MA Tillämpd Mtemtik I,.hp, 8-- Hjälpmedel: Penn, rdergummi och rk linjl. Vrken räknedos eller formelsmling är tillåtet! Tentmen består v frågor! Endst vrsblnketten sk lämns in! Inget tentmensomslg! vrslterntiv i Bold Courier New sk tolks som tet i en Input Cell. Övrig tet som i en Tet Cell. Beteckningr enligt konventionen i kompendieserien "Något om...". För bedömning och betygsgränser se kursens hemsid. ösningsförslg nslås på kursens hemsid efter tentmen. yck till! Bertil Del A poäng med fokus på räknefärdighet för hnd, smt grundläggnde färdighet i Mthemtic.. Beräkn rgz z, då z och z betyder komplekonjugt. (p) ösningsförslg: Vi hr w z z :, så rctn b Π rctn ΠΠ Π Π. om w z z.z, Argw, Π Rätt svrslterntiv: b Π Π Π d Π. ös ekvtionen 6 z z, där z betyder komplekonjugt. (p) ösningsförslg: Ansätt z b. edn krvet på likhet melln komple tl, med ndr ord identifier rel- och imginärdelr. 6 b z z b : ikhet Re : Im : b b, b. olve 6 z z z d Rätt svrslterntiv: d. ök så tt 8. (p) ösningsförslg: Potenslgr, 8. olve 8,, Rels Rätt svrslterntiv: d d. ök så tt ln lnln. (p) ösningsförslg: ogritmlgr, ln lnln med hänsyn till krvet ovn. Dett vet Mthemtic. olveog og og, ln ln,, vrv endst duger Rätt svrslterntiv: b d
. Vid strnden v en flod observers höjden v ett torn på ndr strndknten under vinkeln 6. m längre in på lnd hr vinkeln minskt till. itutionen återges i figuren till höger som inte är sklriktig. ök såväl flodens bredd B som tornets höjd H. p 6 ösningsförslg: Trigonometri och lösning v ett litet enkelt ekvtionssystem. olve H B Tn6, H B Tn implify B, H B, H olve B B Tn6, H H B, H d B,H Tn 6. åt f lnsin. Bestäm f ' Π. (p) ösningsförslg: Jobb på med regler. Börj med kedjeregeln lnsin u sin u lnu sin u lnu sin v sin u lnu v v sin D sincos vcosbyt tillbk. Undrr om Mthemtic klrr dett u sin Dog in,. Π implify sin cos sin Π 8 Π Rätt svrslterntiv: d 8Π Π 8Π Π 8Π d Π 8Π. åt f. Bestäm f '. (p) ösningsförslg: Kvotregeln & D 8. dfd D,implify dfd. 8 Rätt svrslterntiv: e 9 d 8. åt f coscos. Bestäm f ' Π. (p) 6 ösningsförslg: coscos Produktregeln, KR & Dsincoscossin Π 6. dfd DCos Cos, sincos sin cos
dfd. Π 6 d 9. ök tngentens ekvtion till kurvn y i den punkt på kurvn som hr. (p) ösningsförslg: Först funktionen och dess derivt f : f' Knske är det v intresse tt koll lite i punkten. f, f', Tngentens riktningskoefficient är värdet v derivtn i punkten, så med direkt omlstning v enpunktsformeln till y k m får vi tngent olvey f f', yepnd y Å så här ser tvln ut. PlotEvlutef, y. tngent,,,, Aesbel, y, Plotbels Automti y.... y y y d y. I punkten, y på kurvn y y 9 är y. ök där. (p) t t ösningsförslg: Deriver implicit, sätt in känd värden och lös ut t. Dt yt t yt t9, t. t, yt, y't olve 6 t yt t yt t 6 t yt y t t yt y t t t 8 t t 8 8 9 d 9. Betrkt den styckvis konstnt funktionen i figuren. Beräkn sedn f. p f
