MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Örjan Dillner TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN1 Datum: 7 september 013 Skrivtid: 3 timmar Hjälpmedel: Linjal Denna tentamen TEN1 består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan ge maximalt 3 poäng. För betyget godkänd krävs en erhållen poängsumma om minst 13 poäng. Om den erhållna poängen benämns S 1, och den vid tentamen TEN erhållna S, bestäms graden av sammanfattningsbetyg på en slutförd kurs enligt S 1, S 13 och S 1 + S 6 godkänd (g) S 1 + S 65 väl godkänd (vg) Betyget VG tilldelas dock även den som vid sitt ordinarie kurstillfälle och vid sina motsvarande ordinarie tentamina uppfyller villkoren att S 1 + S 61 och att alla inlämningsuppgifter har blivit godkända innan den sista lektionen har gått till ända. Lösningar förutsätts innefatta ordentliga motiveringar och tydliga svar. Samtliga lösningsblad skall vid inlämning vara sorterade i den ordning som uppgifterna är givna i. 1. Vilka reella x löser ekvationen x 7 = 61 6x + x?. För vilka x är semi-olikheten x ( x)(x + ) 0 uppfylld? 3. Skriv talet ( 9 7 15 + 8 ) 3 5 6 gemensamma primtalsfaktorer. ( 5 3 3 ) 5 ( ) på formen p 3 q där p och q är heltal som saknar. Faktorisera polynomet x x på formen A(x a)(x b) genom att bl.a. kvadratkomplettera. NOT: Den som genomför faktoriseringen utan tillhörande kvadratkomplettering får ingen poäng. 5. Ange real- och imaginärdelarna för det komplexa tal z som satisfierar ekvationen (z + i)(3 i) = iz +. 6. Uttryck talet 110 3 11100 i -systemet. 7. Illustrera villkoret x + < 5 på en tallinje. Formulera sedan villkoret med olikheter utan att använda absolutbelopp. 8. Utveckla polynomet x(3 x) (x + 3)(3 x) (x 1)(7 8x), och skriv det på standardformen a 0 + a 1 x + a x +... + a n x n. 9. Lös ekvationen x 1 x + + x x + 1 = x + 1 x + 3x +.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Örjan Dillner TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN1 BEDÖMNINGSPRINCIPER med POÄNGSPANN Läsår: 013/1 Tentamen TEN1 013-09-7 POÄNGSPANN (maxpoäng) för olika delmoment i uppgifter OBS! Överföringsfel eller enklare slarvfel som inte bedömts ha underlättat lösningsproceduren, och där lösningsmomenten i övrigt är korrekt utförda, har ej medfört poängavdrag. 1. Inga reella rötter finns p: Korrekt löst ekvationen med kvadrerade vänster- och högerled, samt korrekt analyserat den ena av de två lösningskandidaterna 1p: Korrekt analyserat den andra lösningskandidaten Den som har löst ekvationen med kvadrerade vänster- och högerled, som om den ekvationen oreserverat skulle vara ekvivalent med den rätta, får totalt 0p. Den som har löst ekvationen med kvadrerade vänster- och högerled felaktigt, och sedan i den rätta ekvationen har gjort en kontrollanalys utan att reagera över varför VL- och HL:en har olika absolutbelopp, kan få maximalt 1p.. ( x ) ( x ) ( x ) 1p: Korrekt funnit det ena av de tre delintervallen 1p: Korrekt funnit det andra av de tre delintervallen 1p: Korrekt funnit det tredje av de tre delintervallen Den som korrekt har funnit de tre öppna delintervallen, men missat de två intervalländpunkterna, får totalt poäng. 3. 