TENTAMEN -Jan-8, HF och HF8 Momen: TEN (Linjär algebra), 4 hp, skriflig enamen Kurser: Anals och linjär algebra, HF8, Linjär algebra och anals HF Klasser: TIELA, TIMEL, TIDAA Tid: 85-5, Plas: Campus Haninge Lärare: Marina Arakelan, Inge Jovik och Armin Halilovic Eaminaor: Armin Halilovic Begsgränser: Mapoäng 4 För beg A, B, C, D, E, F krävs, 9,,, respekive 9 poäng Hjälpmedel på enamen TEN: Udelad formelblad Miniräknare ej illåen Kompleering: 9 poäng på enamen ger rä ill kompleering (beg F) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Skriv endas på en sida av pappere Skriv namn och personnummer på varje blad Inlämnade uppgifer skall markeras med krss på omslage ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Denna enamenslapp får ej behållas uan lämnas in illsammans med lösningar Fullsändiga lösningar skall preseneras ill alla uppgifer ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Uppgif (4p) a) Beräkna arean av riangeln ABC då A (,,), B(4,,) och C( 5,4,) b) Beräkna volmen av den parallellepiped som spänns upp av vekorerna u (,,), v (,,) och w (,5,5) Uppgif (p) Kraferna FF (,, ), FF (,, ) och FF (, 4, ) påverkar en parikel a) Vilken är den oala krafen på parikeln? b) Vilken mokraf behövs för a den oala krafen ska bli noll? Uppgif (p) Den räa linjen L går genom punken (, ) och är parallell med vå plan z och z Besäm linjens ekvaion Uppgif 4 (p) Lös ekvaionssseme
Uppgif 5 (4p) i a) (p) Besäm imaginärdelen av de komplea ale z i 4i b) (p) Åskådliggör i de komplea alplane < Re( z ) 9 c) (p) Åskådliggör i de komplea alplane z i Uppgif (p) Lös ekvaionen z iz 4 i Uppgif 7 (4p) Besäm samliga egenvärden och egenvekorer ill marisen Uppgif 8 (p) Volmen av en pramid som spänns upp av vekorerna OA, OB, och OC är 5 Besäm längden av OC om OA OB, OA OC, OB OC, OA och OB Lcka ill
FACIT Uppgif (4p) a) Beräkna arean av riangeln ABC då A (,,), B(4,,) och C( 5,4,) b) Beräkna volmen av den parallellepiped som spänns upp av vekorerna u (,,), v (,,) och w (,5,5) Lösning: AB (,,), AC (,,) C C C i j k a) Arean C C C AB AC i j k b) Volmen 4 4 5 5 5 5 5 5 Svar: a) Arean AB AC b) Volmen 4 Räningsmall: a) Korrek urck i j k ger p All korrek p Saknas i formeln ger - p b) All korrek p -p för varje räknefel Uppgif (p) Kraferna FF (,, ), FF (,, ) och FF (, 4, ) påverkar en parikel a) Vilken är den oala krafen på parikeln? b) Vilken mokraf behövs för a den oala krafen ska bli noll? Lösning: a) Den oala krafen på parikeln är F F F F (5,, ) b) Den mokraf som behövs för a den oala krafen ska bli noll är F (5,, ) Svar: a) ( 5,, ) b) ( 5,, ) Räningsmall: a),b) Rä eller fel
Uppgif (p) Den räa linjen L går genom punken (, ) och är parallell med vå plan z och z Besäm linjens ekvaion Lösning: Linjens rikningsvekor v är vinkelrä mo planens normalvekorer N (,, ) och N (,,) Därför v i j k N N i j k (,, ) Linjens ekvaion är (,, z) (,, ) (,, ) eller z Svar: (,, z) (,, ) (,, ) Räningsmall: En korrek normalvekor ger p All korrek p Uppgif 4 (p) Lös ekvaionssseme Lösning sseme saknar lösning eller har oändlig många lösningar 4 4
Svar: Sseme har oändlig många lösningar Räningsmall: Korrek meod och en korrek variabel ger p All korrek p Uppgif 5 (4p) i a) (p) Besäm imaginärdelen av de komplea ale z i 4i b) (p) Åskådliggör i de komplea alplane < Re( z ) 9 c) (p) Åskådliggör i de komplea alplane z i Lösning a) i z i 4i ( i)( 4i) i ( 4i)( 4i) 9 9 i i 8 i 7i i i 7 7 7 i 7 7 Härav 7 Im( z ) 7 b) c) Vi kan skriva cirkelns ekv på följande sä z ( i)
Cirkelns cenrum är i punken i och radien är R i - Svar: a) 7 Im( z ), b) se figuren c) se figuren 7 Räningsmall: a) Korrek beräkning av korrekp i i 4i 7 eller 9 i i ger en poängall b) Rä eller fel c) Rä eller fel Uppgif (p) Lös ekvaionen z iz 4 i Lösning Lå z i Från ekvaionen får vi i( i) 4 i i 4 i Dea ger sseme 4 som medför 4 4 8 Därmed z i Svar: z i
Räningsmall: a) Korrek ill ekvaionen i i 4 ger p Korrek ill sseme 4 ger oal p All korrekp Uppgif 7 (4p) Besäm samliga egenvärden och egenvekorer ill marisen Lösning A X X A ) ( ) ( Denna ekvaion har (,)(,) som lösning, men nollvekorn illås ine som egenvekor För a ekvaionen ska ha fler lösningar krävs a ssemes de 4 9 ) ( 4 ger Då och ger Då och Allså; X och X Svar: 4 X, X,
Räningsmall: a) Korrek meod och e egenvärde p Två korreka egenvärdenp egenvärden Korreka egenvekorer:, ger p och, ger p Uppgif 8 (p) Volmen av en pramid som spänns upp av vekorerna OA, OB, och OC är 5 Besäm längden av OC om OA OB, OA OC, OB OC, OA och OB Lösning: Meod Från OA OC, OB OC, får vi a vekorn OC är vinkelrä mo både OA och OB C O a B A Om vi berakar riangeln OAB som basen av pramiden blir höjden lika med h OC Från OA OB har vi π OA OB cosα cosα cosα α Basans area är B OA OB sinα Nu, efersom volmen V B h har vi h 5 h 5 Allså OC h 5
Svar: OC 5 Räningsmall (meod ): Korrek p All korrek p cos α ger p Korrek basans area B ger oal Meod Lå N OC OB Efersom vekorn OC är vinkelrä mo alla re vekorer OA, OB och N, ligger vekorerna OA, OB och N i samma plan Beeckna vinkeln mellan π ligger i samma plan har vi γ α OA och OB med α Efersom vekorerna OA, OB och N π OA OB OA OB cosα cosα α π π π π Då γ γ Får volmen gäller V ( OC OB) OA 5 V ( OC OB) OA cosγ 5 Efersom OB OC, då gäller a OB OC π ( OC OB) OC OB sin( OC; OB) OC sin OC V OC cosγ OC cosγ OC OC Från V 5 har vi ekvaionen
OC Svar: 5 5 OC 5 5 Räningsmall (meod ): Korrek V OC cos α B ger oal p All korrek p ger p Korrek urcke för volmen