Tentmen i Mtemtik, HF9 tisdg 8 jnui, kl 8.. Hjälpmedel: ndst fomelbld miniäkne ä inte tillåten Fö godkänt kävs poäng v 4 möjlig poäng betgsskl ä,,c,d,,f,f. Den som uppnått 9 poäng få betget F och h ätt tt komplette denn tentmen. Fullständig lösning skll pesentes till ll uppgifte. minto: min Hlilovic Undevisnde läe: Fedik egholm, Jons Stenholm, lis Sid. Två vektoe ä givn:, och b,4. estäm konstnten α och β om α β b, b en enhetsvekto vekto med längden i kt motstt iktning mot. p c en vekto som ä vinkelät mot b. p. Någon påstå tt vinkeln melln två mddigonle i en kub ä 9 gde. Vis tt dett ä fel mddigonl digonl genom kubens centum melln två motstående hön. b ntg tt en kub h f v sin hön i :,,, :,,, C:,, och D:,,. estäm ekvtionen fö plnet genom, C och D.. Punkten P,4,7 och Q, 4, ä givn. estäm ekvtionen fö linjen genom P och Q. b estäm vståndet melln linjen genom P och Q och punkten -,-,- 4. Lös följnde mtisekvtion:, dä och 4p. Undesök följnde ekvtionssstem fö ll väden fö de eell konstnten och b: z z z b estäm vilken tp v lösning det bli, fö ll eell väden fö och b. b estäm lösningn fö de väden fö och b som inte ge en unik lösning. Vänd!
. Vektoen /, / och b -/, / ä vinkelät och v längd, och bild eliktningn i ett ätvinkligt koodintsstem, se figu. Dett koodintsstem ä otet i föhållnde till det uspunglig,-koodintsstemet. T ed på vilk koodinte punkten,, h i det otede sstemet genom tt pojice ätvinkligt mot ln eliktningn och b. Vilk koodinte h en godtcklig punkt, i det otede sstemet? Rit gän en figu.
Lösningsföslg.. α β b, α, β,4, α β Dett ge ett ekvtionssstem: α 4β Med Gusselimineing fås tt: 7β, d.v.s. β 7 9 7 7 nd ekvtionen ge tt α 4β α 7 b., enhetsvekto: enhetsvekto med motstt iktning mot :, c. Vekton c ä vinkelät mot b v om b o c n möjlig sådn vekto ä c 4, 9 Sv: α och β, b 7 7,, c t.e. 4,.. Vektoe ä vinkelät om och endst om skläpodukten. ntg tt kubens knt ä längdenhete. Två möjlig mddigonle ä då,, och,,. Skläpodukten bli:,, o,, endst då, d.v.s då kuben h kntlängden noll ointessnt. lltså h vi vist tt vinkeln inte ä 9 och på smm sätt kn mn vis tt vinkeln inte ä 9 fö något p v mddigonle i kuben. b. C,, och D,, Nomlvekton fö plnet genom, C och D: e e ez n C D,, kvtionen fö ett pln med nomlvekto,,c: Plnet genom, C och D ges lltså v z D Cz D
:s koodinte sätts in: D, d.v.s z Sv: se ovn b Plnets ekvtion ä z.. Linjens iktningsvekto ä PQ, 8, Mn behöve också en punkt på linjen. Vi välje P,4,7. kvtionen fö en ät linje på pmetefom: l P t, d.v.s. fö en punkt,,z på linjen gälle: 4 8t z 7 t b. Fomel fö vstånd melln punkt och linje: d v P v fån fomelbldet Hä ä d vståndet, den givn punkten, P en godtcklig punkt på linjen och slutligen så ä v linjens iktningsvekto. P beäkns som P,,, 4, 7,, 8 v P e e e z 8 9,, 8 d v P v 9 8 877 89 l. e. 4,9 l. e. Sv: linjens ekvtion ä 4 8t z 7 t b vståndet ä 877 l. e. 89 4. kvtionen löses föst fomellt, sedn med siffo instt.
dä ä enhetsmtisen v tp. Invesen bli då med någon metod: Sv:.. och b. b z z z estäm koefficientmtisens deteminnt: Fö vilk -väden ä den noll? tt ekvtionssstem h unik lösning om och endst om koefficientmtisens deteminnt ä skild fån noll. lltså: Det givn ekvtionssstemet h unik lösning fö ll - väden utom - Sätt in - i sstemet: b som till slut bli b Sist den tolks som b. Det betde tt lösning skns om b,
och tt det finns oändligt mång lösning pmetelösning om b Pmetelösningen bestäms:, vilket ge tt z och z Sätt z t t, d.v.s. t z t Sv: Unik lösning fö ll - väden utom ovsett vädet fö b. Ingen lösning lls om och b Pmetelösning om och b. b Ingen lösning lls om och b Om och b bli det följnde pmetelösning: t z t. ftesom vektoen ä nomede kn mn få längden v vinkelät pojektion genom två skläpodukte: o, n smt b o, n dä [ n, n ] ä koodinte i det otede sstemet. Det ä längdenmed tecken v den pojicede vekton OP, P, som ä koodinten på en el i det otede koodintsstemet. Mn få lltså / / / n / / / n sätt, med, och då ehålls de n koodinten som funktion v de gml: / / n / / n Om mn vill kn mn skiv dett som en mtismultipliktion. Sv: N koodinte fö punkten,: n, n /, /. N koodinte fö punkten,: n, n / /, / /