Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1
Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två dtorlbortioner. Obligtorisk närvro gäller vid båd lbortionstillfällen. För tt bli godkänd på lbbkursen krävs tt båd lbortionern hr redovists på ett godtgbrt sätt. Vid lbortionern gäller följnde: Lbortionsuppgiftern (och eventuell förberedelseuppgifter) skll vr gjord innn mn kommer till lbortionen (du är lltså tvungen tt sitt hemm eller i dtorsl före lbortionen och gör uppgiftern smt förbered dig). Hr du stött på problem med uppgiftern kn du fråg din övningsledre, kursledren eller någon kursre. Under lbortionen skll uppgiftern redoviss. Under lbortionen kn du även få hjälp med något moment du inte hr lyckts få rätt på hemm. Studenter som inte hr förberett uppgiftern när de kommer till lbortionen underkänns och får gör om lbbkursen i dess helhet näst år. Vid lbortionstillfälle 1 redoviss lbortion 1, vid lbortionstillfälle redoviss lbortion osv. Mn kn t.ex. inte utebli under lbortion 1 och sedn redovis lbortion 1 och vid lbortionstillfälle. Det går inte tt byt lbortionsgrupp under kursens gång. Om mn inte kn närvr på en lbortion på grund v sjukdom så måste dett nmäls snrst till kursledren. För de som hr nmält frånvro på grund v sjukdom till kursledren finns två reservtillfällen i v 11 då mn kn redovis lbortioner mn misst. Endst studenter som hr meddelt frånvro till kursledren på grund v sjukdom bereds plts vid reservtillfällen. Reglern ovn tolks strikt och är till för tt få lbortionsmomentet tt funger prktiskt och underlätt er egen plnering
1 Dtorlgebr progrmmet Mxim I denn lbortion sk vi nvänd oss v Mtlb och dtorlgebr progrmmet Mxim. Ni hittr instllerre för linux, windows och OS X här http://sourceforge.net/projects/mxim/files/. Vill du inte instller Mxim finns det en webversion v progrmmet här http://mxim-online.org. Integrler integrte(f,x) bestämmer den obestämd integrlen v f med vseende på vribeln x. integrte(f,x,,b) beräknr den bestämd integrlen v f från till b med vseende på vribeln x. Om Mxim inte klr v tt beräkn integrlen nlytiskt returners kommndot oberbett logbs logbs : true gör tt 1 xdx beräkns som log x istället för log(x). Vid bestämd integrtion sätts logbs utomtiskt till true, men inte vid obestämd integrtion. Härefter förutsätter vi tt logbs hr stts till true. Exempel 1. () Den obestämd integrlen (primitiv funktionen) x sin(x) dx fås genom integrte(x^*sin(x),x); Mxim skriver ut funktionen x sin x + ( x ) cos x (b) För tt beräkn den obestämd integrlen ger vi kommndot integrte((x^3+x+1)/(x^-1),x); Svrsutskriften blir log x + 1 (c) Vi sk beräkn integrlen och ger kommndot integrte(x^*sin(x),x,,%pi); x 3 + x + 1 x dx 1 π + 3 log x 1 x sin(x) dx + x 3
Mxim svrr π 4 (d) Vi låter Mxim beräkn den generliserde integrlen med kommndot integrte(cos(x)/(x^+1), x,, inf); Mxim svrr Tylorutvecklingr tylor(f,x,,n) cos(x) x + 1 dx e 1 π ger Tylorpolynomet v grd n till f kring en punkt. Här kn även vr minf eller inf så tt vi hr utveckling kring x = eller x =. Exempel 1.. Vi hr funktionen f(x) = e x () Tylorpolynomet v grd 4 kring punkten fås genom tylor(exp(-x),x,,4); och Mxim svrr 1 x + x x3 6 + x4 4 +... (b) Tylorpolynomet v grd 3 kring punkten 1 fås genom tylor(exp(-x),x,1,3); vilket ger e 1 e 1 (x 1) (x 1)3 (x 1) + +... e 6 e Exempel.. En kropp med vilomss m som rör sig med frten v hr enligt Einsteins reltivitetsteori en kinetisk energi som ges v uttrycket Vi utvecklr uttrycket i termer v (v/c) m c W kin = 1 ( ) m c. v c Wkin : tylor(m*c^/sqrt(1-x^) - m*c^,x,,); subst(v/c,x,wkin); vilket ger m v Det klssisk uttrycket för energin hos en kropp i rörelse fller ut som den först termen i Tylorutvecklingen v det reltivistisk uttrycket. 4
