TENTMEN HF6 och HF8 Daum TEN 8 april Tid 8- nalys och linjär algebra, HF8 Medicinsk eknik), lärare: Jonas Senholm nalys och linjär algebra, HF8 Elekroeknik), lärare: Marina rakelyan Linjär algebra och analys, HF6 Daaeknik), lärare: rmin Halilovic Eaminaor: rmin Halilovic eygsgränser: För godkän krävs av ma poäng För beyg,, C, D, E, F krävs, 9, 6,, respekive 9 poäng Hjälpmedel på enamen TEN: Udelad formelblad Miniräknare ej illåen Kompleering: 9 poäng på enamen ger rä ill kompleering beyg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endas på en sida av pappere Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifer skall markeras med kryss på omslage ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna enamenslapp får ej behållas efer enamensillfälle uan lämnas in illsammans med lösningarna ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Fullsändiga lösningar skall preseneras ill alla uppgifer Uppgif p) a) Lå f ), R esäm den evenuella inversen ill funkionen f) cos b) esäm derivaan ill f ) Tips nvänd logarimisk derivering) ) c) eräkna lim e d) eräkna lim sin Uppgif p) Lå f ) ) a) p) esäm funkionens saionära punker och deras yp b) p) esäm evenuella asympoer ill f ) c) p) Skissa funkionens graf Uppgif p) a) esäm andra ordningens Taylorpolynom kring punken dvs Maclaurinpolynom) ill funkionen f ) cos i radianer) b) eräkna skillnaden mellan funkionen och Taylorpolynome då 6 Tips: E Taylorpolynom av ordning vå, som uvecklas kring a) sä: P ) f a) f a) a) f a) ) a, beräknas på följande Var god vänd!
Uppgif p) esäm arean mellan kurvan f ) och -aeln då Tips: nvänd variabelsubsiuion) Uppgif p) esäm följande inegral 7 d Uppgif 6 p) eräkna följande vå generaliserade inegraler: a) d b) e d Uppgif 7 p) Lös följande differenialekvaion med avseende på v dv d v, v) nge lösningen på epliciform Uppgif 8 p) Lös differenialekvaionen y y e y Uppgif 9 p) esäm srömmen i och kondensaorns laddning q i nedansående RC kres där R ohm, C farad u sin ) vol Vid är laddningen q) coulomb Tips: Spänningsfalle över e mosånd med resisansen R är lika med R i eller korare R i Spänningsfalle över en kondensaor med kapaciansen C är lika med U R q / C, dvs q U C Dessuom gäller q i C
Lycka ill! FCIT Uppgif p) a) Lå f ), R esäm den evenuella inversen ill funkionen f) cos b) esäm derivaan ill f ) ) c) eräkna lim e d) eräkna lim sin Lösning: a) f ), R y, R y ± y) ± y Vi har vå lösningar för några y R, därför saknar f) en invers funkion Svar a: Funkionen saknar en invers funkion b) Med hjälp av logarimlagarna får vi cos ln f ) ln ln ln cos ln ) Deriverar ln f ) : Dln f ) sin cos an Dln f ) f ' ) f ) f ' ) f ) Dln f ) cos f ' ) an )
Svar b: cos f ' ) an ) c) lim lim Svar c: e d) lim sin [yp, L' Hospials regel] e lim cos Svar d: Räningsmall: rä eller fel för varje del a,b,c eller d Uppgif p) Lå f ) ) a) p) esäm funkionens saionära punker och deras yp b) p) esäm evenuella asympoer ill f ) c) p) Skissa funkionens graf Lösning: Saionära punker f ) ) ) ) ) 8 ) 8 ) ) f ) 8 ),, 6
Funkionen f ) ) är ine definierad i, därför är ine en saionär punk Försaderivaans eckensudie: 6 8 - ) f ) ej def - f ) erraspunk ej def min I punken 6 har funkionen lokal minimum 7 f 6 ) Punken är en errasspunk där f ) b) sympoer ill f ) : ) I punken är nämnaren och äljaren Därför f ) ± då och därmed är en verikal asympo Polynomdivision: 6 f ) ) Från 6 f ) ser man a 6 f ) går mo då Därför y är en sned asympo c) Grafen
