UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive 5 krävs totlt minst 18, 25 respektive 32 poäng. 1. (6p) () Använd delmängdskonstruktionen för tt tillverk en DFA ekvivlent med nednstående NFA. () Är den resulternde DFA:n miniml? 1 3 ε 2 ÖSNING () Med delmängdskonstruktionen erhålls följnde DFA. {1} {3} { }, A C D, {1,2} {1,2,3} B E () Den är inte miniml. Tillstånden A och B kn nämligen slås ihop. Det eror på tt åd tillstånden är ickeccepternde, och tt DFA:n drivs vidre från nämnd tillstånd till ett och smm tillstånd, ovsett om DFA:n står i A eller B. Med ndr ord: DFA:ns språk särskiljer inte tom sträng från strängen. Med känd minimeringslgoritm ser mn f.ö. (se nednför) tt ing ndr tillstånd kn slås ihop: {A, B, C, D, E}! {C, E} {A, B, D} {C, E} {A, B} {D} {C} {E} {A, B} {D} {C} {E} {A, B} {D}
18okt2012.n 2. (6p) Konstruer reguljär uttryck och DFA:er för () = {w œ 8, < * w innehåller exkt två :n, och dess hr ett udd ntl :n melln sig}. () :s komplementspråk där komplementet ts med vseende på 8, < *. T.ex. är en sträng i, medn ε,,, och är strängr i. ÖSNING () Följnde reguljärt uttryck tlr för sig själv: * H * *. Med det reguljär uttrycket som stöd är det lätt tt rit en DFA utn skräptillstånd: Smm DFA med skräptillstånd utritd lir något klottrigre:, men kommer till nvändning i () () Strängrn i känneteckns v tt de tillhör någon v följnde fyr ktegorier: (1) de som sknr -förekomster, (2) de som hr exkt en -förekomst, (3) de som hr exkt två -förekomster, och där dess hr ett jämnt ntl :n melln sig, (4) de som hr tre eller fler -förekomster. Härv följnde reguljär uttryck * * * * H * * H * 3 H * Strängrn i är precis de strängr som driver en DFA för till ickeccepternde tillstånd. Härv följnde DFA för., 2
18okt2012.n 3. (8p) åt 0 vr språket som ges v * *, och etrkt () 1 = 8u u u œ 0 <, () 2 = 0 0, (c) 3 = 1 1, (d) 4 = 8x x x œ 1 <. Avgör för vrt och ett v 1, 2, 3, 4 om det är reguljärt, inte reguljärt men smmnhngsfritt, eller om det inte ens är smmnhngsfritt. ÖSNING ) 1 är inte reguljärt men smmnhngsfritt. Bristen på reguljäritet följer t. ex. v tt N 0 N 0 inte kn pumps på något sätt inuti först N-locket utn tt fll ur språket. Att 1 är smmnhngsfritt eror på tt vrje sträng m n m n i 1 kn skrivs som m m n n, och således är en smmnfogning v två strängr som vr och en ges v reglern X Ø X. Därför kn en CFG för 1 se ut så här: S Ø X X, X Ø X. ) 2 = 0 0 är reguljärt. Ty 0 är det, och de regulhär språken är slutn under smmnfogning (ihopslgning). 2 kn t.ex. eskrivs v det reguljär uttrycket * * *. c) 3 = 1 1 är inte reguljärt men smmnhngsfritt. Bristen på reguljäritet följer t. ex. v tt w = u 1 u 1 u 2 u 2 = N 0 N 0 0 0 0 0 (där u 1 = N 0 och u 2 = 0 0 ) inte kn pumps på något sätt i det först N-locket utn tt fll ur 3. Att 3 = 1 1 är smmnhngsfritt kn förklrs v tt 1 är smmngngsfritt, och tt de smmnhngsfri språken är slutn under smmnfogning. d) 4 är inte smmnhngsfritt. Ett pumpevis för dett kn se ut som följer: w = x x = u u u u = N 2 N 2 N 2 N 2 (där u = N 2 œ 0 ) kn inte pumps inuti något end N-lock utn tt fll ur 4. Om w efter pumpning skll li en ny sträng i 4, måste nämligen ll fyr u:n påverks. Och det senre låter sig inte görs vid pumpning inuti ett N-lock, eftersom vståndet från det först u:et till det sist är större än N. 4. (6p) Konstruer åde en CFG och en PDA för språket 8 n n n är inte delrt med 3<. ÖSNING Nturlig tl som inte är delr med 3 ges v 3 k + 1 eller 3 k + 2, k œ N vrför det givn språket eskrivs v unionen 9 3 k+1 3 k+1 k œ N = 9 3 k+2 3 k+2 k œ N = = 9 3 k 3 k k œ N = 9 3 k 2 2 3 k k œ N =. Mn ser tt kortste strängrn i det ktuell språket är och 2 2, och tt vrje längre sträng inleds med tre :n, åtföljs v en kortre sträng ur språket, och vsluts med tre :n. Det följer tt språket eskrivs v CFG:n S Ø 2 2 3 S 3 Så här kn en PDA se ut. Motivering v densmm återfinns under figuren., ε/, /ε Med hjälp v de två övergångrn som sknr stckgernde, tr PDA:n hnd om de två kortste strängrn. Slingn på det först tillståndet ser till tt strängr med ytterligre inlednde lock v tre :n får :n okförd på stcken. Slingn på det sist tillståndet kontrollerr till sist tt ytterligre vslutnde :n stämmer i ntl med nämnd inlednde :n. 3
