2. Lösning av elektrostatiska problem för ledare

2. Lösning av elektrostatiska problem för leare [RMC] Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2. 2.. Poissons ekvation [RMC, Jackson] Från tiigare vet vi att Er) = ρr) ε 2.) Er) = ϕr) 2.2) Detta ger oss genast som kallas Poissons ekvation. 2 ϕr) = ρr) ε 2.3) Laplace-operatorn är i Cartesiska koorinater x, y, z), 2 ϕ = 2 x ϕ + 2 y ϕ + 2 z ϕ 2.4) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.2

2 ϕr) = ρ ρ i cylinriska koorinater ρ, ψ, z), och ρ ϕr) ) + 2 ϕr) + 2 ϕr) 2.5) ρ ρ 2 ψ 2 z 2 2 ϕr) = ) r 2 ϕr) + r 2 r r r 2 sin θ θ sin θ ϕr) ) + θ r 2 sin 2 θ 2 ϕr) φ 2 2.6) i sfäriska koorinater r, θ, φ), Om ρr) = i e flesta punkter r,.v.s. vi har leare och bara ett fåtal externa laningsförelningar, så får vi Laplaces ekvation 2 ϕr) = 2.7) Tiigare bestäme vi elfältet från en laningsförelning ρr) genom att integrera ett ena uttryck. I essa fall var förelningen ρr) bestäm på förhan. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.3 Vi kommer nu att granska allmänna system av laningsförelningar och leare, och hur e ser ut vi statisk jämvikt. Situationen kompliceras nu av att lanigar inuceras på e leane ytorna, och enna laning är inte kän på förhan. Dylika system beskrivs i et allmänna fallet av Poissons ekvation, vars lösning ϕr) alltså ger oss systemets elektrostatiska tillstån. För att lösa Laplaces ekvation eller Poissons ekvation i allmänhet) för ett system av N st leare behöver vi känna till ranvillkoren,.v.s. efinierae vären på en sökta funktionen ϕ eller ess erivator i givna punkter. Om ϕr) är kän på learnas ytor,.v.s. vi vet ϕ Ai, i =, 2,..., N, kallas ranvillkoren för Dirichlet-ranvillkor. Om istället ϕ/ n potentialens normalerivata,.v.s. elfältet) är kän på learnas ytor,.v.s. vi vet ϕ/ n) Ai, i =, 2,..., N, kallas ranvillkoren för Neumann-ranvillkor. Me båe ϕ Si och ϕ/ n) Ai specificerae kan en lösning inte garanteras existera. Detta för att Dirichlet- och Neumann-ranvillkor kan lea till olika lösningar! Denna kombination av ranvillkor kallas Cauchy-ranvillkor. Om vi har bara en leare och punkt-laningar betecknar man ofta learens ytpotential me ϕ. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.4

Exempel : Två klot brevi varanra. Exempel 2: Två cylinrar brevi varanra. Exempel 3: Två plan brevi varanra. Exempel 4: En punktlaning ovanför ett plan. Exempel 5: En punktlaning ovanför ett klot. Exempel 6: En punktlaning utanför en cyliner. O.s.v.! Vi kommer i e följane sektionerna att lösa Laplace-ekvationen explicit för olika högsymmetri-fall. Vi kommer också att se på en alternativ lättare teknik vi namn billanings-metoen. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.5 2.2. Laplace-ekvationens egenskaper Superposition Låt ϕ i r), i =,..., M vara lösningar till Laplaces ekvation. Då gäller att ϕr) = M C i ϕ i r) 2.8) i= är C i är gotyckliga konstanter också är en lösning. Bevis: Direkt insättning av ϕr) i Laplaces ekvation! Unikhet Låt ϕ och ϕ 2 vara två lösningar till Laplaces ekvation, så att e uppfyller samma ranvillkor på alla learnas ytor A, A 2,... i systemet. Då gäller att ϕ och ϕ 2 kan skilja sig me högst en konstant term. Bevis: Definiera Φ = ϕ ϕ 2. Eftersom båa löser Laplaces ekvation så gäller 2 Φ =. Dessutom, antingen gäller Φ = eller n Φ = på learnas ytor. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.6