Numerisk integrtion Vårt problem är tt beräkn integrlen b f(x) dx vilken kn tolks som ren med tecken under grfen. I trpetsmetoden delr mn in intervllet [, b] i N delintervll med längd h. I vrje delintervll [x k, x k+1 ] pproximers f(x) med en rät linje. y f(x k ) f(x k+1) y = f(x) x x k x k+1 h x N x Aren under den rät linjen är Den totl integrlen blir då h (f(x k) + f(x k+1 )) b där T h är den så kllde trpetssummn f(x) dx T h T h = N 1 k= h (f(x k) + f(x k+1 )) = h (f(x ) + f(x 1 ) + f(x ) +... + f(x N 1 ) + f(x N )) = h(f(x 1 ) +... + f(x N 1 )) + h (f(x ) + f(x N )) 5
Följnde funktionsfil beräknr integrler v en godtycklig funktion med hjälp v trpetssummor function T = trpets(fun,,b,n) % fun: Integrnden nges som en nonym funktion. % : Nedre integrtionsgräns % b: övre integrtionsgräns % n: Antlet intervll. h = (b-)/n; x = linspce(,b,n+1); f = fun(x); T = h*(sum(f(:n)) +.5*(f(1) + f(n+1))); Vi testr funktionsfilen genom tt beräkn 1 x dx I funktionsfilen läses funktionen in som en nonym funktion, vilken i dett fll skrives @(x)x.^ Opertorn @ skpr funktionen från uttrycket som skrivs efter prentesen som innehåller funktionsvribeln. Då vi tr n = 1 får vi resulttet I=trpets(@(x)x.^,,1,1) I =.33335 vilket skll jämförs med det exkt värdet 1/3..1 MATLABs kommndon för integrtion Mtlbs inbyggd funktioner för numerisk beräkning v integrler är qud, qudl och qudv. (I dtorslrn finns Mtlb 7. I senre versioner v Mtlb ersätts integrtionsrutinern med rutinen integrl) Vi illustrerr nvändndet v funktionen qudl, med ett exempel. Exempel 1. Integrlen beräkns med nropet 4 x dx I = qudl(@sqrt,,4) vrvid Mtlb svrr 6
I = 5.3333333964341 Det exkt värdet är 16/3 5.333333333333333. Vill mn h en nnn tolerns t.ex. 1 1 skriver mn qudl(@sqrt,,4,1e-1). Obs! När mn skpr en nonym funktion v en Mtlb s inbyggd funktioner räcker det tt skriv @ följt v funktionens nmn. I exemplet hr vi utnyttjt dett och skrivit @sqrt istället för det längre @(x)sqrt(x). Exempel. Låt oss beräkn den generliserde integrlen e x dx Integrnden går mycket snbbt mot noll då x blir stor vrför integrlen är konvergent. Vi kn uppsktt integrlens värde genom tt beräkn X e x dx där vi ökr X i steg om 1, dvs X = 1,, 3,... Processen vbrytes då integrlens värde för två närliggnde värde på X ändrr sig mindre än en ngiven tolerns, tol. Följnde script beräknr den generliserde integrlen % genint.m integrnd = @(x) exp(-x.^); % Definier integrnden som en nonym funktion tol = 1e-8; % Sätt tolernsen till 1^-8 X=; % Sätt övre gränsen X till int = qudl(integrnd,,x-1,1e-13); % Beräkn integrl från till X-1 int1 = qudl(integrnd,,x,1e-13); % Beräkn integrl från till X while bs(int1-int) > tol % Koll om differensen melln integrlen från % till X-1 och från till X är större än tol int = int1; % Sätt int till int1 X=X+1; % Steg upp X int1 = qudl(integrnd,,x,1e-13); % Beräkn integrl från till X if X==1 disp( konvergerr ej ) return end end disp(sprintf( Approximtiv integrl %16.14f,int1)) disp(sprintf(övre integrtionsgräns %u,x)) Då vi kör scripten får vi resulttet Approximtiv integrl.8866954514 övre integrtionsgräns 5 π Integrlen hr det exkt värdet:.8866954576 7
