TMV141. Fredrik Lindgren. 22 januari 2013

TMV141 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 22 januari 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 1 / 73

Outline 1 Föreläsning 2 Vektorer Ax = b Lösningsmängder 2 Föreläsning 3 Linjärt oberoende Linjära avbildningar Matrisrepresentation av linjära avbildningar 3 Föreläsning 4 Matrisalgebra Matrisinvers 4 Föreläsning 5-6 Karakteristik av invertebara matiser Blockmatriser Matrisfaktorisering 5 Föreläsning?? Determinater F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 2 / 73

Vektorer i R n (C n ) En vektor i R n (C n ) är en ordnad lista med n reella (komplexa) tal. Vi skriver en vektor u i R n som en 1 n-matris, dvs u = där u j alla är reella (komplexa) tal. u 1 u 2. u n 1 u n F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 3 / 73

Addition och multiplikation med skalär Vi definierar följande operationer på R n : 1 Vektoraddition. 2 Multiplikation med skalär. Egenskap (1) ges med u,v R n som den unika vektorn w R n så att w i = u i + v i och vi skriver w = u+v. Egenskap (2) definieras av att för varje c R så fås en unik vektor z R n av z = cu med z i = cu i. Vi skriver u v och menar u+( 1)v. Vektorn 0 = u u kallas nollvektorn och har värdet noll i varje element. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 4 / 73

Vektornorm För att kunna mäta vektorers storlek inför vi operationen u = u1 2 + u2 2 +...+u2 n. Detta är vektorns norm, längd eller absolutbelopp. Exempel: Vektorer i R 2 och R 3... F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 5 / 73

Algebraiska egenskaper hos R n (och C n ). För samtliga vektorer u,v,w R n och alla skalärer c, d gäller följande: 1 u + v = v + u (kommutativa lagen för vektoraddition) 2 (u+v)+w = u+(v+w) (distributiva lagen för vektoraddition) 3 u+0 = 0+u = u 4 u+( u) = u+u = 0 5 c(u+v) = cu+cv 6 (c + d)u = cu+du 7 c(du) = (cd)u 8 1u = u F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 6 / 73

Linjärkombinationer Låt v 1,v 2,...,v p vara p vektorer i R n och låt c 1, c 2,...,c p vara p tal i R. Vektorn y definierad som y = c 1 v 1 + c 2 v 2 +...+c p v p kallas för en linjärkombination av v 1,v 2,...,v p med vikterna c 1, c 2,...,c p. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 7 / 73

Vektorekvation En viktig fråga är: Givet p vektorer v 1,v 2,...,v p i R n, finns det vikter x 1, x 2,...x p så att ytterligare en vektor b R n kan skrivas som en linjärkombination av v 1,v 2,...,v p? Det vill säga, har vektorekvationen någon lösning? x 1 v 1 + x 2 v 2 +...+x p v p = b F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 8 / 73

Svaret är att x 1 v 1 + x 2 v 2 +...+x p v p = b har samma lösningsmängd som det system vars utökade koefficientmatris ges av [ v1 v 2... v p b ]. Det här ger oss en ny och fruktsam infallsvinkel på linjära ekvationssystem! F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 9 / 73

Linjärt hölje Definition Om v 1,v 2,...,v p R n så kallas mängden av alla möjliga linjärkombinationer av v 1,...,v p för det linjära höljet av v 1,...,v p och vi skriver Span{v 1,...,v p }. Det linjära höljet kallas också underrummet av R n som genereras (spänns upp) av {v 1,...,v p }. Detta underrum består alltså av alla vektorer y R n som för några värden på skalärer c 1,...,c p kan skrivas som y = c 1 v 1 + c 2 v 2 +...+c p v p. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 10 / 73