3 1p: Korrekt faktoriserat de tre huvudfaktorerna i term 5 1p: Korrekt uppflyttat kvoterna i nämnaren i term, samt korrekt förenklat i term 1p: Korrekt adderat de två termerna och korrekt förenklat så mycket som möjligt är. ( x )( x 3) 1p: Korrekt brutit ut faktorn och sedan korrekt kvadratkompletterat, dvs korrekt omformat ( x x 1) till 1 1 ( x ) 1 1p: Korrekt omskrivit uttrycket fram till och med utnyttjandet 7 av konjugatregeln, dvs t.o.m. ( x 1 7 )( x ) 1p: Korrekt renskrivit polynomet på formen A( x a)( x b) Den som har tolkat uppgiften som om att den skulle handla om att lösa ekvationen x x 0 får totalt 1p på hela uppgiften förutsatt att åtminstone utbrytningen och kvadratkompletteringen är korrekt gjorda. Den som har angett ett faktoriserat uttryck som inte svarar mot polynomet x x, och som inte har kontrollerat sitt uttryck, kan som mest få 1p på hela uppgiften, och då endast om kvadratkompletteringen är korrekt utförd. Den som efter kvadratkompletteringen felaktigt har 1 1 samlat ihop uttrycket som ( x ) 1, men som sedan vid tillämpningen av konjugatregeln gjort ytterligare ett (parentes)fel som tar ut det första, får totalt p eller 1p beroende på om en kontroll av slututtrycket har gjorts respektive inte har gjorts. Den som efter kvadratkompletteringssteget felaktigt har samlat ihop 1 8 uttrycket som [( x ) ( 1 )], men tolkat ( menat ) att ( 1 8 8 ) är lika med ( 1 ), och sedan har gått vidare med det senare får totalt p, förutsatt att den slutliga produkten har kontrollerats och befunnits vara lika med utgångspolynomet. Den som inte har kontrollerat sitt slututtryck får totalt 1p även om produkten är den riktiga. Den som efter kvadratkompletteringssteget felaktigt har samlat ihop uttrycket som [( x ) ( 1 1 8 )], och som sedan har gått vidare med vad som står skrivet, får totalt 1p om ingen kontroll av det uppkomna (felaktiga) slututtrycket har gjorts, kan få upp till p totalt såvida det framgår att studenten verkligen har ansträngt sig för att reda ut felet. Den som inför och vid användning av konjugatregeln har skrivit 7 ( x 1 ) 9 ( 1 ) 7 ( 1 7 )( 1 x x x ), dvs som i mellanledet inte har med exponenten i led nr, får totalt p på hela uppgiften, förutsatt att den slutliga produkten har kontrollerats och befunnits vara lika med utgångspolynomet. I annat fall ges endast 1p. 1 ()
5. Re Im z z 5 6 1 6 1p: Korrekt löst ut z som en kvot av två komplexa tal 1p: Korrekt förlängt med komplexkonjugatet till nämnaren, och korrekt omskrivit alla förekomster av i 1p: Korrekt identifierat real- respektive imaginärdelen 6. 13 1p: Korrekt tolkat 1103 11100 som 3 1 0 (1 3 3 1 3 3 0 3 ) 3 1 0 (1 1 1 0 0 ) 1 inkl. korrekta tolkningar av respektive potens p: Korrekt skrivit talet 1 i -systemet 7. ( 9 x 6) ( x 39) 1p: Korrekt geometriskt tolkat villkoret som att avståndet mellan punkterna x och ska vara större än eller lika med och mindre än 5 1p: På en tallinje korrekt illustrerat villkoret 1p: Korrekt uttryckt villkoret utan användning av absolutbelopp 8. 3 8x 16x 1p: Korrekt utvecklat kvadraten i term 1 och de x -beroende faktorerna i de övriga termerna 1p: Korrekt distribuerat de faktorer som inleder de tre termerna 1p: Korrekt ihopsamlat termerna, potens för potens 9. x 3 1p: Korrekt gjort en omskrivning av ekvationen till formen ( x 1)( x 3) 0 ( x 1)( x ) p: Korrekt dragit slutsatsen att den ena av kandidaterna till lösning, x 1, diskvalificeras av att nämnaren har nollstället 1, och därefter korrekt dragit slutsatsen att den kvarvarande kandidaten är OK, dvs att ekvationen har lösningen x 3 Den som under lösandet av ekvationen redan från början oreflekterat har tagit bort nämnarfaktorerna får totalt 0p. Den som bland lösningskandidaterna har inkluderat nämnarens nollställen kan som mest få totalt 1p, och då endast om faktoriseringen är korrekt gjord. Den som utan motivering i det faktoriserade uttrycket har kvittat täljarfaktorn x 1 mot nämnarens kan totalt få som mest p förutsatt att faktoriseringen dessförinnan är korrekt. ()