3 Tillämpningr v integrler 3.1 Arebestämningr Integrlens geometrisk tolkning ger tt om f(x) så är b f(x) dx mätetlet för ren under grfen. Mer llmänt, om g(x) f(x) så hr området melln funktionern ren b (f(x) g(x)) dx 3. Prmeterkurvor En prmeterkurv i plnet hr formen (x(t), y(t)) där t är en prmeter som ligger i något intervll [, b]. Längden v prmeterkurvn ges v integrlen b L = x (t) + y (t) dt I meknisk tillämpningr beskriver (x(t), y(t)) positionen hos en prtikel som funktion v tiden t. Integrlen ovn kn då tolks som sträckn prtikeln rör sig melln t = och t = b. Exempel 1. En prtikel rör sig i en spirlisernde bn som beskrivs v Följnde script plottr bnn för t [, 4π] (x(t), y(t)) = (t cos(t), t sin(t)) t=:.1:4*pi; % Generer vektor t med element från till 4 pi x = t.*cos(t); % Beräkn x-koordintern för motsvrnde t y = t.*sin(t); % Beräkn y-koordintern för motsvrnde t plot(x,y) % Plott kurvn title( Prtikel i spirlisernde bn ) % Skriv rubrik xlbel( x ) % Skriv text på x-xeln ylbel( y ) % Skriv text på y-xeln grid on % Lägg in rutnät Då vi kör scripten får vi figur 5. För tt beräkn bnns längd deriverr vi koordintern (x(t), y(t)) (x (t), y (t)) = (cos(t) t sin(t), sin(t) + t cos(t)). 8
8 Prtikel i spirlisernde bn 6 4 y 4 6 8 1 1 1 5 5 1 15 x Figur 1: Prtikel i spirlisernde bn. Formeln för längden ger sedn L = 4π (cos(t) t sin(t)) + (sin(t) + t cos(t)) dt = Vi beräknr nu integrlen med MATLAB fun = @(t)sqrt(1+t.^) L = qudl(fun,,4*pi,1e-15) med resulttet L = 8.8193168341575 4π 1 + t dt. 3.3 Längd v funktionskurvor Längden v en funktionskurv y = f(x), x [, b] ges v (se Månsson, Nordbeck; sid 348) y y = f(x) L = b 1 + f (x) dx. x b 9
4 Dtorövningr 1. En kropp med vilomss m som ror sig med frten v hr enligt Einsteins reltivitetsteori en kinetisk energi som ges v uttrycket W kin = m c 1 ( ) m c. v c Utveckl uttrycket i termer v (v/c). T med termer upp till grd 4 (se exempel sid. 4).. Beräkn integrlen π/ ln(1 + sin x) cos x dx () Använd trpetssummn och kör scripten på sidn 6. Gör beräkningrn för n = 1, 1, 1. (b) Använd Mxim (eller ett nnt symbolhnternde progrm) för tt t frm det exkt värdet. Beräkn sedn ett pproximtivt värde från det exkt värdet och jämför ditt resultt med beräkningrn i (). 3. Beräkn den generliserde integrlen e x cos x dx med hjälp v rutinen genint.m (se exempel på sidn 7). Vd är det exkt värdet? 4. () Plott kurvn (x(t), y(t)) = (5t 5 sin(t), 5 5 cos(t)) för t [, 4π] (se exempel 1 sidn 8 och 9). (b) Använd MATLABs inbyggd kommndo qudl för tt beräkn längden v kurvn. (c) Extruppgift Bestäm kurvlängdens exkt värde. 5. (Extruppgift Mn skll bygg en gångbro som är upphängd i en prbelformd vjer enligt figur 1
5 4.5 4 3.5 3.5 1.5 1.5 6 4 4 6 () Bestäm formen på ndrgrdsfunktionen y = f(x) som beskriver vjern. Tips: ndrgrdsfunktionen hr formen f(x) = x + b bestäm och b så tt f() = och f(5) = 4.5. (b) Beräkn längden v vjern. 11