B1) En konsolbalk med tvärsnitt enligt figurerna nedan är i sin spets belastad med en punktlast P på de olika sätten a), b) och c). Hur böjer och/eller vrider balken i de olika fallen? B2) Ett balktvärsnitt, t.ex. spetsen av en konsolbalk, belastas enligt figuren med två transversella punktlaster, båda med storleken P, och två axiella punktlaster, P och 2P. Beräkna det för balkteori relevanta ekvivalenta lastsstemet P x, P, P, T x, M och M. Detta lastsstem har tranversallaster som går genom SC och axiallast som går genom TP. B3) En balk, utformad och belastad enligt figuren, är från x=1 m till x= 3 m belastad med de två jämnt fördelade lasterna q 1 och q 2. Beräkna de ekvivalenta fördelade lasterna q x, q, q, m x, m och m. q 1 x=1.0 m q 2 x=3.0 m a x b q 1 x q 2
B4) I en FEM beräkning har förskjutningarna och rotationerna u 1 u 6 beräknats med resultat enligt nedan med avseende på tngdpunkten TP i ett visst snitt av en balk. Beräkna förskjutningarna u, v och w av punkten A. Rotationer anges i enheten radianer om inget annat anges. Rotationen u 4 =0 är ett resultat av att aktuell balk inte är utsatt för vridande belastning. u 1 =1.0 mm u 2 = 3.0 mm u 3 =5.0 mm u 4 =0 u 5 =4.0*10 3 u 6 = 2.0*10 3 B5) Figuren nedan visar en bit av en balkfiber i balkens obelastade och odeformerade läge och i balkens belastade och deformerade läge. Balkens nedböjning och lutning är liten så att man kan sätta cos( φ) = 1 och s in(φ) = φ. Biten har längden Δx i det odeformerade läget. a) Beräkna bitens längd i det deformerade läget, uttrckt i förskjutningen u av materialpunkten x och av materialpunkten x+δx. b) Beräkna bitens längdändring och dess normaltöjning. c) Skriv uttrcket för normaltöjningen som en derivata för fallet att Δ x 0.
B6) I ett rektangulärt balktvärsnitt finns normalspänningar σ x enligt figuren. Spänningarna är linjärt fördelade med storleken noll i balkens underkant och storleken σ o i balkens ovankant. a) Uttrck normalspänningens storlek som funktion av. b) Använd definitionerna av normalkraft och snittböjmoment för att beräkna N och M. Ange även hur stort böjmomenten M är. Ledning: tan da kan skrivas som bd. B7) Ett upp och nervänt T tvärsnitt (kanske en grovt förenklad järnvägsskena) utsättes för uppvärmning i sin ovankant med en förenklad temperaturfördelning i tvärsnittet enligt figur som följd: i tvärsnittets livdel varierar temperaturhöjningen linjärt med från ΔT m ner till noll, och den undre delen, flänsen, är opåverkad, dvs utan någon temperaturhöjning. Materialets elasticitetsmodul är E och dess temperaturutvidgningskoefficient är α, definierad av att töjningen blir αδt vid fri töjning orsakad av en temperaturhöjning ΔT. 2a TP 0 ΔT m ΔT a a a a a) Beräkna läget av tvärsnittets tngdpunkt. b) Beräkna storlek och fördelning av initialspänningarna σ xo (,). Initialspänningarna är spänningarna (i detta fall orsakad av temperaturhöjning) vid noll töjning. c) Beräkna initialnormalkraften N o och initialböjmomentet M o. Ange även M o.
B8) Betrakta ett godtckligt smmetriskt tvärsnitt med tan A och tngdpunkten C. a) Hur kan man beräkna var tngdpunkten C finns? b) Visa, förklara, att det statiska momentet S med avseende på smmetriaxeln är noll. c) Visa att tröghetsprodukten I måste vara noll om och/eller axeln är en smmetriaxel. B9) a) Använd definitionen av ttröghetsmoment för att beräkna I och I för det rektangulära tvärsnittet i den vänstra figuren. b) Beräkna I för tvärsnittet i den högra figuren. c) Använd parallellförflttningssatsen (Steiners sats) för att beräkna I för det högra tvärsnittet.