Matris-vektorprodukt Matris-vektorprodukt är ett mycket viktigt koncept i den linjära algebran. Definition Låt A vara en m n-matris med kolonner a 1,...,a n R m och låt x vara en vektor i R n. Produkten y = Ax av A och x är den vektor y R m som är linjärkombinationen av kolonnerna a i i A med vikterna x i. Det vill säga Det innebär att elementet y i ges av y = Ax = x 1 a 1 +...+x n a n. y i = x 1 a i,1 +...+x n a i,n. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 11 / 73

Matris-vektorprodukt forts. Det är en direkt följd av definition för en matris-vektorprodukt att om A R m n och b R m så kan vi formulera ekvationen Ax = b där vi alltså söker en vektor x R n så att dess element x i är vikter i en linjärkombination av kolonnerna a j i A. Frågan är alltså om det finns någon sådan vektor x och i så fall, hur många? F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 12 / 73

Om lösningsmängden till Ax = b Theorem Sats 1.4.3 Låt A R m n ges av A = [a 1...a n ] med a i R m och låt b R m. Då har följande ekvationer samma lösningsmängd. 1 Ax = b 2 x 1 a 1 + x 2 a 2 +...+x n a n = b 3 Det linjära ekvationssystemet vars totalmatris är [ a1 a 2... a n b ]. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 13 / 73

Theorem Sats 1.4.4 Låt A R m n. Följande påståenden är (logiskt) ekvivalenta. 1 För varje b R m har Ax = b (minst) en lösning. 2 Varje b R m är en linjärkombination av kolonnerna i A. 3 Kolonnerna i A spänner upp R m. 4 A har ett pivotelement i varje rad. Bevis. På tavlan... F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 14 / 73

Theorem Sats 1.4.5 Om A R m n, u,v R n och c R så gäller att 1 A(u+v) = Au+Av, 2 c(au) = A(cu). Det vill säga: A definierar en linjär avbildning från R n till R m. Bevis. På tavlan... F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 15 / 73

Den homogena ekvationen Den linjära ekvationen Ax = 0 kallas den homogena ekvationen för A. Den har alltid den triviala lösningen x = 0 så den viktiga frågan är när den har någon icketrivial lösning x 0. Svar: Den homeogena ekvationen har en icketrivial lösning o.m.m. (om och endast om) ekvationen har någon fri variabel. I så fall har den också oändligt många icketriviala lösningar. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 16 / 73

Den ickehomogena ekvationen Om vi istället betraktar ekvationen Ax = b med b R m så är det inte säkert att den har någon lösning (som vi sett). Om den har mer än en lösning så gäller följande sats. Theorem Sats 1.5.6 Om A R m n, b R m och Ax = b är konsistent och har en känd lösningen p så ges varje lösning x av x = p+v h där v h är en lösning till den homogena ekvationen Ax = 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 17 / 73

Parametrisk vektorform Parametrisk vektorform av linje: x = su (+p), s R av plan: x = su+tv (+p), s, t R Skalärerna s, t kallar vi den parametriska vektorformerns parametrar. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 18 / 73

Hitta parametrisk vektorform Hitta den parametriska vektorformen för lösningsmängderna till konsistenta ekvationssystem Ax = b. 1 Radreducera totalmatrisen till reducerad trappstegsform. 2 Uttryck varje basvariabel i termer av de fria variablerna i ekvationen. 3 Skriv den generella lösningen som en vektor x vars element beror av de fria variablerna (om det finns några). 4 Skriv x som en linjärkombination av vektorer med enbart numeriska element och med de fria variablerna som parametrar. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 19 / 73

Något om avrundningsfel i datorberäkningar I Matlab så gäller att vi har ungefär sexton korrekta värdesiffror i representationen av tal. Det ger att a=1+1e16 tilldelar a värdet 10 16 istället för 10000000000000001. Den typen av inkorrekta representationer av de reella talen kan få allvarliga konsekvenser när man löser linjära ekvationssystem med datorer. Typiskt är det ett stort problem när de hyperplan som varje ekvation bekriver, eller kolonnerna i koefficientmatrisen, är nästan parallella. En liten störning kan då förflytta lösningen långt. (Bild) Ett annat exempel ges av systemet vars totalmatris ges av [ ] ǫ 1 1... 1 1 1 F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 20 / 73