Välj nu ytan A i oänligheten, är potentialerna fösvinner: Enligt Gauss teorem har vi å att Expanera integranen: A n Φ Φ) = 2.9) A V Φ Φ)) = 2.) V Φ Φ)) = Φ 2 Φ + Φ) 2 = + Φ) 2 2.) Vi har å V V Φ) 2 = 2.2) Ena möjligheten är att Φ) 2 = överallt inom V. Alltså, ϕ ϕ 2 =, så att vi måste ha ϕ 2 = ϕ + C, är C är en konstant. Om vi alltså har ranvillkoren givna så existerar et enast en unik lösning till Laplaces ekvation. Ifall vi har ett Neumann-problem kan vi aera en gotycklig konstant till lösningen för potentialen, men elfältet är fortfarane unikt. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.7 2.3. Laplace-ekvationen i en oberoene variabel Låt nu ϕ vara en funktion i enast en variabel. Laplace-ekvationen ger nu för reaktangulära koorinater 2 ϕ x 2 = 2.3) Detta kan genast integreras till ϕx) = ax + b. Ett annat fall är att ϕ är sfäriskt symmetrisk,.v.s. ϕ = ϕr). Laplace-ekvationen i sfäriska koorinater ger nu ) r 2 ϕ = 2.4) r 2 r r Detta ger efter en integrering Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.8

så att r 2 ϕ r = a 2.5) ϕ r = a r 2 2.6) Efter ytterligare en integrering: ϕr) = a r + b 2.7) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.9 2.4. Laplace-ekvationen i sfäriska koorinater [RMC, Jackson, Arfken] Azimutal symmetri Vi kommer i et följane att anta azimutal symmetri,.v.s. att en potential som sökes är symmetrisk runt z-axeln. Då gäller att ϕ = ϕr, θ). Laplaces ekvation blir ) r 2 ϕ + r 2 r r r 2 sin θ θ sin θ ϕ ) = 2.8) θ Enklaste lösningsmetoen är att anta att ϕ kan skrivas som en proukt av en-variabels funktioner: ϕr, θ) = Zr)Qθ). Insättning ger r 2Q r ) r 2 Z + r r 2 sin θ Z sin θ Q ) = 2.9) θ θ Efter förenkling Z r ) r 2 Z + r sin θ Q θ sin θ Q ) = 2.2) θ Första termen beror bara på r mean anra beror bara på θ. För att essa termer ska vara lika för Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.

alla vären på r och θ måste e vara en konstant. Kalla enna k: sin θ Q θ Z r r 2 Z r sin θ Q θ ) ) = k 2.2) = k 2.22) Detta är Legenres ekvation. Me en icketrivial matematisk betraktelse kan man visa att essa ifferentialekvationer har fysikaliskt meningsfulla lösningar enast ifall k = mm + ) är m är ett heltal. Vi inför beteckningen P x) P cos θ) = Qθ). Lösningarna är s.k. Legenre-polynom, av vilka e fem första är Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2. P x) = 2.23) P x) = x 2.24) P 2 x) = 2 3x2 ) 2.25) P 3 x) = 2 5x3 3x) 2.26) P 4 x) = 8 35x4 3x 2 + 3) 2.27) är x = cos θ. Man kan visa [Arfken] att i allmänhet ges Legenre-polynomet m av uttrycket som kallas Rorigues formel. P m x) = ) m x 2 ) m, 2.28) 2 m m! x Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.2

Då alltså vinkelelen ger villkoret k = mm + ), gäller för en raiella elen: Z r ) r 2 Z = mm + ) 2.29) r Gör Ansatzen Zr) = r p, är p bör bestämmas. Insättning ger mm + ) = r p r 2 pr p ) r = pr p r p+ r = pp + )r p r p = pp + ) 2.3) Lös etta: p 2 + p + 4 = m 2 + m + 4 2.3) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.3 p + 2) 2 = m + 2) 2 2.32) p + 2 = ±m + 2 ) 2.33) p = 2 ± m + 2 ) 2.34) Vi får förutom triviallösningen p = m möjligheten p = m + ). Problemets lösning är alltså ϕ m r, θ) = Ar m P m cos θ) eller ϕ m r, θ) = Br m+) P m cos θ) 2.35) me m =,, 2,... och A, B konstanter. Dessa funktioner kallas zon-ytfunktioner zonal harmonics). Den mest allmänna lösningen till problemet är ock Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.4

