Sts 3: Egenskper () f(x) dx = 0 (b) f(x) dx = b f(x) dx (c) (Af(x) + Bg(x))dx = A f(x) dx + B g(x) dx (d) f(x) dx + c c f(x) dx = b f(x) dx (e) Om b och f(x) g(x) f(x) dx g(x) dx (f) Tringelolikheten: Om b f(x) dx f(x) dx (g) Om f är udd (f( x) = f(x)) f(x) dx = 0 (h) Om f är jämn (f( x) = f(x)) f(x) dx = 2 f(x) dx 0
Sts 4: Medelvärdesstsen Om f är kontinuerlig på [, b] så existerr en punkt c i intervllet [, b] så tt f(x) dx = (b )f(c). Med ledning v stsen ovn så definierr vi medelvärdet f v en funktion enligt f = b f(x) dx.
Anlysens huvudsts Antg tt f är kontinuerlig på intervllet I och tt I.. Låt funktionen F vr definerd på I v F (x) = x f(t) dt. Då är F deriverbr på I och F (x) = f(x), dvs F är primitiv funktion till f, dvs d dx x f(t) dt = f(x). 2. Om G är en primitiv funktion till f på I och b I så är f(x) dx = G(b) G().
Elementär obestämd integrler 7. x r dx = r+ xr+ + C, (r ) 8. x dx = ln x + C 9. sin x dx = cos x + C, ( 0) 0. cos x dx = sin x + C, ( 0). cos 2 x dx = tn x + C, ( 0) 5. 2 x 2 dx = rcsin x + C, ( > 0) 6. 2 + x 2 dx = rctn x + C, ( 0) 7. e x dx = ex + C, ( 0)
Elementär obestämd integrler Konstnten bortplockd 7. x r dx = r+ xr+ + C, (r ) 8. x dx = ln x + C 9. 0. sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C,. cos 2 x dx = tn x + C, 5. dx = rcsin x + C, x2 6. 7. dx = rctn x + C, + x2 e x dx = e x + C,
Substitution i obestämd integrl Om f är kontinuerlig med primitiv funktion F, och g är deriverbr, så är f ( g(x) ) g (x) dx = F ( g(x) ) + C. Substitution i bestämd integrl Sts 6 Om g är deriverbr på [, b], och f är kontinuerlig på värdemängden v g, och A = g(), B = g(b), så är f ( g(x) ) g (x) dx = B A f(u) du, där u = g(x) och du = g (x) dx.
Trigonometrisk integrler () (b) (c) (d) tn x dx = ln cos x + C cot x dx = ln sin x + C dx = ln cos x dx = ln sin x + sin x cos x + C + cos x sin x + C Integrl (c) och (d) kräver gnsk märklig substitutioner för tt härleds.
Trigonometrisk integrler Integrler v typen sin m x cos n x dx där m, n N, hnters på ett v två sätt:. Om m och/eller n är udd kn substitutionsmetoden utnyttjs. 2. Om både m och n är jämn utnyttjs smbnden cos 2 x = ( + cos 2x) 2 sin 2 x = 2 ( cos 2x) för tt reducer grdtlet hos exponentern.
Prtiell integrtion Vi söker lös f(x)g(x) dx. Om någon primitiv funktion F (x) till f(x) är känd och vi lätt kn bestämm F (x)g (x) dx så är prtiell integrering ett intressnt lterntiv: f(x)g(x) dx = F (x)g(x) F (x)g (x) dx. Min minnesregel ser ut såhär: f(x) g(x) dx = F (x) g(x) F (x) g (x) dx.
Omvänd substitution Använd Sts 6 bklänges, dvs gör integrlen till synes mer komplicerd. Så istället för tt lös f(x) dx, löser vi g (b) g () f ( g(u) ) g (u) du.
Omvänd substitution med sinus Integrler som innehåller ( 2 x 2) /2 blir iblnd enklre med substitutionen x = sin θ. Omvänd substitution med tngens Integrler som innehåller ( 2 + x 2) /2 eller 2 + x 2 blir iblnd enklre med substitutionen x = tn θ.