Komplexitet Theorem För att lösa ett ekvationssystem med n ekvationer och n obekanta med Gausselimination krävs 2 3 n3 +O(n 2 ) floppar. En flop (floating point operation) är en räkneoperation av typen +,-,*,/. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 21 / 73

Lösa randvärdesproblem med finita differensmetoden Betrakta problemet d2 u = f(x), 0 < x < 1, dx2 u(0) = u(1) = 0 (1) där f är en på förhand känd funktion. Vi skall studera finita elementapproximationen av lösningen, u. För att göra det inför vi partitionen x i, i = 1,...,N + 1 genom att definiera steglängden h = 1/N och låta x i = (i 1)h. Vi approximerar andraderivatan av f(x i ) = u (x i ) (u(x i+1 ) 2u(x i ) u(x i 1 ))/h 2. Om vi dessutom approximerar värdet av u(x i ) med U i och låter dessa reella tal var lösningen till systemet F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 22 / 73

U 1 = 0 U 1 + 2U 2 U 3 = h 2 f(x 2 ) U 2 + 2U 3 U 4 = h 2 f(x 3 ) U i 1 + 2U i U i+1 = h 2 f(x i ). (2) U N 1 + 2U N 1 U N = h 2 f(x N 1 ). U N = 0 Man kan ha andra randvillkor. Då ändrar man den första och den sista ekvationen. För homogena villkor på förstaderivatan kan man använda ekvationen U 1 U 2 = 0 i vänsterranden och U N U N 1 = 0 i högerranden. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 23 / 73

Några Matlab-kommandon: Matrisindexering: A(3,4), A(:,5), A([1 3 5],[2 5:end-1]) Ekvationslösning: A \ b, rref([a b]) Glesa matriser: A=sparse(A) Loopar: for, while Elementära funktioner: log, exp, sin,... Grafritning: plot, legend, title,... Matrisvisualisering: spy,? F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 24 / 73

Linjärt oberoende Definition En mängd vektorer {v 1,...,v p } säges vara linjärt oberoende om vektorekvationen x 1 v 1 +...+x p v p = 0 har endast den triviala lösningen (x i = 0, i = 1,...,p). Om det existerar en nollskild lösning så är vektorerna istället linjärt beroende. Kolonnerna i en matris A är alltså linjärt oberoende omm ekvationen Ax = 0 har endast den triviala lösningen. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 26 / 73

Theorem Sats 1.7.7 En indexerad mängd S = {v 1,...,v p } är linjärt beroende omm minst en av vektorerna kan skrivas som en linjärkombination av de andra. Dessutom gäller att om S är linjärt beroende och v 1 0 så är någon vektor v i, i > 1 en linjärkombination av de föregående vektorerna v 1,...,v i 1. Bevis: Antag att något element v j S kan skrivas som en linjärkombination av de andra vektorerna i S, dvs att Men då är ju v j = p c i v i. i=1 i j p c i v i = 0 i=1 med c j = 1. Alltså är S linjärt beroende. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 27 / 73

Antag istället att S är linjärt beroende. Om v 1 = 0 så gäller ju att v 1 = c 2 v 2 +...+c p v p med c i = 0, i = 2,...,p, dvs v 1 är en linjärkombination av de andra vektorerna i S. Antag därför att v i 0. Då finns det skalärer c 1, c 2,...,c p varav minst en är nollskild så att c 1 v 1 + c 2 v 2 +...+c p v p = 0. Låt j vara det största index så att c j är nollskild. Om j = 1 betyder det att v 1 = 0 (varför?!), vilket är en motsägelse. Så j 2 och Eftersom c j 0 så gäller alltså att c j v j = c 1 v 1... c j 1 v j 1. v j = c 1 c j v 1... c j 1 c j v j 1. (3) F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 28 / 73