ösningsförslg: Del upp integrtionsområdet så tt integrnden är konstnt k i vrje intervll, då är b k k b kb. å f 9 8. 8 6 8 d 9. Beräkn. (p) ösningsförslg: Vi får ln lnlnlnln8. log8 ln8 ln ln8 d ln. Beräkn. (p) ösningsförslg: Vi får ln 6ln ln ln. log ln ln ln d ln Rätt svrslterntiv: d. Bestäm 9. (p) ösningsförslg: Gör vribelsubstitution u g9. å u u. Gränsern blir g9 respektive g och slutligen 9 u u u u 9 u 9 9 9. 9 9 d 6 Rätt svrslterntiv: e. Bestäm y i punkten y Π cosy om tn där. (p) ösningsförslg: Vi hr till slut y cosy cosy KR tn tn tn siny. Å en gång till d cosy y y tn D ; y siny. å först och sist led ger tn
Del B poäng med fokus på modellering och Mthemtic. 68. En rk cirkulär kon med bsrdien dm och höjden dm hr spetsen vänd nedåt och påfylles vtten med flödet dm min. ök både r h och då volymen är dm? edning: V t t kon Πr h. 6. täll upp geometrin, det vill säg vttenvolym och kopplingsvillkor vid godtycklig tidpunkt t. pr i ekv. (p) ösningsförslg: Vid djupet h hr vttenytn rdien r så ktuell volym är V Πr h. Kopplingen melln r och h ges v likformig tringlr (rit!) r h R H, där R & H är konens dimensioner. ekv Vt Π rt ht, rt ht Vt Π ht rt, rt ht Rätt svrslterntiv: d ekv Vt Π rt ht, rt ht ekv Vt Π r t ht, rt ht ekv Vt Π r t ht, rt ht d ekv Vt Π rt ht, rt ht. ös ut rt och ht. pr den tredje v tre lösningr som regler i råh. (p) ösningsförslg: Det är br tt lös ut de sökt. råh olveekv, rt, ht st rt Vt, ht Vt Π Π råh olveekv, rt, ht st råh olveekv, rt, ht st råh olveekv, rt, ht d råh olveekv, rt, ht Rätt svrslterntiv: b 8. Bestäm slutligen både r och h vid den ngivn ögonblicksbilden. (p) t t ösningsförslg: Deriver reglern och sätt in numerisk värden, så hr vi svret på självdokumenternde form. DrÅh, t. Vt, V 't r t, h t Π Π råh. Vt, V 't t r,h.dråh, t. Vt, V 't DrÅh, t. Vt, V 't d DerivtiverÅh, t. Vt, V 't
9. I en rätvinklig tringel med ktetern, b och hypotenusn c ärsummnv kteternlik medtvå. ök, b, c och tringelren A då A är miml. c b 9. Formuler de geometrismbnd som behövs för tt lös uppgiften. pr i ekv. (p) ösningsförslg: Det är br tt följ receptet i teten re, P:s sts och kopplingsvillkor. ekv A b, b c, b ; ekv A b, b c, b c ekv A b, b c, c ekv A b, b c, b d ekv A b, b c, b. ös ut A, och. pr den ndr lösningen som regler i Ac. (p) ösningsförslg: olve gör jobbet Ac olveekv, A,, A b b, b, c b b Ac olveekv, A,, Ac olveekv, A,, Ac olveekv, A,, d Ac olveekv, A,,. Rit A, och i olik färger. Välj nturlig definitionsmängd, det vill säg hur b kn vrier. Pynt lrn. (p) ösningsförslg: Plot gör jobbet PlotEvluteA,,. A, b,,, Aesbel "b", "A,,c", Plotbels "A", "", "c" A,,c. c... A.... b PlotEvluteA,,. A, b,,, Aesbel "b", "A,,c" PlotEvluteA, b,,, Aesbel "b", "A,,c" PlotEvluteAc. A,,, b,,, Aesbel "b", "A,,c" d PlotEvluteA,,. A, b,,, Aesbel "b", "A,,c". Bestäm etrempunkten b genom tt deriver A och sök nollställe. pr som regel i bopt. (p) ösningsförslg: D och olve gör jobbet bopt olveda. Ac,, Rätt svrslterntiv: e b Rätt svrslterntiv: b 6