ϕr, θ) = A m r m P m cos θ) + B n r n+) P n cos θ), SPH, r, θ) 2.36) m= n= Exempel : m =. ϕr, θ) = A eller ϕr, θ) = A r. Den senare lösningen är ju en punktlanings potential. Exempel 2: m =. ϕr, θ) = ArP cos θ) eller ϕr, θ) = A r 2 P cos θ). Den senare lösningen är ju en ipols potential. Exempel 3: Olaa leane sfär i ett konstant elfält. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.5 Låt elfältet vara i z-riktningen och sfärens mittpunkt i origo. Vi har samma potential ϕr = a, θ) ϕ i learens inre som på ess yta. Lösningen är helt allmänt ϕr, θ) = A + B r +A r cos θ + B r 2 cos θ Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.6

+ 2 A 2r 2 3 cos 2 θ ) + 2 B 2r 3 3 cos 2 θ ) +... 2.37) I oänligheten återfår vi et urprungliga fältet, Er = ) = E ẑ = ϕ/z, så ϕr = ) = E z + C, me C en konstant. ϕr =, θ) = E z + C = E r cos θ + C A + A r cos θ 2.38) Vi måste å ha att A n =, n 2 och A = E. Då r = a gäller ϕr = a, θ) = konstant, så alla B n = för n 2. Vi behåller B för att ha möjlighet att kompensera A -termens θ-beroene vi r = a. Vi har nu ϕr, θ) = A + B r + A r cos θ + B r 2 cos θ, r > a. 2.39) Men B -termen står för en punktlaning i origo. Dock har vi nu en neutral sfär, så B = : ϕr, θ) = A + A r cos θ + B r 2 cos θ, r > a 2.4) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.7 Då ϕr = a, θ) ϕ : så att B = a 3 A = E a 3. A a cos θ + B a 2 cos θ = 2.4) Slutliga uttrycket är ϕr, θ) = ϕ E r cos θ + a 3 E r 2 cos θ 2.42) Från etta kan vi bestämma elfältet och sfärens ytlaningsförelning: ) E r = ϕ r = E + 2 a3 r 3 cos θ, r > a 2.43) ) E θ = r ϕ θ = E a3 r 3 sin θ, r > a 2.44) σ = ε E r r = a) = 3ε E cos θ 2.45) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.8

Totala laningen: Q = Utan azimutal symmetri [Jackson, Arfken] Laplace-ekvationen är nu: 2π π θ= Aσ = π 2π π r 2 φθ sin θσ = 3r 2 ε E 2π θ sin θ cos θ = / θ=π 3r 2 ε E 2π 2 sin2 θ 2.46) =. 2.47) 2 ϕr) = ) r 2 ϕr) + r 2 r r r 2 sin θ θ sin θ ϕr) ) + θ r 2 sin 2 θ 2 ϕr) φ 2 2.48) Vi försöker igen me en proukt av en-variabels-funktioner: ϕ = Zr)Qθ)Uφ). Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.9 Vi får efter insättning och multiplikation me sin 2 θ/zr)qθ)uφ): [ sin 2 θ Z r ) r 2 Z + r Q sin θ θ sin θ Q )] + 2 U θ U φ = 2.49) 2 Den sista termen beror enbart på φ, mean e två första beror på r och θ. Inför separationskonstanten m 2 : 2 U = m 2 2.5) U φ 2 [ ) sin 2 θ r 2 Z + sin θ Q )] = m 2 2.5) Z r r Q sin θ θ θ Första ekvationens lösning är Här måste vi kräva att m är ett heltal. Uφ) = e ±imφ 2.52) Anra ekvationen blir: Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.2

Z r ) r 2 Z + r Inför nu en ny separationskonstant, k: Q sin θ θ sin θ Q ) m 2 θ sin 2 θ = 2.53) Q sin θ θ sin θ Q θ Z r ) ) r 2 Z r m 2 sin 2 θ = k 2.54) = k 2.55) I en anra ekvationen känner vi igen Legenres ekvation, men nu finns et en extra term meplocka. Enligt e tiigare resultaten kan vi genast ientifiera k me ll + ), är l är ett heltal tiigare: m): Q sin θ θ sin θ Q θ Z r ) ) r 2 Z r m 2 sin 2 θ = ll + ) 2.56) = ll + ) 2.57) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.2 I en första ekvationen kan vi försöka me Zr) = r p : Lösningarna är r p r 2 pr p ) =... = pp + ) = ll + ) 2.58) r Zr) = r l, eller Zr) = r l 2.59) Ekvationen i θ är: Q sin θ θ sin θ Q ) m 2 θ sin 2 θ Detta är ekvationen för e associerae Legenre-polynomen P m l = ll + ) 2.6) cos θ) P m x). l De associerae Legenre-polynomen är relaterae till e vanliga polynomen P l x) via ekvationen För inexen m gäller P m l x) = x 2 ) m/2 m x mp lx) 2.6) m = l,...,,..., l 2.62) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.22