Integrler v rtionell funktioner All integrler v rtionell funktioner kn stycks sönder till följnde komponenter:. x + dx = ln x + + C 2. x x 2 + 2 dx = 2 ln(x2 + 2 ) + C 3. x 2 + 2 dx = rctn x + C, ( 0) och då grdtlen i nämnrn är högre: 4. dx = (x + ) n n + C, (x + ) n 5. x ( x 2 + 2) n dx = 2(n ) ( x 2 + 2) n + C, 6. ( x 2 + 2) n dx = { långt och tråkigt uttryck, se tbell!
Anstser för prtilbråksuppdelning En fktor i nämnren (x + ) Ger följnde nsts A x + (x + ) 2 A x + + B (x + ) 2 (x + ) 3 A x + + Kvdrdisk nämnre B (x + ) 2 + C (x + ) 3 En fktor i nämnren (x 2 + x + b) Ger följnde nsts A x + B x 2 + x + b (x 2 + x + b) 2 A x + B x 2 + x + b + C x + D (x 2 + x + b) 2 Konstntern A, B, C och D är okänd, och sk bestämms så tt likhet uppfylls.
Sts Om P och Q är polynom och P hr lägre grdtl än Q så gäller tt () Q kn fktorisers enligt Q = k(x ) m (x 2 ) m 2 (x j ) m j }{{} reell rötter (x 2 + b x + c ) n (x 2 + b k x + c k ) n k }{{} komplex rötter kn pr- (b) Den rtionell funktionen P Q tilbråksuppdels: Vrje fktor (x ) m i Q ger upphov till termer A x + A 2 (x ) 2 +... + A m (x ) m. Vrje fktor (x 2 + bx + c) n i Q ger upphov till termer B x + C x 2 + bx + c +... + B nx + C n (x 2 + bx + c) n. Summn v ll sådn termer bildr prtilbråksuppdelningen v P Q. De okänd konstntern bestäms genom tt sätt ll bråken på gemensm nämnre, och se till tt täljren blir P.
Metod: Integrler v rtionell funktioner. Polynomdivision för lägre grdtl i täljren än i nämnren 2. Fktoriser nämnren så långt det går 3. Prtilbråksuppdel 4. Kvdrtkompletter 5. Lös stndrdintegrler
Generliserde integrler () Om den en integrtionsgränsen är oändligheten (± ), definierr vi den generliserde integrlen som eller f(x) dx = f(x) dx = lim R lim f(x) dx R f(x) dx. R R Om gränsvärdet existerr, säger vi tt den generliserde integrlen konvergerr. Annrs divergerr den.
Generliserde integrler (2) Om funktionen f är obegränsd (± ) i en integrtionsgränsen, definierr vi den generliserde integrlen som eller f(x) dx = lim f(x) dx c + c c f(x) dx = lim f(x) dx. c b Om gränsvärdet existerr, säger vi tt den generliserde integrlen konvergerr. Annrs divergerr den.
Båglängd Längden v det svrt strecket melln och b klls båglängden och beräkns enligt s = + (f (x)) 2 dx.
En kurv på prmeterform { x = f(t) y = g(t) sägs vr gltt eller slät på ett intervll I, om kurvn hr tngentlinje för ll t i intervllet. Sts Låt C vr den kurv på prmeterform som ges v { x = f(t) y = g(t) då t är i intervllet I. Om f (t) och g (t) är kontinuerlig på intervllet I, och f (t) 0 på intervllet I, så är C gltt/slät, och dy dx = g (t) f (t). På smm sätt gäller tt g (t) 0 dx dy = f (t) g (t). Dvs kurvn är gltt/slät, utom möjligtvis i de punkter där både f (t) = 0 och g (t) = 0.
Tngenten och normlen till en kurv i prmeterform x = f(t) y = g(t) Tngenten i prmeterform x = f(t 0 ) + s f (t 0 ) y = g(t 0 ) + s g (t 0 ). Normlen i prmeterform x = f(t 0 ) + s g (t 0 ) y = g(t 0 ) s f (t 0 ).
Båglängd för kurv i prmeterform x = f(t) y = g(t) Båglängden för den blå kurvn, melln t = och t = b, är s = (f (t)) 2 + (g (t)) 2 dt.
Aren under en polär kurv Om r = f(θ) gäller tt A = 2 β α (f(θ))2 dθ.
Båglängd för polär kurv Om r = f(θ), så hr den blå kurvn längd s = β α (f (θ)) 2 + (f(θ)) 2 dθ.