18okt2012.n 5. (7p) Beskriv med en så enkel grmmtik som möjligt (se ANM. 2 nedn) det språk över 8, < som Turingmskinen nednför ccepterr. Argumenter för tt det inte finns någon enklre grmmtik. Om du r kn eskriv informellt vilket språk som mskinen ccepterr kn du r li sprsmt elönd. Vidre måste du förklr hur de olik delrn i mskinen medverkr till tt mskinens språk lir just det som du föreslår. Annrs riskerr du tt li helt utn poäng. # R # ANM. 1 Vänstershiftren omvndlr #x s y# till #x y #. Û Û ANM. 2 Inom hierrkin reguljär Ä smmnhngsfri Ä restriktionsfri finns de enklste grmmtikern till vänster. ÖSNING Turingmskinens rete efter den inlednde körningen v R Ò kn eskrivs som tt mskinen under vrje lyckd (stor) rundtur från det först :et och tillk sknnr v den ickelnk delen v tpen tre gånger från höger till vänster, och därvid hittr först ett och sedn två :n, smt shiftr ort nämnd fynd från tpen. Efter k lyckde rundturer hr således k stycken :n och 2 k sycken :n shiftts ort. En inputsträng som innehåller exkt k stycken :n och minst 2 k stycken :n driver således mskinen tt gör k rundturer v nämnt slg. Vid nästkommnde rundturs inledning påträffs inte någr :n, med följd tt mskinen drivs till stopptillståndet. För en sträng som innehåller k > 0 stycken :n men färre än 2 k stycken :n kommer TM:en under den k:te rundn tt häng sig under någon v de två jktern efter ett. Resonemnget visr tt TM:en stnnr för sådn inputsträngr som innehåller minst duelt så mång :n som :n. Här är en CFG för TM:ens språk: S Ø ε S SSS SSS SSS. Att ing felktig strängr kn producers med dess regler följer v tt vrje regel som innehåller innehåller två :n. (Regeln S Ø S fogr r in fler :n.) Att verkligen ll korrekt strängr kn producers eror på tt de tre vslutnde reglern eskriver ll sätt tt infog ett och två :n inuti en kortre sträng i språket, och tt ll strängr med fler :n än dul ntlet :n kn åstdkomms genom tt dessutom nvänd regeln S Ø S på lämplig sätt. Språket är förstås inte reguljärt, eftersom t.ex. N N N inte kn pumps på något sätt inuti det inlednde N-locket utn tt fll ur språket. Därför finns det ingen reguljär grmmtik för mskinens språk. 4
18okt2012.n 6. (7p) Är prolemet Innehåller HM minst 100 strängr? () vgörrt för godtycklig finit utomter M? () vgörrt för godtycklig Turingmskiner M? ANM Om Du hävdr tt ett visst prolem är vgörrt, måste Du motiver ståndpunkten genom tt skisser åtminstone en informellt eskriven lgoritm. (Om Du menr tt smm prolem är ovgörrt, måste Du givetvis motiver denn åsikt också.) ÖSNING ) AVGÖRBART. Följnde procedur vgör prolemet: Kontroller först om M innehåller någon sling på väg från strt till cceptns. (Mn kn t red på om en DFA M med N tillstånd hr en sådn sling genom tt kör M på strängrn v längd N men < 2 N, och se om någon sträng ccepters.) Om så är fllet är HM oändlig och svret på den givn frågn lir JA. I nnt fll är HM är ändlig, och då kn M inte ccepter någr ndr strängr än de som är kortre än N, där N etecknr ntlet tillstånd i M. Därmed ehöver mn (i dett fll) r provkör M på de strängr över M:s inputlfet vrs längd är < N, smt räkn de strängr som ccepters. Är de senre minst 100 stycken, så är svret JA, nnrs NEJ. ) OAVGÖRBART. Eftersom det finns Turingccepterr språk som innehåller 100 strängr (t.ex. vrje oändligt språk), och sådn som inte gör det (t.ex. det tomm språket), så följer ovgörrheten v RICES sts om mn sätter W = 8 är Turingccepterrt och 100 <. 5