 z 3x + 4y 4z }{{}}{{}}{{} 3 3 3 1 3 1 1 Systemet i Ex 4 kan skrivas AX = Y om Y = 1. 1 Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 17 / 18
Ex 9 Beräkna xa 1 + ya 2 + za 3 om 1 2 1 A 1 = 2, A 2 = 3, A 3 = 2. 3 4 4 1 2 1 x 2y z x + 2y + z x 2 +y 3 +z 2 = 2x + 3y + 2z = 2x + 3y 2z 3 4 4 3x 4y 4z 3x + 4y 4z Systemet i Ex 4 kan alltså skrivas xa 1 + ya 2 + za 3 = Y. Carl Olsson Linjär Algebra 2018-03-19 18 / 18