Theorem Sats 1.7.8 Om en mängd innehåller fler vektorer än dimensionen på rummet så är mångden linjärt beroende. Bevis. På tavlan Om en mängd vektorer innehåller nollvektorn så är mängden linjärt beroende. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 29 / 73

Avbildningar En avbildning (eller funktion) T från R n till R m är en regel som tilldelar en unik vektor y = T(x) R m till varje element x R n. Mänden R n kallas T:s definitionsmängd (vi skriver dom(t)) och R m kallas dess målmängd eller kodomän. Vektorn y = T(x) säges vara bilden av x under T. Mängden av alla bilder under T kallas för T:s värdemängd. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 30 / 73

Linjära avbildningar Definition En avbildning T säges vara linjär om 1 T(u+v) = T(u)+T(v), u,v dom(t), 2 T(cu) = ct(u), u dom(t), c R. Om T är en linjär avbildning så gäller att T(0) = 0 och T(cu+dv) = ct(u)+ct(v) för alla skalärer c, d och alla u,v i T:s definitionsmängd. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 31 / 73

Theorem Sats 1.9.10 Låt T: R n R m vara en linjär avbildning. Då existerar en unik matris A R m n så att T(x) = Ax, x R n. Matrisen A :s kolonner fås av T(e i ) där e i är basvektor i i R m. Bevis. På tavlan. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 32 / 73

Speciella linjära avbildningar Reflektioner Kontraktioner och expansioner Skjuvningar Projektioner Exempel på tavlan. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 33 / 73

Surjektion, injektion och bijektion Definition En avbildning T: R n R m säges vara surjektiv om varje y i R m är bilden av minst en vektor x i R n. Definition En avbildning T: R n R m säges vara injektiv om varje y i R m är bilden av högst en vektor x i R n. Definition En avbildning T: R n R m säges vara bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 34 / 73

Theorem Sats 1.9.11 Låt T: R n R m vara en linjär avbildning. Då är T injektiv om och endast om T(x) = 0 har endast den triviala lösningen. Bevis. På tavlan. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 35 / 73

Theorem Sats 1.9.12 Låt T: R n R m vara en linjär avbildning och låt A vara dess standardmatris. Då gäller att T är surjektiv omm kolonnerna i A spänner upp R m. T är injektiv omm kolonnerna i A är linjärt oberoende. T är bijektiv omm A är kvadratisk med linjärt oberoende kolonner. Bevis. På tavlan. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 36 / 73

Matrisnotation Låt A vara en m n-matris. Vi skriver a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... a m1 a m2... a mn eller kortare A = [a ij ] där a ij är elementet i rad i och kolonn j. Vi skriver också A = [ a 1...,a n ] där a i är den vektor som utgör den i:te kolonnen ia. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 38 / 73

Matrisnotation forts. Ytterligare ett användbart skrivsätt är Row 1 (A) A =. Row m (A) där Row j (A) = [ a j1 a j2... a jn ]. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 39 / 73

Speciella matriser Elementen a i,i kallas diagonalelement. Diagonalelementen kallas tillsammans huvdudiagonalen eller bara diagonalen. En matris där m = n kallas kvadratisk. En kvadratisk matris där endast huvuddiagonalen är nollskild säges vara en diagonalmatris. En diagonalmatris med endast ettor på diagonalen kallas identitetsmatrisen och betecknas med I. En matris där varje element har värdet noll kallas nollmatrisen och skrives 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 40 / 73

Matrisoperationer Två matriser A och B betraktas som samma matriser om de har samma storlek och alla element är lika, dvs a i,j = b i,j. Om två matriser A, B har samma storlek, m n, så definerar vi summan A+B av de båda matriserna som den m n-matris C vars element är summan av motsvarande element i A och B, dvs c i,j = a i,j + b i,j, 0 i m, 0 j n. Vi definerar dessutom multiplikation med en skalär d som den matris da = [da i,j ] där varje element i matrisen A har multiplicerats med d. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 41 / 73

