Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion SKALÄRPRODUKT. EGENSKAPER. GEOMETRISK TOLKNING. PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE Sklärprodkt i R n, R och R : Definition. Låt,,..., n och,,..., n r n-dimensionell ektorer. Sklärprodkten och eteckns och definiers enligt följnde F n n Noter tt sklärprodkt tå ektorer är ett tl =sklär. Exempel.,,0, och,,, r tå ektorer i R. Bestäm. = 0 0 0 0 Som speciell fll hr i sklärprodkt i R och R : Låt, och, r tådimensionell ektorer. Sklärprodkten och är Låt,, och,, r tredimensionell ektorer. Sklärprodkten och är Nednstående egenskper kommer direkt från definitionen sklärprodkten. kommtti lgen c c distriti lgen 0 0 0 k k k k ================================================= Sid
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Geometrisk tolkning sklärprodkten Vinkel melln tå ektorer i R och R Vinkeln melln och definiers som den inkel melln och 0 som stisfierr 0 80 när ektorern förflytts till smm strtpnkt. O B A Låt r inkeln melln tå ektorer och. Då gäller cos F Här får i för icke-nollektorer och gäller cos om 0 och 0 F Formeln F nänder i för tt eräkn inkeln melln tå gin ektorer. Anmärkning. Formel F kn mn eis med hjälp cosinsstsen: Enligt cosinsstsen för onstående figr hr i AB cos eller cos. Om i nänder i änsterledet får i cos. Här cos V.S.B. Exempel. Låt,0, och,,. Beräkn estäm inkeln melln ektorern och. 0 Från cos hr i cos. Vi nänder också formeln x y z och får cos. 0 9 8 Här rccos 0 med miniräknre 8 Sid
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Sr: rccos 0 8 Exempel. Låt och är tå ektorer sådn tt 0, och = 0. Beräkn inkeln melln och. cos 0 0. Här. -------------------------------------------------------------------------------------------------- Sklärprodktens tecken och inkeln Enligt definitionen är sklärprodkt ett tl = sklär. Med hjälp sklärprodktens tecken kn i gör om inkeln, melln tå gin ektorer är en spetsig, rät eller trig inkel. Eftersom cos 0, =0 eller <0 om 90, 90 eller 90 80 hr i från formeln cos följnde smnd: 0 90 0 { ntingen 90 eller någon, är nollektorn} 0 90 80 Definition. Låt,,..., n och,,..., n r Vi säger tt tå n-dimensionell ektorer,,..., och,,..., är ortogonl om sklerprodkten 0. n n Exempel. Låt,, och, p,. Bestäm p så tt och lir ortogonl. 0 p 0 p p /. Sr. p / ============================================================ Vektorprojektioner: Låt r en ektor i rmmet och L en riktd rät linje rs riktning estäms en ektor. Sid
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Vi hr oft nytt tt ttryck ektor som smmn w w tå inkelrät =ortogonl komposnter w och w, där w är prllell med linjen L och därmed är w inkelrät mot L. Vi kllr w den ortogonl projektionen på L eller på linjens riktningsektor och etecknr w proj Följnde formler nänder i id eräkning projektionen proj och längden projektionen: proj Alternti formel: proj e e där e. Längden projektionen på ges proj. Beis: Formeln för ortogonl projektionen på : Först härleder i formeln för längden projektionen. i Från figren hr i tt längden sträckn OB ds längden proj är lik med OB cos längden, till skillnd från cos, kn inte r negti, därför solteloppet cos = Vi hr eist tt proj ii För tt få ektorn proj nänder i enhetsektorn e och etrktr tå fll. 90 och. 90 80 :. Om inkeln 90 projektionen ds ektorn w, och e hr smm riktning hr i Sid
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion OB OB e cos e { cos 0 } cos e enligt definitionen sklärprodkten e = e e. Om 90 projektionen, ds ektorn w, och e hr motstt riktningr A w B w O e hr i OB OB e cos e { cos <0 ger cos cos } cos e cos e enligt definitionen sklärprodkten e = e e Alltså i åd fll gäller OB e e, som i kn också skri som OB e e Därmed hr i eist formeln proj L ============================================================ Det rete W som en konstnt krft, som representers ektorn F, tträttr då en kropp förflytts från pnkten A till pnkten B kn eräkns med sklärprodkten. W= F L AB F cos AB F AB Alltså W = F AB ============================================================ Sid