Negativa m kan relateras till positiva vären: P m l = ) m l m)! l + m)! P m l x) 2.63) Den mest allmänna lösningen till problemet är nu: ϕr, θ, φ) = l l= m= l A lm r l + B lm r l ) P m l x)e imφ, SPH, r, θ, φ) 2.64) Här står SP H för sfärisk symmetriskt system.. Ofta reucerar man e två sista faktorerna till en ena, och skriver lösningen som ϕr, θ, φ) = l l= m= l A lm rl + B lm r l ) Y lm θ, φ), SPH, r, θ, φ) 2.65) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.23 är Y lm θ, φ) är klotytfunktionerna spherical harmonics). Klotytfunktionerna är Y lm θ, φ) = 2l + 4π l m)! l + m)! P m l cos θ)e imφ 2.66) Man kan visa att är betyer komplex-konjugering. Några klotytfunktioner: Y l, m θ, φ) = ) m Y lm θ, φ), 2.67) Y θ, φ) = 4π 2.68) 3 Y, θ, φ) = 8π sin θe iφ 2.69) 3 Y θ, φ) = cos θ 2.7) 4π Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.24

3 Y θ, φ) = 8π sin θeiφ 2.7) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.25 2.5. Cylinrisk symmetri Utan z-beroene [Jackson] Ifall vi har cylinrisk symmetri och inget beroene på z, blir Laplace-ekvationen ρ ρ Försök me en separabla ansatzen ϕρ, ψ) = Rρ)Ψψ): Vi får ρ R ρ ρ ϕ ) + 2 ϕ ρ ρ 2 ψ = 2.72) 2 ρ R ) ρ + 2 Ψ Ψ ψ = 2.73) 2 ρ R ρ ρ R ) ρ = ν 2 2.74) 2 Ψ = ν 2 2.75) Ψ ψ 2 Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.26

Lösningarna är Rρ) = aρ ν + bρ ν 2.76) Ψψ) = A sinνψ) + B cosνψ) A sinνψ + B) 2.77) Vi måste nu kräva att ν är ett positivt eller negativt heltal för att potentialen måste upprepa sig me rotationsvinkeln 2π. Om ν = fås lösningarna Rρ) = a + b ln ρ 2.78) Ψψ) = A + B ψ 2.79) Vi måste ock sätta B = så att Ψ) = Ψ2π)! Konstanten A kan sean inbakas i uttrycket för R. Den mest allmänna lösningen är nu Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.27 ϕρ, ψ) = a + b ln ρ + a n ρ n sinnψ + c n ) n= + b n ρ n sinnψ + n ), CYL, ρ, ψ) 2.8) n= Exempel : Betrakta e hopfogae leane planen i figuren. Problemet är 2-imensionellt, så låt oss använa polära koorinater ρ, ψ. Detta motsvarar cylinriska koorinater me inget z-beroene. Ifall β < π är et fråga om en inbuktning, ifall β > π om ett hörn, β 2π skarpt hörn. Potentialen vi planens yta är φ etta är ett ranvillkor). Första ranvillkoret för vårt specifika problem: Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.28

ϕ = ϕρ, ψ = ) = a + a n ρ n sin c n 2.8) För att unvika singulariteter i origo ρ = : b n =, för n. Dessutom måste ϕ vara oberoene av ρ, så vi måste ha c n =. Uppenbarligen gäller a = ϕ. n= Anra ranvillkoret: ϕ = ϕρ, ψ = β) = a + a n ρ n sinnβ) 2.82) Igen, etta ska gälla för gotyckligt väre på ρ, så vi måste ha sinnβ) =. Detta ger nβ = mπ eller n = mπ/β är m är ett heltal. n= Det korrekta uttrycket för potentialen är alltså ϕρ, ψ) = ϕ + a m ρ mπ/β sinmπψ/β), m =, 2, 3,... 2.83) m= Men fortfarane är koefficienterna a m okäna! Elfältets komponenter är: Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.29 E ρ = ϕ ρ = m= E ψ = ϕ ρ ψ = mπ β a mρ mπ/β sinmπψ/β) 2.84) m= mπ β a mρ mπ/β cosmπψ/β) 2.85) Ytlaningstätheten är Gauss lag, jfr. pillerburken ). σ = ε E ψ ρ, ψ = ) = ε π β a m ρ mπ/β 2.86) m= För små ρ kan vi skära av serien efter första termen och får σ ε π β a ρ π/β 2.87) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.3