Med definitionerna från förra sidan kan vi formulera följande sats. Theorem Sats 2.1 Låt A,B och C vara matriser av samma storlek och låt r och s vara skalärer. Då gäller följande likheter: 1 A+B = B + A 2 (A+B)+C = A+(B + C) 3 A+0 = A 4 r(a+b) = ra+rb 5 (r + s)a = ra+sa 6 (rs)a = r(sa) Övertyga dig om detta på egen hand! F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 42 / 73

Matrismultiplikation Definition Låt A R m n och B R n p. Då definieras produkten AB som den matris C R m p vars kolonner ges av c i = Ab i, dvs C = AB = A [ b 1 b 2... b p ] = [ Ab1 Ab 2... Ab p ] eller n [c ij ] = Row i (A)b j = a ik b kj. k=1 Matrismultiplikation motsvarar sammansättning av två linjära funktioner/transformationer. Varje kolonn i matrisen AB är en linjärkombination av kolonnerna i A med vikter från motsvarande kolonn i B. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 43 / 73

Sats om egenskaper hos matrismultiplikation. Theorem Sats 2.1.2 Låt A R m n och låt B och C ha storlek så att nedanstående operationer är definierade. Då gäller att 1 A(BC) = (AB)C (Associativa lagen för matrismultiplikation.) 2 A(B + C) = AB + AC (Vänsterdistributiva lagen.) 3 (B + C)A = BA + CA (Högerdistributiva lagen.) 4 r(ab) = (ra)b = A(rB), r R 5 I m A = A = AI n Bevis. Övning! F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 44 / 73

Icke-egenskaper hos matriser 1 Generellt gäller att AB BA. 2 Att AB = AC implicerar inte att B = C. 3 Om AB = 0 så är det inte säkert att varken A = 0 eller B = 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 45 / 73

Exponenter av matriser Vi skriver B = A k och menar B = AA A }{{}. k På så sätt kan vi t.ex. definiera exp(a) med hjälp av Taylorutvecklingen exp(a) := j=0 1 j! Aj. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 46 / 73

Matristransponat Transponatet av en m n-matris A är den matris A T vars j:te rad är den j:te kolonnen i A. Om vi skriver B = A T så är alltså [b ij ] = [a ji ]. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 47 / 73

Matisinvers Om A R n n och det finns en matris C så att CA = AC = I så säges C vara A:s invers. Matisen A säges vara inverterbar. Om A inte är invertebar så säger vi att den är singulär. Om A är inverterbar så betecknar vi dess invers med A 1. Inversen är unik! F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 48 / 73

Om inverterbarhet av 2 2-matriser Theorem Sats 2.2.4 Låt [ ] a b A =. c d Om ad bc 0 så är A inverterbar och [ ] A 1 1 d b. ad bc c a Om ad bc = 0 så är matrisen ej inverterbar. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 49 / 73

Invers matris och ekvationssystem Theorem Sats 2.2.5 Om A är en inverterbar n n-matris så gäller att ekvationssystemet Ax = b har den unika lösningen x = A 1 b. Bevis. På tavlan. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 50 / 73

Sats om inverser Theorem Sats 2.2.6 Antag att A är en inverterbar n n-matris. Då gäller följande. 1 Matrisen A 1 är inverterbar och A är dess invers. 2 Om även B är en inverterbar n n-matris så är AB inverterbar och (AB) 1 = B 1 A 1. 3 Matrisen A T är invertebar och ( A T) 1 = ( A 1 ) T Bevis. På tavlan. Mer generellt gäller att inversen av produkter av inverterbara matriser är produkten av inversen i omvänd ordning. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 51 / 73

