2 Derivering av fält och nablaoperatorns roll

2 Derivering av fält och nablaoperatorns roll 2.1 Derivering av A(u) A ΔA A (u) rymkurva Ο A(u+Δu) Det sätt på vilket vektorvära funktioner (eller vektorfält) eriveras följer enkelt och irekt ur en vanliga efinitionen av erivatan. För enkelhets skull börjar vi me en vektorvär funktion A som enast beror av en variabel u, vs A(u). Derivatan av A me avseene på u ges å av A lim A = lim A(u + ) A(u), förutsatt att gränsväret existerar. Notera att A är änringen i A å variabeln, som A beror av, änras från u till u +, vs A = A(u + ) A(u) (se även figuren till vänster). När vi eriverar A me avseene på u skapas alltså en ny vektorvär funktion, A. Denna nya funktion ger, för varje väre på u, motsvarane tangentvektor till en rymkurva som fås om vi behanlar A som en ortsvektor (se återigen figuren ovan). Som exempel tittar vi nu närmare på fallet å A ligger i et rum som spänns av e tre kartesiska enhetsvektorerna ˆx, ŷ och ẑ. Ur efinitionen av erivatan följer att även A növänigtvis måste kunna uttryckas me hjälp av samma tre basvektorer. Skrivet i komponentform fås faktiskt att T (u) = (A x(u), A y (u), A z (u)) = ( Ax, A y, A z är T (u) är tangentvektorn vi u till en rymkurva som beskrivs av A. Bevis: T (u) = A [ 3 = lim 1 A i (u + )ˆx i 3 [ ] A i (u + ) A i (u) = lim ˆx i = ), ] 3 A i (u)ˆx i 3 A i ˆx i. Det tål att unerstykas; e kartesiska enhetsvektorerna som vi valt att beskriva A me är fixerae (vs oberoene av u). Den vektorvära funktionen A:s u-beroene ses ärme irekt (och uteslutane) i ess kartesiska komponenter A x (u), A y (u) och A z (u). Följaktligen, å A eriveras me avseene på u, sker eriveringen enast i e iniviella komponenterna. Vi söker en normerae tangentvektorn (me magnitu 1) som funktion av u till rymkurvan r(u) = (cos u, sin u, λu), är λ är en positiv konstant och är u (se figuren på nästa sia).

Vi eriverar r me avseene på u och får T (u) = r = ( sin u, cos u, λ). Den normerae tangentvektorn vi u fås slutligen till ˆT (u) = = T ( sin u, cos u, λ) T = sin 2 u + cos 2 u + λ 2 ( sin u, cos u, λ). 1 + λ 2 En partikel rör sig längs me en specifik rymkurva, som beskrivs av en vektorvära funktionen r(t). Partikelns läge (relativt origo) vi tien t ges här alltså av ortsvektorn r(t). Vi erivering av r(t) (me avseene på t) fås en vektorvär funktion v(t) = r, t är v(t) är hastighetsvektorn som tillhör partikeln vi tien t. Det skall påpekas att ett annat vanligt skrivsätt är att ange tiserivata me en punkt ovanför funktionsnamnet. Den vektorvära funktion som beskriver partikelns acceleration ges exempelvis av a(t) = v = 2 r = v = r. t t 2 Regler: Me hjälp av erivatans efinition kan följane fyra regler visas ( A + B) = A + B, ( A B) = A B + A B, ( A B) = A B + A B, (Φ A) = Φ A + Φ A, är Φ är en skalärvär funktion av u. Dessutom, i fallet å u beror av v, vs u(v), fås kejeregeln A[u(v)] v = A v. Bevis: Det finns en uppenbar likhet mellan ovanståene regler för vektorvära funktioner och eras skalärvära motsvarigheter (vi bortser här ifrån uttrycket me kryssprokten, som inte har någon irekt skalär motsvarighet). Denna likhet kan till viss mån förstås om vi tänker oss alla e ingåene vektorerna som uttryckta i sina kartesiska komponenter. All erivering sker nu i komponenterna, vilka naturligtvis följer e regler som gäller för skalärvära funktioner. Det är ärme inte allt för långsökt att tänka sig att e resulterane reglerna för erivering av vektorvära funktioner kraftigt präglas (i alla fall i

