entmensskrivnin i Meknik (FME3) Del 1 ttik- och prtikeldynmik 1518 Lösninsförsl 1. ) Frilä rmverket! Inför spännkrftern G och i linorn, rektionskrften R från väen på stånen i punkten och tyndkrften m = k ( 5) smt det nrinde krftpret ( F, ), ( F, I) med F = i 4N enlit nednstående fiur. R G c F 3m D I F m Det äller (i sen ( i jk ) ): rg ( 1,, ) (,, ) ( 1,, ) = e = = = = r (,, ) (,,) G 1 ( 1) + ( ) + G G G G G G med krvet G. 1 (,, ) G (1) 3 3 3 r ( 3,, ) ( 1,, ) (,, ) 1 1 = e = = = = (,, ) r (,, ) (,, ) 3 1 + ( ) med krvet. Krftekvtionen er vid jämvikt: 1
Det äller tt (i sen ( i jk ) ) + + R+ m R= ( + + m ) (3) G G 1 1 1 R= ( G + + m ) = ((,, ) G + (,, ) + (,, 5) ) = 3 3 3 1 ( G, G, G 5) 3 + 3 3 (4) Momentekvtionen (med momentpunkt ) er vid jämvikt: r G + r + ri F + rc m (5) där r = j, r = i1+ j, ri = j ( 3) och rc = j4m+ k ( ) Ekvtion (5) kn skrivs i j k i j k i j k i j k G + 1 + 3 4 + 4 5 = 3 1 1 1 1 1 G 3 ( i+ k) k + k1 i (6) 3 Dett är ekvivlent med komponentekvtionern: 4G G = 15 14. 7kN 3 G 3 + 1 = ( 1 + 1) 5. kn 3 3 (7) Ekvtion (3) och (4) er nu 1 R = ( G, G, G 5) 3 + 3 3 = 1 1 1 ( 15 + ( 1 + 1), 15 ( 1 + 1), 15 5) = 3 3 3 3 3 5 4 ( + 4, 4, 5) (., 1 13., 5 4.) 9 kn (8) 3 3 vr: = 14. 7kN, = 5. kn, R= i1. + j135. + k ( 49. ), kn. G
. Frilä lkrn enlit nednstående fiur! Inför kontktkrftern,, smt den yttre krften F., och, F Jämvikt för den rk lken er: Jämvikt för den krökt lken er: Ekvtionern och (3) Ekvtion (5) och (6) er ( ): +, ( ): + F : F ( + ) (3) ( ): +, ( ): + (4) : + (5) + ( + ) = F, = F = F F = F (6) + = = F = + + v (4) följer nu tt = = F och = = F + + vr: = = = F, = = F, = F 3
3. Inför ett koordintsystem enlit nednstående fiur. Då äller tt kelns form es v ekvtionen y w = (1) x där m wx w =. pännkrften i keln es v = ( x) = ( ) 1+ vilket inneär tt den mximl spännkrften i keln erhålles för x = : w m = mx ( ) = 1 + ( ) 1 ( ) = + y h x Återstår tt estämm prmetern. pännkrften i keln för x: ( ) =. Frilä kel och lk enlit nednstående fiur. Inför spännkrftern ( ) = och ( ) smt tyndkrften m ( ) h m Momentekvtionen er: : m h = (3) vilket er 4
= m (4) h och därmed, enlit och (4) vr: mx = m 1+ ( ). h h mx = m 1+ ( ) = m 1+ ( ) h h 4. Frilä den kropp som estår v fjäder + vn + lin+ triss. Inför yttre krfter enlit nednstående fiur, d v s rektionskrften R på fjädern i O smt normlkrften N melln vn och rör, rektionskrftern, på trissns xel smt krften F på linn. Inför läeskoordinten x för vnen. Låt d eteckn vnens hlv länd (kn eventuellt försumms då vnen nts vr liten) F α R z O x N e l + d + Kroppens meknisk eneri es v mv 1 E = + + e = + mz + k( l l) där v är hylsns hstihet, z = xsinθ är vnens msscentrums koordint i höjdled och l är y fjäderns ktuell länd. Enlit effektsttsen äller tt E = P = Fu, där u är linns frt i den punkt där krften F nriper. Det äller tt 5
e ee u = x cos α = x = e + e + där e= l + d + x. Oserver tt krftern R, N smt, är effektlös! v dett följer då krften F är konstnt ( t är den tidpunkt då vnen når läe ) t t t ee E E = Fudt F dt F e = = + = F( + ) + + )) = e + F( + ) Men E = m( l + d)sinθ, E = mv + m( l + d + )sinθ + 1 k åledes mv + m( l + d + )sin θ + 1 k = m( l + d)sin θ + F( + ) vilket er 1 v = ( F( + ) m sin θ k ) m om svr på deluppift ) konstterr mn tt det krävs tt 1 m sinθ + k F + 1 vr: ) v = ( F( + ) m sin θ k ), ) m 1 m sinθ + k F + 5. ) Frilä prtikeln. Inför normlkrften N = eθnθ + k Nz och tyndkrften m. e fiuren nedn! Krftekvtionen er N + m= m (1) där hylsns ccelertion es v ( z, θ = ω, θ ) 6
= e ( r r θ ) + e ( r θ + r θ) = e ( r rω ) + e r ω r θ r θ O e r θ e θ r N m Ekvtionern (1) och er e m sin θ + e ( N + m cos θ) + kn = ( e ( r rω ) + e r ω ) m r θ θ z r θ vilket är ekvivlent med komponentekvtionern m sin θ = ( r rω ) m, Nθ + m cosθ = r ωm, Nz (3) v (3) 1 följer tt r rω = sinθ (4) dθ ) Genom tt utnyttj smnden r = r( θ ), θ() t = ωt, r = = ω, dθ dt dθ erhålles r = ω dθ ω rω = sinθ r = sinθ (5) dθ dθ ω med eynnelsedt: r ( ), ( ) och lösninen dθ r( θ) = (sinhθ sin θ) (6) ω vr: ) Rörelseekvtionen: r rω = sinθ ) Rörelsen r( θ) = (sinhθ sin θ). ω nm: Enlit mtemtikkursen Endim äller tt den homoen differentilekvtionen r dθ = hr den llmänn lösninen r( θ) = sinhθ + coshθ. Den inhomoen ekvtionen (5) hr en prtikulärlösnin r( θ) = sinθ. Den llmänn lösninen till (5) es då v ω r( θ) = sinhθ + coshθ sinθ. Med eynnelsedt r ( ), r ( ), enlit ovn, så ω erhålles lösninen (6). 7