Elementära matriser En elementär matris E är en matris som fås genom att genomföra en elementär radoperation på identietsmatrisen I. Om A är en m n-matris så gäller att varje elementär radoperation kan beskrivas med vänstermultiplikation av en elementär matris E, som fås genom att gneomföra samma elementära radopeartion på I m, på A. D.v.s om matrisen B fås genom en elementär radoperation på A så gäller att B = EA där E fåtts med samma radoperation på I m. Varje elementär matris är inverterbar. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 52 / 73

Att finna A 1 Theorem Sats 2.2.7 Om A är en n n-matris så är A inverterbar omm A är radekvivalent med I n. Om så är fallet så gäller att varje sekvens av radoperationer som reducerar A till I också transformerar I till A 1. Bevis. På tavlan. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 53 / 73

Algoritm för att finna A 1 Om A är inverterbar så är matrisen B = [ A I ] radekvivalent till C = [ I A 1]. För att finna A 1 så bör man söka den till B radekvivalenta reducerade trappstegsmatrisen. Om den är på formen C är matrisen inverterbar, annars ej. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 54 / 73

Theorem (Satsen om matrisers inverterbarhet) Sats 2.3.8 Antag att A är en n n-matris. Då är följande påståenden ekvivalenta. 1 A är en inverterbar matris. 2 A är radekvivalent med I. 3 A har n pivotpositioner. 4 Ekvationen Ax = 0 har bara den triviala lösningen. 5 A:s kolonnvektorer utgör en linjärt oberoende mängd. 6 Den linjära avbildningen x Ax är injektiv. 7 Ekvationen Ax = b har har minst en lösning för alla b R n. 8 A:s kolonner spänner R n. 9 Den linjära avbildningen x Ax är surjektiv. 10 Det finns en matris C R n n så att CA = I. 11 Det finns en matris D R n n så att AD = I. 12 A T är en inverterbar matris. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 56 / 73

Satsen om matrisers inverterbarhet, forts. Bevis. På tavlan. Observera att satsen bara är giltig för n n-matriser. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 57 / 73

Om inversa matriser Om A och B är kvadratiska matriser och AB = I då är både A och B inverterbara och A = B 1 och B = A 1. Det här innebär att det räcker att en matris C transformerat A till I genom multiplikation från en sida för att man ska kunna dra slutsatsen att den gör det genom multiplikation även från andra sidan. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 58 / 73

Inverterbara avbildningar En linjär avbildning T: R n R n är inverterbar om det finn en annan funktion S: R n R n så att S(T(x)) = x, x R n T(S(x)) = x, x R n Om en sådan funktion finns så måste den vara linjär och vi skriver S = T 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 59 / 73

Om inversa avbildningar Theorem Låt T: R n R n vara en linjär avbildning och låt A vara dess standardmatris. Då är T inverterbar omm A är en inverterbar matris. Om T är inverterbar så är den linjära avbildningen T 1 den unika inversen till T och dess standardmatris ges av A 1. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 60 / 73

Blockmatriser Blockmatriser beskrivs på tavlan. En i sammanhanget intressant sats är den följande Theorem (Sats 2.4.10) Om A är en m n-matris och B är en n p-matris så gäller att Row 1 (B) AB = [ Col 1 (A) Col 2 (A)... Col n (A) ] Row 2 (B). Row n (B) Bevis. Övning. = Col 1 (A) Row 1 (B)+Col 2 (A) Row 2 (B)+...+Col n (A) Row n (B). F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 61 / 73

Matrisfaktorisering Vi har studerat multiplikation av matriser C = AB. Matrisen C är här en syntes av data. Vi skall nu studera vissa typer av analys av data (matriser). Ofta innebär detta faktorisering av någon matris. Givet en matris A vill vi måhända hitta två matriser L och U så att A = LU. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 62 / 73