β = π/4 : σ ρ 3 β = π/2 : σ ρ β = π : σ β = 3π/2 : σ ρ /3 β = 2π : σ ρ /2 Vinkeln β = π motsvarar alltså en plan yta, β = 3π/2 ett vinkelrätt hörn, och β = 2π kanten av ett oänligt halvplan. Från etta ser vi att ju skarpare hörn minre vinkel) esto minre laningstäthet i hörnet! För hörn me en öppningsvinkel β > π blir laningstätheten och elfältet ρ f, me f >. Då man låter ρ,.v.s. å man närmar sig hörnet, blir elfältet allt starkare. I tre imensioner kan man göra en motsvarane härlening också för en konisk spets se Jackson kapitel 3.4) och får å ett kvalitativt liknane resultat. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.3 Det här kan man nyttja till sin förel för att skya sig mot åskneslag: för att skapa goa förutsättningar i en viss punkt för en urlaning mellan åskmoln och mark är et bara att placera it en mycket spetsig leane stång. Kring åsklearens spets kommer även en svag laningsförelning på marken att ge upphov till ett starkt fält. Kring en här spetsen är et nu lättare för åskmolnen att övervinna luftens gränsväre för elektriskt genomslag/urlaning. Me z-beroene Behanlas inte. Lösningarna för ρ-beroenet blir Bessel-funktioner. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.32

2.6. Billaningsmetoen I vissa situationer kommer man lättare unan genom att inte utgå från Laplace-ekvationen. Vi behanlar nu en grunläggane meto som hanlar om att bygga upp en lösning me hjälp av enkla laningsförelningar, så kallae bil-laningar. Potentialen utanför ett system av o)laae leare och enkla laningsförelningar kan skrivas som ϕr) = i ϕ i r) + 4πε j A j σ jr j ) r r j 2.88) Termerna i en första summeringen står för enkla laningsförelningar punkter, linjer,... ). Termerna i en anra summeringen beaktar e inucerae laningsförelningarna på learnas ytor, och måste alltså erhållas som en explicit integrering över essa förelningar. Vi bör komma ihåg att learnas ytor är ekvipotentialytor, så att ϕ i på learnas ytor är käna. Inom billaningsmetoen inför man fiktiva punkt- och linjelaningar placerae så att essa ger uppphov till e käna ytpotentialerna. Detta betyer, att en anra summeringen i ekv.??) ersätts me en summa som liknar en första. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.33 Platserna för e fiktiva laningarna måste vara inom learna, och e är alltså bara ett hjälpmeel för att räkna fram totalpotentialen! Om billaningar förekommer utanför learna, i samma region är potentialen ska bestämmas, löser man ju inte längre Laplaces ekvation utans Poissons ekvation essutom me fel laningsförelning billaningen är ju inte verklig)! Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.34

2.7. Punktvisa billaningar Exempel : Punktlaning q utanför ett leane oänligt plan som sammanfaller me yz-planet. Låt punktlaningens position vara r = x, y, z ) =,, ). Punktlaningen q inucerar en laningsförelning σy, z) på learens plan. Totala potentialen utanför learen är å en summa av punktlaningens potential och en från en inucerae laningen. Istället för att försöka räkna fram σy, z) tar vi fasta på faktumet att learens yta måste ha samma potential överallt. Totalpotentialen är Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.35 ϕr) = ϕ r) + ϕ 2 r) är φ 2 är potentialen för ytan, som för stunen är okän. = = q 4πε r r + ϕ 2r) q 4πε x )2 + y 2 + z + ϕ 2r) 2.89) 2 På learens yta: ϕ, y, z) = q 4πε 2 + y 2 + z 2 + ϕ 2, y, z) 2.9) Ett naturligt val för billaningen är nu Därav metoens namn! ϕ 2 x, y, z) = q 4πε x + )2 + y 2 + z 2 2.9) Totala potentialen är nu Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.36