ess struktur) av motsvarane uttryck me skalärvära funktioner. Exempelvis, givet basvektorerna ˆx, ŷ och ẑ, ses att A(u(v)) v = (vilket visar kejeregeln) samt att ( Ax v, A y v, A ) ( z Ax = v v, A y v, A z ) v = A v. ( A B) = (A xb x + A y B y + A z B z ) = A x B x + A y B y + A z B B x z + A x + A B y y + A B z z. }{{ } A B A B Fallet me kryssprokten, vs ( A B), visas äremot enklast som ( A B) = lim = lim = lim 1 [ ] A(u + ) B(u + ) A(u) B(u) 1 [( ) ( ) A(u) + A B(u) + B 1 [ ] A(u) B + A B(u) + A(u) B = A(u) lim B + lim A B(u). A(u) B(u) ] I ovanståene bevis har vi använt oss av att A = A(u + ) A(u) (och motsvarane uttryck för B) A samt att lim B = 0. Det skall också unerstrykas att vi ingenstans i härleningen har använt oss av egenskaper som är unika för just kryssprokten. Vi kan, me anra or, utföra exakt samma bevissteg me kryssprokten ( ) utbytt mot skalärprokten ( ). Mycket riktigt, byter vi ut mot i proktregeln ( A B) fås också regeln för ( A B). 2.2 Partiell erivering av A(u, v,...) Vi ser nu närmare på e fall är en vektorvära funktionen A beror av flera i sig oberoene variabler u, v,..., vs A(u, v,...). Om vi kräver att alla variabler förutom en hålls konstanta så receras A(u, v,...) till att effektivt enast bero av en variabel. Vi kan alltså, i etta speciella fall, tillämpa e regler vi nyss stuerat för vektorvära funktioner av en variabel. Den partiella erivatan efinieras alltså som A(u, v,...) u lim A(u +, v,...) A(u, v,...). Vi repeterar; vi partiell erivering hålls alla anra variabler konstanta förutom en vi eriverar me avseene på (u ovan). Notera också att vi skriver partiella erivatorer me i stället för. Regler Alla e fyra första reglerna som listaes för vektorvära funktioner av en variabel kan även tillämpas på vektorvära funktioner av flera variabler, fast me utbytt mot

. Beträffane en nästföljane regeln, vs kejeregeln, finns två alternativ i flervariabelfallet. Om e oberoene variablerna u, v,... själva beror av enast variabeln t, vs u u(t), v(t),..., fås A[u(t), t v(t),...] = A u t + A v v t +.... Skulle äremot u, v,... bero av flera variabler r, s,... gäller i stället att A[u(r, r s...), v(r, s,...),...] = A u u r + A v v r +.... Till sist bör också nämnas att 2 A u v = 2 A v u, förutsatt att A har kontinuerliga anraerivatorer. orning spelar me anra or ingen roll. De partiella erivatornas inböres 2.3 Differentialen av A(u, v,...) Differentialen A av en vektorvär funktionen A(u, v,...) ges, per efinition, av A A u + A v v +..., är vi förutsätter att A:s partiella erivator, vs A, A u v,..., är kontinuerliga funktioner. Ortsvektorifferentialen till r(x, y, z) = (x, y, z) = xˆx + yŷ + zẑ fås alltså till r = r x ˆx=(1,0,0) x + r y ŷ=(0,1,0) y + r ẑ=(0,0,1) z = (x, y, z). Vi söker nu en möjlig koppling mellan ifferentialen A av vektorfältet A och änringen A av samma vektorfält. Låt oss ånyo ta ortsvektorifferentialen som exempel. Vi utgår från ortsvektorn r(x, y, z) som pekar mot punkten P : (x, y, z) (se figuren till höger). Vi en föränring x x + x, y y + y, z z + z, Ο r(x+ x,y+ y,z+ z) r (x,y,z) P : (x+δx,y+δy,z+δz) Δr P : (x,y,z) erhålls en ny ortsvektor r(x + x, y + y, z + z) pekanes mot punkten P : (x+ x, y+ y, z + z). Ovanståene föränring i variablerna x, y och z ger alltså upphov till änringen r = r(x + x, y + y, z + z) r(x, y, z) = ( x, y, z)

