ˆ F rˆ Arbete och effekt vid rotation = Betrakta den masslösa staven med längden r och en partikel med massan m fastsatt i änden. Arbetet som kraften ሜF uträttar vid infinitesimal rotation d blir då: ds = rd= F rd d dw = F ds = = (F r utför inget arbete vid ren rotation, eftersom det inte sker någon förflyttning i radiell riktning vid cirkelrörelse!) (YF kap. 10.4) För ändlig rotation från i till f : W = dw = Om vridmomentet är konstant får vi: W = ) ( f i f d Effekten P är definierad som uträttat arbete per tidsenhet: dw d P = = = dt dt i Arbete vid rotation Effekt vid rotation
Rörelsemängdsmoment (eng. angular momentum) För rotationsrörelser kallas den storhet som motsvarar rörelsemängd i translationsrörelse för rörelsemängdsmoment. Betrakta först allmänt en partikel med massa m och hastighet lägesvektor rlj relativt ett givet origo O. Definition: Partikelns rörelsemängdsmoment relativt O är: ഥL=തr mഥv = തr ഥp Speciellt för cirkelrörelse: ഥv och തr är vinkelräta ഥL =m ҧ r തv sin = mrv = mr 2 Om vi definierar vinkelhastighetsvektorn ഥ riktad längs rotationsaxeln med positiv riktning enligt högerhands-regeln, så kan detta skrivas på vektorform: ഥL = mr 2 ഥ v, lj med (riktad vinkelrätt mot det plan som spänns upp av തr och ഥv). 2
Relation mellan vridmoment och rörelsemängdsmoment för en partikel Bevis: Då ഥL=തr mഥv blir dഥl /dt = (dതr /dt mഥv) + (തr mdഥv /dt) Obs. Momentekvationen är en konsekvens av Newton II, ሜF = dഥp /dt Observera speciellt: dഥl /dt = τlj gäller endast då ഥL och τlj mäts relativt samma punkt. തτ= d ഥL dt = ሶ ഥL momentekvationen Men då dതr /dt = ഥv blir första termen noll, och dഥl /dt = തr mഥa = r lj ሜF = τ lj. v 3
ഥF 1 ഥF 12 Rörelsemängdsmoment för partikelsystem ഥF 21 ഥF 2 Interna krafter: ഥF ij = ഥF ij Def. Totala rörelsemängdsmomentet för system av n partiklar relativt en fix punkt O: n ሜL = i=1 n ሜL i = i=1 rlj i plj i F 1 Z L ഥF 12 l Hävarm ഥF 21 Y L int = l( F12 + F21) = Externa krafter: ഥF i 0 Allmänt momentekvationen: τlj tot = d ሜL /dt, där τlj tot = τlj ext + lj τ int Om de interna krafterna är centrala (verkar längs sammanbindningsriktningen) ger de inget nettomoment τlj int (Lätt att se i två dim., se figur). τlj int = 0 ger inget bidrag till d ሜL /dt τlj tot = τlj ext = d ሜL/dt Momentekvationen för partikelsystem! 4
Bevarande av rörelsemängdsmoment för partikelsystem (YF kap. 10.6) τlj ext = d ሜL/dt Rörelsemängdmomentets tidsderivata för ett partikelsystem relativt en godtycklig punkt är summan av vridmomenten, relativt samma punkt, av de externa krafterna som verkar på systemets partiklar. Speciellt om τlj ext = 0 blir ሜL konstant! Totala rörelsemängdsmomentet bevaras för ett partikelsystem utan externt kraftmoment. 5
lj Rörelsemängdsmoment för tunn skiva Tunn skiva, rotationsaxel vinkelrät mot skivans plan, origo på rotationsaxeln och i planet: Totala rörelsemängdsmomentet ሜL erhålls genom summering av bidragen från varje litet masselement m i vid R i. ሜL i = ሜR i m i vlj i = m i R 2 i ω ሜL = i ሜL i = 2 m i R i i (Rörelsemängdsmoment för m i i cirkulär rörelse) ω lj = Iωlj Tröghetsmoment relativt vridningsaxeln Som framgår ovan är vektorerna ሜL och ωlj parallella för det här fallet, där vi beräknat ሜL relativt en axel som är vinkelrät mot en tunn skiva, med origo i skivans plan. 6
Rörelsemängdsmoment för godtycklig stel kropp För en stel kropp av godtycklig form som roterar runt z måste vi använda vektorrelationen: ሜL i = rlj i m i lj v i När dessa bidrag summeras till en totalvektor ሜL = L x x + L y y + L z z är den normalt inte parallell med, p.g.a. att vektorerna rlj i nu även har komponenter i z-led. Däremot gäller alltid skalärrelationen för rörelsemängdsmomentets z-komponent: L z =I 7
Rörelsemängdsmoment för stel kropp roterande runt symmetriaxel Om en stel kropp roterar runt en symmetriaxel, så tar x- och y- komponenterna av ሜL i -vektorerna ut varandra, för partiklar m i på motsatta sidor av rotationsaxeln! Dvs rörelsemängdsmomentet är då parallellt med vinkelhastigheten, och vi har vektorrelationen: ሜL = I lj ω
Rörelseekvationen för stel kropps rotation Det grundläggande sambandet är τlj ext = d ሜL/dt. Väsentligt att särskilja kring vilken axel rotationen/vridningen sker: * kring fix punkt i inertialsystem * kring masscentrum ሜF =mglj cm * kring symmetriaxel Om man betraktar rotation kring masscentrum ger tyngdkraften inget vridmoment തτ, alltså är ഥL = konstant (തτ = d ഥL /dt= 0). En kropp som enbart påverkas av tyngdkraft kommer att rotera med konstant ഥL. Vid rotationen kring symmetriaxel gäller ሜL = Iωlj vilket ger: τ lj = d ሜL dt = d(iω) lj = I d( ω) lj = Iαlj dt dt Newton II för rotation
Rörelseekvationen för stel kropps rotation (YF kap. 10.5-10.6) Iα lj = τlj För rotation runt symmetriaxlar Om τ lj = 0 gäller: Vinkelhastighetsvektorn för stel kropp som roterar kring symmetriaxel förblir konstant i frånvaro av yttre vridmoment. OBS! ሜL = konstant när τlj tot = 0 gäller alltid Vektorrelationen ω lj = konstant gäller för rotation runt symmetriaxlar Skalärrelationen z = konstant gäller alltid
Bevarande av rörelsemängdsmoment vid rotation runt symmetriaxel (YF kap. 10.6) ሜL = Iωlj I = R 2 dm ሜL konstant 11