ϕx, y, z) = q 4πε x )2 + y 2 + z 2 q x 2.92) 4πε x + )2 + y 2 + z2, Den inucerae ytlaningsförelningen är ϕ σx, y, z) = ε E x x = ) = ε q x = 2.93) x= 2π 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 Absolutbeloppet är maximalt å y = z =, å gäller σ = q/2π 2 ). Kraften på punktlaningen: F q = q ϕ 2 ) x=,y=,z= = q2 4πε x + ) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2x +, y, z) x=,y=,z= = q2 4πε 2) 32,, ) 2.94) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.37 Exempel : Punktlaning q utanför en leane sfär me mittpunkten i origo. Låt punktlaningens position vara r = r. Placera nu en billaning q inuti sfären, i punkten r 2 = b r. Potentialen i en punkt r är nu ϕr, θ, φ) = = q 4πε r r + q 4πε r 2 r q 4πε r2 + 2 2r cos θ + q 4πε r2 + b 2 2rb cos θ 2.95) Om vi har sfären vi noll potential: ϕr = a, θ, φ) = : Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.38

a 2 + 2 2a cos θ = q2 q 2a2 + b 2 2ab cos θ) 2.96) Denna ekvation skall gälla för alla vären på θ. Om θ = π/2: a 2 + 2 = q2 q 2a2 + b 2 ) 2.97) Om θ = : a 2 + 2 2a = q2 q 2a2 + b 2 2ab) 2.98) Okäna är b och q! Nu har vi 2 ekvationer och 2 obekanta, så vi kan söka en unik lösning för essa. Subtrahera en senare ekvationen från en förra: Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.39 Insättning i ekv.??) ger = q2 q 2b 2.99) a 2 + q4 q 4b2 = q2 q 2a2 + b 2 ) 2.) = q 4 q 4 q2 a2 q 2 + b ) + a2 2 b = 2.) 2 q 2 q 2 = 2 = 2 + a2 b 2 ± + a2 b 2 ± + 2 a2 b + a4 2 b 4 4a2 2.2) b 2 a2 b 2 )2 2.3) Lösningarna är q 2 /q 2 = eller q 2 /q 2 = a 2 /b 2. Den senare ger q/q = ±a/b av vilkan vi väljer q/q = a/b. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.4

Vi har nu = q2 q 2b 2.4) q = a 2.5) q b Detta ger b = a2 2.6) q = a q 2.7) Om vi betecknar en verkliga punktlaningens position me r = r = r så blir potentialen utanför sfären Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.4 ϕr, θ, φ) = = = q 4πε r r aq 4πε r r [ ] q 4πε r r a a2 r r q 4πε r r a 2.8) r a2 2r a2 Om vi önskar att sfären befinner sig på en potential ϕ måste vi aera ytterligare en billaning q, enna gång i sfärens mitt: ϕr, θ, φ) = 4πε ) q + q + q r r 2 r 2.9) Vi har nu att ϕr = a, θ, φ) = ) + q = ϕ 2.) 4πε a Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.42

från vilket vi får q. Kraften på punktlaningen? Avstånet mellan laningarna är så att h b = a2 = 2 a 2 2.) Sfärens ytlaningstäthet är F q = q q 4πε h 2 = a q 2 2 4πε Sfärens totala laning ges av Gauss lag tillämpa på sfärens yta: 2 a 2 ) = q2 a 2.2) 2 4πε 2 a 2 ) 2 ϕ σθ, φ) = ε r 2.3) r=a Q = q + q 2.4) Obs: Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.43 Jora sfär: ϕr = a) =, q =. Ickelaa sfär: q = q = aq/. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.44

2.8. Linjeformae billaningar Exempel : Laa leane cyliner utanför ett leane plan. Låt learen ligga i yz-planet. Låt linjelaningen vara längs me z-axeln, och ha koorinaterna x =, y =. Uppenbarligen har vi inget z-beroene, förutsatt att planet och leningen är oänligt långa inga kant-effekter! Om potentialen på planet är noll, bör vi ha en billaning i platsen x =, y =, orientera längs me z-axeln. Potentialen i en punkt x, y) är ϕx, y) = λ ln r + λ ln r 2 = λ ln r 2.5) 2πε 2πε 2πε r 2 Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.45 Potentialen är noll på planet,.v.s. för r = r 2. Helt allmänt: r 2 = x ) 2 + y 2 2.6) r 2 2 = x + ) 2 + y 2 2.7) Konstant potential, som inte är noll, fås i punkterna x, y) är r /r 2 är konstant, säg M. Efter förenkling fås M 2 = r2 r 2 2 = x2 2x + 2 + y 2 x 2 + 2x + 2 + y 2 2.8) x + M ) 2 2 ) + + y 2 2M 2 = 2.9) M 2 M 2 som är ekvationen för en cyliner me mittpunkten M 2 + )/M 2 ), ) och raien 2M R c = M 2 2.2) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.46