B10) Sektionsdata för en tunnväggig L profil med flänsbredderna a och 2a skall bestämmas. Flänsarna har tjockleken t. Tjockleken t<<a och det kan vid beräkningar antas att termer av tpen t 3 h är försumbara jämfört med termer av tpen th 3, där h=a eller 2a. a) Bestäm tngdpunktens läge, dvs beräkna e och f. b) Beräkna I, I och I. c) Beräkna huvudtröghetsmomenten I η och I ζ och vinkeln mellan och η axlarna. B11) Visa mha samband för kinematik, material, statisk ekvivalens och jämvikt att följande samband finns mellan å sidan snittstorheterna N(x), M (x) och V (x) och å andra sidan förskjutningarna u(x), v(x) och w(x), eventuella initialvärden N o (x) och M o (x) och eventuell momentlast m (x): N = EAu +N o M = EI v EI w +M o V = EI v EI w +M o +m
B12) A x B q =6.0 sin(πx/l) kn/m M B =10 knm B ΔT=+30 o C A q = 2.0(1+x/L) kn/m En I balk HEB 320 med längden L=6.0 m är fritt upplagd enligt den övre figuren, där stödet vid A är ett fixlager och där stödet vid B medger rörelse i x riktning men inte i och riktningarna. Balken är belastad med varierande fördelade laster q och q och med ett moment M B vid x=l, enligt den undre figuren. Hela balken påverkas vidare av en temperaturhöjning ΔT=+30 o C. Materialets elasticitetsmodul är 200 000 MPa och dess värmeutvidningskoefficient är 11.0x10 6 / o C. Samtliga transversallaster verkar genom balktvärsnittets skjuvcentrum. Tvärsnittsdata för HEB 320 finns i t.ex Tibnors konstruktionstabell. a) Ställ upp de tre grundekvationerna för stångverkan och böjverkan för aktuell balk. b) Ange aktuella randvillkor. Villkoren skall uttrckas i villkor för förskjutningarna u, v och w. c) Lös ekvationen för förskjutningen u(x). Ange lösningen u(x) och speciellt u(l/2) och u(l). d) Lös ekvationen för w(x). Ange lösningen w(x) och speciellt w(l/2). e) Beräkna normalkraften N(x) mha förskjutningen u(x) enligt uppgift c). f) Beräkna böjmomenten M (x) mha förskjutningen w(x) enligt uppgift d). g) Beräkna tvärkraften V (x) mha w(x) enligt d) eller mha M (x) enligt f). h) Beräkna normalspänningen σ x i punkten (x,,)=(l/2,0,h/2), där h är tvärsnittshöjden. i) Beräkna skjuvspänningen τ x i punkten (x,,)=(l/6,0,0)=(1,0,0) m. j) Gör en överslagsmässig bedömning av om balken HEB 320 kanske kan vara lämplig för de aktuella lasterna och den aktuella spännvidden eller om det är uppenbart att en klenare eller kraftigare balk bör väljas. Hållfasthetsvärden för det stål, SS 1412, som används för HEB balkar finns i t.ex Tibnors tabell. En balks nedböjning bör, beroende på bggnadstp, normalt inte vara mer än i storleksordningen 1/300 av spännvidden.
B13) q B14) h o = 300 mm q h L = 600 mm En så kallad pulpetbalk har ett rektangulärt tvärsnitt med bredden b=100 mm och en linjärt varierande höjd enligt figuren. Balken är i vänster ände fritt upplagd på ett lager som medger rörelse i x och riktning, men inte i riktning. I höger ände är balken fast inspänd. Balkens längd är L=4 m. Lasterna är en jämnt fördelad last q =4 kn/m och en jämnt fördelad last q =2 kn/m. Materialets E modul är 12000 MPa. Ställ upp de tre grundekvationerna för stångverkan och böjverkan för aktuell balk. Ange även de 10 randvillkor som behövs för att lösa ekvationerna. x Konsolbalken i den vänstra figuren har längden L=2.0 m och är belastad med q 1 =1.0 kn/m och q 2 =0.5 kn/m. Tvärsnittet är enligt den vänstra figuren. Koordinatsstemet x har sitt origo vid infästningen med x axeln riktad längs balken mot dess spets. Tvärsnittet kan betraktas som tunnväggigt. a) Beräkna snittstorheterna (krafter och moment) för balken som funktion av x. Ange speciellt värdena vid infästningen, dvs för x=0. b) Bestäm normalspänningen σ x vid infästningen som funktion av och. c) Beräkna normalspänningen i punkterna A, B och C i infästningssnittet, x=0. r 1 d) Beräkna skjuvspänningen τ I (=τ x ) vid det längsgående snittet 1, beläget vid x=0 på det godtckliga avståndet r 1 (0<r 1 <a=75 mm) från tvärsnittets vänstra kant. Rita i tvärsnittet diagram som visar skjuvspänningarnas storlek som funktion av r 1 och ange speciellt maxvärdet och var det uppkommer. (Extraövning: Beräkna p.s.s. τ I (=τ x ) för snittet 2.) 1 2 r 2