i ortsvektorn. Uttrycket för änringen, r = ( x, y, z), och ifferentialen, r = (x, y, z), av ortsvektorn har sålees liknane struktur. I gränsen för små föränringar i x, y och z, vs x x, y y och z z, fås att r r. Det omväna gäller också. Vi kan utgåenes från uttrycket på r beräkna r genom substitutionen x x, y y och z z, vs r = r r r x + y + x y z. Ovanståene likhet är (som snart skall visas) ej av allmän karaktär, utan snarare ett specialfall giltigt för just ortsvektorn. Differentialen av et mer generella vektorfältet ges av A(x 1, x 2, x 3 ) = (A 1 (x 1, x 2, x 3 ), A 2 (x 1, x 2, x 3 ), A 3 (x 1, x 2, x 3 )) A = 3 A x i x i, vilket, skrivet i komponentform, är samma sak som ( 3 A A 1 3 A 2 = (A 1, A 2, A 3 ) = x i, x i, x i x i 3 A 3 x i x i Låt oss nu även unersöka relationen mellan ifferentialen och änringen av etta vektorfält. Vi börjar me att skriva änringen, A, i komponentform som A(x 1, x 2, x 3 ) = ( A 1 (x 1, x 2, x 3 ), A 2 (x 1, x 2, x 3 ), A 3 (x 1, x 2, x 3 )). Vi påminner också om att A(x 1, x 2, x 3 ) = A(x 1 + x 1, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) A(x 1, x 2, x 3 ), vilket för komponent i (är i = 1, 2, 3) av A innebär att A i (x 1, x 2, x 3 ) = A i (x 1 + x 1, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) A i (x 1, x 2, x 3 ) 3 A i = x j + 1 3 2 A i x j x k + O( 3 ). x j 2 x j x k j=1 j,k=1 I sista steget skrev vi om A i (x 1 + x 1, x 2 + x 2, x 3 + x 3 ) me hjälp av en Taylorutveckling kring A i (x 1, x 2, x 3 ). Om vi nu jämför uttrycket för A i mot motsvarane för A i ses att en senare enast innehåller första orningens term i Taylorutvecklingen. Me anra or, för faktiska förflyttningar x (och ej infinitesimala såana) fås att A A x x + A y y + A z, olikt fallet för ortsvektorn. I gränsen för små föränringar i e beroene variablerna, vs x x, fås äremot att A i A i och ärme att A A, precis som i fallet me ortsvektorn. Anra orningens termer, x i x k, (samt högre orningars) är nämligen helt försumbara i gränsen för små x. ).

2.4 Nablaoperatorn För att sammanfatta e i fysiken vanligt förekommane rumsliga erivatorna av vektorfält (och skalärfält) introcerar vi nu nablaoperatorn = ˆx x + ŷ y + ẑ ( = x, y, ). Vi betonar här att är en vektoroperator och inte en orinär vektor. Som operator skall ses som innehållanes en instruktion att erivera et som står efter, vs till höger om, ess symbol. Exempelvis, i fallet å verkar på ett skalärfält Φ så skapas ett vektorfält enligt Φ(x, y, z) = ( x, y, ) ( Φ(x, y, z) Φ(x, y, z) =, x Φ(x, y, z), y ) Φ(x, y, z). Eftersom verkar på et som står till höger om sig, spelar ess placering i ett uttryck stor roll. Till skillna mot Φ, som är ett vektorfält, är exempelvis Φ en ny vektoroperator. Det finns enast ett sätt på vilket vektoroperatorn kan verka på ett skalärfält, men et finns två sätt som en kan verka på ett vektorfält. De möjliga kombinationerna ses nean. ( Φ Φ = x, Φ y, Φ ) = gra Φ, A = A x x + A y y + A z = iv A, A ˆx ŷ ẑ = x y A x A y A z = rot A. Vi återkommer me en lite mer utförlig beskrivning av essa tre fall senare i kapitlet. För vanliga vektorer gäller att A ( B A) = 0. Vi söker nu om samma sak allti gäller för A ( A). Som exemel kan vi ta fallet A = ( y, x, 1), vilket ger att ˆx ŷ ẑ A = x y y x 1 = (0, 0, 2). Detta ger i sin tur att A ( A) = 2 0. På liknane sätt gäller exempelvis generellt att ( Φ) ( Ψ) 0, trots att ( AΦ) ( AΨ) = 0. Man måste me anra or vara försiktig och inte behanla som en vanlig vektor! Regler Det finns så klart även en ra regler för beräkningar me nablaoperatorn som, vi ork och lust, kan visas. Vi nöjer oss ock me att enast lista essa regler, samt att påpeka att även ifall vissa ser ut att vara självklara finns anra som ej är lika triviala vi första