Me M < fås en cylinrisk ekvipotentialyta som innestänger en högra linjelaningen. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.47 2.9. Greens meto [Jackson, Arfken] Greens metoer hör inte till kärnmaterialet på enna kurs, men e behanlas kort för att e annars kan anses vara en el av en fysikers allmänbilning. Gauss teorem säger ju att V 2.9.. Greens I och II teorem V F = A A F A A n F 2.2) Låt nu vektorfältet F vara givet som proukten av en skalärfunktion me graienten av en annan skalärfunktion: Vi har nu F = φ ψ 2.22) F = φ ψ) = φ 2 ψ + φ ψ 2.23) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.48

n F = φ n ψ φ ψ n 2.24) Insättning i Gauss teorem ger Greens I teorem V V ) φ 2 ψ + φ ψ = Aφ ψ A n 2.25) Skriver vi istället F = ψ φ 2.26) får vi V V ) ψ 2 φ + ψ φ = Aψ φ A n 2.27) Subtrahera enna från en tiigare: V V ) φ 2 ψ ψ 2 φ = A φ ψ ) A n ψ φ n 2.28) Detta är Greens II teorem, som iblan också kallas bara Greens teorem. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.49. Låt nu φ = ϕr) en elektrostatiska potentialen) och ψ = Gr, r ), är funktionen G uppfyller följane villkor: Me etta villkor kan G skrivas som summan är F satisifierar Laplaces ekvation: 2 G = 4πδr r ) 2.29) Gr, r ) = r r + F r, r ), 2.3) 2 F r, r ) =. 2.3) Greens II teorem ger nu V ) V ϕ 2 G G 2 ϕ = V ) V ϕ4πδr r ) + G ρr ) ε Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.5

= A ) A ϕ G n ϕ G n 2.32) Detta ger me att utföra integralen över Diracs elta-funktion: ϕr) = 4πε V V ρr )Gr, r ) A ϕr ) Gr, r ) Gr, r ) ϕr ) ) 4π A n n 2.33) Denna ekvation ger alltså inte en fysikaliskt vettig lösning till elektrostatiska ranväresproblem, för en innehåller båe Dirichlet- och Neumann-ranvillkoren. Men ien är nu att enna form möjliggör att söka funktioner G som får nånera ranvillkorstermen att försvinna, och ärme leer till en fysikaliskt rimlig lösning för en anra typen av ranvillkor! Detta är grunieen i en s.k. Greens-funktion-metoen. Om vi har ett Dirichlet-problem är ϕr ) kän på ranytan, mean ϕ/ n är okän. För att göra oss av me etta uttryck söker vi en s.k. Greens funktion G D r, r ) = å r är på ranytan A! Potentialen ges å genast av uttrycket ϕr) = 4πε V V ρr )G D r, r ) A ϕr ) G D r, r ) 2.34) 4π A n Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.5 Om vi istället har ett Neumann-problem är ϕr )/ n kän på ranytan. Vi söker en Greens funktion G N r, r ) för vilken gäller att G N r, r )/ n = å r är på ranytan A. Potentialen ges å av uttrycket ϕr) = 4πε V V ρr )G N r, r ) + A G N r, r ) ϕr ) 2.35) 4π A n Från en första termen i essa uttryck ser vi att Greens funktion kan väljas så att en motsvarar en potential, bara laningsförelningen har ivierats bort! Exempel : En Greens funktion för en punktlaning utanför leane sfär. Antag potentialen på ytan är kän, så att vi har ett Dirichlet-problem. Vi ska å ha Gr, r ) = för r på learens yta. Låt punktlaningen vara i r, och sfärens raie vara a. Vi löste etta problem tiigare, se ekv.??). Vi kan nu försöka välja en erhållna potentialen me laningsfaktorn bortiviera) som Greens funktion: Gr, r ) = r r a r a2 2r r r a r r a2 r 2r 2.36) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.52