LU-faktorisering Man vill ibland lösa många ekvationer med samma matris A men olika högerled b i, dvs Ax = b 1, Ax = b 2,,..., Ax = b k,. Man skulle kunna tänka sig att man beräknar A 1 och applicerar den på b i, men det är dyrt och skall inte göras! Man kan istället LU-faktorisera A vid den första lösningen. LU-faktorisering innbär att man skapar en nedre (Lower) triangulär matris L med endast ettor på huvuddiagonalen och en övre (Upper) triangulär matris U så att A = LU. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 63 / 73

Algoritm för LU-faktorisering En mer detaljerad beskrivning av följande algoritm ges på tavlan. 1 Radreducera om möjligt A till en matris U trappstegsform. 2 Konstruera L så att samma sekvens av radoperationer reducerar L till I. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 64 / 73

Om A är en n n-matris så låter vi A ij vara den matris där vi tagi bort rad i och kolonn j, dvs a 11 a 12... a 1,j 1 a 1,j+1... a 1n a 21 a 22... a 2,j 1 a 2,j+1... a 2n........ A ij = a i 1,1 a 1 1,2... a i 1,,j 1 a i 1,,j+1... a i 1,n a i+1,1 a i+1,2... a i+1,,j 1 a i+1,,j+1... a i+1,n........ a n1 a n2... a n,j 1 a n,,j+1... a nn Definition Låt A R n n. Om n = 1 är A:s determinant det(a) = a 11. Om n 2 så ges det(a) av det(a) = n ( 1) j+1 a 1j det(a 1j ) j=1 F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 66 / 73

Kofaktorexpansion Talet C ij = ( 1) j+1 det(a ij ) kallas A:s (i, j):e kofaktor. Determinanten ovan, given av det(a) = a 11 C 11 + a 12 C 12 +...+a 1n C 1n + kallas även kofaktorexpansionen av A :s första rad. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 67 / 73

Om determinanten och kofaktorexpansion Theorem Determinanten av en n n-matris A kan beräknas genom kofaktorexpanison av godtycklig rad eller kolumn. Med andra ord gäller att för valfritt i = 1, 2,...,n. det(a) = Bevis. Vi utelämnar beviset av detta. n aijc ij = j=1 n a ji C ji j=1 Satsen är mycket användbar när man skall beräkna matriser med många nollor. Man gör kofaktorexpansionen över den rad med flest nollor. På så sätt försvinner många termer. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 68 / 73

Om determinanten hos trangululära matriser Theorem Sats 3.1.2 Om A är triangulär så är det(a) summan av diagonalelementet. Bevis. Rekursion. På tavlan. Summan av en matris diagaonalelement kallas för matrisens spår. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 69 / 73

Om elementära radoperationers inverkan på determinanten Theorem Låt A vara en kvadratisk matris. Om en multiple av en rad i A adderas till en annan rad så vi producerar en ny matris B så gäller att det(b) = det(a). Om man byter plats på två rader i A så gäller för den nya matrisen B att det(b) = det(a). Om man multiplicerar en rad i A med ett tal c så gäller att Bevis. På tavlan. det(b) = c det(a). F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 70 / 73

Om radreduktion och determinanter Theorem Om A har radreducerats till en trappstegsmatris U så gäller att det(a) = ( 1) r (produkten av povotelementen i U) om A är invertebar. Annars är det(a) = 0. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 71 / 73

Determinanter och inverterbarhet Theorem Sats 3.2.4 En kvadratisk matris A är inverterbar omm det(a) 0. Bevis. På tavlan. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 72 / 73

Mer om determinanter Theorem Sats 3.2.5 Om A är kvadratisk så är det(a T ) = det(a). Bevis. På tavlan. Theorem Om A, B R n n så gäller att det(ab) = det(a) det(b). Bevis. På tavlan. Notera att det(a + B) det(a) + det(b) i allmänhet. F. Lindgren (Chalmers&GU) Linjär algebra E1 22.01.2013 73 / 73