A,, c bopt olvedac. A,, bopt olveda. Ac,, bopt olveda. Ac,, d bopt olvedac. A,,. Bestäm vslutningsvis Ab, b och b. (p) ösningsförslg: ReplceAll gör jobbet Ac. bopt bopt. Ac Ac. A,, bopt Ac. bopt d Abopt. Bestäm mimlt A ännu en gång, nu med inbyggd hjälpred som gör hel jobbet. (p) ösningsförslg: FindMimum eller Mimize gör jobbet MimizeA. Ac,, b Rätt MimizeA. Ac, MimumAc. A, MAA, d FindMA. Ac, svrslterntiv:. Bestäm volymen v den kropp som uppkommer då det område i först kvdrnten som innesluts v eln och grfen till y roterr ett vrv kring eln. p b ösningsförslg: Vi hr direkt "formel" V Πy. Integrtionsgränsern ges v kurvns skärningspunkter med -eln, det vill säg eller. å Π 6 Π Π Π Π d Π 6. I vrje punkt i en sml stång med längden m är densiteten Ρ kgm proportionell mot produkten v vstånden till stångens ändpunkter med proportionlitetskonstnten Ρ. Bestäm stångens mss m. p ösningsförslg: Vid läget i stången hr vi den lill mssn m Ρ, där Ρ Ρ enligt uppgift. Nu är det br tt lägg smmn ll små bidrg till stångens mss m. m m Ρ m Ρ 6 m m Ρ m Ρ m m Ρ m d m m Ρ m
. I en sml stång med längden m är densiteten Ρ kgm i vrje punkt proportionell med k mot i kvdrt. Bestäm tyngdpunkten G ur m G m. p ösningsförslg: Mssn för en liten bit vid är m Ρ k och slutligen tyngdpunktens läge. olve G k, G G Rätt svrslterntiv: d olve G k, G olve k G, G olve k G, G d olve G k, G 8. En tunn pppskiv i form v en rätvinklig tringel med mssn m och konstnt ytdensitet är uppriggd enligt figur. ök msströghetsmomentet m r m då den roterr kring y eln. p b y ösningsförslg: Först hr vi ytdensiteten Ρ sådn vid får vi med likformig tringlr y b smmn. m b. Klipp sedn upp tringeln i sml rektngulär strimlor y. Höjden y v en. Bidrget till tröghetsmomentet är J m Ρ y. Nu är det br tt lägg J J J m 6 m b b m b b m b b d m b b m b b 9. Itliensk ingenjörer projekterr en hängbro över Messinsundet melln icilien och fstlndet. Den kommer tt h ett spnn på 8 m och pilonern blir 8 m hög. åt den längst vjern h formen v en prbelbåge enligt fig, y,, 8, och definierd som y i Mthemtic. 9. Bestäm vjerns längd. (p) 6 8 ösningsförslg: Utom tävln hr vi prbelbågen yk, som med, y, 88 k, så y 8 ; Ploty,,, 8, Aesbel, y y 6 8 Nu är det br tt tillämp färdig formel för tt beräkn längden på vjern 8
s N 8 y' 6 9 8.88 sinh 9 Inte fel tt gör en enkel kontroll med rätvinklig tringlr. Vjern ligger under hypotenusn men inte längs ktetern! Ok! 8, 8 N 86., 86. Rätt svrslterntiv: b s 8 y' s 8 y' s 8 y d s 8 y'. åt vjern h densiteten Ρ kg/m och beräkn rbetet mgh, som krävs för tt från mrknivå lyft vjern på plts. (p) ösningsförslg: Klipp vjern i små bitr och lyft en sådn liten vjerstump vid med längden s y' och mssn m Ρs på plts. Arbetet som behövs för dett är då mghmgyρgy ll smågrejer en sist gång, sedn är vi äntligen färdig y'. Nu är det br tt sml ihop N 8 Ρ gy y' 6 g Ρ 89 6 sinh 9. 6 g Ρ Rätt svrslterntiv: e 8 Ρ gy y' 8 Ρ gy y' 8 Ρ gy y d 8 Ρ gy y' 9