Här gäller att r är platsen för en reella punktlaningen. Vi observerar nu att r = a ger G =, som et bör vara för et här Dirichlet-problemet. Me sfäriska korinater fås Gr, r ) = r2 + r 2 2rr cos γ r 2 r 2 a 2 + a 2 2rr cos γ 2.37) Normalerivatan på ytan, som separerar en externa volymen är vi vill veta potentialen!) från learens inre, är G n = G r =a r = r =a r a r cos γ r 2 + a 2 2ar cos γ) a r cos γ 3/2 r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 r 2 a 2 = 2.38) ar 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 2 Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.53 Exempel : En leare beståene av två hemisfärer isolerae från varanra. Låt potentialen för en övre halvsfären vara +ϕ och ϕ för en unre. Dirichlet-problemets lösning me Greens meto ger oss ekvationen ϕr) = 4πε V V A ϕr ) G D r, r ) 2.39) 4π A n Ingen laning utanför learen! Me Greens funktion val som i föregåene exempel: Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.54

ϕr) = ϕ 4π ϕr) = 2π 4π 2π + 4π 2π φ π/2 φ π π/2 π/2 φ θ sin θ + θ sin θ ϕ a 2 G D r, r ) n θ sin θ ϕ a 2 G D r, r ) n 2.4) 2π φ π π/2 θ sin θ ) a 2 G D r, r ) n 2.4) ϕr) = ϕ 4π 2π π/2 φ θ sin θ + Me u = cos θ, u = sin θ : 2π φ π π/2 θ sin θ ) aa 2 r 2 ) r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 2.42) ϕr) = ϕ 2π 2π ) φ u φ u aa 2 r 2 ) 2.43) 4π r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.55 ϕr) = ϕ 2π 2π ) φ u φ u ar 2 a 2 ) 2.44) 4π r 2 + a 2 2ar cos γ) 3/2 Denna integral är inte enkel att utföra, eftersom γ beror på alla vinklar φ, φ, θ, θ. Specialfall: r är på en positiva z-axeln. Då gäller cos γ r r = r ẑ = cos θ och r = z. ϕr) = ϕ 2π 2π ) φ u φ u az 2 a 2 ) 2.45) 4π z 2 + a 2 2az cos θ ) 3/2 Slutsvaret ska bli ϕr) = ϕ 2 u u ) az 2 a 2 ) z 2 + a 2 2azu ) 3/2 2.46) ϕr) = ϕ ) z2 a 2 z z 2 + a 2 2.47) Obs: För z = a fås ϕ = ϕ som väntat. Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.56

2.. Lösning av Poissons ekvation Poissons ekvation är ju Vi har två möjliga situationer. 2 ϕr) = ρr) ε 2.48) Situation Laningstätheten ρr) ger en fullstäniga förelningen i volymen av intresse,.v.s. givna laningar och inucerae laningar: Lösningen till Poissons ekvation är å ρr) = ρ ext r) + ρ in r) 2.49) ϕr) = 4πε V V ρr ) r r 2.5) Exempel : Antag vi har en raiell symmetrisk laningsförelning, ρ = ρr). Vi har nu Poissons ekvation i Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.57 en enkla formen Detta ger ) r 2 ϕ = ρr) 2.5) r 2 r r ε Situation 2 ϕr) = ε r r r r 2 r r r ρr )r 2 2.52) I et anra faller innehåller ρr) inte inucera laning, utan enbart en externa laningen,.v.s. en som vi har kvar efter att alla leare innehållane inucera laning) har plockats bort: ρr) = ρ ext r) 2.53) Vi söker nu två lösningar. Den första lösningen ϕ r) ges av Poissons ekvation me laningstätheten ρ ext r). Vi löser alltså ekvationen eller utför integralen 2 ϕ r) = ρ extr) ε 2.54) Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.58

ϕ r) = 4πε V V ρ ext r ) r r 2.55) Den anra lösningen ϕ r) får vi me Laplaces ekvation: 2 ϕ r) = 2.56) Utifrån ϕ r) kan vi ju bestämma en inucerae laningen på learnas ytor. Den totala lösningen är nu ϕr) = ϕ r) + ϕ r) 2.57) Obs: Ranvillkoren, t.ex. i ett Dirichlet-problem, är nu givna för ϕ Ai = ϕ A i + ϕ A i, så ranvillkoren för ϕ A i lösningen från Laplace-ekvationen) måste moifieras ärefter! Elektroynamik, vt 23, Kai Norlun 2.59