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Till slt ppreppr i tt ektorer i ett ON koordint system kn nges på fler olik x sätt: x, y, z, y, xi y j zk, xe x ye y z e eller z z x e y e z. e ÖVNINGSUPPGIFTER I nednstående ppgifter är ektorskoordinter gin i ett ON-system Uppgift. Beräkn sklärprodkten då,,0 och,, 0, c i j k, i k d e x e, z ex ey ez 0 0 0 c Vi kn räkn direkt eller skri först ektorern på koordint form,,,,0,. I rje fll lir det 0 7 d 0 Uppgift. Låt,, och,0, r tå ektorer i rmmet. Beräkn sklärprodkten Låt r inkeln melln och. Agör om är en spetsig, rät eller trig inkel. c Bestäm cos 0 är en trig inkel eftersom < 0. c cos 0 70 Uppgift. För ilk ärden på k är ektorern och k c inkelrät då =,,, =,, och c =,0,? k c 0,, k, k, k 0 k k k 0 8k k / Sid 6
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Sr: k / Uppgift. För ilk ärden på s och t är ektorern t,, och, s, prllell? k t,, k, s, t k, ks, k k, t 0, s / Sr: t 0, s / Uppgift. Låt,, p och,, r tå ektorer i rmmet. Bestäm, om möjligt, tlet p så tt inkeln melln och lir en spetsig inkel en rät inkel c en trig inkel d 0 e 80 7 p är en spetsig inkel om 0 p 7 / är en rät inkel om 0 p 7 / c är en trig inkel om 0 p 7 / d är 0 om ektorern är prllell och hr smm riktning ds om det finns ett tl k>0 så tt k. Alltså, i hr illkoret,, k,, p som ger systemet med tre ektioner: k, k och = kp Systemet sknr lösning motsägelse k=, k= Därför finns inte något k så tt lir 0 e är 80 om ektorern är prllell och hr smm riktning ds om det finns ett tl k<0 så tt k. Vi hr illkoret,, k,, p som ger systemet med tre ektioner: k, k och = kp Systemet sknr lösning motsägelse k=, k= Därför finns inte något k så tt lir 80 Uppgift 6. En konstnt krft, som eskris med ektorn F,,6, förflyttr ett ojekt längs en rät linje från pnkten A,, till pnkten B,,. Beräkn retet. AB,, W= F AB =8 Jole eller Nm om ll storheter är gin i SI-systemet Uppgift 7. Sid 7
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Bestäm ektorprojektionen ektorn F =,, på ektorn =,, det ill säg på en linje som är prllell med ektorn Bestäm tå inkelrät ortogonl ektorer och så tt lir prllell med och F se ilden nedn. Vektorprojektion F på är F 6 proj F,,,, F, 0, Kontroll för delen:,, F OK 0 ds och är ortogonl OK Sr: proj F,,,,,, 0, Uppgift 8. Bestäm ortogonl projektionen proj ektorn = på en linje som är prllell med ektorn. 0 Lösning : proj 0 0 / / 0 Uppgift 9. För tå ektorer och gäller följnde :,, Vinkeln melln ektorern och är /. Beräkn om och. Lägg märke till tt i inte hr ektorerns koordinte. Vi eräknr räknelgr för sklärprodkten: distriti lgen 6 Sid 8 med hjälp
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Sid 9 kommtti lgen för sklärprodkten i nänder ntgndet:,, / = 0 cos / cos cos0 = = 8 = Sr: Uppgift 0. Vektorern och är lik lång,, och ildr inkeln / med rndr. Låt och. Bestäm inkeln melln och. Lägg märke till tt i inte hr ektorerns koordinter! Från cos hr i cos. Först eräknr i = 6 Vi tnyttjr tt sklärprodkten är kommtti ds och ntgnde tt och får = / cos =. För tt eräkn nänder i formeln: På smm sätt: 6 9 6 9 Sltligen 9 / cos och därför 0.89788 rccos 9 / rccos
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Uppgift. Anänd äktorer för tt eis prllellogrmstsen, ds eis tt d d där d, d är digonler och, prllellogrmmens sidor. Beis. Låt ABCD r ett prllellogrm AC är en digonl. Vi etecknr AB, AD, AC d och DB d se figren nedn. Från d och d hr i d d d distriti lgen enligt kommtti lgen Alltså d * På smm sätt d d d... Om i dderr * och ** får i d + d = eller d d, ilket sklle eiss. ** Uppgift. i För en ektor gäller 0 för rje ektor i rmmet. Beis tt 0. ii För tå ektorer och gäller Beis tt. för rje ektor i rmmet. i Om 0 för rje ektor i rmmet då gäller dett äen för. Alltså 0 eller 0. Sid 0
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion Därmed 0, ds är nollektorn V.S.B. ii Om för rje ektor i rmmet då hr i 0 0 för rje ektor Alltså 0 för rje som enligt i gör 0 eller, till slt,, ilket sklle eiss. Sid