B15)
B16) L=6000 mm x b=100 mm h=4x50 = =200 mm Initialspänningar: h / 2 h / 4: σ xo = 0 2 h / 4 h / 2: σxo= 10(1 (2x / L 1) ) N / mm 2 En limträbalk med mått enligt figuren ovan består av 4 sammanlimmade lameller, vardera med tjockleken 50 mm och bredden 100 mm. Den undre lamellen utsattes för väta, särskilt mcket längs balkens mittre del i ett område runt x=l/2. Fuktfördelningen blev homogen genom den undre lamellens tjocklek, men limskiktet hindrade fukten att sprida sig vidare till nästa lamell. Som följd av fukten och den resulterande svällningen av träet uppkom mekanisk verkan enligt initialspänningarna givna i figuren. Träets elasticitetsmodul är E=12000 N/mm 2. a) Beräkna initialnormalkraften N o (x) och initialböjmomentet M o (x). b) Beräkna den ursprungligen raka balkens form efter fuktpåverkan, w(x). Ange speciellt balkens utböjning vid x=l/2 från en rak linje mellan balkens två ändpunkter. c) Beräkna och visa i ett diagram hur normalspänningen σ x är fördelad över tvärsnittet x=l/4, dvs σ x () för x=l/4. Beräkna och visa i ett diagram även hur normalspänningen är fördelad längs balkens underkant, dvs σ x (x) för =h/2, och jämför med σ xo (x). d) Beräkna normalkraften N och böjmomentet M för balksnittet x=l/4 utifrån σ x () enligt c) och mha av sambanden N = σ x da och M = σ xda. A A e) Visa mha av jämvikt av balkdel till vänster eller höger om ett godtckligt placerat snitt tvärs balken att normalkraften N och böjmomentet M båda är noll för alla balktvärsnitt. f) Beräkna skjuvspänningen τ x och dess fördelning längs den horisontella snitttan =0. Visa i ett diagram hur skjuvspänningen i detta snitt varierar längs balken, dvs rita τ x (x) för 0<x<L för tan =0.
B17) B18) Balken har samma tvärsnitt som den i uppgift B17. Balken är fritt upplagd och belastningen utgöres av två punktlaster, P och P, enligt figuren. Beräkna maximal normalspänning σ x och maximal skjuvspänning τ i balken.
B19) Beräkna skjuvcentrums läge för det vidstående balktvärsnittet. B20) En tvåsidigt fast inspänd plåtbalk med L profil belastas med en jämnt fördelad last q. Last och upplagskrafter har verkningslinje genom skjuvcentrum. Avstånden e och e mäts från plåtarnas medellinjer. a) Beräkna σ x i punkterna A,B och C i inspänningssnittet. Ledning: M insp =ql 2 /12. b) Beräkna skjuvspänningen i B i inspänningssnittet. c) Beräkna tvärsnittets huvudriktningar och huvudtröghetsmoment. d) Beräkna balkens mittutböjning i och i led. Ledning: I en huvudriktning gäller δ=ql 4 /(384EI) e) Varför ligger skjuvcentrum i punkten 0 för tunnväggiga L och T profiler?
B21)
Ledning: För en konsolbalk är δ=pl3/(3ei). Ledning: V = dm /dx och V =dm /dx. B22) a 2a q (kraft/längd) e TP x 2a a a 2a 3a e TP =a/2 I =26a 4 /3 En ganska kort och hög balk är utformad och belastad enligt figuren ovan. Det vänstra upplaget har en utbredd upplagsta som är 2a längs balken och har bredden 3a. Upplagskraften är q uttrckt i kraft/längd, dvs totalt 2aq uttrckt i kraft. Beräkna den vertikala normalspänningen σ i balken vid upplaget vid den övre smala tvärsnittsdelens underkant, dvs σ för tan = a/2 i området 0<x<2a, a/2<<a/2. Ledning: Börja med att beräkna tvärkraften V (x) för 0<x<2a och sedan skjuvspänningarna τ x (x) för den smala övre delen av balktvärsnittet, för 0<x<2a. En vertikal kraftjämvikt för en del dx av tvärsnittets övre del ger sedan σ (x). Jämför resultatet med upplagsspänningen σ = (2aq)/(2ax3a) i kontakttan mellan balk och upplag.