Svar: a) 6 är en minimipunk, är en errasspunk b) en verikal asympo y är en sned asympo c) se ovansående graf Räningsmall: a) p för uräkning av vå saionära punker eller p för uräkning av en saionär punk sam en korrek bedömning av punkens yp b) p för korreka asympoer c) p för korrek graf med alla elemen från a och b) Uppgif p) a) esäm andra ordningens Taylorpolynom kring punken dvs Maclaurinpolynom) ill funkionen f ) cos i radianer) b) eräkna skillnaden mellan funkionen och Taylorpolynome då 6 Tips: E Taylorpolynom av ordning vå, som uvecklas kring a) sä: P ) f a) f a) a) f a) ) a, beräknas på följande Lösning: eräkna funkionens derivaor: f ) sin, f ) 9cos f ), f ), f ) 9
Dea insäes i formeln: 9 ) ) ) ) ) ) f f f P Skillnad mellan funkion och Taylorpolynom då 6 : 8 6 9 cos 6 9 6 cos 6 6 P f Svar: Taylorpolynome är 9 ) P Skillnaden är 8 Räningsmall: Korrek Taylorpolynom ger poäng Korrek skillnad ger poäng Uppgif p) esäm arean mellan kurvan ) f och -aeln då Tips: nvänd variabelsubsiuion) Lösning: Funkionen har en definiionsmängd: Dess graf skär -aeln då och då För posiiva är också funkionen posiiv Sök area d d ) Inegralen kan beräknas med både variabelsubsiuion och pariell inegraion Variabelsubsiuion:, ) d d d d d ) ) d d
) 6 e a Svar: rean är ) 6 areaenheer ae) Räningsmall: Korrek variabelsubsiuion al korrek pariell inegraion, men sedan fel ger poäng Lie räknefel i slue av beräkningarna, - poäng Uppgif p) esäm följande inegral: d 7 Lösning: Inegranden är en raionell funkion, vars äljare har lägre grad än nämnaren Då behöver man ine uföra polynomdivision Däremo ska nämnaren undersökas, Då gäller a: ) ) Efersom nämnaren kan fakoriseras kan man göra en parialbråksuppdelning: ) ) ) ) ) ) ) ) 7 7 ) ) ) 7 Idenifikaion av koefficienerna i vänser äljare med mosvarande koefficiener i höger äljare ger följande ekvaionssysem: 7 vilke ger a 7 Nu kan inegralen besämmas:
7 d d C ln ln Svar: Inegralen blir ln ln C Räningsmall: Korrek parialbråksuppdelning ger poäng Uppgif 6 p) eräkna följande vå generaliserade inegraler: a) d b) e d Lösning: a) d d [ ] Inegralen divergerar b) e e d e e Svar: a) dvs inegralen är divergen b) / Räningsmall: poäng per deluppgif rä eller fel) Uppgif 7 p) Lös följande differenialekvaion med avseende på v dv d v v) nge lösningen på epliciform Lösning: För a separera variabler delar vi ekvaionen med v v under anagande dv v d, dvs v ±
nmärkning: Funkionerna v och v, uppenbar saisfierar ekvaionen dv v, men ine villkore v), allså är de INTE lösningar ill vår d begynnelsevärdesproblem Vi inegrerar ekvaionen: dv v d Vi löser u v: v ln ) C v Den allmänna lösningen på implici form) v ln ) C v v C e v De v v Från v) får vi D llså e v v v v) e v ve e v e ) e ) e ) v e ) Svar: e ) v e ) Räningsmall: poäng för den allmänna lösningen Uppgif 8 p) Lös differenialekvaionen y y e y Svar: y C e sin Ce cos e Räningsmall: poäng för den homogena delen, poäng för den parikulära lösningen Uppgif 9 p) esäm srömmen i och kondensaorns laddning q i nedansående RC kres
där R ohm, C farad u sin ) vol Vid är laddningen q) coulomb Tips: Spänningsfalle över e mosånd med resisansen R är lika med R i eller korare R i Spänningsfalle över en kondensaor med kapaciansen C är lika med U R q / C, dvs q U C Dessuom gäller q i C Lösning: a) Från kresen får vi följande diff ekv q R i u ekv) C Efer subs R och C har vi i q sin eller i q sin ekv) Från q ' i får vi : q q sin ekv ) Härav q H Ce *) [ Lösningen för homogena delen ] nsasen q p sin cos och därmed q sin cos subsiueras i ekv som gör cos sin sin cos sin Vi idenifierar koefficiener framför sinus- och cosinusfunkioner på båda sidor: och
Härav och Därmed q p sin cos Den allmänna lösningen är q ) Ce Från q) för vi C och då blir q För a få i deriverar vi q : i Svar: q i Räningsmall: poäng för den homogena delen, poäng för den parikulära lösningen Korrek q eller i ger poäng ll korrek p