anblick. (Φ + Ψ) = Φ + Ψ, ( A + B) = A + B, ( A + B) = A + B, (ΦΨ) = Φ Ψ + Ψ Φ, ( A B) = A ( B) + B ( A) + ( A ) B + ( B ) A, (Φ A) = Φ( A) + A ( Φ), ( A B) = B ( A) A ( B), (Φ A) = Φ( A) A ( Φ), ( A B) = ( B ) A ( A ) B + A( B) B( A). Notera att e flesta av essa står också i er formelsamling. Anraerivator Hittills har vi enast iskuterat förstaerivator i form av Φ, } {{ A } vektorfält skalärfält och A }{{. } vektorfält Om vi låter verka på ovanståene tre uttryck fås fem möjliga anraerivatorer Φ = ( Φ) = Φ, Φ = ( Φ) = 0, A = ( A) vilket sällan förekommer i fysiken, A = ( A) = 0, A = ( A) = ( A) A, är 2 = 2 + 2 + 2 x 2 y 2 2 är Laplaceoperatorn. Ur sista uttrycket ses även att A = ( ) A ( A). 2.5 Graienten Graienten av ett kontinuerligt eriverbart skalärfält Φ ges, som tiigare nämnts, av ( gra Φ Φ Φ = x, Φ y, Φ ). Ovanståene vektorfält är tätt sammankopplat me ifferentialen av et bakomliggane skalärfältet Φ, Φ = Φ ( Φ Φ Φ x + y + x y z = x, Φ y, Φ ) (x, y, z) = gra Φ r. Om vi skriver om ortsvektorifferentialen till r = ês, är s ger storleken av r och ê är enhetsvektorn som ger r:s riktning, fås att Φ s = lim Φ( r + ês) Φ( r) s 0 s = gra Φ ê.

Riktningserivatan av Φ i riktning ê fås, me anra or, av graientvektorns komponent i en angivna riktningen. Graienten av Φ har två viktiga egenskaper, vilka nu iskuteras kort. Egenskap 1: Φ i punkt P, vs (gra Φ) P, pekar i en riktning som Φ växer snabbast. Maximala ökningen av Φ per längenhet ges av (gra Φ) P. I fallet å Φ har ett maximum eller minimum i P fås ärför att (gra Φ) P = 0. Bevis: Vi vet sean tiigare att Φ s = gra Φ ê = gra Φ ê cos θ, 1 är θ är en mellanliggane vinkeln (se figuren till höger). Eftersom 1 cos θ 1 har Φ et maximala väret gra Φ, vilket fås å ê s är parallell me gra Φ. graϕ θ ê Egenskap 2: (gra Φ) P är ortogonal mot nivåytan Φ = c genom P. Bevis: Ovanståene egenskap ses irekt ur en förflyttning r längs nivåytan är Φ är konstant. I etta fall fås att z (gra ) P 0 = Φ = gra Φ r, P r Yta: =c vilket måste gälla för alla r på ytan. Vi frågar oss nu hur hur snabbt temperaturen T (x, y, z) = xy 2 + z 2 växer å man rör sig i riktningen (1, 2, 2) utgåene från punkten P : (2, 1, 1). Vi söker alltså riktningserivatan T i en angivna riktningen. Graienten av T ges av T = (y 2, 2xy, 2z). I punkten P s gäller ärme att ( T ) P = (1, 4, 2), vilket även är riktningen (utgåenes från P ) i vilken temperaturen ökar snabbast. För att beräkna temperaturökningens hastighet i riktningen (1, 2, 2) tar vi skalärprokten mellan ( T ) P och en normerae riktningsvektorn ê, vs ( T s ) P ;ê = (1, 4, 2) (1, 2, 2) 12 + 2 2 + 2 2 = 1. Vi finner alltså att temperaturen sjunker me 1 gra/längenhet å man flyttar sig ett infinitesimalt stycke i riktningen ê = 1 (1, 2, 2). 3 x y Graienten av Φ kan även använas till att uppskatta et vinkelräta avstånet s mellan punkten P i nivåytan Φ = c och nivåytan Φ = c + h. För små änringar gäller att h = Φ Φ = (gra Φ) P s. Omskrivet ger etta oss att z s =c+h =c s h (gra Φ) P. x y

2.6 Divergens och rotation Vi har nyss sett att graienten Φ är ett vektorfält som i varje punkt beskriver en riktning i vilken skalärfältet Φ växer snabbast. Divergensen A och rotationen A har på motsvarane sätt egna fysikaliska tolkningar. Dessa båa tolkningar kommer nu beskrivas kortfattat. En mer jupgåene analys sparar vi till senare kapitel. Divergensen ( A) P säger hur mycket vektorfältet sprier ut sig från punkten P. Vi kan tänka oss vektorfältet som beskrivane en flöane vätskas hastighet. Vi tillsätter nu några roppar blått färgämne lokalt i närheten kring punkten P och ser va som häner. Om en blåfärgae vätskan sprier ut sig, vs börjar uppta en större volym, fås att ( A) P > 0. Om istället volymen av en blåa vätskan minskar är ivergensen negativ i punkten P. Se neanståene figur för några exempel på möjliga fall. P P P Källa: (iv A ) P > 0 Sänka: (iv A ) P < 0 (iv A ) P = 0 Rotationen ( A) P beskriver hur mycket vektorfältet roterar runt punkten P. I närheten av virvlar i vektorfältet är alltså A stort. Riktningen av A fås i överensstämmelse me högerhansregeln (se figuren nean). P (rot A) P > 0 (rot A) P upp, ut ur planet (mot läsaren)

Övningsuppgifter 2.1 En partikel rör sig i xy-planet så att läget r(t) vi tien t ges av r(t) = (a cos(ωt), b sin(ωt)), är a, b och ω är konstanter. a) Hur långt från origo är partikeln vi tien t? b) Bestäm hastigheten och accelerationen som funktion av tien. c) Visa att partikeln rör sig i en elliptisk bana ( x ) 2 ( y ) 2 + = 1 a b 2.2 Vektorn R(u) satisfierar ifferentialekvationen R(u) = A(u) R(u), är A(u) är en given vektorvär funktion. Visa att R:s absoluta belopp är konstant. Lening: Derivera R R. 2.3 Beräkna graienten för följane funktioner a) f(x, y, z) = x 2 + y 3 + z 4. b) f(x, y, z) = x 2 y 3 z 4. c) f(x, y, z) = e x sin(y) ln(z). 2.4 Temperaturen i ett rum beskrivs av skalärfältet T = x 2 + 2yz z [ C]. En frusen mygga befinner sig i punkten (1, 1, 2). a) I vilken riktning skall myggan flyga om en vill bli varm så fort som möjligt? b) Hur snabbt (uttryckt i C/s) ökar temperaturen om myggan flyger me hastigheten 3 längenheter/s i riktningen ( 2, 2, 1)? 2.5 Varför finns ( B ) A men ej B ( A)? 2.6 Beräkna ivergensen för följane vektorfunktioner: a) v a = x 2ˆx + 3xz 2 ŷ 2xzẑ. b) v b = xyˆx + 2yzŷ + 3zxẑ. c) v c = y 2ˆx + (2xy + z 2 )ŷ + 2yzẑ. 2.7 Beräkna rotationen för vektorfunktionerna v a, v b och v c från uppgift 2.6. 2.8 För vektorfunktionerna A = xˆx + 2yŷ + 3zẑ, B = 3yˆx 2xŷ. a) Kontrollera proktregeln ( A B) = B ( A) A ( B). b) Kontrollera på liknane sätt proktregeln ( A B) = A ( B) + B ( A) + ( A ) B + ( B ) A. c) Kontrollera slutligen proktregeln ( A B) = ( B ) A ( A ) B + A( B) B( A).

2.9 Visa att rot gra Φ = 0. 2.10 Visa att iv rot A = 0. 2.11 Beräkna gra r, är r = r, samt beräkna iv r och rot r.